0.7 Operations on real-valued funct

0.7 Operations on real-valued functions
Given two functions f:A ! R, g:A ! R and a constant real number k, we
define the functions kf, f + g, f − g, f · g and f/g by the following formulas,
for all a in A (note that the last equation is defined only when g(a) 6= 0, so the
function f/g is defined to have domain {a 2 A | g(a) 6= 0}).
(kf)(a) = kf(a)
(f + g)(a) = f(a) + g(a)
(f − g)(a) = f(a) − g(a)
(f · g)(a) = f(a)g(a)
(f/g)(a) = f(a)/g(a)
Note: The notation fg is sometimes used to mean the product function f ·g, and
sometimes to mean the composition f  g. Care should be taken when context
does not make clear which is meant.
0.8 Sequences and functions
An ordered list
x1, x2, x3, . . . , xn
of elements from a set X is called a sequence in X. The subscript i which
marks the position in the list of the element xi is called the index of xi. For
convenience, sequences sometimes begin with a whole number index different
from 1.
A sequence x1, x2, x3, . . . , xn in a set X defines a function f: {1, 2, 3, . . . , n} ! X
by
f(1) = x1, f(2) = x2, f(3) = x3, . . . , f(n) = xn.
Conversely, a function f: {1, 2, 3, . . . , n} ! X determines a sequence in X by
x1 = f(1), x2 = f(2), x3 = f(3), . . . , xn = f(n).
For example, the list of numbers 3,−1, 2, 3, 1, 5 is a sequence
x1 = 3, x2 = −1, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 1, x6 = 5
of elements of the set of integers, and also defines a function f: {1, 2, 3, 4, 5, 6}! Z by
f(1) = 3, f(2) = −1, f(3) = 2, f(4) = 3, f(5) = 1, f(6) = 5.
0.9 Summation notation
A common operation in mathematics is to sum the values of a sequence of num-
bers. Let x1, x2, x3, . . . , xn be a sequence of numbers and let f{1, 2, 3, . . . , n} ! R be the associated function given by f(k) = xk as described in the previous
subsection. We write
Xn
i=1
xi or
Xn
i=1
f(i)
Mathematical Reasoning I, Course Notes 9
to denote the sum
x1 + x2 + · · · + xn = f(1) + f(2) + · · · + f(n).
For example, for the sequence
1, 4, 9, 16, . . . , 100
in which xk = k2 and n = 10, we write
X10
i=1
i2 to denote the sum 1 + 4 + 9 +
· · ·+ 100. The symbol
P
is the capital Greek letter sigma, and denotes a sum.
The variable i is called the index of the sum. More generally, we write
Xn
i=m
xi
to denote the sum
xm + xm+1 + xm+2 + · · · + xn
where m, n are integers with m  n.
0.10 Exercises
1. List all subsets of the set X = {a, b, c}. (Note on convention: the empty
set is considered to be a subset of any set. Also note that in the definition
of subset, any set is a subset of itself.)
2. Let A = {1, 3, 5, 7, 9}, let B = {2, 3, 4, 5, 6} and let D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} be the set of all ten digits. Find A [ B, A B, A B, and the D A.
Draw a single Venn diagram showing the relationships between A, B, D,
and the set C = {0, 2, 6}.
3. Sketch a Venn diagram for the symmetric difference (A B) [ (B A) of
two sets A and B for the sets A and B in example (0.1.3).
4. Use a Venn diagram to illustrate the following property of set operations
(one of DeMorgan’s Laws).
A (B C) = (A B) [ (A C)
5. Let A = {a, b} and B = {x, y, z}.
(a) List all members of the set A × B.
(b) List all members of the set B2.
6. Draw a single Venn diagram illustrating the relationships between the
following sets: R, Q, Z, and [0, 1).
7. Let A and B be subsets of the real line R given by A = {x | −2  x < 3} and B = {x | 1 < x  5}. Write in interval notation, set notation and
sketch a picture of A, B, A [ B, A B, A B and R A. Example:
in interval notation, set A is written A = [−2, 3), in set notation A =
{x | −2  x < 3}, and the sketch of A is the shaded region of the real
line marked with endpoint brackets at −2 on the left and 3 on the right
that looks like the fourth sketch from the top in the chart of intervals in
subsection (0.3).
Mathematical Reasoning I, Course Notes 10
8. Let f(x) = x2 and g(x) = x+2 define functions f and g from the reals to
the reals.
(a) Find (f  g)(3)
(b) Find (g  f)(3)
(c) Find (g · f)(3)
(d) Find (f/g)(3)
(e) Find (3f + g)(3)
(f) Write an equation for (f  g)(x)
(g) Write an equation for (g  f)(x)
9. Let X = {a, b, c} and Y = {1, 2, 3}. Describe all possible one-to-one
correspondences between X and Y .
10. (a) Evaluate
X10
i=1
(2i + 1).
(b) Write the sum
(12+2 ·1+3)+(22+2 ·2+3)+(32+2 ·3+3)+· · ·+(152+2 ·15+3)
using summation notation.
11. Let A = {x, y, z} and let f:A ! R and g:A ! R be given by the following
table of values.
element of A value of f value of g
x 2 5
y 0 1
z -1 2
Let s1 = x, s2 = y, s3 = z be a sequence of elements in A. Find the
following.
(a)
X3
i=1
f(si)
(b)
X3
i=1
(f + g)(si)
(c)
X3
i=1
(f · g)(si)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

