rook polynomial is a generating pol

rook polynomial is a generating polynomial of the number of ways to place non-attacking rooks on a board that looks like a checkerboard; that is, no two rooks may be in the same row or column. The board is any subset of the squares of a rectangular board with m rows and n columns; we think of it as the squares in which one is allowed to put a rook. The board is the ordinary chessboard if all squares are allowed and m = n = 8 and a chessboard of any size if all squares are allowed and m = n. The coefficient of x k in the rook polynomial RB(x) is the number of ways k rooks, none of which attacks another, can be arranged in the squares of B. The rooks are arranged in such a way that there is no pair of rooks in the same row or column. In this sense, an arrangement is the positioning of rooks on a static, immovable board; the arrangement will not be different if the board is rotated or reflected while keeping the squares stationary. The polynomial also remains the same if rows are interchanged or columns are interchanged.

The term "rook polynomial" was coined by John Riordan.[1] Despite the name's derivation from chess, the impetus for studying rook polynomials is their connection with counting permutations (or partial permutations) with restricted positions. A board B that is a subset of the n × n chessboard corresponds to permutations of n objects, which we may take to be the numbers 1, 2, ..., n, such that the number aj in the j-th position in the permutation must be the column number of an allowed square in row j of B. Famous examples include the number of ways to place n non-attacking rooks on:

an entire n × n chessboard, which is an elementary combinatorial problem;
the same board with its diagonal squares forbidden; this is the derangement or "hat-check" problem;
the same board without the squares on its diagonal and immediately above its diagonal (and without the bottom left square), which is essential in the solution of the problème des ménages.
Interest in rook placements arises in pure and applied combinatorics, group theory, number theory, and statistical physics. The particular value of rook polynomials comes from the utility of the generating function approach, and also from the fact that the zeroes of the rook polynomial of a board provide valuable information about its coefficients, i.e., the number of non-attacking placements of k rooks.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พหุนามโกงเป็นพหุนามที่ก่อให้เกิดของหลายวิธีที่จะวางที่ไม่โจมตีอีกาในคณะกรรมการที่มีลักษณะเหมือนกระดานหมากรุก; ว่ามีที่ไม่มีสองอีกาอาจจะอยู่ในแถวเดียวกันหรือคอลัมน์ คณะกรรมการเป็นส่วนหนึ่งของสี่เหลี่ยมใด ๆ ของคณะกรรมการสี่เหลี่ยมกับแถวม. และ n คอลัมน์; เราคิดว่ามันเป็นสี่เหลี่ยมในที่หนึ่งที่ได้รับอนุญาตที่จะนำโกง คณะกรรมการเป็นกระดานหมากรุกสามัญถ้าสี่เหลี่ยมทั้งหมดจะได้รับอนุญาตและ m = n = 8 และกระดานหมากรุกขนาดใดถ้าสี่เหลี่ยมทั้งหมดจะได้รับอนุญาตและ m n = ค่าสัมประสิทธิ์ของ XK ในพหุนามโกง RB (x) เป็นจำนวนวิธี k อีกาไม่มีใครที่โจมตีอื่นสามารถจัดในสี่เหลี่ยมของบีที่อีกาจะจัดในลักษณะที่มีคู่ของอีกาไม่มี ในแถวหรือคอลัมน์เดียวกัน ในแง่นี้คือการจัดวางตำแหน่งของอีกาในแบบคงที่คณะกรรมการอสังหาริมทรัพย์นั้น จัดจะไม่แตกต่างกันถ้าคณะกรรมการจะหมุนหรือสะท้อนขณะที่การรักษาสี่เหลี่ยมนิ่ง พหุนามยังคงเหมือนเดิมถ้าแถวจะสบตาหรือคอลัมน์จะสบตา. คำว่า "โกงพหุนาม" ได้รับการประกาศเกียรติคุณจากจอห์น Riordan. [1] แม้จะมีที่มาของชื่อจากหมากรุกแรงผลักดันสำหรับการศึกษาพหุนามโกงคือการเชื่อมต่อพวกเขาด้วยการเพิ่มเงินนับ ( หรือเพิ่มเงินบางส่วน) ที่มีตำแหน่งที่ถูก จำกัด A B คณะกรรมการที่เป็นส่วนหนึ่งของ n × n กระดานหมากรุกที่สอดคล้องกับพีชคณิตของวัตถุ n ซึ่งเราอาจต้องใช้เวลาที่จะเป็นหมายเลข 1, 2, ... , n เช่นว่า aj จำนวนในตำแหน่งที่ j ใน การเปลี่ยนแปลงจะต้องเป็นหมายเลขคอลัมน์ของตารางได้รับอนุญาตในแถวของเจบีตัวอย่างที่มีชื่อเสียงรวมถึงจำนวนของวิธีการที่จะวาง n ที่ไม่โจมตีอีกาเมื่อ: n เป็นทั้งกระดานหมากรุก× n ซึ่งเป็นปัญหา combinatorial ประถมศึกษาคณะเดียวกันที่มีสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมของต้องห้าม; นี้เป็นความยุ่งเหยิงหรือ "หมวกตรวจสอบปัญหา"; คณะเดียวกันโดยไม่ต้องสี่เหลี่ยมบนเส้นทแยงมุมและเหนือเส้นทแยงมุมของมัน (และไม่มีตารางด้านล่างซ้าย) ซึ่งเป็นสิ่งจำเป็นในการแก้ปัญหาของménages probleme des. ความสนใจในการโกง ตำแหน่งที่เกิดขึ้นใน combinatorics บริสุทธิ์และประยุกต์ทฤษฎีกลุ่มทฤษฎีจำนวนและฟิสิกส์สถิติ มูลค่าโดยเฉพาะอย่างยิ่งของพหุนามโกงมาจากยูทิลิตี้ของวิธีการสร้างฟังก์ชันและยังมาจากความจริงที่ว่าศูนย์ของพหุนามโกงของคณะกรรมการให้ข้อมูลที่มีค่าเกี่ยวกับค่าสัมประสิทธิ์ของมันคือจำนวนของตำแหน่งที่ไม่ใช่การโจมตีของ k อีกา .

