Not to be confused with Maxwell–Bol

Not to be confused with Maxwell–Boltzmann statistics.
In physics, particularly statistical mechanics, the Maxwell–Boltzmann distribution or Maxwell speed distribution describes particle speeds in idealized gases where the particles move freely inside a stationary container without interacting with one another, except for very brief collisions in which they exchange energy and momentum with each other or with their thermal environment. Particle in this context refers to gaseous atoms or molecules, and the system of particles is assumed to have reached thermodynamic equilibrium.[1]

The distribution is a probability distribution for the speed of a particle within the gas - the magnitude of its velocity. This probability distribution indicates which speeds are more likely: a particle will have a speed selected randomly from the distribution, and is more likely to be within one range of speeds than another. The distribution depends on the temperature of the system and the mass of the particle.[2]

The Maxwell–Boltzmann distribution applies to the classical ideal gas, which is an idealization of real gases. In real gases, there are various effects (e.g., van der Waals interactions, vortical flow, relativistic speed limits, and quantum exchange interactions) that make their speed distribution sometimes very different from the Maxwell–Boltzmann form. However, rarefied gases at ordinary temperatures behave very nearly like an ideal gas and the Maxwell speed distribution is an excellent approximation for such gases. Thus, it forms the basis of the kinetic theory of gases, which provides a simplified explanation of many fundamental gaseous properties, including pressure and diffusion.[3]

The distribution is named after James Clerk Maxwell and Ludwig Boltzmann. While the distribution was first derived by Maxwell in 1860 on basic grounds,[4] Boltzmann later carried out significant investigations into the physical origins of this distribution.

Contents
1 Distribution function
2 Typical speeds
3 Derivation and related distributions
3.1 Distribution for the momentum vector
3.2 Distribution for the energy
3.3 Distribution for the velocity vector
4 See also
5 References
6 Further reading
7 External links
Distribution function[edit]

The speed probability density functions of the speeds of a few noble gases at a temperature of 298.15 K (25 °C). The y-axis is in s/m so that the area under any section of the curve (which represents the probability of the speed being in that range) is dimensionless.
The Maxwell–Boltzmann distribution is the function


where is the particle mass and is the product of Boltzmann's constant and thermodynamic temperature.

This probability density function gives the probability, per unit speed, of finding the particle with a speed near . This equation is simply the Maxwell distribution (given in the infobox) with distribution parameter . In probability theory the Maxwell–Boltzmann distribution is a chi distribution with three degrees of freedom and scale parameter .

The simplest ordinary differential equation satisfied by the distribution is:



or in unitless presentation:



Typical speeds[edit]
The mean speed, most probable speed (mode), and root-mean-square can be obtained from properties of the Maxwell distribution.

The most probable speed, vp, is the speed most likely to be possessed by any molecule (of the same mass m) in the system and corresponds to the maximum value or mode of f(v). To find it, we calculate df/dv, set it to zero and solve for v:

which yields:


where R is the gas constant and M = NA m is the molar mass of the substance.

For diatomic nitrogen (N2, the primary component of air) at room temperature (300 K), this gives m/s
The mean speed is the expected value of the speed distribution

The root mean square speed is the second-order moment of speed:

The typical speeds are related as follows:


Derivation and related distributions[edit]
The original derivation in 1860 by James Clerk Maxwell was an argument based on demanding certain symmetries in the speed distribution function.[4] After Maxwell, Ludwig Boltzmann in 1872 derived the distribution on more mechanical grounds by using the assumptions of his kinetic theory, and showed that gases should over time tend toward this distribution, due to collisions (see H-theorem). He later (1877) derived the distribution again under the framework of statistical thermodynamics. The derivations in this section are along the lines of Boltzmann's 1877 derivation, starting with result known as Maxwell–Boltzmann statistics (from statistical thermodynamics). Maxwell–Boltzmann statistics give the average number of particles found in a given single-particle microstate, under certain assumptions:[1][5]


 
 
 
 
(1)
where:

i and j are indices (or labels) of the single-particle microstates.
Ni is the average number of particles in the single-particle microstate i.
N is the total number of particles in the system.
Ei is the energy of microstate i.
T is the equilibrium temperature of the system.
k is the Boltzmann constant.
The assumptions of this equation are that the particles do not interact, and that they are classical; this means that each particle's state can be considered independently from the other particles' states. Additionally, the particles are assumed to be in thermal equilibrium. The denominator in Equation (1) is simply a normalizing factor so that the Ni/N add up to 1 — in other words it is a kind of partition function (for the single-particle system, not the usual partition function of the entire system).

