- ข้อความ
- ประวัติศาสตร์
Limits of Quadratic RootsBy David R
Limits of Quadratic Roots
By David R. Duncan and Bonnie H. Litwiller
Teachers of calculus are always on the lookout for settings in which prior algebraic topics can be revisited using more advanced analytical tools. The quadratic equation provides a good opportunity for such a study.
All calculus students are familiar with the two solutions of the quadratic equation. If 〖ax〗^2 + bx + c = 0, the two solutions are x = (-b+√(b^2-4ac))/2a and x = (-b-√(b^2-4ac))/2a . If a = 0, these solutions cannot be used since they involve division by 0. In this situation the equation becomes bx + c = 0, which has a simple solution, x = -b/c .
What happens to the two solutions of the quadratic equation if a is “close to,” but not equal to, 0 ? In other words: “As a → 0 while b and c are held constant, do the two solutions approach limits as well?” The evaluation of the limits of the two solutions follows. In this analysis, we assume that a > 0, since any quadratic equation with a < 0 can be re-written in equivalent form with a > 0. Also, for the sake of simplicity, we consider only the case in which b > 0.
Solution 1 : x = (-b+√(b^2-4ac))/2a
lim┬( a → 0 )〖(-b+√(b^2-4ac))/2a〗 = lim┬( a → 0 )〖((-b+√(b^2-4ac))(-b-√(b^2-4ac)))/(2a(-b+√(b^2-4ac)))〗
= lim┬( a → 0 )〖(b^2- (b^2-4ac))/(2a(-b-√(b^2-4ac)))〗
= lim┬( a → 0 )〖2c/((-b-√(b^2-4ac)))〗
= 2c/(-2b)
= -c/b
Solution 2 : x = (-b-√(b^2-4ac))/2a
lim┬( a → 0^+ )〖(–b-√(b^2-4ac))/2a〗 = lim┬( a → 0^+ )〖((–b-√(b^2-4ac))(–b+√(b^2-4ac)))/(2a(–b+√(b^2-4ac)))〗
= lim┬( a → 0^+ )〖(b^2 (–b^2-4ac))/(2a(–b+√(b^2-4ac)))〗
= lim┬( a → 0^+ )〖2c/((–b+√(b^2-4ac)))〗
= ???
It appears that the limit above depends on the value of c. Certainly it merits further investigation.
Similarly, for c < 0, we have: 〖 lim〗┬( a → 0^+ )〖 (–b+√(b^2-4ac))= 0^+ 〗. What this means, as far as our analysis is concerned, is that for c≠0 :
lim┬( a → 0 )〖(-b+√(b^2-4ac))/2a〗 = lim┬( a → 0 )〖2c/((-b+√(b^2-4ac))) = -∞〗.
Incidentally, for the case in which b < 0, we have:
Solution 1 : lim┬( a → 0 ) (-b+√(b^2-4ac))/2a = ∞
Solution 2 : lim┬( a → 0 ) (–b-√(b^2-4ac))/2a = -c/b .
It is not surprising that as a → 0, one of the solutions approaches -c/b ; this is the value that the solution would be if, in fact, a were equal to 0. Many students reason that since only one solution emerges when a = 0, both of the limits of the separate solutions of the quadratic equation must converge to the solution of the case in which a = 0. This, however, is not the case. One of the solutions approaches either ∞ or −∞ as a limit.
The quadratic equation below illustrates this pattern of limits :
0.00008x^2 + 7.32814x − 4.10182 = 0
Observe that the value of a is very small relative to those of b and c.
The solutions are: x = (-7.32814±√(〖(7.32814)〗^2-4(0.00008)(-4.10182)))/(2(0.00008))
= (-7.32814±√53.703126)/0.00016
= (-7.32814±7.32823)/0.00016
⇒ x=0.559732 or x = -91602
It is clear that one solution, x=0.559732 is approximately equal to 4.10182/7.32814 = -c/b . The magnitude of the other solution,x=-91602 ,is very large, suggesting that as a → 0,the solution approaches −∞.
Other Cases
Let us next examine the setting in which b → 0, while a and c are held constant. Again, we assume that a > 0 and, in order to avoid an imaginary limit, we assume that c < 0.
Solution 1 : x = (-b+√(b^2-4ac))/2a
lim┬( b → 0 )〖(-b+√(b^2-4ac))/2a〗 = (0+√(-4ac))/2a = √(-4ac)/2a = √(-c)/√a = √((-c)/a) .
Solution 2 : x = (-b-√(b^2-4ac))/2a
lim┬( b → 0 )〖(–b-√(b^2-4ac))/2a〗 = (0-√(-4ac))/2a = -√(-4ac)/2a = -√(-c)/√a = -√((-c)/a) .
These are, in fact, the two solutions that result from solving the quadratic equation in which b = 0. (〖ax〗^2+ c = 0 ⇒ x = ±√((-c)/a) .)
i.e., The “solution function” is continuous at b = 0.
Finally, what happens to the two solutions of the quadratic equation if c → 0, while a and b are held constant ? Again, we assume that a > 0. We consider the case in which b > 0. The case for b < 0 is similar.
Solution 1 : x = (-b+√(b^2-4ac))/2a
lim┬( c → 0 )〖(-b+√(b^2-4ac))/2a〗 = (-b+√(b^2-0))/2a = (-b+√(b^2 ))/2a = (-b+b)/2a = 0 .
Solution 2 : x = (-b-√(b^2-4ac))/2a
lim┬( c → 0 )〖(–b-√(b^2-4ac))/2a〗 = (-b-√(b^2-0))/2a = (-b-√(b^2 ))/2a = (-b-b)/2a = -b/a
These are, in fact, the two solutions that result from solving the quadratic equation when c = 0. (〖ax〗^2+ bx = 0 ⇒ x(ax = b) = 0 ⇒ x = 0 or x = -b/a .)
If these three limit problems were examined in reverse order, the situation in which a → 0 would be even more impressive. When b → 0 or c → 0, the two quadratic solutions simply approach the two solutions which would result if the linear and constant terms were respectively deleted. A quite different consequence results when a → 0.
This is a good example of the application of the limit concept to a situation familiar to a student before the calculus. The reader and students are invited to find other such examples.
Department of Mathematics
University of Northern Iowa
Cedar Falls, IA 50614-0506
By David R. Duncan and Bonnie H. Litwiller
Teachers of calculus are always on the lookout for settings in which prior algebraic topics can be revisited using more advanced analytical tools. The quadratic equation provides a good opportunity for such a study.
All calculus students are familiar with the two solutions of the quadratic equation. If 〖ax〗^2 + bx + c = 0, the two solutions are x = (-b+√(b^2-4ac))/2a and x = (-b-√(b^2-4ac))/2a . If a = 0, these solutions cannot be used since they involve division by 0. In this situation the equation becomes bx + c = 0, which has a simple solution, x = -b/c .
What happens to the two solutions of the quadratic equation if a is “close to,” but not equal to, 0 ? In other words: “As a → 0 while b and c are held constant, do the two solutions approach limits as well?” The evaluation of the limits of the two solutions follows. In this analysis, we assume that a > 0, since any quadratic equation with a < 0 can be re-written in equivalent form with a > 0. Also, for the sake of simplicity, we consider only the case in which b > 0.
Solution 1 : x = (-b+√(b^2-4ac))/2a
lim┬( a → 0 )〖(-b+√(b^2-4ac))/2a〗 = lim┬( a → 0 )〖((-b+√(b^2-4ac))(-b-√(b^2-4ac)))/(2a(-b+√(b^2-4ac)))〗
= lim┬( a → 0 )〖(b^2- (b^2-4ac))/(2a(-b-√(b^2-4ac)))〗
= lim┬( a → 0 )〖2c/((-b-√(b^2-4ac)))〗
= 2c/(-2b)
= -c/b
Solution 2 : x = (-b-√(b^2-4ac))/2a
lim┬( a → 0^+ )〖(–b-√(b^2-4ac))/2a〗 = lim┬( a → 0^+ )〖((–b-√(b^2-4ac))(–b+√(b^2-4ac)))/(2a(–b+√(b^2-4ac)))〗
= lim┬( a → 0^+ )〖(b^2 (–b^2-4ac))/(2a(–b+√(b^2-4ac)))〗
= lim┬( a → 0^+ )〖2c/((–b+√(b^2-4ac)))〗
= ???
