Logarithms: History and UseDate: 7/

Logarithms: History and Use


Date: 7/12/96 at 16:50:38
From: Linda Temple
Subject: Logarithms: Why they Work, History, and Name

I have been asked to explain logarithms from a non-numerical sense to
non-math-oriented people. It doesn't seem to be enough for me to show
the equation and how it works, they want to know why. Any thoughts?

Also, do you have short anecdotal history for the development of the
concept of logarithm?

Finally, why is it called a "logarithm"? logos = reason, arithmos =
number.

Date: 7/13/96 at 12:21:19
From: Doctor Anthony
Subject: Re: Logarithms: Why they Work, History, and Name

It is a very great economy of effort if we can reduce multiplication
to the addition of two numbers. The possibility of adding numbers
that can be looked up in tables compiled "forever," as Napier
remarked, instead of carrying out a lengthy process of multiplication,
was suggested in two ways that were quite independent. The first
arose in connection with the preparation of trig. tables for use in
navigation. The second was closely connected with the laborious
calculation involved in reckoning compound interest on investments.

In 1593 two Danish mathematicians suggested the use of trig. tables
for shortening calculations. They used the formula:

sin(A)*cos(B) = (1/2)sin(A+B) + (1/2)sin(A-B)

Thus to multiply 0.17365*0.99027, you look up in tables and find
0.17365 = sin(10), 0.99027 = cos(8)

and the above formula gives sin(10)*cos(8) = (1/2)(sin(18) + sin(2))

From tables sin(18) = 0.30902 sin(2) = 0.03490

sin(18) + sin(2) = 0.34392 and (1/2)(sin(18)+sin(2)) = 0.17196

Giving 0.17365*0.99027 = 0.17196

This device probably suggested to Napier, who is usually called the
inventor of logarithms, a simple method for multiplying by a process
of addition.

Napier had been working on his invention of logarithms for twenty
years before he published his results, and this would place the origin
of his ideas at about 1594. He had been thinking of the sequences
which had been published now and then of successive powers of a given
number. In such sequences it was obvious that sums and differences of
indices of the powers corresponded to products and quotients of the
powers themselves; but a sequence of integral powers of a base, such
as 2, could not be used for computations because the large gaps
between successive terms made interpolation too inaccurate. So to keep
the terms of a geometric progression of INTEGRAL powers of a given
number close together it was necessary to take as the given number
something quite close to 1.

Napier therefore chose to use 1 - 10^(-7) or 0.9999999 as his given
number. To achieve a balance and to avoid decimals, Napier multiplied
each power by 10^7. That is, if N = 10^7[1 - 1/10^7]^L, then L is
Napier's logarithm of the number N. Thus his logarithm of 10^7 is 0.
At first he called his power indices "artificial numbers", but later
he made up the compound of the two Greek words Logos (ratio) and
arithmos (number).

Napier did not think of a base for his system, but nevertheless his
tables were compiled through repeated multiplications, equivalent to
powers of 0.9999999 Obviously the number decreases as the index or
logarithm increases. This is to be expected because he was essentially
using a base which is less than 1. A more striking difference between
his logarithms and ours lies in the fact that his logarithm of a
product or quotient was not equal to the sum or difference of the
logarithms. If L1 = log(N1) and L2 = log(N2), then
N1 = 10^7(1-1/10^7)^L1 and N2 = 10^7(1-1/10^7)^L2, so that
N1*N2/10^7 = 10^7(1-1/10^7)^(L1+L2), so that the sum of Napier's
logarithms will be the logarithm not of N1*N2 but of N1*N2/10^7.
Similar modifications hold, of course, for logarithms of quotients,
powers and roots. These differences are not too significant, for they
merely involve shifting a decimal point.

Napier's work was published in 1614 and was taken up enthusiastically
by Henry Briggs, a professor of Geometry at Oxford. He visited Napier
and discussed improvements and modifications to Napier's method of
logarithms. Briggs proposed that powers of 10 should be used with
log(1) = 0 and log(10) = 1. Napier was nearing the end of his life,
and the task of making up the first table of common logarithms fell to
Briggs. Instead of taking powers of a number close to 1, as had
Napier, Briggs began with log(10) = 1 and then found other logarithms
by taking successive roots. By finding sqrt(10) = 3.162277 for
example, Briggs had log(3.162277) = 0.500000, and from 10^(3/4) =
sqrt(31.62277) = 5.623413 he had log(5.623413) = 0.7500000.
Continuing in this manner, he computed other common logarithms.
Briggs published his tables of logarithms of numbers from 1 to 1000,
each carried out to 14 places of decimals, in 1617. Briggs also
introduced the words "mantissa" for the positive fractional part and
"characteristic" for the integral part (positive or negative).

The first tables of logarithms contained inaccuracies which were
noticed and corrected from time to time. The labor expended in
constructing them was enormous, and it stimulated the search for
better methods of calculating them. This gave a new impetus to the
study of infinite series, for example sqrt(2) = (1 - (1/2))^(-1/2)
which gives rise to an infinite, convergent series when expanded
according to the binomial theorem. This work culminated in the
extremely important exponential series:
where e = Limit {1 + 1/n}^n as n -> infinity. It is easy to show
that

e^x = Limit {1 + 1/n}^(nx) generates the series shown below:

e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ... to infinity, and

e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + .... = 2.718281828...

e is now used as the base of logarithms in almost all advanced work.

-Doctor Anthony, The Math Forum
Check out our web site! http://mathforum.org/dr.math/

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ลอการิทึม: ประวัติและใช้วัน: 7/12/96 ที่ 16:50:38จาก: ลินดาวัดหัวข้อ: ลอการิทึม: ทำไมพวกเขาทำงาน ประวัติศาสตร์ และชื่อผมได้ขออธิบายลอการิทึมจากความรู้สึกไม่เป็นตัวเลขเพื่อ คนที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์แปลก มันดูเหมือนจะเพียงพอที่จะแสดง สมการและทำงานอย่างไร พวกเขาต้องการรู้ว่าทำไม ความคิดใดยัง มีประวัติเล็ก ๆ สำหรับการพัฒนา แนวคิดของลอการิทึมได้หรือไม่ในที่สุด ทำไมจึงเรียกว่า "ลอการิทึม" โลโก้ =เหตุผล arithmos = หมายเลขวัน: 7/13/96 12:21:19จาก: หมอ Anthonyหัวข้อ: Re: ลอการิทึม: ทำไมพวกเขาทำงาน ประวัติศาสตร์ และชื่อจึงเป็นเศรษฐกิจดีมากของความพยายามถ้าเราสามารถลดการคูณ การเพิ่มหมายเลขสอง สามารถเพิ่มจำนวน ที่สามารถค้นหาในตาราง "ชั่วฟ้าดินสลาย การคอมไพล์เป็นเปีย กล่าว แทนที่จะดำเนินการขั้นตอนการคูณ ยาว เขาแนะนำวิธีที่สองที่ค่อนข้างอิสระ ครั้งแรก เกิดขึ้นพร้อมกับการเตรียมของและตรีโกณมิติ ตารางสำหรับใช้ใน นำทาง ที่สองถูกเชื่อมต่ออย่างใกล้ชิดกับลำบาก การคำนวณที่เกี่ยวข้องกับการถูกสอบสวนดอกเบี้ยการลงทุนใน 1593 mathematicians สองเดนมาร์กแนะนำการใช้และตรีโกณมิติ ตาราง สำหรับลดการคำนวณ พวกเขาใช้สูตร:sin(A)*cos(B) = (1/2)sin(A+B) + (1/2)sin(A-B)ดังนั้นการคูณ 0.17365 * 0.99027 คุณค้นหาในตาราง และค้นหา0.17365 = sin(10), 0.99027 = cos(8)และสูตรข้างต้นให้ sin(10)*cos(8) = (1/2)(sin(18) + sin(2))จากตาราง sin(18) = 0.30902 sin(2) = 0.03490sin(18) + sin(2) = 0.34392 และ (1/2)(sin(18)+sin(2)) = 0.17196ให้ 0.17365 * 0.99027 = 0.17196อุปกรณ์นี้อาจแนะนำให้เปีย ซึ่งมักจะเรียกว่าการ ผู้ประดิษฐ์ลอการิทึม วิธีที่ง่ายสำหรับการคูณจากกระบวนการ ของเพิ่ม เปียมีการทำงานบนเขาประดิษฐ์ลอการิทึมสำหรับยี่สิบ ปีก่อนเขาเผยแพร่ผลลัพธ์ของเขา และนี้จะวางจุดเริ่มต้น ความคิดของเขาที่เกี่ยวกับ 1594 เขาได้คิดลำดับ ซึ่งได้รับการเผยแพร่คราวของอำนาจต่อเนื่องของการกำหนด หมายเลข ลำดับที่มันชัดเจนที่ผลรวมและผลต่างของ ดัชนีของอำนาจ corresponded กับผลิตภัณฑ์ quotients ของการ อำนาจตัวเอง แต่เป็นอำนาจของฐาน ลำดับที่เช่น เป็น 2 ไม่สามารถใช้สำหรับการประมวลผลเนื่องจากช่องว่างขนาดใหญ่ ระหว่างข้อต่อได้สอดแทรกไม่มากเกินไป ดังนั้นเพื่อให้ เงื่อนไขของการก้าวหน้าเรขาคณิตของทฤษฎีบูรณาการอำนาจของการกำหนด เลขใกล้กันก็จำเป็นต้องใช้เป็นหมายเลขที่กำหนด สิ่งที่ค่อนข้างปิด 1 เปียจึงเลือกที่จะใช้ 1 - 10^(-7) หรือ 0.9999999 เป็นเขากำหนด หมายเลข เพื่อให้เกิดความสมดุล และ เพื่อหลีกเลี่ยงทศนิยม เปียคูณ แต่ละอำนาจ โดย 10 ^ 7 นั่นคือ ถ้า N = 10 ^ 7 [1-1/10 ^ 7] ^ L แล้ว L เป็น ลอการิทึมของเปียของ N. เลข ดังนั้นเขาลอการิทึม 10 ^ 7 เป็น 0 ในตอนแรก เขาเรียกดัชนีการใช้พลังงานของเขา "ประดิษฐ์หมายเลข" แต่ในภายหลัง เขาขึ้นผสมจากคำกรีก 2 โลโก้ (อัตราส่วน) และ arithmos (หมายเลข)เปียไม่ได้ไม่คิดว่า ฐานสำหรับระบบของเขา แต่อย่างไรก็ตามเขา ตารางถูกคอมไพล์ผ่านซ้ำ multiplications เทียบเท่ากับ อำนาจของ 0.9999999 ชัดจำนวนลดลงเป็นดัชนี หรือ ลอการิทึมเพิ่มขึ้น นี้คือการคาดหวังเนื่องจากเขาหลัก โดยใช้ฐานที่น้อยกว่า 1 ความแตกต่างที่โดดเด่นมากขึ้นระหว่าง ลอการิทึมของเขาและเราอยู่ในความจริงที่เขาลอการิทึมของตัว ผลิตภัณฑ์หรือผลหารไม่เท่ากับผลรวมหรือผลต่างของการ ลอการิทึม ถ้า L1 = log(N1) และ L2 = log(N2) จากนั้น N1 = 10 ^ 7 (1-1/10 ^ 7) ^ L1 และ N2 = 10 ^ 7 (1-1/10 ^ 7) ^ L2 ให้ N1 * N2/10 ^ 7 = 10^7(1-1/10^7)^(L1+L2) เพื่อให้ผลรวมของของเปีย ลอการิทึมจะลอการิทึมไม่ของ N1 * N2 แต่ N1 * N2/10 ^ 7 แก้ไขคล้ายค้างไว้ แน่นอน ลอการิทึมของ quotients และราก ความแตกต่างเหล่านี้จะไม่สำคัญเกินไป สำหรับพวกเขา เพียงเกี่ยวข้องกับการขยับจุดทศนิยมการทำงานของเปียถูกเผยแพร่ใน 1614 และพาขึ้นใหม่ ๆ โดยเฮนรี่บริกส์ อาจารย์ของเรขาคณิตที่ออกซ์ฟอร์ด เขาได้ไปเยี่ยมนาเปีย และกล่าวถึงการปรับปรุงและปรับเปลี่ยนวิธีการของเปีย ลอการิทึม บริกส์เสนอว่า ควรใช้อำนาจ 10 ด้วย log(1) = 0 และ log(10) = 1 เปียใกล้ถึงจุดสิ้นสุดของชีวิต และตกงานทำตารางแรกของลอการิทึมสามัญ บริกส์ แทนที่จะสละอำนาจของตัวเลขปิด 1 มี เปีย บริกส์เริ่ม ด้วย log(10) = 1 และพบลอการิทึมอื่น ๆ แล้ว โดยการต่อราก ตามหา sqrt(10) = 3.162277 สำหรับ ตัวอย่าง บริกส์ได้ราคา log(3.162277) = 0.500000 และจาก 10^(3/4) = sqrt(31.62277) = 5.623413 เขามี log(5.623413) = 0.7500000 ดำเนินการต่อในลักษณะนี้ เขาคำนวณลอการิทึมสามัญอื่น ๆ บริกส์เผยแพร่เขาตารางลอการิทึมของตัวเลขจาก 1 ถึง 1000 แต่ละดำเนินการสำรวจสถานที่ 14 ของทศนิยม 1617 บริกส์ยัง นำคำ "mantissa" การบวกเศษส่วน และ "ลักษณะ" สำหรับเวีย (ค่าบวก หรือค่าลบ)ผิดพลาดใด ๆ ที่มีอยู่ของตารางแรกของลอการิทึม สังเกต และแก้ไขจากเวลาเวลา แรงงานที่ใช้ใน สร้างให้มีขนาดใหญ่ และมันถูกกระตุ้นการค้นหา วิธีที่ดีกว่าการคำนวณนั้น นี้ให้แรงผลักดันที่ใหม่ไป ศึกษาลำดับอนันต์ เช่น sqrt(2) = (1 - (1/2))^(-1/2) ซึ่งก่อให้เกิดเป็นอนันต์ convergent ชุดเมื่อขยาย ตามทฤษฎีบททวินาม งานนี้ culminated ในการ ชุดเนนสำคัญมาก:ซึ่ง e =วงเงิน {1 + 1/n } ^ n เป็น n -> infinity ง่ายต่อการแสดง ที่e ^ x =วงเงิน { 1 + 1/n}^(nx) สร้างชุดที่แสดงด้านล่าง:e ^ x = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + ไป ว่าย ... และe = 1 + 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +... = 2.718281828 ...ตอนนี้ใช้ e เป็นฐานของลอการิทึมในการทำงานขั้นสูงเกือบทั้งหมด-แพทย์ Anthony เวทีคณิตศาสตร์ ตรวจสอบเว็บไซต์ของเรา http://mathforum.org/dr.math/