Because velocity and speed are related to energy, Equation (1) can be used to derive relationships between temperature and the speeds of gas particles. All that is needed is to discover the density of microstates in energy, which is determined by dividing up momentum space into equal sized regions.

Distribution for the momentum vector[edit]
The potential energy is taken to be zero, so that all energy is in the form of kinetic energy. The relationship between kinetic energy and momentum for massive non-relativistic particles is


 
 
 
 
(2)
where p2 is the square of the momentum vector p = [px, py, pz]. We may therefore rewrite Equation (1) as:


 
 
 
 
(3)
where Z is the partition function, corresponding to the denominator in Equation (1). Here m is the molecular mass of the gas, T is the thermodynamic temperature and k is the Boltzmann constant. This distribution of Ni/N is proportional to the probability density function fp for finding a molecule with these values of momentum components, so:


 
 
 
 
(4)
The normalizing constant c, can be determined by recognizing that the probability of a molecule having some momentum must be 1. Therefore the integral of equation (4) over all px, py, and pz must be 1.

It can be shown that:


 
 
 
 
(5)
Substituting Equation (5) into Equation (4) gives:

   (6)

The distribution is seen to be the product of three independent normally distributed variables , , and , with variance . Additionally, it can be seen that the magnitude of momentum will be distributed as a Maxwell–Boltzmann distribution, with . The Maxwell–Boltzmann distribution for the momentum (or equally for the velocities) can be obtained more fundamentally using the H-theorem at equilibrium within the kinetic theory framework.

Distribution for the energy[edit]
The energy distribution is found imposing


 
 
 
 
(7)
where is the infinitesimal phase-space volume of momenta corresponding to the energy interval . Making use of the spherical symmetry of the energy-momentum dispersion relation , this can be expressed in terms of as


 
 
 
 
(8)
Using then (8) in (7), and expressing everything in terms of the energy , we get


and finally

   (9)

Since the energy is proportional to the sum of the squares of the three normally distributed momentum components, this distribution is a gamma distribution; in particular, it is a chi-squared distribution with three degrees of freedom.

By the equipartition theorem, this energy is evenly distributed among all three degrees of freedom, so that the energy per degree of freedom is distributed as a chi-squared distribution with one degree of freedom:[6]


where is the energy per degree of freedom. At equilibrium, this distribution will hold true for any number of degrees of freedom. For example, if the particles are rigid mass dipoles of fixed dipole moment, they will have three translational degrees of freedom and two additional rotational degrees of freedom. The energy in each degree of freedom will be described according to the above chi-squared distribution with one degree of freedom, and the total energy will be distributed according to a chi-squared distribution with five degrees of freedom. This has implications in the theory of the specific heat of a gas.

The Maxwell–Boltzmann distribution can also be obtained by considering the gas to be a type of quantum gas.

Distribution for the velocity vector[edit]
Recognizing that the velocity probability density fv is proportional to the momentum probability density function by


and using p = mv we get



which is the Maxwell–Boltzmann velocity distribution. The probability of finding a particle with velocity in the infinitesimal element [dvx, dvy, dvz] about velocity v = [vx, vy, vz] is


Like the momentum, this distribution is seen to be the product of three independent normally distributed variables , , and , but with variance . It can also be seen that the Maxwell–Boltzmann velocity distribution for the vector velocity [vx, vy, vz] is the product of the distributions for each of the three directions:


where the distribution for a single direction is


Each component of the velocity vector has a normal distribution with mean and standard deviation , so the vector has a 3-dimensional normal distribution, a particular kind of multivariate normal distribution, with mean and standard deviation .