0.7 ดำเนินงานฟังก์ชันค่าจริงให้สองฟังก์ชัน f:A R, g:A R และ k เป็นค่าคงจำนวนจริง เรากำหนดฟังก์ชัน kf, f + g, f − g, f · g และ f/g โดยใช้สูตรต่อไปนี้สำหรับทุก A ใน (สังเกตว่า สมการสุดท้ายกำหนดเฉพาะเมื่อ g(a) 6 = 0 เพื่อกำหนดฟังก์ชัน f/g จะมีโดเมน { 2 A | g(a) 6 = 0 })(kf)(ก) = kf(a)(f + g)(ก) = f(a) + g(a)(f − g)(ก) = f(a) − g(a)(f · g)(ก) = f(a)g(a)(f/g)(ก) = f(a)/g(a)หมายเหตุ: เครื่องหมายบางครั้งใช้ fg หมายผลิตภัณฑ์ฟังก์ชัน f ·g และบางครั้งจะหมายถึง องค์ประกอบ f กรัมดูแลควรดำเนินการเมื่อบริบทไม่ได้ชัดเจนซึ่งจะหมายถึงลำดับที่ 0.8 และฟังก์ชันรายการที่สั่งx 1, x 2, x 3,..., xnองค์ประกอบจากชุดของ X เรียกว่าลำดับใน X ตัวห้อยฉันที่เครื่องหมายตำแหน่งในรายการสิองค์จะเรียกว่าดัชนีของสิ สำหรับสะดวก ลำดับบางครั้งเริ่มต้น ด้วยดัชนีจำนวนแตกต่างกันจาก 1ลำดับ x 1, x 2, x 3,..., xn ในชุด X กำหนด f: ฟังก์ชัน {1, 2, 3,..., n } Xโดยf(1) = x 1, f(2) = x 2, f(3) = x 3,..., f(n) = xnในทางกลับกัน เป็นฟังก์ชัน f: {1, 2, 3,..., n } X กำหนดลำดับใน X ด้วยx 1 = f(1), x 2 = f(2), x 3 = f(3),..., xn = f(n)ตัวอย่าง รายการจำนวน 3, −1, 2, 3, 1, 5 เป็นลำดับx 1 = 3, x 2 = −1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 1, x 6 = 5องค์ประกอบของชุดของจำนวนเต็ม และกำ f: ฟังก์ชัน {1, 2, 3, 4, 5, 6 } Z โดยf(1) = 3, f(2) = −1, f(3) = 2, f(4) = 3, f(5) = 1, f(6) = 50.9 สัญกรณ์รวมการดำเนินการทั่วไปในวิชาคณิตศาสตร์จะรวมค่าของลำดับหมายเลข-bers ให้ x 1, x 2, x 3,..., xn เป็นลำดับของตัวเลขและให้ f {1, 2, 3,..., n } R เป็นฟังก์ชันเกี่ยวข้องกำหนด f(k) = xk ในก่อนหน้าsubsection เราเขียนXnฉัน = 1ซีอานซีกวน หรือXnฉัน = 1f(i)คณิตศาสตร์ด้าน I บันทึกของหลักสูตร 9แสดงผลรวมx 1 x 2 + ··· + xn = f(1) + f(2) + ··· + f(n)ตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับ1, 4, 9, 16,..., 100ในที่ xk = k2 และ n = 10 เราเขียนX 10ฉัน = 1i2 แสดงผลรวม 1 + 4 + 9 +··· + 100 สัญลักษณ์Pหลวงอักษรกรีกซิก และแสดงผลตัวแปรฉันจะเรียกว่าดัชนีของผลรวม เราเขียนเพิ่มเติมโดยทั่วไปXnฉัน = mซีอานซีกวนแสดงผลรวมxm xm + 1 + xm + 2 + ··· + xnที่ m, n เป็นจำนวนเต็ม ด้วย m nออกกำลังกาย 0.101. รายการย่อยทั้งหมดของชุด X = {a, b, c } (หมายเหตุการประชุม: เปล่าชุดถือเป็นชุดย่อยของชุดใด ๆ นอกจากนี้ยัง สังเกตว่า ในข้อกำหนดของชุดย่อย ใด ๆ เป็นเซ็ตย่อยของตัวเอง)2. ให้ = {1, 3, 5, 7, 9 } ให้ B = {2, 3, 4, 5, 6 } และให้ D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } เป็นชุดของตัวเลขหลักสิบทั้งหมด ค้นหา A [B, A B, A B และ D อ.