The one dimensional coupled Burgers

The one dimensional coupled Burgers’ equation can be taken as a simple model of sedimentation and evolution of scaled volume concentrations of two kinds of particles in fluid suspensions and colloids under the effect of gravity. Various researchers have proposed analytical solution to one dimensional coupled Burgers’ equation, e.g. Kaya 4 used Adomian decomposition method, Soliman 5 applied a modified extended tanh-function method, whereas numerical solutions to this system of equation have been attempted by many researchers. Esipov 6 had given numerical solutions and compared the obtained results with those given by the experiment. Abdou 7 used variational iteration method to solve coupled Burgers’ equation, whereas Wei 8 used a conjugate filter approach, Khater 9 applied the Chebyshev spectral collocation method, Dehghan 10 gave numerical solutions of coupled viscous Burgers equations by applying the Adomian- Pade technique; Rashid 11 applied Fourier pseudo-spectral method. Mittal 12 has applied a cubic B-spline collocation scheme while Mokhtari 13 used a generalized differential quadrature method. Recently, Srivastava et al. 1,2 used a fully implicit scheme and Crank-Nicolson scheme for solving this system of coupled Burgers’ equation. Further, Srivastava et al. 14,15 proposed two new finite difference schemes, namely an implicit exponential finite-difference and an implicit logarithmic finite-difference method for solving the two dimensional coupled viscous Burgers’ equation. One can refer 16–21 for various numerical schemes for two dimensional coupled Burgers’ equations whereas the exact solution of two, three and (n + 1)-dimensional Burgers’ equation can be seen in. 22–24
In this article, an implicit logarithmic finite-difference method (I-LFDM) has been applied for the numerical solution of one dimensional coupled Burgers’ equation, proposed by Srivastava et al. 15 The obtained results are compared well with the exact solutions and those already available in the literature. The accuracy and computational reliability of the I-LFDM scheme are demonstrated in terms of error norms by considering the following three test cases.
Test case 1: Consider the coupled Burgers’ equation

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หนึ่งมิติควบคู่เบอร์เกอร์ของสมการสามารถนำเป็นแบบอย่างของการตกตะกอนและวิวัฒนาการของปริมาตรปรับสัดส่วนได้ความเข้มข้นของอนุภาคในคอลลอยด์ภายใต้ผลของแรงโน้มถ่วงและบริการของเหลวสองชนิด นักวิจัยต่าง ๆ ได้เสนอแก้ไขวิเคราะห์สมการหนึ่งมิติควบคู่เบอร์เกอร์ของ เช่น Kaya 4 ใช้วิธีแยกส่วนประกอบของ Adomian สุลัย 5 ใช้วิธีขยายปรับเปลี่ยนฟังก์ชัน tanh ในขณะที่มีการพยายามแก้ไขระบบของสมการนี้เป็นตัวเลข โดยนักวิจัยหลาย Esipov 6 มีให้แก้ไขตัวเลข และเปรียบเทียบผลลัพธ์ได้รับกับผู้รับ โดยทดลอง วิธีสเปกตรัม collocation Chebyshev ใช้วิธีการเกิดซ้ำ variational 7 Abdou ใช้แก้สมการควบคู่เบอร์เกอร์ของ โดย Wei 8 ใช้วิธีการกรอง conjugate, Khater 9, Dehghan 10 ให้แก้ไขตัวเลขควบคู่ข้นเบอร์เกอร์สมการ โดยใช้เทคนิค Adomian - Pade Rashid 11 ใช้วิธีสเปกตรัม pseudo-ฟูรีเย Mittal 12 ได้ใช้แผน collocation B เหมือนลูกบาศก์ในขณะ Mokhtari 13 ใช้วิธีลภาคเมจแบบทั่วไปส่วนที่แตกต่าง , Srivastava et al. 1, 2 ใช้โครงร่างสมบูรณ์นัยและ Crank Nicolson โครงร่างสำหรับการแก้สมการควบคู่เบอร์เกอร์ของระบบนี้ เพิ่มเติม Srivastava et al. 14,15 นำเสนอสองใหม่จำกัดต่างแผนงาน คือ มีนัยเนนจำกัดความแตกต่างและวิธีผลต่างจำกัดลอการิทึมมีนัยการแก้ไขมิติสองควบคู่สมการข้นเบอร์เกอร์ หนึ่งสามารถอ้างอิง 16 – 21 สำหรับแผนต่าง ๆ เป็นตัวเลขสำหรับสมการของเบอร์เกอร์ควบคู่ได้สองมิติในขณะที่การแก้ปัญหาที่แน่นอนของสอง สาม และ (n + 1) -รูปเบอร์เกอร์สมการสามารถเห็นค่ะ 22-24ในบทความนี้ นัยลอการิทึมจำกัดความแตกต่างวิธีการ (I-LFDM) ได้ถูกใช้สำหรับการแก้ปัญหาตัวเลขของสมการหนึ่งมิติควบคู่เบอร์เกอร์ของ นำเสนอโดย Srivastava et al. 15 ที่มีการเปรียบเทียบผลได้รับดีกับโซลูชั่นแน่นอนและที่มีอยู่ในวรรณคดี ความถูกต้องและคำนวณความน่าเชื่อถือของแผน-LFDM จะแสดงในแง่บรรทัดฐานของข้อผิดพลาด โดยพิจารณากรณีทดสอบที่สามต่อไปนี้กรณีทดสอบ 1: พิจารณาสมการของเบอร์เกอร์ coupled