The Maxwell–Bolt

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ไม่สับสนกับสถิติตัวแมกซ์เวลล์โบลทซ์มานน์ในฟิสิกส์ ควอนตัมโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวแมกซ์เวลล์โบลทซ์มานน์กระจาย หรือแจกจ่ายความเร็วแมกซ์เวลล์อธิบายถึงความเร็วของอนุภาคในก๊าซ idealized ที่อนุภาคจะย้ายได้อย่างอิสระภายในบรรจุเครื่องเขียนโดยไม่โต้ตอบกับคนอื่น ยกเว้นสั้น ๆ ตามที่พวกเขาแลกเปลี่ยนพลังงานและโมเมนตัมที่กัน หรือสภาพแวดล้อมของความร้อน อนุภาคในบริบทนี้หมายถึงโมเลกุลหรืออะตอมเป็นต้น และคาดว่าระบบของอนุภาคได้ถึงสมดุลทางอุณหพลศาสตร์ [1]การกระจายคือ การกระจายความน่าเป็นความเร็วของอนุภาคในก๊าซ - ขนาดของความเร็ว แจกแจงความน่าเป็นนี้บ่งชี้ว่า ความเร็วที่มีแนวโน้ม: อนุภาคจะเลือกแบบสุ่มจากการกระจายความเร็ว และมีแนวโน้มที่จะได้ภายในหนึ่งช่วงของความเร็วกว่าอีกด้วย การกระจายขึ้นอยู่กับอุณหภูมิของระบบและมวลของอนุภาค [2]The Maxwell–Boltzmann distribution applies to the classical ideal gas, which is an idealization of real gases. In real gases, there are various effects (e.g., van der Waals interactions, vortical flow, relativistic speed limits, and quantum exchange interactions) that make their speed distribution sometimes very different from the Maxwell–Boltzmann form. However, rarefied gases at ordinary temperatures behave very nearly like an ideal gas and the Maxwell speed distribution is an excellent approximation for such gases. Thus, it forms the basis of the kinetic theory of gases, which provides a simplified explanation of many fundamental gaseous properties, including pressure and diffusion.[3]The distribution is named after James Clerk Maxwell and Ludwig Boltzmann. While the distribution was first derived by Maxwell in 1860 on basic grounds,[4] Boltzmann later carried out significant investigations into the physical origins of this distribution.Contents1 Distribution function2 Typical speeds3 Derivation and related distributions3.1 Distribution for the momentum vector3.2 Distribution for the energy3.3 Distribution for the velocity vector4 See also5 References6 Further reading7 External linksDistribution function[edit]The speed probability density functions of the speeds of a few noble gases at a temperature of 298.15 K (25 °C). The y-axis is in s/m so that the area under any section of the curve (which represents the probability of the speed being in that range) is dimensionless.การกระจายของแมกซ์เวลล์ตัวโบลทซ์มานน์เป็นฟังก์ชันซึ่งเป็นอนุภาคที่มวล และเป็นผลิตภัณฑ์ที่อุณหภูมิคง และขอบของตัวโบลทซ์มานน์ฟังก์ชันความน่าเป็นความหนาแน่นนี้ทำให้ความน่าเป็น ต่อหน่วยความเร็ว ค้นหาอนุภาค มีความเร็วใกล้ สมการนี้เป็นเพียงการแมกซ์เวลกระจาย (มีให้ในกล่องข้อมูล) กับพารามิเตอร์ของการแจกจ่าย ในทฤษฎีความน่าเป็นแมกซ์เวลล์ – ตัวโบลทซ์มานน์ แจกจะแจกชีกับองศาสามของเสรีภาพและพารามิเตอร์ขนาดเป็นง่ายที่สุดสามัญสมการเชิงอนุพันธ์ตามการกระจาย:หรือ ในงานนำเสนอ unitless:โดยทั่วไปความเร็ว [แก้ไข]ความเร็วเฉลี่ย ความเร็วสูงสุดน่าเป็น (โหมด), และสี่ เหลี่ยมหมายถึงรากสามารถได้รับจากคุณสมบัติของการแจกแจงของแมกซ์เวลล์ความเร็วสูงสุดน่าเป็น vp คือ ความเร็วมักจะต้องมี โดยโมเลกุลใด ๆ (ของมวล m เดียว) ในระบบ และสอดคล้องกับค่าสูงสุดหรือโหมดของ f(v) การค้นหา เราคำนวณ df/dv ตั้งค่าเป็นศูนย์ และหา v คัมภีร์:ซึ่งก่อให้เกิด:โดยที่ R คือ ค่าคงที่ของก๊าซและ M =นา m คือ มวลของสารสบสำหรับ diatomic ไนโตรเจน (N2 ส่วนประกอบหลักของอากาศ) ที่อุณหภูมิห้อง (300 K), ซึ่งทำให้ m/sความเร็วเฉลี่ยคือ ค่าคาดหมายของการกระจายความเร็วรากค่าเฉลี่ยกำลังสองความเร็วคือ ขณะนี้ใบสั่งที่สองความเร็ว:ความเร็วทั่วไปเกี่ยวข้องดังนี้:มาและที่เกี่ยวข้องกับการกระจาย [แก้ไข]มาเดิมใน 1860 โดย James เคลิร์กแมกซ์เวลล์อาร์กิวเมนต์ตามเรียกร้องบางอย่าง symmetries ในฟังก์ชันการกระจายความเร็วได้ [4] หลังจากแมกซ์เวลล์ ลุดวิกแห่งตัวโบลทซ์มานน์ในเนียร์ช ได้รับการกระจายจากเครื่องจักรกลมากขึ้น โดยใช้สมมติฐานของทฤษฎีจลน์ของเขา และแสดงให้เห็นว่า ก๊าซควรเวลา มีแนวโน้มไปทางการกระจายนี้ เนื่องจากไม่เกิดการชน (ดูทฤษฎีบท H) เขาในภายหลัง (1877) มาแจกจ่ายอีกครั้งภายใต้กรอบของอุณหพลศาสตร์สถิติ มีรากศัพท์ในส่วนนี้พร้อมตัวของโบลทซ์มานน์มา 1877 เริ่มต้น ด้วยผลลัพธ์ที่เรียกว่าสถิติตัวแมกซ์เวลล์โบลทซ์มานน์ (จากอุณหพลศาสตร์สถิติ) จำนวนเฉลี่ยของอนุภาคใน microstate เดียวอนุภาคที่กำหนด ภายใต้สมมติฐานบางอย่างให้สถิติตัวแมกซ์เวลล์โบลทซ์มานน์: [1] [5]    (1)ที่ตั้ง:i และ j คือ ดัชนี (หรือป้ายชื่อ) ของตองอนุภาคเดียวNi เป็นจำนวนเฉลี่ยของอนุภาคใน microstate อนุภาคเดียวฉันนั้นN คือ จำนวนอนุภาคทั้งหมดในระบบEi เป็นพลังงานของ microstate ฉันT คือ อุณหภูมิสมดุลของระบบk คือ ค่าคงตัวโบลทซ์มานน์สมมติฐานของสมการนี้จะว่า อนุภาคที่โต้ตอบไม่ และที่เป็นคลาสสิก ซึ่งหมายความ ว่า สถานะของอนุภาคแต่ละสามารถเป็นอิสระจากอเมริกาของอนุภาคอื่น ๆ นอกจากนี้ อนุภาคจะถือว่าอยู่ในสมดุลความร้อน ตัวหารในสมการ (1) เป็นเพียงปัจจัยการ normalizing ว่า Ni/N เพิ่มถึง 1 ซึ่งกล่าว เป็นชนิดของฟังก์ชันพาร์ทิชัน (สำหรับอนุภาคเดี่ยวระบบ ไม่ฟังก์ชันพาร์ทิชันปกติทั้งระบบ)เนื่องจากความเร็วและความเร็วเกี่ยวข้องกับพลังงาน สามารถใช้สมการ (1) สามารถรับความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิและความเร็วของอนุภาคก๊าซ ทั้งหมดที่จำเป็นจะค้นพบความหนาแน่นของตองในพลังงาน ซึ่งกำหนด โดยแบ่งเนื้อที่โมเมนตัมในขนาดพื้นที่เท่ากันแจกเวกเตอร์โมเมนตัม [แก้ไข]พลังงานศักย์จะนำมาให้ ศูนย์ ให้พลังงานทั้งหมดที่อยู่ในรูปของพลังงานจลน์ ความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานจลน์และโมเมนตัมสำหรับอนุภาคขนาดใหญ่ไม่ใช่ relativistic    (2)กำลังสองของ p เวกเตอร์โมเมนตัม p 2 = [px, py, pz] ดังนั้นเราอาจเขียนสมการ (1) เป็น:    (3)Z อยู่ที่พาร์ทิชันฟังก์ชัน สอดคล้องกับตัวหารในสมการ (1) นี่ m คือ มวลโมเลกุลของก๊าซ T เป็นอุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ และ k คือ ค่าคงตัวโบลทซ์มานน์ นี้แจกของ Ni/N เป็นสัดส่วนกับ fp ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าเป็นหาโมเลกุล มีส่วนประกอบของโมเมนตัม ค่าเหล่านี้ดังนั้น:    (4)The normalizing constant c, can be determined by recognizing that the probability of a molecule having some momentum must be 1. Therefore the integral of equation (4) over all px, py, and pz must be 1.It can be shown that:    (5)Substituting Equation (5) into Equation (4) gives: (6)The distribution is seen to be the product of three independent normally distributed variables , , and , with variance . Additionally, it can be seen that the magnitude of momentum will be distributed as a Maxwell–Boltzmann distribution, with . The Maxwell–Boltzmann distribution for the momentum (or equally for the velocities) can be obtained more fundamentally using the H-theorem at equilibrium within the kinetic theory framework.Distribution for the