Using Tournament Trees to SortAlexa

Using Tournament Trees to Sort
Alexander Stepanov and Aaron Kershenbaum
Polytechnic University
333 Jay Street
Brooklyn, New York 11201
Adstract
We develop a new data structure, called a tournament tree, which is a generalization of binomial trees of Brown and Vuillemin and show that it can be used to efficiently implement a family of sorting algorithms in a uniform way. Some of these algorithms are similar to already known ones; others are original and have a unique set of properties. Complexity bounds on many of these algorithms are derived and some previously unknown facts about sets of comparisons performed by different sorting algorithms are shown.
I.INTRUDUCIONU
Sorting, and the data structures used for sorting, is one of the most extensively studied areas in computer science. Knuth [I] is an encyclopedic compendium of sorting techniques. Recent surveys have also been given by Sedgewick [2] and Gonnet [3].
The use of trees for sorting is well established. Floyd's original Treesort 183 was refined by Williams 193 to produce Heapsort. Both of these algorithms have the useful property that a partial sort can also be done efficiently: i.e., it is possible to obtain the k smallest of N elements in O[N+k*log(N)] steps. (Throughout this paper, we will use base 2 logarithms.) Recently, Brown [6] and Vuillemin [7] have developed a sorting algorithm using binomial queues, which are conceptually similar to tournament queues, but considerably more difficult to implement.

The tournament tree data structure which we present allows us to develop an entire family of sorting algorithms with this property. The algorithms are all built around the same algorithmic primitives and therefore are all implemented with almost identical code which is concise, straightforward, and efficient. By selecting the appropriate mix sf primitives, we can implement sorts with excellent worst case performance, average case performance, or performance for specific types of data (e.g., partially ordered data).
We implement these primitives and the algorithms based on
This research supported by the New York State Foundation for Science and Technology as part of its Centers for Advanced Technology Program.

them and then analyze the algorithms I. performance. In doing so, we discover important similarities among algorithms previously thought to be different. We also show that the new data structure results in an implementation which is both more straightforward and more efficient than those of algorithms with comparable properties.
II. Tournament Trees
We define a tournament tree as a tree with the following properties:
1) It is rooted; Lee, the links in the tree are directed from parents to children and there is a unique element with no parent.
2) The parent of a node has a key value which is less than or equal to that of the node. In general any comparison operator can be used as long as the relative values of parent and child are invariant throughout the tree. Thus, as in the case of a heap, the tree is a partial ordering of the keys. We will use the %81 operator throughout this paper and hence, refer to parents as
%mallertf than their children in a heap.

As their name implies, tournament trees arise naturally in the course of competitions among the nodes, with the loser of a contest becoming the child of the winner. Figure 1 shows a tournament tree with 8 nodes. Trees with number of nodes not a power of 2 contain f1holesf8w,h ich in general may be anywhere in the tree. We note that tournament trees are a proper generalization of heaps, which restrict a node to at most two children.

3) The kth child of a node can itself have at most k children. We adhere to the convention that a node's children are indexed O,l,..k, starting from the right.
4) The root of a tree containing N nodes can have at most log(N) children.
These properties, which are maintained by some of the sorting algorithms presented below, allow us to guarantee worst case O[N log(N)] performance of the algorithms.

These properties, which are maintained by some of the sorting algorithms presented below, allow us to guarantee worst case O[N log(N)] performance of the algorithms.
In order to understand how to create and manipulate tournament trees, we must first understand their internal representation. Figure 2b shows the internal representation of the tree shown in Figure 2a. This tree is formed by starting with the list ( (1) (2) (3) (4) ) . We then run a tournament between 1 and 2. Next, we run a tournament between 3 and 4. Finally, we run a tournament between 1 and 3, the winners of the previous tournaments. The result is a tree, as shown, with each node having as its children the losers of tournaments with it.

We now turn to the primitives for producing and maintaining tournament trees. We use a simple subset of SCHEME [4,5] (a dialect of LISP), to illustrate algorithms as we feel this is more precise and allows the reader to actually try out the algorithms immediately.