It appears that the limit above depends on the value of c. Certainly it merits further investigation.
Similarly, for c < 0, we have: 〖 lim〗┬( a → 0^+ )〖 (–b+√(b^2-4ac))= 0^+ 〗. What this means, as far as our analysis is concerned, is that for c≠0 :
lim┬( a → 0 )〖(-b+√(b^2-4ac))/2a〗 = lim┬( a → 0 )〖2c/((-b+√(b^2-4ac))) = -∞〗.
Incidentally, for the case in which b < 0, we have:
Solution 1 : lim┬( a → 0 ) (-b+√(b^2-4ac))/2a = ∞
Solution 2 : lim┬( a → 0 ) (–b-√(b^2-4ac))/2a = -c/b .
It is not surprising that as a → 0, one of the solutions approaches -c/b ; this is the value that the solution would be if, in fact, a were equal to 0. Many students reason that since only one solution emerges when a = 0, both of the limits of the separate solutions of the quadratic equation must converge to the solution of the case in which a = 0. This, however, is not the case. One of the solutions approaches either ∞ or −∞ as a limit.
The quadratic equation below illustrates this pattern of limits :
0.00008x^2 + 7.32814x − 4.10182 = 0
Observe that the value of a is very small relative to those of b and c.
The solutions are: x = (-7.32814±√(〖(7.32814)〗^2-4(0.00008)(-4.10182)))/(2(0.00008))
= (-7.32814±√53.703126)/0.00016
= (-7.32814±7.32823)/0.00016
⇒ x=0.559732 or x = -91602
It is clear that one solution, x=0.559732 is approximately equal to 4.10182/7.32814 = -c/b . The magnitude of the other solution,x=-91602 ,is very large, suggesting that as a → 0,the solution approaches −∞.
Other Cases
Let us next examine the setting in which b → 0, while a and c are held constant. Again, we assume that a > 0 and, in order to avoid an imaginary limit, we assume that c < 0.
Solution 1 : x = (-b+√(b^2-4ac))/2a
lim┬( b → 0 )〖(-b+√(b^2-4ac))/2a〗 = (0+√(-4ac))/2a = √(-4ac)/2a = √(-c)/√a = √((-c)/a) .
Solution 2 : x = (-b-√(b^2-4ac))/2a
lim┬( b → 0 )〖(–b-√(b^2-4ac))/2a〗 = (0-√(-4ac))/2a = -√(-4ac)/2a = -√(-c)/√a = -√((-c)/a) .
These are, in fact, the two solutions that result from solving the quadratic equation in which b = 0. (〖ax〗^2+ c = 0 ⇒ x = ±√((-c)/a) .)
i.e., The “solution function” is continuous at b = 0.
Finally, what happens to the two solutions of the quadratic equation if c → 0, while a and b are held constant ? Again, we assume that a > 0. We consider the case in which b > 0. The case for b < 0 is similar.
Solution 1 : x = (-b+√(b^2-4ac))/2a
lim┬( c → 0 )〖(-b+√(b^2-4ac))/2a〗 = (-b+√(b^2-0))/2a = (-b+√(b^2 ))/2a = (-b+b)/2a = 0 .
Solution 2 : x = (-b-√(b^2-4ac))/2a
lim┬( c → 0 )〖(–b-√(b^2-4ac))/2a〗 = (-b-√(b^2-0))/2a = (-b-√(b^2 ))/2a = (-b-b)/2a = -b/a
These are, in fact, the two solutions that result from solving the quadratic equation when c = 0. (〖ax〗^2+ bx = 0 ⇒ x(ax = b) = 0 ⇒ x = 0 or x = -b/a .)
If these three limit problems were examined in reverse order, the situation in which a → 0 would be even more impressive. When b → 0 or c → 0, the two quadratic solutions simply approach the two solutions which would result if the linear and constant terms were respectively deleted. A quite different consequence results when a → 0.
This is a good example of the application of the limit concept to a situation familiar to a student before the calculus. The reader and students are invited to find other such examples.
Department of Mathematics
University of Northern Iowa
Cedar Falls, IA 50614-0506
0/5000
ขีดจำกัดของรากกำลังสองโดย David R. ดันแคนและบอนนี่ H. Litwillerครูของแคลคูลัสอยู่เสมอในระวังสำหรับการตั้งค่าที่หัวข้อพีชคณิตก่อนสามารถจะ revisited โดยใช้เครื่องมือวิเคราะห์ขั้นสูงเพิ่มเติม สมการกำลังสองมีโอกาสที่ดีสำหรับการศึกษา นักเรียนแคลคูลัสทุกคนจะคุ้นเคยกับการแก้สมการกำลังสองสอง ถ้า 〖ax〗 ^ 2 + bx + c = 0 วิธีสอง x = (-b+√(b^2-4ac)) / 2a และ x = (-b-√(b^2-4ac)) / 2a ถ้ามี = 0 โซลูชั่นเหล่านี้ไม่สามารถใช้เนื่องจากจะเกี่ยวข้องกับหาร 0 ในกรณีนี้ สมการกลายเป็น bx + c = 0 ซึ่งมีการแก้ปัญหา x = -b/cเกิดอะไรขึ้นกับการแก้สมการกำลังสองที่สองถ้าเป็นมี ", " แต่ไม่เท่ากับ 0 ในคำอื่น ๆ: "เป็น→ 0 ในขณะที่ b และ c มีขึ้นคง ทำโซลูชั่นสองวิธีจำกัดด้วย" การประเมินขีดจำกัดของการแก้ปัญหาสองต่อไปนี้ ในการวิเคราะห์นี้ เราสมมติว่า > 0 ตั้งแต่สมการกำลังสองใด ๆ ด้วย < 0 สามารถเขียนใหม่ในแบบฟอร์มเท่ากับ > 0 ยัง เพื่อความเรียบง่าย เราพิจารณาเฉพาะกรณีในที่ b > 0โซลูชันที่ 1: x = (-b+√(b^2-4ac)) / 2a 〖(-b+√(b^2-4ac) lim┬ (การ→ 0)) / 2a〗 = 〖((-b+√(b^2-4ac))(-b-√(b^2-4ac)))/(2a(-b+√(b^2-4ac)) lim┬ (การ→ 0)) 〗 〖 lim┬ (การ→ 0) = (b ^ 2- (b^2-4ac))/(2a(-b-√(b^2-4ac))) 〗 = 〖2c/((-b-√(b^2-4ac)) lim┬ (การ→ 0)) 〗 = 2c/(-2b) = - c/bโซลูชันที่ 2: x = (-b-√(b^2-4ac)) / 2a lim┬ (→ 0 ^ +) 〖(–b-√(b^2-4ac)) / 2a〗 = lim┬ (→ 0 ^ +) 〖((–b-√(b^2-4ac))(–b+√(b^2-4ac)))/(2a(–b+√(b^2-4ac))) 〗 = lim┬ (→ 0 ^ +) 〖 (b ^ 2 (–b^2-4ac))/(2a(–b+√(b^2-4ac))) 〗 = lim┬ (→ 0 ^ +) 〖2c/((–b+√(b^2-4ac))) 〗 = ??? ปรากฏว่า วงเงินข้างต้นขึ้นอยู่กับค่าของ c.