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ลอการิทึม: ประวัติศาสตร์และการใช้วันที่: 7/12/96 ที่ 16:50:38 จาก: ลินดาวัดเรื่องลอการิทึม: ทำไมพวกเขาทำงาน, ประวัติและชื่อฉันได้รับการขอให้อธิบายลอการิทึมจากความรู้สึกที่ไม่ใช่ตัวเลขที่จะมิใช่คนคณิตศาสตร์ที่มุ่งเน้น มันดูเหมือนจะไม่เพียงพอสำหรับผมที่จะแสดงสมการและวิธีการทำงานที่พวกเขาต้องการจะรู้ว่าทำไม คิดใด? นอกจากนี้คุณมีประวัติประวัติสั้น ๆ สำหรับการพัฒนาของแนวคิดของลอการิทึม? สุดท้ายทำไมมันเรียกว่า "ลอการิทึม"? โลโก้ = เหตุผล arithmos =. จำนวนวันที่: 7/13/96 ที่ 00:21:19 จาก: หมอแอนโธนีเรื่อง: Re: ลอการิทึม: ทำไมพวกเขาทำงาน, ประวัติและชื่อมันเป็นเศรษฐกิจที่ดีมากของความพยายามถ้าเราสามารถคูณลดการเพิ่มของสองตัวเลข ความเป็นไปได้ของการเพิ่มตัวเลขที่สามารถมองขึ้นไปในตารางรวบรวม "ตลอดไป" ในขณะที่เนเปียร์ตั้งข้อสังเกตแทนการดำเนินการตามกระบวนการที่ยาวของคูณได้รับการแนะนำในสองวิธีที่ค่อนข้างเป็นอิสระ เป็นครั้งแรกที่เกิดขึ้นในการเชื่อมต่อกับการเตรียมหนุน ตารางสำหรับการใช้งานในระบบนำทาง ประการที่สองมีการเชื่อมต่ออย่างใกล้ชิดกับลำบากคำนวณส่วนร่วมในการคำนวณดอกเบี้ยจากการลงทุน. ใน 1593 สองนักคณิตศาสตร์เดนมาร์กแนะนำการใช้หนุน ตารางสำหรับการลดการคำนวณ พวกเขาใช้สูตร: บาป (A) * cos (B) = (1/2) บาป (A + B) + (1/2) บาป (AB) ดังนั้นการคูณ 0.17365 0.99027 * คุณมองขึ้นไปในตารางและหา0.17365 = บาป (10) 0.99027 = cos (8) และสูตรข้างต้นจะช่วยให้บาป (10) * cos (8) = (1/2) (บาป (18) + บาป (2)) จากตารางบาป (18) = 0.30902 บาป (2) = 0.03490 บาป (18) + บาป (2) = 0.34392 และ (1/2) (บาป (18) + บาป (2)) = 0.17196 ให้ 0.17365 0.99027 * = 0.17196 อุปกรณ์นี้แนะนำอาจจะเนเปียร์ ที่มักจะถูกเรียกว่านักประดิษฐ์ของลอการิทึมเป็นวิธีการที่ง่ายสำหรับการคูณด้วยกระบวนการของการเติม. เนเปียร์ได้รับการทำงานในการประดิษฐ์ของเขาลอการิทึมยี่สิบปีก่อนที่เขาตีพิมพ์ผลของเขาและเรื่องนี้จะวางจุดเริ่มต้นของความคิดของเขาที่เกี่ยวกับ1594. เขาได้รับความคิดของลำดับซึ่งได้รับการเผยแพร่ในขณะนี้แล้วอำนาจต่อเนื่องของที่กำหนดจำนวน