The function LISTIFY! creates the initial list which is used to begin the sort. It takes as input a list containing the elements to be sorted; e.g., (1 2 3 4). It returns as output a list containing lists which contain the numbers; e.g., ((1) (2) (3) (4)). Each of these single element lists is a valid tournament tree as define above. The output of LISTIFY! is thus a list of tournament trees, which we refer to as a tournament forest.
(DEFINE (LISTIFY! L)
(WHEN (PAIR? L)
(SET-CAR! LLIST (CAR L) ) )
(LISTIFY! (CDR L) ) )


The next primitive is GRAB!, which takes two arguments (which are tournament trees) and makes the second the leftmost child of the first. Note that GRAB! does not create any additional CONS-cells (garbage) .
(DEFINE (GRAB! X Y)
(SET-CDR! Y (CDAR X) )
(SET-CDR! (CAR X) Y)
X)
Figure 3 illustrates the operation of GRAB!. Using GRAB, it is simple to run a tournament between two nodes. The function TOURNAMENT-PLAY! takes as input the two tlplayerstaln d a predicate indicating the type of competition which will be held: e.g., a comparison operator such as tttt. It plays the two competitors against one another and makes the loser the leftmost child of the winner. The arguments X and Y are tournament trees. The actual competitors are the values at the roots of these trees. We refer to these simply as the roots of the trees. GRAB! merges these two trees, creating a single tournament tree with the winner of the tournament as its root. Note that the way tournament trees are represented, the value at the root of a tournament tree is actually the CAAR (first element of the first element in the list) representing the tree.

(DEFINE (TOURNAMENT-PLAY! X Y PREDICATE)
(IF (PREDICATE (CAAR X) (CAAR Y))
(GRAB! X Y)
(GRAB! Y X) ) )
We define a tournament round to be a set of tournaments where the roots of pairs of trees in the tournament forest compete. The losers of each tournament are made children of the winners. Thus, a tournament round halves the number of trees in the forest. Note that TOURNAMENT-ROUND! forms the forest of winners in reverse order to their appearance in the original forest. This is done to avoid having to append one list to another; we have no actual preference for the order of the trees in the forest.



(DEFINE (TOURNAMENT-ROUND! SO-FAR TO-BE-DONE PREDICATE)
(COND ( (NULL? TO-BE-DONE)
SO-FAR)
( (NULL? ( CDR TO-BE-DONE)
(SET-CDR! TO-BE-DONE SO-FAR)
TO-BE-DONE)
(ELSE
(LET ((NEXT (CDDR TO-BE-DONE))
(NEW (TOURNAMENT-PLAY! TO-BE-DONE
(CDR TO-BE-DONE)
PREDICATE) ) )
(SET-CDR! NEW SO-FAR)
(TOURNAMENT-ROUND! NEW NEXT PREDICATE)))))
A tournament is defined as repeated tournament rounds which reduce a tournament forest to a forest containing a single tournament tree. The function TOURNAMENT! does this.
(DEFINE (TOURNAMENT! FOREST PREDICATE)
(IF (NULL? (CDR FOREST) )
(CAR FOREST)
(TOURNAMENT! (TOURNAMENT-ROUND! '() FOREST PREDICATE)
PREDICATE ) ) )

Thus, TOURNAMENT! is analogous to a function which sets up a heap at the beginning of Heapsort. Given N elements, it does a total of N-1 comparisons (as compared with 2N to set up a heap) and sets up a partial ordering among all the elements to be sorted. The root of the surviving tournament tree is the smallest element. We have thus determined the first element in the sorted ,.- list. We also know that the second element is one of the children of this element. This is reminiscent of the algorithm, given in Xnuth [I, pp. 209-2121 for determining the two smallest elements in a set using the minimum possible number of comparisons. All we need to do to determine the next smallest element is

to run TOURNAMENT! on the children of .the root. Indeed, by repeating this step, we can complete the entire sort. The only other thing we need do is to accumulate the sorted elements. We thus have the following sorting algorithm.
(DEFINE (TOURNAMENT-SORT! PLIST PREDICATE)
(LISTIFY! PLIST)
(LET ( (P (TOURNAMENT! PLIST PREDICATE) ) )
(LET LOOP ( (X P) (NEXT (CDR P) ) )
(IF (NULL? NEXT)
P
(LET ( (Y (TOURNAMENT! NEXT
PREDICATE) ) )
(SET-CDR! X Y (LOOP y (CDR Y)))))))
T