วาดไดอะแกรมเวนน์เดียวที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง A, B, Dและชุด C = {0, 2, 6 }3. ร่างไดอะแกรมเวนน์การสมมาตร (A [B) (B A) ของสองชุด A และ B ในชุด A และ B ในตัวอย่าง (0.1.3)4. ใช้เวนน์ไดอะแกรมเพื่อแสดงคุณสมบัติของการดำเนินการตั้งค่าต่อไปนี้(หนึ่งในกฎหมายของ DeMorgan)A (B C) = (A B) [(A C)5. ให้ = {a, b } และ B = {x, y, z }(ก) รายการสมาชิกทั้งหมดของชุด A ซื้อบี(ข) รายการสมาชิกทั้งหมดของบี 2 ชุด6. วาดไดอะแกรมเวนน์เดียวที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างการต่อชุด: R, Q, Z และ [0, 1)7. ให้ A และ B เป็นชุดย่อยของรายการจริง R ที่กำหนด โดยมี = { x | −2 x < 3 } และ B = { x | 1 < x 5 } เขียนในช่วงบันทึก ตั้งค่าบันทึก และร่างภาพ A, B, A [B, A B, A B และ R ตัวอย่าง A.:ในช่วงบันทึก ชุด A เขียน A = [−2, 3), ในชุดเครื่องหมาย =เป็น{ x | −2 x < 3 }, และร่างของ A เป็นพื้นที่ที่แรเงาของจริงบรรทัดที่ มีปลายเล็บที่ −2 อยู่ทางด้านซ้ายและด้านขวา 3 เครื่องที่ดูเหมือนร่างสี่จากด้านในของช่วงเวลาในsubsection (0.3)คณิตศาสตร์ด้าน I บันทึกหลักสูตร 108. ให้ f(x) = g(x) และ x 2 = x + 2 กำหนดฟังก์ชัน f และ g จากตัวเลขจริงเพื่อตัวเลขจริง(ก) ค้นหา (f g)(3)(ข) ค้นหา (g f)(3)(ค) ค้นหา (g · f)(3)(d) ค้นหา (f/g)(3)(จ) ค้นหา (3f + g)(3)(f) เขียนเป็นสมการ (f g)(x)(g) เขียนเป็นสมการ (g f)(x)9. ให้ X = {a, b, c } และ Y = {1, 2, 3 } อธิบายไปแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั้งหมดโต้ตอบระหว่าง X และ Y10. (Evaluate a)X 10ฉัน = 1(2i + 1)(ข) เขียนผล(·1 12 + 2 + 3) +(22+2 ·2+3) + (·3 32 + 2 + 3) + ··· + (·15 152 + 2 + 3)ใช้เครื่องหมายรวม11. ให้ = {x, y, z } และให้ f:A R และ g:A R ให้ โดยต่อไปนี้ตารางค่าองค์ประกอบของค่า f ค่าของ gx 2 5y 0 1z 2-1ให้ s1 = x, s2 = y, s3 = z มีลำดับขององค์ประกอบในการค้นหา A. การต่อไปนี้(a)X 3ฉัน = 1f(si)(b)X 3ฉัน = 1(f + g)(ศรี)(c)X 3ฉัน = 1(f · g)(ศรี)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

