The energy isE =12ml2˙2 +12mV 2 +

The energy is
E =
1
2ml2˙2 +
1
2mV 2 + ml ˙ ( ˙X cos  − ˙Y sin ) − mgl cos  − mgY
=
1
2ml2˙2 − mgl cos  +
1
2mY 2
0
2 cos2
t + mlY0
˙ sin  cos
t − mgY0 cos
t
and the power absorbed is
dE
dt
= −mg˙Y + ml¨( ˙X cos  − ˙Y sin ) − ml ˙ 2( ˙X sin  + ˙Y cos ) + m˙R · ¨R
= mgY0
sin
t + mlY0
¨sin
t sin  + mlY0
˙2 sin
t cos  + mY 2
0
2 sin
t cos
t
= mgY0
sin
t +
1
2mY 2
0
2 sin 2
t + mlY0
sin
t(¨sin  + ˙2 cos )
• Support point in uniform circular motion
The support will move with X(t) = Rsin
t, Y (t) = Rcos
t.
L =
1
2ml2 ˙ 2 + ml ˙ ( ˙X (t) cos  − ˙Y (t) sin ) +
1
2m( ˙X (t)2 + ˙Y (t)2) + mgl cos  + mgY (t)
=
1
2ml2˙2 + mgl cos  + mlR
˙ cos(
t − ) +
1
2mR2
2 + mgRcos
t
Lagrange’s equation is
0 = d
dt
@L
@˙
−
@L
@
= ml2 ¨ + mgl sin  − mlR
2 sin(
t − )
= ml2 ¨ + ml(g + R
2 cos
t) sin  − mlR
2 cos  sin
t
For small oscillations, we see that there is an oscillating contribution to the restoring
gravitational force, and an oscillatory driving term.
The energy is
E =
1
2ml2˙2 − mgl cos  + mlR˙ sin(
t − ) +
1
2mR2
2 − mgRcos
t
and the power absorbed by the system is
dE
dt
= −mg˙Y + ml¨( ˙X cos  − ˙Y sin ) − ml ˙ 2( ˙X sin  + ˙Y cos ) + m˙R · ¨R
= mgR
sin
t + mlR¨
cos(
t − ) + mlR˙2
sin(
t − )

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

พลังงานเป็นE =12ml 2 ˙2 +12mV 2 + ml ˙ (˙X cos − ˙Y บาป) − mgl cos − mgY=12ml 2 ˙2 − mgl cos +12mY 20 2 cos2 t + mlY0˙บาป cost − mgY0 costและพลังงานที่ดูดซึมเดอdt= −mg˙Y + ml¨ (˙X cos − ˙Y บาป) − ml ˙ 2 (˙X บาป + ˙Y cos) + m˙R · ¨R= mgY0ความบาปt + mlY0¨sinบาป t + mlY0˙2 บาปt cos + 2 ของฉัน0 2 บาปt cost= mgY0ความบาปt +12mY 20 2 บาป 2t + mlY0ความบาปt (¨sin + ˙2 cos)•สนับสนุนจุดในกลมสม่ำเสมอการสนับสนุนจะย้ายกับ X(t) = Rsint, Y (t) = RcostL =1˙มล 2 2 2 + ml ˙ (˙X (t) cos sin − ˙Y (t)) +12m (˙X (t) 2 + ˙Y (t) 2) + mgl cos mgY (t) +=12ml 2 ˙2 + mgl cos + mlR˙ cos (t − ) +12mR22 + mgRcostสมการของโรงแรมลากรองจ์ได้0 = ddt@L@˙−@L@=เลขจด ml2 + mgl บาป− mlR(ทำบาป 2t − )=มิลลิลิตร (g + R + เลขจด ml22 cost) mlR −บาป2 cos sintสำหรับแกว่งเล็ก เราเห็นว่า มีเงินสมทบการสั่นได้จะคืนค่าแรงความโน้มถ่วง และระยะการขับ oscillatoryพลังงานเป็นE =12ml 2 ˙2 − mgl cos + mlR ˙บาป(t − ) +12mR22 − mgRcostและพลังงานที่เข้าระบบเดอdt= −mg˙Y + ml¨ (˙X cos − ˙Y บาป) − ml ˙ 2 (˙X บาป + ˙Y cos) + m˙R · ¨R=ผู้จัดการความบาปt + mlR เลขจดcos (t −) + mlR ˙2(บาปt − )

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พลังงาน E =

1
2ml2  ˙ 2
1
2mv 2 ml ˙  ( ˙ x cos −  ˙ Y บาป  ) cos −−มิลลิกรัมต่อลิตร  mGy
=
1
2ml2  ˙ 2 − 1 มิลลิกรัมต่อลิตร เพราะ 

2my 2
0
2
t mly0 cos2
 ˙บาป  cos
T
T
mgy0 cos −และพลังที่ซึมซับ


= −เดอ DT มิลลิกรัม˙ Y มลตั้ง  ( ˙ x cos −  ˙ Y บาป  ) − ml ˙  2 ( ˙ x บาป  ˙ Y เพราะ  ) M ˙ตั้ง R R ด้วย
=

T
mly0 mgy0 บาปบาปบาป  ตั้ง 
T
 mly0 ˙ 2
t cos บาป  2
0
2 T
T cos บาป

=

T
mgy0 บาป2my 1
2
0
2
2
t mly0 บาปบาป
t (  ตั้งบาป   ˙ 2 คอส  )
-
สนับสนุนจุดในเครื่องแบบวงกลมเคลื่อนไหวสนับสนุน จะย้ายไปอยู่กับ X ( t ) = ศรี น
T , Y ( t ) = rcos
.
=
1 l
2ml2 ˙  2 ml ˙  ( ˙ x ( t ) เพราะ  −˙ Y ( t ) บาป  )
1
2 M ( ˙ x ( t ) 2 ˙ Y ( T ) 2 ) มิลลิกรัมต่อลิตร เพราะ  mGy ( T )
=
1
2ml2  ˙ 2 มิลลิกรัมต่อลิตร เพราะ  MLR
 ˙ cos (
T −  )
1
2mr2
2
t
mgrcos สมการของลากรองจ์
0 = D
L
@  DT
@

@ ˙− l
@
= ml2 ตั้ง   − 1
2 มิลลิกรัมต่อลิตร บาปบาป (
T −  )
= ml2 ตั้ง  ml ( กรัม R
2
t cos บาป  − 1 )
2 เพราะ  บาป
T
สำหรับการสั่นเล็กๆ เราเห็นว่า มีสั่นบริจาคเพื่อฟื้นฟู
แรงโน้มถ่วงแรง และลังเลขับรถในระยะ พลังงาน E =


1
2ml2  ˙ 2 − 1 มิลลิกรัมต่อลิตร เพราะ   ˙บาป (
T −  )
1
2mr2
2 − mgrcos
T
และพลังดูดซึมโดยระบบ


DT เดอ= −มิลลิกรัม˙ Y มลตั้ง  ( ˙ x cos −  ˙ Y บาป  ) − ml ˙  2 ( ˙ x บาป  ˙ Y เพราะ  ) M ˙ R ด้วยตั้ง R
=

t และบาป MLR  ตั้ง
cos (
T −  ) MLR  ˙ 2
บาป (
T −  )