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

โกงสร้างพหุนามพหุนามเป็นจำนวนวิธีที่ไม่ปะทะ รุคส์ ในคณะกรรมการที่มีลักษณะเหมือนตารางหมากรุก นั่นคือ ไม่มีสอง Rooks อาจอยู่ในแถวหรือคอลัมน์เดียวกัน บอร์ดเป็นเซตย่อยของสี่เหลี่ยมของกระดานสี่เหลี่ยมกับ m แถวและคอลัมน์ เราคิดว่ามันเป็นสี่เหลี่ยม ซึ่งได้รับอนุญาตให้โกงคณะกรรมการสามัญกระดานหมากรุกถ้าสองทั้งหมดที่ได้รับอนุญาตและ m = n = 8 และกระดานหมากรุกขนาดใด ถ้าเหลี่ยมจะได้รับอนุญาต และ M = . สัมประสิทธิ์ของ x K ในเรือโดย RB ( x ) คือจำนวนวิธีเครุคส์ ไม่มีซึ่งการโจมตีอื่น สามารถ จัด ใน สี่เหลี่ยมของ B Rooks จะจัดในลักษณะที่ไม่มีคู่ รุคส์ ในแถวหรือคอลัมน์เดียวกันในความรู้สึกนี้ , การจัดเรียงตำแหน่งของ Rooks ในสถิตเสถียรกระดาน ; จัดจะไม่แตกต่าง ถ้าบอร์ดจะหมุนหรือสะท้อนในขณะที่เก็บสี่เหลี่ยมเครื่องเขียน โดยยังคงเหมือนเดิม ถ้าแถวมี interchanged หรือคอลัมน์มี interchanged

คำว่า " โกงแบบ " ตั้งขึ้นโดยจอห์น ริสโอแดน [ 1 ] แม้จะเป็นชื่อมาจากหมากรุกแรงผลักดันในการเรียนรูคพหุนามคือการเชื่อมต่อกับการนับลำดับ ( หรือลำดับบางส่วน ) กับตำแหน่งจำกัด กระดาน B เป็นเซตย่อยของ n × n กระดานหมากรุกสอดคล้องกับลำดับของวัตถุ ซึ่งเราอาจจะต้องเป็นหมายเลข 1 , 2 , . . . , nเช่นว่า หมายเลข AJ ใน j-th ตำแหน่งในการเปลี่ยนแปลงจะต้องเป็นหมายเลขคอลัมน์ของตารางในแถวให้ J B ดังตัวอย่างรวมถึงหมายเลขของวิธีการที่ไม่ปะทะรุคส์ N :

ทั้ง n × n กระดานหมากรุกซึ่งเป็นปัญหาเชิงวิธีจัดหมู่ เบื้องต้น
บอร์ดเหมือนกันกับของเส้นทแยงมุม สี่เหลี่ยมต้องห้าม ; นี้เป็น " ปัญหาบาดเจ็บหรือหมวกตรวจสอบ " ;
เดียวกันโดยสี่เหลี่ยมบนกระดานของเส้นทแยงมุมและทันทีเหนือของเส้นทแยงมุม ( และโดยไม่ต้องด้านล่างซ้ายสี่เหลี่ยม ) ซึ่งเป็นสิ่งจำเป็นในการแก้ปัญหาของ probl èฉัน des M é nages .
สนใจรุกเจาะที่เกิดขึ้นในที่บริสุทธิ์และประยุกต์คณิตศาสตร์เชิงการจัด ทฤษฎี ทฤษฎีกลุ่มเลข และฟิสิกส์เชิงสถิติค่าโดยเฉพาะเรือนที่มาจากประโยชน์ของการสร้างฟังก์ชั่นวิธีการและจากความจริงที่ว่าศูนย์ ของเรือ พหุนามของคณะกรรมการให้ข้อมูลที่มีค่าเกี่ยวกับสัมประสิทธิ์การ เช่น จํานวนไม่ปะทะตําแหน่งของ K Rooks .