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สมการที่หนึ่งเบอร์เกอร์คู่มิติ 'สามารถนำมาเป็นรูปแบบเรียบง่ายของการตกตะกอนและวิวัฒนาการของการปรับความเข้มข้นของปริมาณของสองชนิดของอนุภาคแขวนลอยในของเหลวและคอลลอยด์ภายใต้ผลของแรงโน้มถ่วง นักวิจัยต่าง ๆ ได้นำเสนอโซลูชันการวิเคราะห์สมการหนึ่งเบอร์เกอร์คู่มิติ 'เช่นยะ 4 ใช้วิธีการสลายตัว Adomian, Soliman 5 ใช้วิธีการ tanh ฟังก์ชั่นการปรับเปลี่ยนขยายในขณะที่การแก้ปัญหาเชิงตัวเลขกับระบบของสมการนี้ได้รับการพยายามโดยนักวิจัยหลายคน Esipov 6 ได้รับการแก้ปัญหาที่เป็นตัวเลขและเมื่อเทียบกับผลที่ได้รับกับผู้ที่ได้รับจากการทดลอง Abdou 7 ใช้วิธีซ้ำแปรผันการแก้สมการเบอร์เกอร์คู่ 'ในขณะที่ Wei 8 ใช้วิธีการกรองคอนจูเกต, Khater 9 ใช้วิธีการจัดระเบียบเซฟสเปกตรัม Dehghan 10 ให้แก้ปัญหาเชิงตัวเลขของสมการคู่เบอร์เกอร์หนืดโดยใช้เทคนิค Adomian- Pade; ราชิด 11 ใช้วิธีการหลอกสเปกตรัมฟูริเยร์ Mittal 12 ได้นำรูปแบบการจัดระเบียบ B-เส้นโค้งลูกบาศก์ในขณะที่ Mokhtari 13 ใช้วิธีการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แตกต่างกันทั่วไป เมื่อเร็ว ๆ นี้ Srivastava และคณะ 1,2 ใช้แบบปริยายและรูปแบบหมุน-Nicolson สำหรับการแก้ระบบสมการเบอร์เกอร์คู่นี้ ' นอกจากนี้ Srivastava และคณะ 14,15 เสนอใหม่สองรูปแบบที่แตกต่างกันแน่นอนคือนัยชี้แจง จำกัด แตกต่างและวิธีการ จำกัด แตกต่างนัยลอการิทึมสำหรับการแก้สมการทั้งสองมิติเบอร์เกอร์หนืดคู่ ' หนึ่งสามารถดู 16-21 สำหรับแผนการตัวเลขต่างๆสำหรับเบอร์เกอร์สองมิติคู่ 'สมการในขณะที่การแก้ปัญหาที่แท้จริงของสองสามและ (N + 1) เบอร์เกอร์มิติ' สมการสามารถเห็นได้ใน. 22-24
ในบทความนี้โดยปริยาย วิธีการ จำกัด แตกต่างลอการิทึม (I-LFDM) ได้รับการประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของสมการหนึ่งเบอร์เกอร์คู่มิติ ', เสนอโดย Srivastava และคณะ 15 ผลที่ได้รับจะถูกเปรียบเทียบกันได้ดีกับการแก้ปัญหาที่ถูกต้องและผู้ที่มีอยู่แล้วในวรรณคดี ความถูกต้องและความน่าเชื่อถือในการคำนวณของโครงการ I-LFDM จะแสดงให้เห็นในแง่ของบรรทัดฐานข้อผิดพลาดโดยการพิจารณาดังต่อไปนี้กรณีทดสอบ
กรณีทดสอบที่ 1: สมการพิจารณาควบคู่เบอร์เกอร์ '