แน่นอนมันตรวจสอบเพิ่มเติมบุญในทำนองเดียวกัน c < 0 เรามี: 〖 lim〗┬ (→ 0 ^ +) 〖 (– b+√(b^2-4ac)) = 0 ^ + 〗. สิ่งนี้หมายถึง เป็นที่เกี่ยวข้อง การวิเคราะห์ของเราคือสำหรับ c≠0: 〖(-b+√(b^2-4ac) lim┬ (การ→ 0)) / 2a〗 = 〖2c/((-b+√(b^2-4ac))) lim┬ (การ→ 0) = - ∞〗สำหรับกรณีที่ในที่บี < 0 โต้เถียง เรามี:โซลูชันที่ 1: lim┬ (ตัว→ 0) (-b+√(b^2-4ac)) / 2a =∞ โซลูชันที่ 2: lim┬ (ตัว→ 0) (–b-√(b^2-4ac)) / 2a = - c/bจึงไม่น่าแปลกใจว่า เป็นตัว→ 0 หนึ่งในโซลูชั่นแจ้ง - c/b เป็นค่าที่จะแก้ปัญหาถ้า ในความเป็นจริง การได้เท่ากับ 0 นักเรียนหลายคนเหตุผลที่เนื่องจากโซลูชันเดียวขึ้นเมื่อการ = 0 ขีดจำกัดของการแก้สมการกำลังสองการแยกทั้งสองต้องมาบรรจบกันเพื่อแก้ปัญหากรณีที่มี = 0 นี้ อย่างไรก็ตาม ไม่ได้กรณี หนึ่งในโซลูชั่นใกล้∞หรือ−∞เป็นขีดจำกัด สมการกำลังสองที่ด้านล่างนี้แสดงรูปแบบจำกัดนี้: 0.00008 x ^ 2 + 7.32814 x − 4.10182 = 0สังเกตพบว่า มูลค่าของมีขนาดเล็กมากเมื่อเทียบกับของ b และ cวิธีการ: x = (-7.32814±√(〖(7.32814)〗^2-4(0.00008)(-4.10182)))/(2(0.00008)) (-7.32814±√53.703126)/0.00016 = (-7.32814±7.32823)/0.00016 = ⇒ x = 0.559732 หรือ x =-91602ก็ชัดเจนว่าวิธีการแก้ไขปัญหา x = 0.559732 เป็นประมาณเท่ากับ 4.10182/7.32814 = - c/b ขนาดอื่น ๆ โซลูชัน x =-91602 มีมาก แนะนำที่ เป็นแบบ→ 0 โซลูชั่นที่ใกล้−∞กรณีอื่น ๆ ให้เราตรวจสอบการตั้งค่าในที่ b → 0 ถัดไปในขณะที่ a และ c มีขึ้นคง อีก เราสมมุติว่า a > 0 และ เพื่อหลีกเลี่ยงข้อจำกัดการจินตภาพ เราสมมติว่า c < 0โซลูชันที่ 1: x = (-b+√(b^2-4ac)) / 2a〖(-b+√(b^2-4ac) lim┬ (b → 0)) / 2a〗 = (0+√(-4ac)) / 2a = √(-4ac)/2a = √(-c)/√a = √((-c)/a)โซลูชันที่ 2: x = (-b-√(b^2-4ac)) / 2a〖(–b-√(b^2-4ac) lim┬ (b → 0)) / 2a〗 = (0-√(-4ac)) / 2a = - √ (-4ac) / 2a = - √ (-c) / √a =-√((-c)/a)นี่คือ ในความเป็นจริง โซลูชั่นสองที่เป็นผลมาจากการแก้สมการกำลังสองใน b ซึ่ง = 0 (〖ax〗 ^ 2 + c = 0 ⇒ x = ±√((-c)/a).) เช่น "ฟังก์ชั่นโซลูชั่น" คือต่อเนื่องที่ b = 0 ในที่สุด เกิดอะไรขึ้นกับการแก้สมการกำลังสองที่สองถ้า c → 0 ในขณะและ b เป็นค่าคง อีกครั้ง เราสมมุติว่า > 0 เราพิจารณาที่ b > 0 กรณี กรณีบี < 0 ได้เหมือนกันโซลูชันที่ 1: x = (-b+√(b^2-4ac)) / 2a 〖(-b+√(b^2-4ac) lim┬ (c → 0)) / 2a〗 = (-b+√(b^2-0)) / 2a = (-b + √(b^2)) / 2a = (-b + b) / 2a = 0โซลูชันที่ 2: x = (-b-√(b^2-4ac)) / 2a 〖(–b-√(b^2-4ac) lim┬ (c → 0)) / 2a〗 = (-b-√(b^2-0)) / 2a = (- b - √(b^2)) / 2a = (- b - b) / 2a = -b / การ นี่คือ ในความเป็นจริง โซลูชั่นสองที่เป็นผลมาจากการแก้สมการกำลังสองเมื่อ c = 0 (〖ax〗 ^ 2 + bx = 0 ⇒ x(ax = b) = 0 ⇒ x = 0 หรือ x = -b /) ถ้าปัญหาสามข้อจำกัดเหล่านี้ถูกตรวจสอบในลำดับย้อนกลับ สถานการณ์ที่→ 0 จะน่าประทับใจยิ่ง เมื่อ b → 0 หรือ c → 0 โซลูชั่นกำลังสองสองประชาโซลูชั่นที่สองซึ่งจะให้ผลลัพธ์ถ้าเงื่อนไขเชิงเส้น และคงถูกลบตามลำดับ สัจจะที่แตกต่างผลลัพธ์เมื่อ→ 0 นี้เป็นตัวอย่างที่ดีของการประยุกต์แนวคิดขีดจำกัดสถานการณ์ที่คุ้นเคยกับนักเรียนก่อนแคลคูลัส ผู้อ่านและนักเรียนรับเชิญในการค้นหาอื่น ๆ ตัวอย่างเช่นภาควิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยไอโอวาเหนือซีดาร์ฟอลส์ IA 50614-0506
การแปล กรุณารอสักครู่..
ข้อ จำกัด
ของรากกำลังสองโดยเดวิดอาร์ดันแคนและบอนนี่เอชLitwiller
ครูของแคลคูลัสมักจะมองสำหรับการตั้งค่าที่ก่อนหัวข้อพีชคณิตมาเยือนสามารถใช้เครื่องมือในการวิเคราะห์ขั้นสูง สมการกำลังสองให้เป็นโอกาสที่ดีสำหรับการศึกษาดังกล่าว.
นักเรียนแคลคูลัสทั้งหมดมีความคุ้นเคยกับสองโซลูชั่นของสมการ ถ้าขวาน〖〗 ^ 2 + BX + c = 0 ทั้งสองโซลูชั่น x = (-b + √ (ข ^ 2-4ac)) / 2a และ x = (-b-√ (ข ^ 2-4ac)) / 2a ถ้า = 0 วิธีการเหล่านี้ไม่สามารถนำมาใช้ตั้งแต่พวกเขาเกี่ยวข้องกับการหารด้วย 0 ในสถานการณ์เช่นนี้จะกลายเป็นสมการ bx + c = 0 ซึ่งมีวิธีง่ายๆ, x = -b / ค.
เกิดอะไรขึ้นกับสองโซลูชั่นของ สมถ้าเป็น "ใกล้" แต่ไม่เท่ากับ 0? ในคำอื่น ๆ : "ในฐานะ→ 0 ในขณะที่ B และ C จะมีขึ้นอย่างต่อเนื่องทำข้อ จำกัด วิธีการสองการแก้ปัญหาเช่นกัน?" การประเมินข้อ จำกัด ของทั้งสองการแก้ปัญหาดังต่อไปนี้ ในการวิเคราะห์นี้เราคิดว่า> 0 ตั้งแต่ใด ๆ สมกับ <0 สามารถเขียนใหม่ในรูปแบบเทียบเท่ากับ> 0 นอกจากนี้เพื่อประโยชน์ของความเรียบง่ายที่เราพิจารณาเฉพาะในกรณีที่ b> 0 .
โซลูชันที่ 1: x = (-b + √ (ข ^ 2-4ac)) / 2a
lim┬ (ก→ 0) 〖 (- B + √ (ข ^ 2-4ac)) / 2a 〗 = lim┬ (ก→ 0) 〖 ((- B + √ (ข ^ 2-4ac)) (- B-√ (ข ^ 2-4ac))) / (2a (-b + √ (ข ^ 2-4ac))) 〗
= ลิม ┬ (ก→ 0) 〖 (ข ^ 2 (ข ^ 2-4ac)) / (2a (-b-√ (ข ^ 2-4ac))) 〗
= lim┬ (ก→ 0) 〖 2c / ((- B-√ (ข ^ 2-4ac))) 〗
= 2c / (- 2b)
= -c / b
โซลูชันที่ 2: x = (-b-√ (ข ^ 2-4ac)) / 2a
ลิ้ม ┬ (ก→ 0 ^ +) 〖 (- B-√ (ข ^ 2-4ac)) / 2a 〗 = lim┬ (ก→ 0 ^ +) 〖 ((- B-√ (ข ^ 2-4ac )) (- B + √ (ข ^ 2-4ac))) / (2a (-b + √ (ข ^ 2-4ac))) 〗
= lim┬ (ก→ 0 ^ +) 〖 (ข ^ 2 (- ข ^ 2-4ac)) / (2a (-b + √ (ข ^ 2-4ac))) 〗
= lim┬ (ก→ 0 ^ +) 〖 2c / ((- B + √ (ข ^ 2-4ac) )) 〗
= ???