0.7 การดำเนินงานในฟังก์ชั่นแบบเรียลไทมูลค่า
ป.ร. ให้ไว้สองฟังก์ชัน f:! R, G:! R และจำนวนจริงคงที่ k เรา
กำหนดฟังก์ชั่น kf, f + G, F - G, F ·กรัมและ f / กรัมโดยสูตรต่อไปนี้
สำหรับทุกคนใน (โปรดทราบว่าสมการที่ผ่านมามีการกำหนดเฉพาะเมื่อกรัม (ก) 6 = 0 ดังนั้น
ฟังก์ชั่น F / G ถูกกำหนดให้มีโดเมน. {2 | กรัม () 6 = 0})
(KF) (ก) = kf (ก)
(ฉ + g) ( ) = f () + g (ก)
(ฉ - ช) (ก) = f () - กรัม ()
(F ·กรัม) (ก) = f () กรัม ()
(f / กรัม) () = f () / g ()
หมายเหตุ: FG โน้ตบางครั้งใช้เพื่อหมายถึงฉทำงานของผลิตภัณฑ์·กรัมและ
บางครั้งหมายถึงองค์ประกอบฉ? ก. ควรใช้ความระมัดระวังเมื่อบริบท
ไม่ได้ทำให้ชัดเจนซึ่งมีความหมาย.
0.8 ลำดับและฟังก์ชั่น
สั่งซื้อรายการ
x1, x2, x3, . . , xn
ขององค์ประกอบจาก X ชุดที่เรียกว่าลำดับเอ็กซ์, i ซึ่ง
กำหนดตำแหน่งในรายการขององค์ประกอบ Xi เรียกว่าดัชนีของ Xi สำหรับ
ความสะดวกสบายลำดับบางครั้งเริ่มต้นด้วยดัชนีจำนวนทั้งหมดที่แตกต่างกัน
ตั้งแต่วันที่ 1.
x1 ลำดับ x2, x3, . . , xn ในชุด X กำหนดฟังก์ชัน f: {1, 2, 3, . . , n}! X
โดย
f (1) = x1, f (2) = x2, f (3) = x3, . . ., f (n) = xn
ตรงกันข้ามฟังก์ชัน f: {1, 2, 3, . . , n}! X กำหนดลำดับใน X โดย
x1 = f (1), x2 = f (2), x3 = f (3) . . , xn = f (n).
ตัวอย่างเช่นรายการของหมายเลข 3, -1, 2, 3, 1, 5 เป็นลำดับ
x1 = 3 x 2 = -1, x3 = 2, x4 = 3 x 5 = 1 , x6 = 5
ขององค์ประกอบของชุดของจำนวนเต็มและยังกำหนดฟังก์ชัน f: {1, 2, 3, 4, 5, 6}! Z โดย
f (1) = 3, f (2) = -1, f (3) = 2, f (4) = 3, f (5) = 1, f (6) = 5.
0.9 สัญกรณ์สรุป
ร่วมกัน การดำเนินงานในวิชาคณิตศาสตร์คือการสรุปค่าลำดับของจานวน
Bers ให้ x1, x2, x3, . . , xn เป็นลำดับของตัวเลขและปล่อยฉ {1, 2, 3, . . , n}! R เป็นฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องที่ได้รับจาก f (k) = XK ตามที่อธิบายไว้ในก่อนหน้านี้
ส่วนย่อย เราเขียน
Xn
i = 1
Xi หรือ
Xn
i = 1
f (i)
คณิตศาสตร์เหตุผลที่ฉัน, สนามหมายเหตุ 9
เพื่อแสดงผลรวม
x1 + x2 + ··· + xn = f (1) + f (2) + ··· + f (n).
ตัวอย่างเช่นสำหรับลำดับ
ที่ 1, 4, 9, 16, . . 100
ที่ k2 = XK และ n = 10 เราเขียน
X10
i = 1
i2 เพื่อแสดงผลรวม 1 + 4 + 9 +
··· + 100 สัญลักษณ์
P
เป็นเมืองหลวงซิกอักษรกรีกและหมายถึงผลรวม
ฉันตัวแปรที่เรียกว่าดัชนีของทุน โดยทั่วไปเราเขียน
Xn
i = ม
จิ
เพื่อแสดงผลรวม
XM XM + + 1 + XM + 2 + ··· + xn
โดยที่ m, n เป็นจำนวนเต็มกับ M? n.
0.10 การออกกำลังกาย
1 รายการย่อยทั้งหมดของชุด X = {b, c} (หมายเหตุในการประชุม: ว่างเปล่า
ชุดจะถือเป็นส่วนหนึ่งของชุดใด ๆ นอกจากนี้ยังทราบว่าในความหมาย.
ย่อยของชุดใด ๆ ที่เป็นส่วนหนึ่งของตัวเอง.)
2 Let = {1, 3, 5, 7, 9} ให้ B = {2, 3, 4, 5, 6} และให้ D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} เป็นชุดของทุกหลักสิบ ค้นหา [B, A B, A B และ D A.