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ใช้ต้นไม้แข่งขันการเรียงลำดับStepanov อเล็กซานเดอร์และ Aaron Kershenbaumมหาวิทยาลัยโรงเรียนสารพัดช่าง333 ถนนเจย์Brooklyn, New York 11201 Adstractเราพัฒนาเป็นโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกต้นไม้การแข่งขัน ซึ่งเป็น generalization ทวินามต้นไม้สีน้ำตาลและ Vuillemin และแสดงว่า สามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของอัลกอริทึมการเรียงลำดับในรูป ของอัลกอริทึมเหล่านี้มีลักษณะคล้ายกับแล้วเรียกว่าคน อื่น ๆ เป็นต้นฉบับ และมีชุดเฉพาะของคุณสมบัติ มาขอบเขตความซับซ้อนบนอัลกอริทึมเหล่านี้มากมาย และมีแสดงข้อเท็จจริงบางอย่างไม่รู้จักก่อนหน้านี้เกี่ยวกับชุดเปรียบเทียบที่ดำเนินการ โดยอัลกอริทึมเรียงลำดับแตกต่างกัน I.INTRUDUCIONU การเรียงลำดับ และโครงสร้างข้อมูลที่ใช้สำหรับการเรียงลำดับ เป็นหนึ่งในพื้นที่อย่างกว้างขวางที่สุด studied ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ Knuth [I] จะย่อเป็นสารานุกรมของเทคนิคการเรียงลำดับ สำรวจล่าสุดยังได้รับให้ Sedgewick [2] และ Gonnet [3] การใช้ต้นไม้สำหรับการเรียงลำดับถูกกำหนดขึ้นดี 183 Treesort เดิมของฟลอยด์ได้บริสุทธิ์ โดยวิลเลียมส์ 193 การผลิต Heapsort ทั้งอัลกอริทึมเหล่านี้มีคุณสมบัติเป็นประโยชน์ที่การจัดเรียงบางส่วนสามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพ: เช่น จำเป็นต้องได้รับ k ที่น้อยที่สุดขององค์ประกอบ N ใน O[N+k*log(N)] ขั้นตอนการ (ตลอดทั้งเอกสารนี้ เราจะใช้ลอการิทึมฐาน 2) ล่าสุด สีน้ำตาล [6] และ Vuillemin [7] ได้พัฒนาอัลกอริทึมการเรียงลำดับการใช้คิวทวินาม ซึ่งทางแนวคิดคล้ายกับคิวการแข่งขัน แต่มากยากต่อการใช้ การแข่งขันข้อมูลโครงสร้างแผนภูมิที่เรานำเสนอช่วยให้เราสามารถพัฒนาครอบครัวของอัลกอริทึม มีลักษณะนี้การเรียงลำดับ อัลกอริทึมมีทั้งหมดมานำ algorithmic เดียว และจึง มีใช้เหมือนกับรหัสที่กระชับ ตรงไปตรงมา และมีประสิทธิภาพ โดยเลือกที่เหมาะสมผสมนำ sf เราสามารถนำการเรียงลำดับ มีประสิทธิภาพดีเยี่ยมกรณีเลวร้ายที่สุด ประสิทธิภาพเฉลี่ยกรณี หรือประสิทธิภาพสำหรับชนิดเฉพาะของข้อมูล (เช่น บางส่วนสั่งข้อมูล) เราใช้นำเหล่านี้และอัลกอริทึมตามงานวิจัยนี้ได้รับการสนับสนุน โดยมูลนิธิรัฐนิวยอร์กสำหรับวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีเป็นส่วนหนึ่งของศูนย์ของโปรแกรมเทคโนโลยีขั้นสูง