ปรากฏว่าขีด จำกัด ดังกล่าวข้างต้นขึ้นอยู่กับค่าของ c .
แน่นอนมันบุญตรวจสอบต่อไปในทำนองเดียวกันสำหรับค<0 เรา: 〖〗ลิ้ม┬ (ก→ 0 ^ +) 〖 (-b + √ (ข ^ 2-4ac)) = 0 ^ + 〗สิ่งนี้หมายความว่าเท่าที่วิเคราะห์ของเราเป็นห่วงก็คือว่าสำหรับค≠ 0:
lim┬ (ก→ 0) 〖 (- B + √ (ข ^ 2-4ac)) / 2a 〗 = lim┬ (ก→ 0 ) 〖 2c / ((- B + √ (ข ^ 2-4ac))) = -∞〗.
อนึ่งสำหรับในกรณีที่ข <0 เรา:
โซลูชันที่ 1: lim┬ (ก→ 0) (- ข + √ (ข ^ 2-4ac)) / 2a =
∞โซลูชันที่2: lim┬ (ก→ 0) (-b-√ (ข ^ 2-4ac)) / 2a = -c / ข.
ไม่น่าแปลกใจว่า เป็น→ 0 หนึ่งของการแก้ปัญหาวิธี -c / b; นี้คือค่าที่การแก้ปัญหาจะเป็นถ้าในความเป็นจริงก็เท่ากับ 0 นักเรียนหลายคนด้วยเหตุผลที่ว่าตั้งแต่เพียงหนึ่งทางออกที่โผล่ออกมาเมื่อ = 0 ทั้งข้อ จำกัด ของการแก้ปัญหาที่แยกจากกันของสมการจะต้องมาบรรจบกับ วิธีการแก้ปัญหาของกรณีในการที่ = 0 นี้ แต่เป็นกรณีที่ไม่ หนึ่งของการแก้ปัญหาวิธีการอย่างใดอย่างหนึ่งหรือ-∞∞เป็นขีด จำกัด .
สมการกำลังสองด้านล่างแสดงรูปแบบนี้ข้อ จำกัด :
0.00008x ^ 2 + 7.32814x - 4.10182 = 0
สังเกตว่าค่าของเป็นญาติมีขนาดเล็กมากกับของขและ c.
การแก้ปัญหาคือ: x = (-7.32814 ±√ (〖 (7.32814) 〗 ^ 2-4 (0.00008) (- 4.10182))) / (2 (0.00008))
= (-7.32814 ±√53.703126) /0.00016
= (-7.32814 ± 7.32823) /0.00016
⇒ x = 0.559732 หรือ x = -91,602
เป็นที่ชัดเจนว่าหนึ่งในวิธีการแก้ปัญหา x = 0.559732 จะประมาณเท่ากับ 4.10182 / 7.32814 = -c / b ความสำคัญของการแก้ปัญหาอื่น ๆ ที่ x = -91602, มีขนาดใหญ่มากบอกว่าเป็น→ 0, วิธีการแก้ปัญหา-∞.
กรณีอื่น ๆ
ให้เราต่อไปตรวจสอบการตั้งค่าในการที่ข→ 0 ในขณะที่คที่จะมีขึ้นอย่างต่อเนื่อง . อีกครั้งเราคิดว่า> 0 และเพื่อหลีกเลี่ยงข้อ จำกัด จินตนาการเราคิดว่าค <0.
โซลูชันที่ 1: x = (-b + √ (ข ^ 2-4ac)) / 2a
lim┬ (ข→ 0 ) 〖 (- B + √ (ข ^ 2-4ac)) / 2a 〗 = (0 + √ (-4ac)) / 2a = √ (-4ac) / 2a = √ (-c) / √a = √ ( . (-c) / ก)
โซลูชันที่ 2: x = (-b-√ (ข ^ 2-4ac)) / 2a
lim┬ (ข→ 0) 〖 (- B-√ (ข ^ 2-4ac)) / 2a 〗 = (0 √ (-4ac)) / 2a = -√ (-4ac) / 2a = -√ (-c) / √a-√ = ((- ค) / ก).
เหล่านี้เป็นใน ความเป็นจริงทั้งสองการแก้ปัญหาที่เป็นผลมาจากการแก้สมการที่ข = 0 (ขวาน〖〗 ^ 2 + c = 0 ⇒ x = ±√ ((- c.) / ก))
คือ "การฟังก์ชั่นการแก้ปัญหา" อย่างต่อเนื่องที่ B = 0
ในที่สุดสิ่งที่เกิดขึ้นกับสองโซลูชั่นของสมถ้าค→ 0 ในขณะที่ A และ B จะมีขึ้นอย่างต่อเนื่อง? อีกครั้งเราคิดว่า> 0 เราพิจารณาในกรณีที่ b> 0 กรณีข <0 เป็นที่คล้ายกัน.
โซลูชันที่ 1: x = (-b + √ (ข ^ 2-4ac)) / 2a
lim┬ ( ค→ 0) 〖 (- B + √ (ข ^ 2-4ac)) / 2a 〗 = (-b + √ (ข ^ 2-0)) / 2a = (-b + √ (ข ^ 2)) / 2a = . (-b + ข) / 2a = 0
โซลูชันที่ 2: x = (-b-√ (ข ^ 2-4ac)) / 2a
lim┬ (ค→ 0) 〖 (- B-√ (ข ^ 2 4AC)) / 2a 〗 = (-b-√ (ข ^ 2-0)) / 2a = (-b-√ (ข ^ 2)) / 2a = (-bb) / 2a = -b / a
เหล่านี้เป็น ในความเป็นจริงทั้งสองการแก้ปัญหาที่เป็นผลมาจากการแก้สมการเมื่อ c = 0 (ขวาน〖〗 ^ 2 + BX = 0 ⇒ x (ขวาน = b) = 0 ⇒ x = 0 หรือ x = -b / a )
หากทั้งสามปัญหาขีด จำกัด ที่มีการตรวจสอบเพื่อกลับสถานการณ์ในที่→ 0 จะได้น่าประทับใจมาก เมื่อข→ 0 หรือค→ 0 ทั้งสองสมการแก้ปัญหาเพียงแค่วิธีการที่สองโซลูชั่นซึ่งจะส่งผลถ้าเงื่อนไขเชิงเส้นและคงถูกลบตามลำดับ เป็นผลที่แตกต่างกันส่งผลให้เมื่อ→ 0.
นี้เป็นตัวอย่างที่ดีของการประยุกต์ใช้แนวคิดขีด จำกัด กับสถานการณ์ที่คุ้นเคยกับนักเรียนก่อนที่จะแคลคูลัส ผู้อ่านและนักเรียนได้รับเชิญให้หาตัวอย่างอื่น ๆ เช่น. ภาควิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัย Northern Iowa Cedar Falls, ไอโอวา 50614-0506
ของรากกำลังสองโดยเดวิดอาร์ดันแคนและบอนนี่เอชLitwiller
ครูของแคลคูลัสมักจะมองสำหรับการตั้งค่าที่ก่อนหัวข้อพีชคณิตมาเยือนสามารถใช้เครื่องมือในการวิเคราะห์ขั้นสูง สมการกำลังสองให้เป็นโอกาสที่ดีสำหรับการศึกษาดังกล่าว.
นักเรียนแคลคูลัสทั้งหมดมีความคุ้นเคยกับสองโซลูชั่นของสมการ ถ้าขวาน〖〗 ^ 2 + BX + c = 0 ทั้งสองโซลูชั่น x = (-b + √ (ข ^ 2-4ac)) / 2a และ x = (-b-√ (ข ^ 2-4ac)) / 2a ถ้า = 0 วิธีการเหล่านี้ไม่สามารถนำมาใช้ตั้งแต่พวกเขาเกี่ยวข้องกับการหารด้วย 0 ในสถานการณ์เช่นนี้จะกลายเป็นสมการ bx + c = 0 ซึ่งมีวิธีง่ายๆ, x = -b / ค.