ในลำดับเช่นนี้มันเป็นที่ชัดเจนว่าจำนวนเงินและความแตกต่างของดัชนีของผู้มีอำนาจตรงกับผลิตภัณฑ์และบวกลบคูณหารของอำนาจตัวเอง แต่ลำดับของอำนาจหนึ่งของฐานเช่น2 ไม่สามารถนำมาใช้สำหรับการคำนวณเพราะช่องว่างขนาดใหญ่ระหว่างข้อกำหนดต่อเนื่องทำให้การแก้ไขที่ไม่ถูกต้องเช่นกัน ดังนั้นเพื่อให้เงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตของอำนาจหนึ่งของที่กำหนดจำนวนใกล้กันมันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะใช้เป็นตัวเลขที่กำหนดสิ่งที่ค่อนข้างใกล้เคียงกับ1. เนเปียร์จึงเลือกที่จะใช้ 1 - 10 ^ (- 7) หรือ 0.9999999 เป็นของเขา รับจำนวน เพื่อให้บรรลุถึงความสมดุลและเพื่อหลีกเลี่ยงทศนิยมเนเปียร์คูณไฟฟ้าแต่ละ 10 ^ 7 นั่นคือถ้าไม่มี = 10 ^ 7 [1-1 / 10 ^ 7] ^ L แล้ว L คือลอการิทึมของเพียร์จำนวนN. ดังนั้นลอการิทึมของเขา 10 ^ 7 เป็น 0 ตอนแรกที่เขาเรียกว่าดัชนีอำนาจของเขา "เทียม ตัวเลข "แต่ต่อมาเขาทำขึ้นสารประกอบของภาษากรีกสองคำโลโก้(อัตราส่วน) และarithmos (จำนวน). เนเปียร์ไม่คิดว่าฐานระบบของเขา แต่อย่างไรก็ตามเขาตารางถูกรวบรวมผ่านคูณซ้ำเทียบเท่ากับอำนาจของ0.9999999 เห็นได้ชัดว่าจำนวนลดลงเมื่อดัชนีหรือลอการิทึมเพิ่มขึ้น นี้เป็นที่คาดหวังเพราะเขาเป็นหลักโดยใช้ฐานซึ่งน้อยกว่า 1 โดดเด่นแตกต่างระหว่างลอการิทึมและของเราอยู่ของเขาในความจริงที่ว่าเขาลอการิทึมของผลิตภัณฑ์หรือฉลาดก็ไม่เท่ากับผลรวมหรือความแตกต่างของลอการิทึม. ถ้า L1 = เข้าสู่ระบบ (N1) และ L2 = เข้าสู่ระบบ (N2) จากนั้นN1 = 10 ^ 7 (1-1 / 10 ^ 7) ^ L1 และ N2 = 10 ^ 7 (1-1 / 10 ^ 7) ^ L2, เพื่อให้N1 N2 * / 10 ^ 7 = 10 ^ 7 (1-1 / 10 ^ 7) ^ (L1 + L2) เพื่อให้ผลรวมของเพียร์ของลอการิทึมจะลอการิทึมไม่N1 N2 * แต่ N1 N2 * / 10 ^ 7. การปรับเปลี่ยนที่คล้ายกันถือของหลักสูตรสำหรับลอการิทึมของบวกลบคูณหาร, อำนาจและราก ความแตกต่างเหล่านี้ไม่ได้มีนัยสำคัญมากเกินไปสำหรับพวกเขาเพียงเกี่ยวข้องกับการขยับจุดทศนิยม. การทำงานของเนเปียร์ถูกตีพิมพ์ใน 