INTRODUCTION Multiplication plays

INTRODUCTION
Multiplication plays a critical role in students’ mathematical development. It is widely used in many content areas such as number and operations, measurement, and pattern and function. Also, good understanding of this operation positively influences on students’ meaningful use of algorithm and serves a foundation for proportional reasoning (Reys, Lindquist, Lambdin, & Smith, 2009).
To understand multiplication and use it proficiently, students need to think multiplicatively. Multiplicative thinking is different from additive thinking, which involves higher levels of abstraction and more inclusion relationships (Clark & Kamii, 1996). Given that multiplicative thinking plays an entry point to the world of ratio and proportion (Singh, 2000), the development of students’ multiplicative thinking ability from the early grades is desirable. However, in spite of the importance of multiplicative thinking, several studies have reported students’ difficulties with multiplication learning (Siemon & Virgona, 2001). For instance, Clark and Kamii (1996) found that even more than half of the 5th graders who learned multiplication more than 3 years could not demonstrate solid multiplicative thinking. Other studies also reported that one of the most frequent errors in solving multiplication problems was students’ incorrect use of addition. From these results, transition from additive to multiplicative thinking is likely to be a hard work for students.
Given this background, most studies focused on multiplicative thinking and proportional reasoning but they tended to deal with it respectively. Little is known about how one kind of thinking is related or influenced to another kind of thinking. Given that multiplicative thinking is important and is a foundation for later learning of proportion, it is informative to look into multiplicative thinking in relation to proportional reasoning. Specifically, this paper explores how multiplicative thinking works in solving proportional problems. It first explores students’ multiplicative thinking levels and their characteristics, and then scrutinizes how they may function in solving proportion problems. As such, this paper gives some implications of the importance of multiplicative thinking and instructional directions.