วาดแผนภาพเวนน์เดียวแสดงให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่าง A, B, D,
และชุด C = {0, 2, 6}.
3 วาดแผนภาพเวนน์สำหรับความแตกต่างสมมาตร (A B) [(B ) ของ
สองชุด A และ B สำหรับชุด A และ B ในตัวอย่าง (0.1.3).
4 ใช้แผนภาพเวนน์แสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติดังต่อไปนี้การดำเนินงานของชุด
(หนึ่งในกฎหมายของ DeMorgan).
(B C) = (A B) [(A C)
5 Let = {ข} และ B = {X, Y, Z}.
(ก) รายชื่อสมาชิกทุกคนในชุด× B.
(ข) รายชื่อสมาชิกทุกคนของบี 2 ชุด.
6 วาดแผนภาพเวนน์เดียวที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง
ชุดต่อไปนี้:. R, Q, Z และ [0, 1)
7 ให้ A และ B เป็นส่วนย่อยของเส้นจริง R ที่กำหนดโดย = {x | -2? x <3} และ B = {x | 1 <x? 5} เขียนโน้ตในช่วงตั้งโน้ตและ
วาดภาพของ A, B, [B, A B, A B และ r A. ตัวอย่าง:
สัญกรณ์ในช่วงตั้งถูกเขียน = [-2, 3) ในชุดสัญกรณ์ =
{x | -2? x <3} และร่างของเป็นพื้นที่สีเทาของจริง
เส้นที่มีเครื่องหมายวงเล็บจุดปลายที่ -2 ด้านซ้ายและด้านขวา 3
ที่ดูเหมือนว่าร่างที่สี่จากด้านบนในแผนภูมิของช่วงเวลาในการ
ย่อย ( 0.3).
คณิตศาสตร์เหตุผลผมหมายเหตุหลักสูตร 10
8. ให้ f (x) = x2 และ g (x) = x + 2 กำหนดฟังก์ชั่น F และ G จากจำนวนจริงไป
จำนวนจริง.
() พบ (F? กรัม) ( 3)
(ข) พบ (กรัม? F) (3)
(ค) พบ (กรัม·ฉ) (3)
(ง) พบ (F / G) (3)
(จ) ค้นหา (3F + g) (3)
(ฉ) เขียนสมการ (ฉ? กรัม) (x)
(ช) เขียนสมการ (ช? F) (x)
9 ให้ X = {b, c} และ y = {1, 2, 3} อธิบายเป็นไปได้ทั้งหมดอย่างใดอย่างหนึ่งต่อหนึ่ง
correspondences ระหว่าง x และ y.
10 (ก) การประเมิน
X10
i = 1
(2i + 1).
(ข) เขียนผลรวม
(12 + 2 · 1 + 3) + (22 + 2 · 2 + 3) + (32 + 2 · 3 + 3) + ···: + (152 + 2 · 15 + 3)
ใช้เครื่องหมายบวก.
11 Let = {X, Y, Z} และให้ f:! R และ g:! R ได้รับโดยต่อไปนี้
ตารางค่า.
องค์ประกอบของมูลค่าของค่า f ของกรัม
x 2 5
0 และ 1
Z -1 2
ให้ s1 = x, y = S2, S3 = Z เป็นลำดับขององค์ประกอบใน A. ค้นหา
ต่อไปนี้.
(ก)
X3
i = 1
f (si)
(ข)
X3
i = 1
(ฉ + g) (si)
(ค)
X3
i = 1
(F ·กรัม) (si)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ผลการดำเนินการในฟังก์ชันค่าจริง
ให้สองฟังก์ชัน f : A ! R , G : ! R K จำนวนจริงที่คงที่ เรานิยามฟังก์ชัน KF
F G F G F G − , Suite และ f / g โดยสูตรต่อไปนี้
สำหรับทั้งหมดใน ( ทราบว่าสมการสุดท้ายที่กำหนดไว้เท่านั้น เมื่อ G ( a ) 6 = 0 ดังนั้นฟังก์ชัน f /
ก. กำหนดให้มีการ | { 2 G ( A ) 6 = 0 } )
( KF KF ) ( ) = ( )
( F G ) ( ) = f ( a ) G ( A )
( F −กรัม ) ( ) = f ( a ) − G ( A )
( F ด้วยกรัม ) ( ) = f ( a ) G ( A )
( F / g ) ( ) = f ( a ) / G ( a )
หมายเหตุ : FG บางครั้งใช้โน้ต หมายถึงผลิตภัณฑ์ฟังก์ชัน f ด้วยกรัมและ
บางครั้งหมายถึงองค์ประกอบ F  กรัม ควรดูแลเมื่อบริบท
ไม่ได้ให้ชัดเจนซึ่งหมายถึง ลำดับและฟังก์ชัน
0

