The weighted directed graph of A is

The weighted directed graph of A is denoted by D(A). It is an ordered pair (N(A), E(A)) where N(A)
is a finite set of nodes {1, 2,..., n} and E(A) is a set of directed edges, with an edge (i, j) from i to
j if and only if aij > 0. A path is a sequence of distinct nodes i1, i2,..., ik of length k − 1 with the
weight ai1i2 ai2i3 ··· aik−1ik , where (ip, ip+1) is an edge in D(A) for p = 1,..., k − 1. It is standard that
A is an irreducible matrix if and only if there is a directed path between any two nodes in D(A). A cycle
of length k is a closed path of the form i1, i2,..., ik, i1. The kth root of its weight is called its cycle
geometric mean. For a matrix A ∈ Rn×n
+ , the maximal cycle geometric mean over all possible cycles
in D(A) is denoted by μ(A). A cycle with the maximum cycle geometric mean is called a critical cycle.
Nodes that lie on some critical cycle are known as critical nodes and denoted by NC (A). The set of
edges belonging to critical cycles are said to be critical edges and denoted by EC (A). The critical matrix
of A [8,9], AC , is formed from the submatrix of A consisting of the rows and columns corresponding to
critical nodes as follows. Set aC
ij = aij if (i, j) lies on a critical cycle and aC
ij = 0 otherwise. We use the
notation DC (A) for the critical graph where DC (A) = D(AC ) = (NC (A), EC (A)).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

กราฟแบบถ่วงน้ำหนักของ A สามารถระบุ โดย D(A) เป็นคู่ที่สั่ง (N(A), E(A)) ที่ N(A)คือแบบจำกัดของโหน {1, 2,..., n } และ E(A) เป็นชุดของขอบโดยตรง มีขอบ (i, j) จากผมเจถ้าและเฉพาะถ้า aij > 0 เส้นทางเป็นลำดับของโหนทั้งหมด i1, i2,..., ik ยาว k − 1 มีการน้ำหนัก ai1i2 ai2i3 ··· aik−1ik ที่ (ip, ip + 1) จะมีขอบใน D(A) p = 1,..., k − 1 เป็นมาตรฐานที่คือ เมตริกซ์เป็นอย่างต่ำถ้าและเดียวถ้ามีเส้นทางโดยตรงระหว่างโหนดใด ๆ สองใน D(A) วงจรการ ความยาว k เป็นเส้นปิดของฟอร์ม i1, i2,..., ik, i1 เรียกว่าราก kth ของน้ำหนักตัวในวงจรเรขาคณิต สำหรับแบบเมตริกซ์ A ∈ Rn × n+, เรขาคณิตรอบสูงสุดผ่านวงจรได้ทั้งหมดใน D(A) คุณสามารถระบุ โดย μ(A) รอบ ด้วยค่าเฉลี่ยเรขาคณิตรอบสูงสุดจะเรียกว่าเป็นวงจรที่สำคัญโหนดที่อยู่ในบางรอบที่สำคัญเรียกว่าโหนที่สำคัญ และสามารถบุโดย NC (A) ชุดของขอบของวงจรที่สำคัญกล่าวได้ว่า เป็นขอบที่สำคัญ และสามารถบุโดย EC (A) เมตริกซ์สำคัญของการ [8,9], AC จะเกิดขึ้นจาก submatrix ของประกอบด้วยแถวและคอลัมน์ที่สอดคล้องกับโหนดที่สำคัญเป็นดังนี้ ชุด aCij แค = aij ถ้า (i, j) อยู่บนวงจรสำคัญและ aCij แค = 0 เป็นอย่างอื่น เราใช้สัญกรณ์ที่ DC (A) สำหรับกราฟสำคัญที่ DC (A) = D (AC) = (NC (A), EC (A))