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แนะนำ คูณมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาคณิตศาสตร์ของนักเรียน แพร่หลายใช้ในหลายพื้นที่ของเนื้อหาเช่นหมายเลขการดำเนินงาน วัด และรูปแบบ และฟังก์ชัน ยัง ความเข้าใจที่ดีของการดำเนินการนี้บวกมีผลต่อการใช้อัลกอริทึมที่นักเรียนมีความหมาย และทำหน้าที่เป็นพื้นฐานในการใช้เหตุผลเป็นสัดส่วน (Reys, Lindquist, Lambdin, & Smith, 2009) การคูณการทำความเข้าใจ และใช้งานให้ นักเรียนต้องคิด multiplicatively ความคิดเชิงการคูณจะแตกต่างจากความคิดที่สามารถ ที่เกี่ยวข้องระดับสูงของ abstraction และความสัมพันธ์รวมอื่น ๆ (Clark & Kamii, 1996) ระบุว่าการคิดเชิงการคูณเล่นจุดสู่โลกของอัตราส่วนและสัดส่วน (สิงห์ 2000), การพัฒนาความคิดเชิงการคูณของนักเรียนจากระดับต้นจะต้อง อย่างไรก็ตาม แม้ว่าความสำคัญของการคิดเชิงการคูณ ศึกษาหลายได้รายงานปัญหานักเรียนคูณ (Siemon & Virgona, 2001) การเรียนรู้ เช่น คลาร์กและ Kamii (1996) พบว่ากว่าครึ่งของนักเรียน 5 คนเรียนคูณมากกว่า 3 ปีอาจไม่แสดงความคิดเชิงการคูณแข็ง ศึกษาอื่นรายงานว่า หนึ่งในข้อผิดพลาดบ่อย ๆ ในการแก้ปัญหาการคูณใช้ไม่ถูกต้องนักเรียนเพิ่ม จากผลลัพธ์เหล่านี้ เปลี่ยนจากบวกการคิดเชิงการคูณเป็นแนวโน้มที่จะทำงานหนักสำหรับนักเรียน กำหนดให้พื้นหลังนี้ การศึกษาส่วนใหญ่มุ่งเน้นความคิดเชิงการคูณ และสัดส่วนการใช้เหตุผลแต่พวกเขามีแนวโน้มที่จะ จัดการกับมันตามลำดับ น้อยคือรู้จักวิธีหนึ่งของความคิดที่เกี่ยวข้อง หรือมีอิทธิพลต่อการคิดชนิดอื่น ระบุว่าการคิดเชิงการคูณเป็นสิ่งสำคัญ และเป็นรากฐานในการเรียนรู้ในภายหลังของสัดส่วน มีข้อมูลให้ดูในความคิดเชิงการคูณเกี่ยวกับเหตุผลเป็นสัดส่วน โดยเฉพาะ กระดาษนี้สำรวจงานคิดเชิงการคูณวิธีในการแก้ปัญหาเป็นสัดส่วน มันก่อน สำรวจระดับการคิดเชิงการคูณของนักเรียนและลักษณะของพวกเขา แล้ว scrutinizes ว่าพวกเขาอาจทำงานในการแก้ปัญหาสัดส่วน เช่น กระดาษนี้ให้บางนัยความสำคัญของทิศทางการจัดการเรียนการสอนและคิดเชิงการคูณ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทนำคูณมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน
มันถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในพื้นที่เนื้อหาหลายอย่างเช่นจำนวนและการดำเนินงานการวัดและรูปแบบและการทำงาน นอกจากนี้ยังมีความเข้าใจที่ดีของการดำเนินการนี้มีอิทธิพลในเชิงบวกของนักเรียนใช้ความหมายของอัลกอริทึมและทำหน้าที่รากฐานสำหรับเหตุผลสัดส่วน (Reys, Lindquist, Lambdin และสมิ ธ 2009).
เพื่อให้เข้าใจถึงการคูณและใช้งานได้คล่องนักเรียนต้องคิด multiplicatively ความคิดคูณจะแตกต่างจากความคิดของสารเติมแต่งที่เกี่ยวข้องกับระดับที่สูงขึ้นของนามธรรมและอื่น ๆ ความสัมพันธ์รวม (คลาร์กและ Kamii, 1996) ระบุว่าการคิดคูณเล่นจุดเข้าสู่โลกของอัตราส่วนและสัดส่วน (ซิงห์, 2000) การพัฒนาของนักเรียนสามารถในการคิดเกรดคูณจากต้นเป็นที่พึงปรารถนา อย่างไรก็ตามแม้ความสำคัญของการคิดการคูณการศึกษาหลายแห่งมีการรายงานความยากลำบากของนักเรียนกับการเรียนรู้การคูณ (Siemon และ Virgona, 2001) ยกตัวอย่างเช่นคลาร์กและ Kamii (1996) พบว่ามากกว่าครึ่งหนึ่งของนักเรียนระดับประถม 5 คูณที่ได้เรียนรู้มากขึ้นกว่า 3 ปีไม่สามารถแสดงให้เห็นถึงความคิดคูณของแข็ง การศึกษาอื่น ๆ ยังมีรายงานว่าหนึ่งในข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในการแก้ปัญหาการคูณเป็นนักเรียนใช้ไม่ถูกต้องนอกจากนี้ จากผลเหล่านี้เปลี่ยนแปลงจากสารเติมแต่งความคิดคูณมีแนวโน้มที่จะทำงานอย่างหนักเพื่อให้นักเรียน.