เกิดอะไรขึ้นกับสองโซลูชั่นของ สมถ้าเป็น "ใกล้" แต่ไม่เท่ากับ 0? ในคำอื่น ๆ : "ในฐานะ→ 0 ในขณะที่ B และ C จะมีขึ้นอย่างต่อเนื่องทำข้อ จำกัด วิธีการสองการแก้ปัญหาเช่นกัน?" การประเมินข้อ จำกัด ของทั้งสองการแก้ปัญหาดังต่อไปนี้ ในการวิเคราะห์นี้เราคิดว่า> 0 ตั้งแต่ใด ๆ สมกับ <0 สามารถเขียนใหม่ในรูปแบบเทียบเท่ากับ> 0 นอกจากนี้เพื่อประโยชน์ของความเรียบง่ายที่เราพิจารณาเฉพาะในกรณีที่ b> 0 .
โซลูชันที่ 1: x = (-b + √ (ข ^ 2-4ac)) / 2a
lim┬ (ก→ 0) 〖 (- B + √ (ข ^ 2-4ac)) / 2a 〗 = lim┬ (ก→ 0) 〖 ((- B + √ (ข ^ 2-4ac)) (- B-√ (ข ^ 2-4ac))) / (2a (-b + √ (ข ^ 2-4ac))) 〗
= ลิม ┬ (ก→ 0) 〖 (ข ^ 2 (ข ^ 2-4ac)) / (2a (-b-√ (ข ^ 2-4ac))) 〗
= lim┬ (ก→ 0) 〖 2c / ((- B-√ (ข ^ 2-4ac))) 〗
= 2c / (- 2b)
= -c / b
โซลูชันที่ 2: x = (-b-√ (ข ^ 2-4ac)) / 2a
ลิ้ม ┬ (ก→ 0 ^ +) 〖 (- B-√ (ข ^ 2-4ac)) / 2a 〗 = lim┬ (ก→ 0 ^ +) 〖 ((- B-√ (ข ^ 2-4ac )) (- B + √ (ข ^ 2-4ac))) / (2a (-b + √ (ข ^ 2-4ac))) 〗
= lim┬ (ก→ 0 ^ +) 〖 (ข ^ 2 (- ข ^ 2-4ac)) / (2a (-b + √ (ข ^ 2-4ac))) 〗
= lim┬ (ก→ 0 ^ +) 〖 2c / ((- B + √ (ข ^ 2-4ac) )) 〗
= ???
ปรากฏว่าขีด จำกัด ดังกล่าวข้างต้นขึ้นอยู่กับค่าของ c .
แน่นอนมันบุญตรวจสอบต่อไปในทำนองเดียวกันสำหรับค<0 เรา: 〖〗ลิ้ม┬ (ก→ 0 ^ +) 〖 (-b + √ (ข ^ 2-4ac)) = 0 ^ + 〗สิ่งนี้หมายความว่าเท่าที่วิเคราะห์ของเราเป็นห่วงก็คือว่าสำหรับค≠ 0:
lim┬ (ก→ 0) 〖 (- B + √ (ข ^ 2-4ac)) / 2a 〗 = lim┬ (ก→ 0 ) 〖 2c / ((- B + √ (ข ^ 2-4ac))) = -∞〗.
อนึ่งสำหรับในกรณีที่ข <0 เรา:
โซลูชันที่ 1: lim┬ (ก→ 0) (- ข + √ (ข ^ 2-4ac)) / 2a =
∞โซลูชันที่2: lim┬ (ก→ 0) (-b-√ (ข ^ 2-4ac)) / 2a = -c / ข.
ไม่น่าแปลกใจว่า เป็น→ 0 หนึ่งของการแก้ปัญหาวิธี -c / b; นี้คือค่าที่การแก้ปัญหาจะเป็นถ้าในความเป็นจริงก็เท่ากับ 0 นักเรียนหลายคนด้วยเหตุผลที่ว่าตั้งแต่เพียงหนึ่งทางออกที่โผล่ออกมาเมื่อ = 0 ทั้งข้อ จำกัด ของการแก้ปัญหาที่แยกจากกันของสมการจะต้องมาบรรจบกับ วิธีการแก้ปัญหาของกรณีในการที่ = 0 นี้ แต่เป็นกรณีที่ไม่ หนึ่งของการแก้ปัญหาวิธีการอย่างใดอย่างหนึ่งหรือ-∞∞เป็นขีด จำกัด .
สมการกำลังสองด้านล่างแสดงรูปแบบนี้ข้อ จำกัด :
0.00008x ^ 2 + 7.32814x - 4.10182 = 0
สังเกตว่าค่าของเป็นญาติมีขนาดเล็กมากกับของขและ c.
การแก้ปัญหาคือ: x = (-7.32814 ±√ (〖 (7.32814) 〗 ^ 2-4 (0.00008) (- 4.10182))) / (2 (0.00008))
= (-7.32814 ±√53.703126) /0.00016
= (-7.32814 ± 7.32823) /0.00016
⇒ x = 0.559732 หรือ x = -91,602
เป็นที่ชัดเจนว่าหนึ่งในวิธีการแก้ปัญหา x = 0.559732 จะประมาณเท่ากับ 4.10182 / 7.32814 = -c / b ความสำคัญของการแก้ปัญหาอื่น ๆ ที่ x = -91602, มีขนาดใหญ่มากบอกว่าเป็น→ 0, วิธีการแก้ปัญหา-∞.
กรณีอื่น ๆ
ให้เราต่อไปตรวจสอบการตั้งค่าในการที่ข→ 0 ในขณะที่คที่จะมีขึ้นอย่างต่อเนื่อง . อีกครั้งเราคิดว่า> 0 และเพื่อหลีกเลี่ยงข้อ จำกัด จินตนาการเราคิดว่าค <0.
โซลูชันที่ 1: x = (-b + √ (ข ^ 2-4ac)) / 2a
lim┬ (ข→ 0 ) 〖 (- B + √ (ข ^ 2-4ac)) / 2a 〗 = (0 + √ (-4ac)) / 2a = √ (-4ac) / 2a = √ (-c) / √a = √ ( . (-c) / ก)
โซลูชันที่ 2: x = (-b-√ (ข ^ 2-4ac)) / 2a
lim┬ (ข→ 0) 〖 (- B-√ (ข ^ 2-4ac)) / 2a 〗 = (0 √ (-4ac)) / 2a = -√ (-4ac) / 2a = -√ (-c) / √a-√ = ((- ค) / ก).
เหล่านี้เป็นใน ความเป็นจริงทั้งสองการแก้ปัญหาที่เป็นผลมาจากการแก้สมการที่ข = 0 (ขวาน〖〗 ^ 2 + c = 0 ⇒ x = ±√ ((- c.) / ก))
คือ "การฟังก์ชั่นการแก้ปัญหา" อย่างต่อเนื่องที่ B = 0
ในที่สุดสิ่งที่เกิดขึ้นกับสองโซลูชั่นของสมถ้าค→ 0 ในขณะที่ A และ B จะมีขึ้นอย่างต่อเนื่อง? อีกครั้งเราคิดว่า> 0 เราพิจารณาในกรณีที่ b> 0 กรณีข <0 เป็นที่คล้ายกัน.
โซลูชันที่ 1: x = (-b + √ (ข ^ 2-4ac)) / 2a
lim┬ ( ค→ 0) 〖 (- B + √ (ข ^ 2-4ac)) / 2a 〗 = (-b + √ (ข ^ 2-0)) / 2a = (-b + √ (ข ^ 2)) / 2a = . (-b + ข) / 2a = 0
โซลูชันที่ 2: x = (-b-√ (ข ^ 2-4ac)) / 2a
lim┬ (ค→ 0) 〖 (- B-√ (ข ^ 2 4AC)) / 2a 〗 = (-b-√ (ข ^ 2-0)) / 2a = (-b-√ (ข ^ 2)) / 2a = (-bb) / 2a = -b / a
เหล่านี้เป็น ในความเป็นจริงทั้งสองการแก้ปัญหาที่เป็นผลมาจากการแก้สมการเมื่อ c = 0 (ขวาน〖〗 ^ 2 + BX = 0 ⇒ x (ขวาน = b) = 0 ⇒ x = 0 หรือ x = -b / a )
หากทั้งสามปัญหาขีด จำกัด ที่มีการตรวจสอบเพื่อกลับสถานการณ์ในที่→ 0 จะได้น่าประทับใจมาก เมื่อข→ 0 หรือค→ 0 ทั้งสองสมการแก้ปัญหาเพียงแค่วิธีการที่สองโซลูชั่นซึ่งจะส่งผลถ้าเงื่อนไขเชิงเส้นและคงถูกลบตามลำดับ เป็นผลที่แตกต่างกันส่งผลให้เมื่อ→ 0.