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

กราฟถ่วงน้ำหนักของผู้กำกับจะแสดงโดย D (A) มันเป็นคู่ที่สั่งซื้อ (N (A) E (A)) โดยที่ N (A)
คือขอบเขตของโหนด {1, 2, ... , n} และ E (A) เป็นชุดของขอบกำกับ, ที่มีขอบ (ฉัน j) จาก i
เพื่อญถ้าหากAIJ> 0 เส้นทางเป็นลำดับของโหนดที่แตกต่างกัน i1 ที่ i2, ... , IK ของความยาว k - 1
กับน้ำหนักai1i2 ai2i3 ··· AIK-1ik ที่ (IP, IP + 1) เป็นขอบใน D (A) p = 1, ... , k - 1
คือมาตรฐานที่เป็นเมทริกซ์ลดลงไม่ได้ถ้าหากมีการกำกับเส้นทางระหว่างสองโหนดใน D (A) วงจรของความยาว k เป็นเส้นทางที่ปิดของ i1 รูปแบบ i2, ... , IK, i1
ราก KTH
ของน้ำหนักของมันจะถูกเรียกว่าวงจรเรขาคณิตหมายถึง สำหรับเมทริกซ์∈ Rn × n
+
วงจรสูงสุดเฉลี่ยเรขาคณิตมากกว่ารอบเป็นไปได้ทั้งหมดในD (A) แสดงโดยμ (A) วงจรที่มีรอบสูงสุดเฉลี่ยเรขาคณิตเรียกว่าวงจรที่สำคัญ.
โหนดที่อยู่ในบางวงจรที่สำคัญที่รู้จักกันเป็นโหนดที่สำคัญและการแสดงโดยอร์ทแคโรไลนา (A) ชุดของขอบที่เป็นรอบที่สำคัญจะกล่าวว่าเป็นขอบที่สำคัญและแสดงโดยอีซี (A)
เมทริกซ์ที่สำคัญของ [8,9], AC จะถูกสร้างขึ้นจาก submatrix ของประกอบด้วยแถวและคอลัมน์ที่สอดคล้องกับโหนดที่สำคัญดังต่อไปนี้ ตั้ง AC เจ = ถ้า AIJ (ฉัน j) อยู่ในรอบที่สำคัญและ AC เจ = 0 เป็นอย่างอื่น เราใช้สัญกรณ์ DC (A) สำหรับกราฟที่สำคัญที่ซี (A) = D (AC) = (NC (A), EC (A))

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

กราฟระบุทิศทางถ่วงน้ำหนักของเขียนโดย D ( A ) มันเป็นคู่อันดับ ( N ( A ) E ( มี ) เมื่อ n ( ) เป็นเซตจำกัดของจุด
{ 1 , 2 , . . . , n } และ E ( ) เป็นชุดของการประดับประดาด้วยขอบ ( I , J ) จากฉัน

J ถ้าและ ถ้า aij > 0 เส้นทางคือลำดับของโหนด i1 I2 , ที่แตกต่างกัน , . . . , ผมยาว K − 1 ด้วย
ai1i2 น้ำหนัก ai2i3 ···ฮอกกี้− 1ik ที่ ( IP , IP 1 ) เป็นขอบใน D ( ) P = 1 , . . .K − 1 มันเป็นมาตรฐานที่
เป็นเมทริกซ์ลดลงถ้าและเพียงถ้ามันกำกับเส้นทางระหว่างสองโหนดใน D ( A ) วงจร
ความยาว K เป็นปิดเส้นทางของแบบฟอร์ม i1 I2 , , . . . , อิค i0 . การ kth รากของน้ำหนักของมัน เรียกว่าวงจร
เรขาคณิตหมายถึง สำหรับเมทริกซ์∈ Rn × N
, รอบสูงสุดค่าเฉลี่ยเรขาคณิตทั้งหมดเป็นไปได้รอบ
D ( ) เขียนโดยμ ( )รอบกับรอบสูงสุดค่าเฉลี่ยเรขาคณิตที่เรียกว่าวงจรวิกฤต
โหนดที่อยู่รอบบางท่านจะเรียกว่าจุดวิกฤต และแทน โดย NC ( ) ชุด
ขอบของรอบวิกฤตเป็นขอบที่สำคัญและแทน โดย EC ( ) วิกฤตของ 8,9 เมทริกซ์
[ ] , AC , จะถูกสร้างขึ้นจาก submatrix ของประกอบด้วยแถวและคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน

โหนดที่สำคัญดังนี้ ชุด AC
ij = aij ถ้า ( I , J ) ตั้งอยู่บนวงจรที่สำคัญและ AC
ij = 0 เป็นอย่างอื่น เราใช้
โน้ต DC ( ) เพื่อวิเคราะห์กราฟที่ DC ( ) = D ( AC ) = ( NC ( ) , EC (
) )