สั่งรายการ x1 , x2 , x3 , . . . . . . . . คริสเตียน
, องค์ประกอบจากชุด X เรียกว่าลำดับใน Xที่ห้อยที่
เครื่องหมายตำแหน่งในรายการขององค์ประกอบสี่เรียกว่าดัชนีของ Xi สำหรับ
สะดวกลำดับบางครั้งเริ่มต้นด้วยเลขดัชนีที่แตกต่างกันทั้งหมดจาก 1
.
ลำดับ x1 , x2 , x3 , . . . . . . . . คริสเตียนในชุด X , กำหนดฟังก์ชัน f : { 1 , 2 , 3 , . . . . . . . . , n } ! โดย
x
f ( 1 ) = f ( 2 ) = x1 , x2 , x3 f ( 1 ) = . . . . . . . . , f ( n ) = คริสเตียน
ในทางกลับกัน ฟังก์ชัน f : { 1 , 2 , 3 , . . . . . . . . , n } !X เป็นตัวกำหนดลำดับใน x
x1 = x2 = f ( 1 ) , f ( 2 ) , X3 = F ( 3 ) . . . . . . . คริสเตียน = f ( , n )
ตัวอย่างเช่น รายการของตัวเลข 3 , − 1 , 2 , 3 , 4 , 5 เป็นลำดับ
x1 = x2 = 3 , − 1 , x 3 = 2 , x4 = 3 x 5 = 1 , x6 = 5
ขององค์ประกอบของเซตของจำนวนเต็มและยังได้กำหนดฟังก์ชัน f : { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ! โดย
z f ( 1 ) = 3 , f ( 2 ) = − 1 f ( 1 ) = 2 , f ( 4 ) = 1 , F ( 5 ) = 1 , F ( 6 ) = 5
0
โน้ต .งานทั่วไปในคณิตศาสตร์คือผลรวมค่าของลำดับของน้ำ --
bers . ให้ x1 , x2 , x3 , . . . . . . . . คริสเตียน , เป็นลำดับของตัวเลข และ ให้ F { 1 , 2 , 3 , . . . . . . . . , n } ! R เป็นเกี่ยวข้องฟังก์ชันให้ f ( k ) = XK ตามที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้านี้