นี้เป็นตัวอย่างที่ดีของการประยุกต์ใช้แนวคิดขีด จำกัด กับสถานการณ์ที่คุ้นเคยกับนักเรียนก่อนที่จะแคลคูลัส ผู้อ่านและนักเรียนได้รับเชิญให้หาตัวอย่างอื่น ๆ เช่น. ภาควิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัย Northern Iowa Cedar Falls, ไอโอวา 50614-0506
การแปล กรุณารอสักครู่..
ขีด จำกัด ของรากกำลังสอง
โดยเดวิดอาร์ดันแคนและบอนนี่ . litwiller
ครูของแคลคูลัสอยู่เสมอในระวังสำหรับการตั้งค่าในหัวข้อซึ่งก่อนพีชคณิตสามารถมาใช้เครื่องมือวิเคราะห์ขั้นสูง สมการมีโอกาสที่ดีสำหรับการศึกษา
เรียนแคลคูลัส ทุกคนคุ้นเคยกับสองโซลูชั่นของสมการ . ถ้า〖ขวาน〗 BX C
2 = 0 ,สองโซลูชั่นเป็น x = ( - B √ ( b
2-4ac ) / 2A และ X = ( - B - √ ( b
2-4ac ) / 2A . ถ้า A = 0 , โซลูชั่นเหล่านี้ไม่สามารถใช้เนื่องจากพวกเขาเกี่ยวข้องกับการหารด้วย 0 ในสถานการณ์นี้กลายเป็นสมการ BX c = 0 ซึ่งมีโซลูชั่นที่ง่าย , x = - b / C .
เกิดอะไรขึ้นกับสองโซลูชั่นของสมการ ถ้าเป็น " ปิด " แต่ไม่เท่ากับ 0 ? ในคำอื่น ๆ :" เป็น→ keyboard - key - name 0 ในขณะที่ B และ C จะจัดขึ้นอย่างต่อเนื่อง ทำสองโซลูชั่นวิธีการจำกัดเช่นกัน " การประเมินขอบเขตของสองโซลูชั่นดังนี้ ในการวิเคราะห์นี้เราสมมติว่า > 0 เนื่องจากสมการกําลังสองด้วย < 0 สามารถเขียนในรูปแบบใหม่เทียบเท่ากับ > 0 นอกจากนี้ เพื่อความเรียบง่าย เราพิจารณาเฉพาะในกรณีที่ B > 0 .
สารละลาย 1 : x = ( - B ( B √ 2-4ac / 2a
) )lim┬( a → 0 )〖(-b √(b
2-4ac))/2a〗 = lim┬( a → 0 )〖((-b √(b
2-4ac))(-b-√(b
2-4ac)))/(2a(-b √(b
2-4ac)))〗
= lim┬( a → 0 )〖(b
2- (b
2-4ac))/(2a(-b-√(b
2-4ac)))〗
= lim┬( a → 0 )〖2c/((-b-√(b
2-4ac)))〗
= 2c/(-2b)
= -c/b
Solution 2 : x = (-b-√(b
2-4ac))/2a
lim┬( a → 0
)〖(–b-√(b
2-4ac))/2a〗 = lim┬( a → 0
)〖((–b-√(b
2-4ac))(–b √(b
2-4ac ) ) ) ) ) ) ) / ( 2A ( - B √ ( b
2-4ac ) ) ) ) ) ) ) 〗
= ลิม┬ ( → keyboard - key - name 0
) 〖 ( b
2 ( - B
2-4ac ) ) / ( 2A ( - B √ ( b
2-4ac ) ) ) ) ) ) ) 〗
= ลิม┬ ( → keyboard - key - name 0
) 〖 2C / ( ( ( B √ ( b
2-4ac ) ) ) ) ) ) ) 〗
= ? ? ? ? ? ?
ปรากฏว่าข้อจำกัดข้างต้นขึ้นอยู่กับค่าของ C . แน่นอนมันบุญการสืบสวนต่อไป .
" สำหรับ c < 0 เราได้ : 〖ลิม〗┬ ( → keyboard - key - name 0
) 〖 ( - B √ ( b
2-4ac ) = 0 =
〗 . สิ่งนี้หมายความว่า เท่าที่วิเคราะห์ของเราเป็นกังวลที่ 0 :
c ≠ลิม┬ ( → keyboard - key - name 0 ) 〖 ( - B √ ( b
2-4ac ) / 2A 〗 = ลิม┬ ( → keyboard - key - name 〖 2C / 0 ) ( - B √ ( b
2-4ac ) ) ) ) ) ) ) = - ∞〗 .
อนึ่ง สำหรับกรณีที่ b < 0 เรามีโซลูชั่น :
1 : ลิม┬ ( → keyboard - key - name 0 ) ( - B √ ( b
2-4ac ) / 2A = ∞
แก้ไข 2 : ลิม┬ ( → keyboard - key - name 0 ) ( - B - √ ( b
2-4ac ) / 2A = - c / B .
มันไม่น่าแปลกใจที่เป็น→ keyboard - key - name 0 , หนึ่งในโซลูชั่นแนว - C / B ;นี้คือค่าว่าทางออกจะเป็นถ้าในความเป็นจริง เท่ากับ 0 หลายเหตุผลที่นักเรียนตั้งแต่วิธีเดียวเท่านั้นที่โผล่ออกมาเมื่อ = 0 ทั้งขอบเขตของโซลูชั่นที่แยกจากกันของสมการต้องบรรจบกับทางออกของกรณีที่ = 0 นี้ แต่เป็นกรณีที่ไม่ หนึ่งในโซลูชั่นแนวให้∞หรือ−∞
เป็นวงเงินส่วนสมการกําลังสองด้านล่างแสดงให้เห็นถึงรูปแบบของข้อจำกัด :
0.00008x
2 7.32814x − 4.10182 = 0 =
สังเกตว่าค่าของมีขนาดเล็กมากเมื่อเทียบกับบรรดาของ B และ C
โซลูชั่น : x = ( - 7.32814 ±√ ( 〖 ( 7.32814 ) 〗
2-4 ( 0.00008 ) ( - 4.10182 ) ) ) / 2 ( 0.00008 )
= ( - 7.32814 ±√ 53.703126 ) / 0.00016
= ( - 7.32814 ± 7.32823 ) / 0.00016
⇒ x = 0.559732 หรือ x = - 91602
เป็นที่ชัดเจนว่าหนึ่งในโซลูชั่น , X = 0559732 ประมาณเท่ากับ 4.10182/7.32814 = - c / B . ขนาดของโซลูชั่นอื่น ๆ , X = - 91602 มีขนาดใหญ่มาก บอกว่าเป็น→ keyboard - key - name 0 , วิธีการแก้ปัญหาวิธี−∞ .