พวกเขาแล้ว วิเคราะห์ประสิทธิภาพการทำงานของอัลกอริทึม I. ในการทำเช่นนั้น เราค้นพบความเหมือนที่สำคัญในอัลกอริทึมที่ก่อนหน้านี้ คิดว่า จะแตกต่างกัน เรายังแสดงที่ใหม่ข้อมูลโครงสร้างผลลัพธ์ในการดำเนินการที่ตรงไปตรงมามากขึ้น และมีประสิทธิภาพมากกว่าของอัลกอริทึมมีคุณสมบัติเทียบเคียงครั้งที่สองแข่งขันต้นไม้เรากำหนดแข่งขันต้นไม้เป็นต้นไม้ที่มีคุณสมบัติต่อไปนี้:1) มันเป็นราก ลี การเชื่อมโยงในแผนภูมิจะถูกนำมาจากผู้ปกครองเด็ก และมีองค์ประกอบไม่ซ้ำกับผู้ปกครองไม่2)หลักของโหนมีค่าคีย์ที่น้อยกว่า หรือเท่ากับของโหนด โดยทั่วไป ดำเนินการเปรียบเทียบใด ๆ สามารถใช้ตราบใดที่ค่าสัมพันธ์ของแม่และลูกจะนิ่งตลอดทั้งต้น ดังนั้น เช่นในกรณีของกองการ ต้นได้การสั่งซื้อบางส่วนของคีย์ เราจะใช้ตัวดำเนินการ 81% ตลอดทั้งเอกสารนี้ และด้วยเหตุนี้ หมายถึงพ่อแม่เป็นmallertf %มากกว่าเด็กพะเนินเทินทึก ตามความหมายของชื่อ ต้นไม้การแข่งขันเกิดขึ้นตามธรรมชาติในหลักสูตรการแข่งขันระหว่างโหน กับใครของการประกวดที่เป็น ลูกของผู้ชนะ รูปที่ 1 แสดงต้นไม้แข่งขันกับโหนด 8 ต้นไม้ มีโหนไม่กำลัง 2 ประกอบด้วย f1holesf8w, h ich ทั่วไปอาจจะทุกต้น เราสังเกตต้นไม้แข่งขัน generalization ที่เหมาะสมของเซฟ ที่จำกัดโหนกับเด็กมากที่สุด 2 คน 3 ลูก) kth โหนตัวเองได้มากที่สุดเด็ก k เรายึดตามการประชุมเด็กของโหนที่เป็น O, l, ... k เริ่มจากด้านขวา4) รากของต้นไม้ที่ประกอบด้วย N โหนได้มากที่สุดเด็ก log(N) คุณสมบัติเหล่านี้ ซึ่งจะถูกบันทึก โดยอัลกอริทึมการเรียงลำดับแสดงด้านล่างอย่างใดอย่างหนึ่ง ให้เรารับประกันกรณีเลวร้ายที่สุด O [N log(N)] ประสิทธิภาพการทำงานของอัลกอริทึมการ คุณสมบัติเหล่านี้ ซึ่งจะถูกบันทึก โดยอัลกอริทึมการเรียงลำดับแสดงด้านล่างอย่างใดอย่างหนึ่ง ให้เรารับประกันกรณีเลวร้ายที่สุด O [N log(N)] ประสิทธิภาพการทำงานของอัลกอริทึมการ ความเข้าใจในวิธีการสร้าง และจัดการแข่งขันต้นไม้ เราต้องเข้าใจตัวแทนภายใน รูปที่ 2b แสดงแทนภายในของแผนภูมิที่แสดงในรูปที่ 2a แผนภูมินี้จะเกิดขึ้น โดยเริ่มต้นด้วยรายชื่อ ((1) (2) (3) (4)) เราแล้วทำการแข่งขันระหว่าง 1 และ 2 ถัดไป เราทำการแข่งขันระหว่าง 3 และ 4 สุดท้าย เราทำการแข่งขันระหว่าง 1 และ 3 ผู้ชนะการแข่งขันก่อนหน้านี้ ผลคือ ต้นไม้ ที่มี แต่ละโหนมีเป็นรองของ losers ของแข่งขันกับ เราตอนนี้เปิดเพื่อนำการผลิต และรักษาต้นไม้แข่งขัน เราใช้ชุดย่อยง่ายของแผนงาน [4,5] (เป็นภาษาถิ่นของภาษาลิสป์), เพื่อแสดงให้เห็นถึงอัลกอริทึมเรารู้สึกนี้ชัดเจนยิ่งขึ้น และช่วยให้ผู้อ่านจริง ลองอัลกอริทึมแบบทันที ฟังก์ชัน LISTIFY สร้างรายการเริ่มต้นที่ใช้ในการเริ่มต้นการเรียงลำดับ ก็เป็นรายการที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเรียงลำดับ การป้อนข้อมูล เช่น, (1 2 3 4) จะส่งกลับค่าผลผลิตรายการประกอบด้วยรายการที่ประกอบด้วยหมายเลข เช่น, ((1) (2) (3) (4)) แต่ละรายการเหล่านี้องค์ประกอบหนึ่งเป็นแข่งขันถูกต้องตามที่กำหนดข้างต้น ผลผลิตของ LISTIFY เป็นรายการของการแข่งขัน ซึ่งเราอ้างอิงถึงเป็นป่าแข่งขัน (กำหนด (LISTIFY L) (เมื่อ (คู่ L) (ชุดรถยนต์ LLIST (รถ L))) (LISTIFY (CDR L)) ) กับขึ้นถัดไปจะคว้า!, ซึ่งใช้อาร์กิวเมนต์ที่สอง (ซึ่งเป็นต้นไม้แข่งขัน) และทำให้สองเด็กซ้ายครั้งแรก หมายเหตุที่คว้า สร้างใด ๆ เพิ่มเติมข้อด้อยเซลล์ (ขยะ)(กำหนด (คว้า X Y) (CDR ชุด Y (CDAR X)) (CDR ชุด (รถ X) Y) X) รูปที่ 3 แสดงการทำงานของคว้า ใช้คว้า มันจะง่ายที่จะทำการแข่งขันระหว่างสองโหนด ฟังก์ชันการเล่นการแข่งขัน ใช้เพรดิเคตการบ่งชี้ประเภทของการแข่งขันซึ่งจะจัดขึ้นเป็นอินพุตทั้งสอง tlplayerstaln d: เช่น การดำเนินการเปรียบเทียบเช่น tttt มันเล่นสองคู่แข่งกับคนอื่น และทำให้ใครที่เด็กซ้ายของผู้ชนะ อาร์กิวเมนต์ X และ Y เป็นต้นการแข่งขัน คู่แข่งที่แท้จริงคือ ค่าที่รากของต้นไม้เหล่านี้ เราอ้างอิงเหล่านี้เป็นรากของต้นไม้ก็ คว้า ผสานต้นไม้ทั้งสองนี้ การสร้างต้นไม้แข่งขันเดียวกับผู้ชนะการแข่งขันเป็นรากของ หมายเหตุที่ แสดงถึงต้นแข่งขันทาง ค่าที่รากของต้นไม้แข่งขันเป็นจริง CAAR (องค์ประกอบแรกขององค์ประกอบแรกในรายการ) แสดงแผนภูมิ (กำหนด (แข่งขันเล่น X Y เพรดิเคต) (ถ้า (เพรดิเคต (CAAR X) (CAAR Y)) (คว้า X Y) (คว้า Y X))) เรากำหนดแข่งขันรอบเป็น ชุดแข่งขันที่รากของต้นไม้ในป่าการแข่งขันคู่แข่งขัน Losers ของแต่ละการแข่งขันจะชนะเด็ก ดังนั้น การแข่งขันรอบ halves จำนวนต้นไม้ในป่า หมายเหตุการแข่งขันรอบ แบบป่าของผู้ชนะในลำดับย้อนกลับให้ลักษณะที่ปรากฏในป่าเดิม นี้จะทำเพื่อหลีกเลี่ยงการผนวกรายการหนึ่งไปยังอีก เราได้ตั้งค่าไม่มีจริงสำหรับใบสั่งของต้นไม้ในป่า (กำหนด (รอบการแข่งขัน เพรดิเคต SO-FAR ไป-BE-ทำ) (((NULL COND ต้อง-BE-ทำ) SO-FAR) ((NULL