ป.ร. ให้ไว้ ณ พื้นหลังนี้การศึกษาส่วนใหญ่มุ่งเน้นไปที่ความคิดของการคูณและการให้เหตุผลสัดส่วน แต่พวกเขามีแนวโน้มที่จะจัดการกับมันตามลำดับ ไม่ค่อยมีใครรู้เกี่ยวกับวิธีการหนึ่งในชนิดของการคิดที่เกี่ยวข้องหรือได้รับอิทธิพลชนิดของการคิดอีก ระบุว่าการคิดคูณเป็นสิ่งสำคัญและเป็นรากฐานการเรียนรู้ต่อมาจากสัดส่วนก็เป็นข้อมูลที่จะมองไปในความคิดคูณในความสัมพันธ์กับเหตุผลสัดส่วน โดยเฉพาะบทความนี้สำรวจวิธีการคิดคูณทำงานในการแก้ปัญหาสัดส่วน มันเป็นครั้งแรกสำรวจนักศึกษาระดับความคิดของการคูณและลักษณะของพวกเขาแล้วเพ่งพิศวิธีที่พวกเขาจะทำหน้าที่ในการแก้ปัญหาสัดส่วน เช่นกระดาษนี้จะช่วยให้ผลกระทบบางส่วนของความสำคัญของการคิดการคูณและทิศทางการเรียนการสอน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บทนำ
คูณได้มีบทบาทในการพัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน มันถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในพื้นที่เนื้อหาหลายอย่าง เช่น การ หมายเลข และ วัด และรูปแบบและฟังก์ชัน นอกจากนี้ความเข้าใจที่ดีของงานนี้มีอิทธิพลของนักเรียนที่มีความหมายใช้ขั้นตอนวิธีและบริการพื้นฐานสำหรับการใช้เหตุผลเชิงสัดส่วน ( reys lambdin ลินด์ควิสต์ , , , & สมิธ2009 )
เข้าใจการคูณและใช้มันได้คล่อง นักเรียนต้องคิด multiplicatively . วิธีคิดแตกต่างจากการคิดบวก ซึ่งเกี่ยวข้องกับระดับที่สูงขึ้นของสิ่งที่เป็นนามธรรมและความสัมพันธ์รวมมากขึ้น ( คลาร์ก& kamii , 1996 ) ระบุว่าการคิดวิธีเล่นจุดเข้าสู่โลกของอัตราส่วนและสัดส่วน ( Singh , 2000 )การพัฒนาความสามารถในการคิดของนักเรียนจากคะแนนคูณต้นเป็นที่พึงปรารถนา อย่างไรก็ตาม แม้ความสำคัญของการคิดวิธี การศึกษาหลายได้รายงานปัญหาของนักศึกษาที่เรียนด้วยการคูณ ( ซีมอน& virgona , 2001 ) สำหรับอินสแตนซ์คลาร์กและ kamii ( 1996 ) พบว่ามากกว่าครึ่งหนึ่งของเด็ก ป. 5 ที่เรียนรู้การคูณ มากกว่า 3 ปี ไม่สามารถแสดงให้เห็นถึงวิธีคิดที่เป็นของแข็ง การศึกษาอื่น ๆ นอกจากนี้ยังมีรายงานว่าหนึ่งในข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในการแก้โจทย์ปัญหาการคูณคือนักเรียนใช้ผิดวิธีนอกจาก จากผลเหล่านี้การเปลี่ยนจากการบวกการคูณ คิดว่าอาจจะเป็นงานยากสำหรับนักเรียน
ให้พื้นหลังนี้ การศึกษาส่วนใหญ่เน้นวิธีคิด และการใช้เหตุผลเชิงสัดส่วน แต่พวกเขามีแนวโน้มที่จะจัดการกับมัน ตามลำดับ เป็นที่รู้จักกันเพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีการหนึ่งที่เป็นความคิดหรืออิทธิพลอื่นที่เกี่ยวข้องกับชนิดของการคิดระบุว่าวิธีคิดสำคัญและเป็นรากฐานสำหรับภายหลังการเรียนรู้ของสัดส่วน มันมีข้อมูลที่จะมองเข้าไปในวิธีคิดในความสัมพันธ์กับการใช้เหตุผลเชิงสัดส่วน โดยเฉพาะ กระดาษนี้สํารวจวิธีคิดการทำงานในการแก้ไขปัญหาสัดส่วน ก่อนสำรวจนักเรียนระดับคิดวิธีและลักษณะของพวกเขาและประณามว่าพวกเขาอาจทำงานในการแก้ไขปัญหาสัดส่วน เช่น กระดาษนี้จะช่วยให้ความหมายบางอย่างในความสำคัญของการสอนวิธีคิดและทิศทาง