เราต่อไป กรณีอื่น ๆตรวจสอบการตั้งค่าที่ B → keyboard - key - name 0 ในขณะที่ A และ C จะจัดขึ้นอย่างต่อเนื่อง อีกครั้งที่เราสันนิษฐานว่า > 0 และ เพื่อหลีกเลี่ยงการ จำกัด จินตนาการ เราคิดว่า c < 0
สารละลาย 1 : x = ( - b ( b
√2-4ac ) / 2a
ลิม┬ ( B → keyboard - key - name 0 ) 〖 ( - B √ ( b
2-4ac ) / 2A 〗 = ( 0 √ ( - 4ac ) / 2A = √ ( - 4ac ) / 2A = √ ( C ) / √ = √ ( C ) เป็น )
2 = ( โซลูชั่น X - B - √ ( b
2-4ac ) / 2a
ลิม┬ ( B → keyboard - key - name ( 0 ) 〖–บี - √ ( b
2-4ac ) / 2A 〗 = ( 0 - √ ( - 4ac ) / 2A = - √ ( - 4ac ) 2A = - √ ( C ) / √ = - √ ( C ) / A )
เหล่านี้ในความเป็นจริงสองโซลูชั่นที่เป็นผลจากการแก้สมการที่ B = 0 ( 〖ขวาน〗
2 C = 0 = ±√⇒ X ( c ) ) )
.e . " ฟังก์ชัน " โซลูชั่นต่อเนื่องที่ B = 0
ในที่สุด เกิดอะไรขึ้นกับสองโซลูชั่นของสมการ ถ้า C → keyboard - key - name 0 เมื่อ a และ b เป็นจัดขึ้นคงที่ ? อีกครั้งที่เราสันนิษฐานว่า > 0 เราพิจารณากรณีที่ B > 0 กรณี b < 0 จะคล้ายคลึงกัน โซลูชั่น :
1 x = ( - B √ ( b
2-4ac ) / 2a
ลิม┬ ( C → keyboard - key - name 0 ) 〖 ( - B √ ( b
2-4ac ) / 2A 〗 = ( - B √ ( b
2-0 ) / 2A = ( √ ( b
- B2 ) / 2A = ( - b ) B / 2A = 0
แก้ไข 2 : x = ( - B - √ ( b
2-4ac ) / 2a
ลิม┬ ( C → keyboard - key - name ( 0 ) 〖–บี - √ ( b
2-4ac ) / 2A 〗 = ( - B - √ ( b
2-0 ) / 2A = ( - B - √ ( b
2 ) / 2A = ( - b-b ) / 2A = - b /
เหล่านี้ในความเป็นจริงสองโซลูชั่นที่เป็นผลจากการแก้สมการเมื่อ c = 0 ( 〖ขวาน〗
2 = 0 ⇒ bx x ( Ax = b ) = 0 ⇒ x = 0 หรือ x = - b / A )
ถ้าสามเหล่านี้มีการกำหนดปัญหาเพื่อย้อนกลับสถานการณ์ที่→ keyboard - key - name 0 จะได้น่าประทับใจมากขึ้น เมื่อ B → keyboard - key - name 0 หรือ C → keyboard - key - name 0 สองกำลังสองโซลูชั่นเพียงวิธีการสองโซลูชั่นซึ่งจะส่งผลถ้าเงื่อนไขเชิงเส้นคงที่และลบตามลำดับ ที่แตกต่างกันค่อนข้างผลผลเมื่อ→ keyboard - key - name 0
นี่เป็นตัวอย่างที่ดีของการประยุกต์ใช้แนวคิดจำกัด เป็นสถานการณ์ที่คุ้นเคยกับนักเรียนก่อนแคลคูลัสนักเรียนอ่านและเชิญหาตัวอย่างอื่น ๆ เช่น
ภาควิชาคณิตศาสตร์
มหาวิทยาลัยไอโอวาไอโอวา 50614-0506
ซีดาร์ฟอลส์
โดยเดวิดอาร์ดันแคนและบอนนี่ . litwiller
ครูของแคลคูลัสอยู่เสมอในระวังสำหรับการตั้งค่าในหัวข้อซึ่งก่อนพีชคณิตสามารถมาใช้เครื่องมือวิเคราะห์ขั้นสูง สมการมีโอกาสที่ดีสำหรับการศึกษา
เรียนแคลคูลัส ทุกคนคุ้นเคยกับสองโซลูชั่นของสมการ . ถ้า〖ขวาน〗 BX C
2 = 0 ,สองโซลูชั่นเป็น x = ( - B √ ( b
2-4ac ) / 2A และ X = ( - B - √ ( b
2-4ac ) / 2A . ถ้า A = 0 , โซลูชั่นเหล่านี้ไม่สามารถใช้เนื่องจากพวกเขาเกี่ยวข้องกับการหารด้วย 0 ในสถานการณ์นี้กลายเป็นสมการ BX c = 0 ซึ่งมีโซลูชั่นที่ง่าย , x = - b / C .
เกิดอะไรขึ้นกับสองโซลูชั่นของสมการ ถ้าเป็น " ปิด " แต่ไม่เท่ากับ 0 ? ในคำอื่น ๆ :" เป็น→ keyboard - key - name 0 ในขณะที่ B และ C จะจัดขึ้นอย่างต่อเนื่อง ทำสองโซลูชั่นวิธีการจำกัดเช่นกัน " การประเมินขอบเขตของสองโซลูชั่นดังนี้ ในการวิเคราะห์นี้เราสมมติว่า > 0 เนื่องจากสมการกําลังสองด้วย < 0 สามารถเขียนในรูปแบบใหม่เทียบเท่ากับ > 0 นอกจากนี้ เพื่อความเรียบง่าย เราพิจารณาเฉพาะในกรณีที่ B > 0 .
สารละลาย 1 : x = ( - B ( B √ 2-4ac / 2a
) )lim┬( a → 0 )〖(-b √(b
2-4ac))/2a〗 = lim┬( a → 0 )〖((-b √(b
2-4ac))(-b-√(b
2-4ac)))/(2a(-b √(b
2-4ac)))〗
= lim┬( a → 0 )〖(b
2- (b
2-4ac))/(2a(-b-√(b
2-4ac)))〗
= lim┬( a → 0 )〖2c/((-b-√(b
2-4ac)))〗
= 2c/(-2b)
= -c/b
Solution 2 : x = (-b-√(b
2-4ac))/2a
lim┬( a → 0
)〖(–b-√(b
2-4ac))/2a〗 = lim┬( a → 0
)〖((–b-√(b
2-4ac))(–b √(b
2-4ac ) ) ) ) ) ) ) / ( 2A ( - B √ ( b
2-4ac ) ) ) ) ) ) ) 〗
= ลิม┬ ( → keyboard - key - name 0
) 〖 ( b
2 ( - B
2-4ac ) ) / ( 2A ( - B √ ( b
2-4ac ) ) ) ) ) ) ) 〗
= ลิม┬ ( → keyboard - key - name 0
) 〖 2C / ( ( ( B √ ( b
2-4ac ) ) ) ) ) ) ) 〗
= ? ? ? ? ? ?
ปรากฏว่าข้อจำกัดข้างต้นขึ้นอยู่กับค่าของ C . แน่นอนมันบุญการสืบสวนต่อไป .
" สำหรับ c < 0 เราได้ : 〖ลิม〗┬ ( → keyboard - key - name 0
) 〖 ( - B √ ( b
2-4ac ) = 0 =
〗 . สิ่งนี้หมายความว่า เท่าที่วิเคราะห์ของเราเป็นกังวลที่ 0 :
c ≠ลิม┬ ( → keyboard - key - name 0 ) 〖 ( - B √ ( b
2-4ac ) / 2A 〗 = ลิม┬ ( → keyboard - key - name 〖 2C / 0 ) ( - B √ ( b
2-4ac ) ) ) ) ) ) ) = - ∞〗 .
อนึ่ง สำหรับกรณีที่ b < 0 เรามีโซลูชั่น :
1 : ลิม┬ ( → keyboard - key - name 0 ) ( - B √ ( b
2-4ac ) / 2A = ∞
แก้ไข 2 : ลิม┬ ( → keyboard - key - name 0 ) ( - B - √ ( b
2-4ac ) / 2A = - c / B .
มันไม่น่าแปลกใจที่เป็น→ keyboard - key - name 0 , หนึ่งในโซลูชั่นแนว - C / B ;นี้คือค่าว่าทางออกจะเป็นถ้าในความเป็นจริง เท่ากับ 0 หลายเหตุผลที่นักเรียนตั้งแต่วิธีเดียวเท่านั้นที่โผล่ออกมาเมื่อ = 0 ทั้งขอบเขตของโซลูชั่นที่แยกจากกันของสมการต้องบรรจบกับทางออกของกรณีที่ = 0 นี้ แต่เป็นกรณีที่ไม่ หนึ่งในโซลูชั่นแนวให้∞หรือ−∞
เป็นวงเงินส่วนสมการกําลังสองด้านล่างแสดงให้เห็นถึงรูปแบบของข้อจำกัด :
0.00008x
2 7.32814x − 4.10182 = 0 =
สังเกตว่าค่าของมีขนาดเล็กมากเมื่อเทียบกับบรรดาของ B และ C
โซลูชั่น : x = ( - 7.32814 ±√ ( 〖 ( 7.32814 ) 〗
2-4 ( 0.00008 ) ( - 4.10182 ) ) ) / 2 ( 0.00008 )
= ( - 7.32814 ±√ 53.703126 ) / 0.00016
= ( - 7.32814 ± 7.32823 ) / 0.00016
⇒ x = 0.559732 หรือ x = - 91602
เป็นที่ชัดเจนว่าหนึ่งในโซลูชั่น , X = 0559732 ประมาณเท่ากับ 4.10182/7.32814 = - c / B . ขนาดของโซลูชั่นอื่น ๆ , X = - 91602 มีขนาดใหญ่มาก บอกว่าเป็น→ keyboard - key - name 0 , วิธีการแก้ปัญหาวิธี−∞ .