เราเขียนซิน

= 1


ผมซี หรือคริสเตียน = 1
F ( i )
9
การใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ผมบันทึกหลักสูตรเพื่อแสดงผลรวม
X1 X2 · · ·คริสเตียน = f ( 1 ) f ( 2 ) · · · F ( N )

เช่น ลำดับ 1 , 4 , 9 , 16 , . . . . . . . . 100
ที่ XK = 2 และ n = 10 , เราเขียน
x 10
= 1
I2 เพื่อแสดงผลรวม 1 4 9
· · · 100 สัญลักษณ์
p
เป็นเมืองหลวงของกรีกตัวอักษร Sigma และแสดงผลรวม
ตัวแปรที่ผมเรียกว่าดัชนีของผลรวม โดยทั่วไปแล้วเราเขียน

m
= ซินซี
เพื่อแสดงผลรวม
XM XM XM 1 2 · · ·คริสเตียน
ที่ M , n เป็นจำนวนเต็มกับ M .
0
 แบบฝึกหัด 1รายการย่อยของชุด X = { a , b , c } ( หมายเหตุในการประชุม : เซตว่าง
ถือว่าเป็นส่วนหนึ่งของชุด นอกจากนี้ยังทราบว่าในนิยามของเซตย่อยๆ
, ชุดเป็นเซตย่อยของตัวเอง )
2 ให้ A = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } ให้ B = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ให้ D = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } เป็นเซตของเลขสิบที่ทั้งหมด ค้นหา [ b , B B และ D / A .
วาดเดี่ยวแผนภาพเวนน์แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง A , B , D ,
และชุด C = { 0 , 2 , 6 } .
3 วาดแผนภาพเวนน์สำหรับผลต่างสมมาตร ( มี b ) [ ( b / a )
2 ชุด A และ B สำหรับชุด A และ B ในตัวอย่าง ( 0.1.3 )
4 ใช้แผนภาพเวนน์แสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติของชุดปฏิบัติการ
ต่อไปนี้ ( หนึ่งใน demorgan กฎหมาย )
( B / C ) = ( a / b ) [ ( C )
5 ให้ A = { a , b } และ B = { x , y ,Z } .
( A ) รายการสมาชิกทั้งหมดของการตั้งค่า× B .
( b ) รายการสมาชิกทั้งหมดของชุด B2
6 วาดแผนภาพเวนน์เดียวที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง
ชุดต่อไปนี้ : R , Q , Z , [ 0 , 1 ) .
7 ให้ A และ B เป็นเซตย่อยของเส้นจริงให้โดย = { x | − 2  X < 3 } และ B = { x | 1 < x  5 } เขียนโน้ตช่วงตั้งโน้ตและ
ร่างรูป A , B , [ b , b , b R .ตัวอย่าง :
ในสัญกรณ์ช่วงตั้งเขียน = [ − 2 , 3 ) ในชุดโน้ต A = { x
| − 2  X < 3 } และภาพร่างของเป็นเขตสีเทาจากของจริง
เครื่องหมายวงเล็บปลายทางที่− 2 ด้านซ้ายและ 3 บน ขวา
เหมือนสี่ร่างจากด้านบนในชาร์ตของช่วงเวลาในส่วนย่อย ( 0.3 )
.
เหตุผลเชิงคณิตศาสตร์ หลักสูตร 10
8 บันทึกให้ f ( x ) = x 2 และ g ( x ) = x 2 นิยามฟังก์ชัน f และ g จาก reals จริงๆ

.
( ) ( F  กรัม ) ( 3 )
( B ) ( G  F ) ( 3 )
( C ) ( G ด้วย F ) ( 3 )
( D ) พบ ( F / g ) ( 3 )
( E ) ค้นหา ( ขา ) กรัม ( 3 )
( F ) เขียนเป็นสมการ ( F  g ( x )
( g ) เขียนเป็นสมการ ( G  F ( x )
9 ให้ x = { a , b , c } และ Y = { 1 , 2 , 3 } อธิบายได้แบบหนึ่งต่อหนึ่ง
จดหมายระหว่าง x และ y .
10 (

) ประเมิน x10 = 1

( 2i 1 )( ข ) เขียนผลรวม
( 12 2 ด้วย 1 ) ( 22 2 ด้วย 2 3 ) ( 32 2 ด้วย 3 ) · · · ( 152 2 ด้วย 15 3 ) การใช้สัญกรณ์
.
11 ให้ A = { x , y , z ) และให้ f : A ! R และ G : ! R ได้รับ โดยตามตารางค่า
.
องค์ประกอบของค่าของค่า F G
x 2 5 0 0

Y Z -
1 2 ให้ S1 = x = y = z S2 , S3 เป็นลำดับของธาตุ A หา

( )
1 X3
= 1
F ( SI )
( b )
3

( f = 1 กรัม ) ( ศรี )
( C )
3

( f = 1 ด้วยกรัม ) ( ศรี )