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

หนึ่งมิติคู่เบอร์เกอร์ ' สมการสามารถเอาเป็นแบบอย่างที่เรียบง่ายของการตกตะกอนและวิวัฒนาการของการปรับปริมาณความเข้มข้นของอนุภาคในของไหลสองชนิดของสารแขวนลอยคอลลอยด์และภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง นักวิจัยได้เสนอวิธีการวิเคราะห์สมการเบอร์เกอร์ ' คู่หนึ่งมิติ เช่น การใช้ adomian กายา 4 วิธีโซลิแมน 5 ประยุกต์ดัดแปลงขยายฟังก์ชัน TANH วิธีในขณะที่การจำลองเชิงตัวเลขของระบบสมการได้พยายามโดยนักวิจัยหลาย esipov 6 ได้รับผลเฉลยเชิงตัวเลขและเปรียบเทียบผลการทดลองกับผู้ที่ได้รับ โดยการทดลอง abdou 7 ใช้วิธีทำซ้ำการแก้สมการเบอร์เกอร์ ' คู่ ส่วนเว่ย 8 ใช้กรองผันวิธีการkhater 9 ใช้เซฟสเปกตรัมการจัดวางแบบ dehghan 10 ให้ผลเฉลยเชิงตัวเลขของสมการเบอร์เกอร์คู่หนืดโดยใช้ adomian - Pade เทคนิค ฟูเรียร์เทียมวิธีประยุกต์การราชิด 11 Mittal 12 ได้ใช้ลูกบาศก์ b-spline collocation mokhtari 13 โครงการ ในขณะที่ใช้ทั่วไปพื้นที่แตกต่างวิธี เมื่อเร็ว ๆนี้ ศรีวัสทวา et al . 12 ใช้รูปแบบอย่างแนบเนียนและข้อเหวี่ยงนิโคลสันโครงการแก้ระบบนี้ควบคู่เบอร์เกอร์ ' สมการ เพิ่มเติม ศรีวัสทวา et al . 14,15 เสนอวิธีผลต่างสืบเนื่องแบบใหม่สองรูปแบบ คือ ผลของการแยกและแยกลอการิทึมชี้แจงผลของวิธีการแก้สองมิติคู่ข้นเบอร์เกอร์ ' สมการหนึ่งสามารถดู 16 – 21 สำหรับระเบียบวิธีเชิงตัวเลขสำหรับสองมิติต่าง ๆควบคู่เบอร์เกอร์ ' สมการและโซลูชั่นที่สอง สาม และ ( 1 ) เบอร์เกอร์ ' มิติสมการที่สามารถเห็นได้ใน 22 – 24
ในบทความนี้วิธีการผลลอการิทึมโดยปริยาย ( i-lfdm ) ได้ถูกใช้สำหรับผลเฉลยเชิงตัวเลขของสมการเบอร์เกอร์ ' มิติหนึ่งคู่ ,ที่เสนอโดย ศรีวัสทวา et al . 15 ผลการทดลองเปรียบเทียบกับโซลูชั่นที่แน่นอนและมันมีอยู่ในวรรณคดี ความแม่นยำและความเชื่อถือได้การคำนวณของโครงการ i-lfdm แสดงในแง่เกณฑ์ความคลาดเคลื่อน โดยพิจารณาจากสามกรณีทดสอบต่อไปนี้
กรณีทดสอบที่ 1 : พิจารณาคู่ ' สมการเบอร์เกอร์