เราต่อไป กรณีอื่น ๆตรวจสอบการตั้งค่าที่ B → keyboard - key - name 0 ในขณะที่ A และ C จะจัดขึ้นอย่างต่อเนื่อง อีกครั้งที่เราสันนิษฐานว่า > 0 และ เพื่อหลีกเลี่ยงการ จำกัด จินตนาการ เราคิดว่า c < 0
สารละลาย 1 : x = ( - b ( b
√2-4ac ) / 2a
ลิม┬ ( B → keyboard - key - name 0 ) 〖 ( - B √ ( b
2-4ac ) / 2A 〗 = ( 0 √ ( - 4ac ) / 2A = √ ( - 4ac ) / 2A = √ ( C ) / √ = √ ( C ) เป็น )
2 = ( โซลูชั่น X - B - √ ( b
2-4ac ) / 2a
ลิม┬ ( B → keyboard - key - name ( 0 ) 〖–บี - √ ( b
2-4ac ) / 2A 〗 = ( 0 - √ ( - 4ac ) / 2A = - √ ( - 4ac ) 2A = - √ ( C ) / √ = - √ ( C ) / A )
เหล่านี้ในความเป็นจริงสองโซลูชั่นที่เป็นผลจากการแก้สมการที่ B = 0 ( 〖ขวาน〗
2 C = 0 = ±√⇒ X ( c ) ) )
.e . " ฟังก์ชัน " โซลูชั่นต่อเนื่องที่ B = 0
ในที่สุด เกิดอะไรขึ้นกับสองโซลูชั่นของสมการ ถ้า C → keyboard - key - name 0 เมื่อ a และ b เป็นจัดขึ้นคงที่ ? อีกครั้งที่เราสันนิษฐานว่า > 0 เราพิจารณากรณีที่ B > 0 กรณี b < 0 จะคล้ายคลึงกัน โซลูชั่น :
1 x = ( - B √ ( b
2-4ac ) / 2a
ลิม┬ ( C → keyboard - key - name 0 ) 〖 ( - B √ ( b
2-4ac ) / 2A 〗 = ( - B √ ( b
2-0 ) / 2A = ( √ ( b
- B2 ) / 2A = ( - b ) B / 2A = 0
แก้ไข 2 : x = ( - B - √ ( b
2-4ac ) / 2a
ลิม┬ ( C → keyboard - key - name ( 0 ) 〖–บี - √ ( b
2-4ac ) / 2A 〗 = ( - B - √ ( b
2-0 ) / 2A = ( - B - √ ( b
2 ) / 2A = ( - b-b ) / 2A = - b /
เหล่านี้ในความเป็นจริงสองโซลูชั่นที่เป็นผลจากการแก้สมการเมื่อ c = 0 ( 〖ขวาน〗
2 = 0 ⇒ bx x ( Ax = b ) = 0 ⇒ x = 0 หรือ x = - b / A )
ถ้าสามเหล่านี้มีการกำหนดปัญหาเพื่อย้อนกลับสถานการณ์ที่→ keyboard - key - name 0 จะได้น่าประทับใจมากขึ้น เมื่อ B → keyboard - key - name 0 หรือ C → keyboard - key - name 0 สองกำลังสองโซลูชั่นเพียงวิธีการสองโซลูชั่นซึ่งจะส่งผลถ้าเงื่อนไขเชิงเส้นคงที่และลบตามลำดับ ที่แตกต่างกันค่อนข้างผลผลเมื่อ→ keyboard - key - name 0
นี่เป็นตัวอย่างที่ดีของการประยุกต์ใช้แนวคิดจำกัด เป็นสถานการณ์ที่คุ้นเคยกับนักเรียนก่อนแคลคูลัสนักเรียนอ่านและเชิญหาตัวอย่างอื่น ๆ เช่น
ภาควิชาคณิตศาสตร์
มหาวิทยาลัยไอโอวาไอโอวา 50614-0506
ซีดาร์ฟอลส์
การแปล กรุณารอสักครู่..
ภาษาอื่น ๆ
การสนับสนุนเครื่องมือแปลภาษา: กรีก, กันนาดา, กาลิเชียน, คลิงออน, คอร์สิกา, คาซัค, คาตาลัน, คินยารวันดา, คีร์กิซ, คุชราต, จอร์เจีย, จีน, จีนดั้งเดิม, ชวา, ชิเชวา, ซามัว, ซีบัวโน, ซุนดา, ซูลู, ญี่ปุ่น, ดัตช์, ตรวจหาภาษา, ตุรกี, ทมิฬ, ทาจิก, ทาทาร์, นอร์เวย์, บอสเนีย, บัลแกเรีย, บาสก์, ปัญจาป, ฝรั่งเศส, พาชตู, ฟริเชียน, ฟินแลนด์, ฟิลิปปินส์, ภาษาอินโดนีเซี, มองโกเลีย, มัลทีส, มาซีโดเนีย, มาราฐี, มาลากาซี, มาลายาลัม, มาเลย์, ม้ง, ยิดดิช, ยูเครน, รัสเซีย, ละติน, ลักเซมเบิร์ก, ลัตเวีย, ลาว, ลิทัวเนีย, สวาฮิลี, สวีเดน, สิงหล, สินธี, สเปน, สโลวัก, สโลวีเนีย, อังกฤษ, อัมฮาริก, อาร์เซอร์ไบจัน, อาร์เมเนีย, อาหรับ, อิกโบ, อิตาลี, อุยกูร์, อุสเบกิสถาน, อูรดู, ฮังการี, ฮัวซา, ฮาวาย, ฮินดี, ฮีบรู, เกลิกสกอต, เกาหลี, เขมร, เคิร์ด, เช็ก, เซอร์เบียน, เซโซโท, เดนมาร์ก, เตลูกู, เติร์กเมน, เนปาล, เบงกอล, เบลารุส, เปอร์เซีย, เมารี, เมียนมา (พม่า), เยอรมัน, เวลส์, เวียดนาม, เอสเปอแรนโต, เอสโทเนีย, เฮติครีโอล, แอฟริกา, แอลเบเนีย, โคซา, โครเอเชีย, โชนา, โซมาลี, โปรตุเกส, โปแลนด์, โยรูบา, โรมาเนีย, โอเดีย (โอริยา), ไทย, ไอซ์แลนด์, ไอร์แลนด์, การแปลภาษา.
- Illustrate the difference between suppli
- Politicians must think to public over pr
- 2. I worry about my studies.
- Uh speak gud english.
- ฉันคึดถึงคุณ ดูแลตัวเองด้วย
- สำหรับฉันเธอเป็นเด็กดีและน่ารัก ถึงจะขี้
- แล้วเรื่องที่เธอจะซื้อดลองใหม่ล่ะ
- He tried to add water to a full bottle .
- Hydroxycarbamide,non steroidal anti-infl
- วันนี้ พฤหัสบดีที่ 10 กันยายน เป็นวันหยุ
- เครื่องบูชา
- เพื่อนต่างชาติ
- Our results showed that among postoperat
- But for you you your business and custom
- ้historical
- 2ｍｍ超の欠点とする。
- ผู้คนร่วมกันปั้นทรายให้มีรูปร่างคล้ายเจด
- where do you see
- ต้นไม้จะไม่โตถ้าขาดน้ำ
- ครูของฉันเป็นคนเข้มงวด
- ประโยชน์ของชาเขียว
- Early yearsThe Thais, most historians be
- 老师, Tomorrow i can't go to study because
- ฉันรู้สึกโชคดี