1614 และถูกนำตัวขึ้นอย่างกระตือรือร้นโดยเฮนรีบริกส์ศาสตราจารย์เรขาคณิตที่Oxford เขาแวะเนเปียร์และกล่าวถึงการปรับปรุงและการปรับเปลี่ยนวิธีการของเพียร์ของลอการิทึม บริกส์เสนอว่าอำนาจของ 10 ควรจะใช้กับการเข้าสู่ระบบ(1) = 0 และเข้าสู่ระบบ (10) = 1 เนเปียร์กำลังใกล้จะถึงจุดสิ้นสุดของชีวิตของเขาและงานของการทำขึ้นโต๊ะแรกของลอการิทึมทั่วไปลดลงไปบริกส์ แทนการอำนาจของจำนวนใกล้เคียงกับ 1 ในขณะที่มีเนเปียร์บริกส์เริ่มต้นด้วยการเข้าสู่ระบบ(10) = 1 แล้วพบลอการิทึมอื่น ๆโดยการใช้รากเนื่อง โดยการหา sqrt (10) = 3.162277 สำหรับตัวอย่างเช่นบริกส์ได้เข้าสู่ระบบ(3.162277) = 0.500000 และจาก 10 ^ (3/4) = sqrt (31.62277) = 5.623413 เขาได้เข้าสู่ระบบ (5.623413) = 0.7500000. อย่างต่อเนื่องในลักษณะนี้ เขาคำนวณลอการิทึมทั่วไปอื่น ๆ . บริกส์ตีพิมพ์ตารางของเขาลอการิทึมหมายเลข 1-1000, แต่ละดำเนินการถึง 14 สถานที่ทศนิยมใน 1,617 บริกส์ยังแนะนำให้รู้จักคำว่า"แมนทิสซา" สำหรับส่วนที่เป็นเศษส่วนในเชิงบวกและ"ลักษณะ" สำหรับ ส่วนหนึ่ง (บวกหรือลบ). ตารางแรกของลอการิทึมที่มีความไม่ถูกต้องที่มีการสังเกตและการแก้ไขเป็นครั้งคราว แรงงานที่ใช้ในการสร้างพวกเขาเป็นอย่างมากและมันกระตุ้นการค้นหาวิธีการที่ดีในการคำนวณพวกเขา เรื่องนี้ทำให้แรงผลักดันใหม่ให้กับการศึกษาแบบไม่มีที่สิ้นสุดเช่น sqrt (2) = (1 - (1/2)) ^ (- 1/2) ซึ่งก่อให้เกิดความไม่มีที่สิ้นสุด, ชุดกันเมื่อขยายตัวตามทวินามทฤษฎีบท งานนี้ culminated ในชุดชี้แจงที่สำคัญมาก: ที่จ จำกัด = {1 + 1 / n} ^ n เป็น n -> อินฟินิตี้ มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงว่าอี^ x = จำกัด {1 + 1 / n} ^ (NX) สร้างชุดที่แสดงด้านล่าง: อี ^ x = 1 + x + x ^ 2/2! + x ^ 03/03! + x ^ 04/04! + ... กับอินฟินิตี้และอี= 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + .... = 2.718281828 ... อีเมลนี้ใช้เป็นฐานของลอการิทึมในเกือบทุกงานขั้นสูง. -Doctor แอนโทนี่ฟอรั่มคณิตศาสตร์ตรวจสอบเว็บไซต์ของเรา! http://mathforum.org/dr.math/