หรือไม่ (CDR ไป-BE-ทำ) (CDR ชุด ต้อง-BE-ทำอื่น ๆ ไกล) ต้อง-BE-ทำ) (อื่น (((ถัดไป (CDDR ไป-BE-ทำ)) ให้ (ใหม่ (แข่งขันเล่น ต้อง-BE-ทำ (CDR ไป-BE-ทำ) เพรดิเคต))) (CDR ชุด ใหม่อื่น ๆ ไกล) (รอบการแข่งขัน ใหม่ถัดไปเพรดิเคต)))การแข่งขันถูกกำหนดเป็นรอบแข่งขันซ้ำซึ่งช่วยลดการแข่งขันป่าจะเป็นป่าที่ประกอบด้วยต้นไม้แข่งขันเดี่ยว ฟังก์ชันการแข่งขัน ไม่นี้(กำหนด (การแข่งขัน ป่าเพรดิเคต) (ถ้า (NULL หรือไม่ (ป่า CDR)) (รถป่า) (การแข่งขัน (รอบการแข่งขัน เพรดิเคตป่า()) เพรดิเคต))) ดังนั้น การแข่งขัน จะคล้ายคลึงกับฟังก์ชันซึ่งตั้งกองที่จุดเริ่มต้นของ Heapsort ได้กำหนดองค์ประกอบ N ไม่จำนวน N-1 การเปรียบเทียบ (เมื่อเทียบกับ 2N เพื่อตั้งเป็นกอง) และตั้งเป็นบางส่วนสั่งระหว่างองค์ประกอบทั้งหมดจะเรียงลำดับ รากของต้นไม้แข่งขันรอดตายเป็นองค์ประกอบที่เล็กที่สุด เราจึงได้กำหนดองค์ประกอบแรกในการเรียงลำดับ การ-รายการ เรายังรู้ว่า องค์ประกอบที่สองเป็นลูกขององค์ประกอบนี้อย่างใดอย่างหนึ่ง นี่คือของอัลกอริทึม กำหนดใน Xnuth [I, 209 พีพีอ่าวมาหยา-2121 สำหรับกำหนดองค์ประกอบที่น้อยที่สุดสองในชุดจำนวนเปรียบเทียบต่ำสุดที่สามารถใช้ สิ่งที่เราต้องทำเพื่อกำหนดองค์ประกอบที่เล็กที่สุดถัดไปคือ to run TOURNAMENT! on the children of .the root. Indeed, by repeating this step, we can complete the entire sort. The only other thing we need do is to accumulate the sorted elements. We thus have the following sorting algorithm.(DEFINE (TOURNAMENT-SORT! PLIST PREDICATE) (LISTIFY! PLIST) (LET ( (P (TOURNAMENT! PLIST PREDICATE) ) ) (LET LOOP ( (X P) (NEXT (CDR P) ) ) (IF (NULL? NEXT) P (LET ( (Y (TOURNAMENT! NEXT PREDICATE) ) ) (SET-CDR! X Y (LOOP y (CDR Y))))))) T

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอการใช้ต้นไม้การแข่งขันเรียง
อเล็กซานเดอร์ stepanov และอาโรน kershenbaum

333 มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคเจถนน
นิวยอร์ก 1 adstract

เราพัฒนาโครงสร้างข้อมูลใหม่ เรียกว่าการแข่งขันต้นไม้ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของต้นไม้ทวินามของสีน้ำตาลและ vuillemin และแสดงให้เห็นว่ามันสามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพใช้ครอบครัวของการเรียงลำดับ ขั้นตอนวิธีในลักษณะที่สม่ำเสมอ