energy[edit]The energy distribution is found imposing    (7)where is the infinitesimal phase-space volume of momenta corresponding to the energy interval . Making use of the spherical symmetry of the energy-momentum dispersion relation , this can be expressed in terms of as    (8)Using then (8) in (7), and expressing everything in terms of the energy , we getand finally (9)Since the energy is proportional to the sum of the squares of the three normally distributed momentum components, this distribution is a gamma distribution; in particular, it is a chi-squared distribution with three degrees of freedom.By the equipartition theorem, this energy is evenly distributed among all three degrees of freedom, so that the energy per degree of freedom is distributed as a chi-squared distribution with one degree of freedom:[6]where is the energy per degree of freedom. At equilibrium, this distribution will hold true for any number of degrees of freedom. For example, if the particles are rigid mass dipoles of fixed dipole moment, they will have three translational degrees of freedom and two additional rotational degrees of freedom. The energy in each degree of freedom will be described according to the above chi-squared distribution with one degree of freedom, and the total energy will be distributed according to a chi-squared distribution with five degrees of freedom. This has implications in the theory of the specific heat of a gas.The Maxwell–Boltzmann distribution can also be obtained by considering the gas to be a type of quantum gas.Distribution for the velocity vector[edit]Recognizing that the velocity probability density fv is proportional to the momentum probability density function byand using p = mv we getwhich is the Maxwell–Boltzmann velocity distribution. The probability of finding a particle with velocity in the infinitesimal element [dvx, dvy, dvz] about velocity v = [vx, vy, vz] isLike the momentum, this distribution is seen to be the product of three independent normally distributed variables , , and , but with variance . It can also be seen that the Maxwell–Boltzmann velocity distribution for the vector velocity [vx, vy, vz] is the product of the distributions for each of the three directions:where the distribution for a single direction isEach component of the velocity vector has a normal distribution with mean and standard deviation , so the vector has a 3-dimensional normal distribution, a particular kind of multivariate normal distribution, with mean and standard deviation .The Maxwell–Bolt

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เพื่อไม่ให้สับสนกับสถิติ Maxwell-Boltzmann.
ในฟิสิกส์กลศาสตร์สถิติโดยเฉพาะอย่างยิ่งการกระจาย Maxwell-Boltzmann หรือการกระจายความเร็วแมกซ์เวลอธิบายความเร็วอนุภาคก๊าซในอุดมคติที่อนุภาคเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระภายในภาชนะนิ่งโดยไม่ต้องมีปฏิสัมพันธ์กับคนอื่นยกเว้นมาก การชนกันสั้น ๆ ที่พวกเขาแลกเปลี่ยนพลังงานและโมเมนตัมกับแต่ละอื่น ๆ หรือกับสภาพแวดล้อมของพวกเขาระบายความร้อน อนุภาคในบริบทนี้หมายถึงอะตอมหรือโมเลกุลของก๊าซและระบบการทำงานของอนุภาคจะถือว่ามีรายได้ถึงความสมดุลทางอุณหพลศาสตร์ [1]. การจัดจำหน่ายคือการกระจายความน่าจะเป็นสำหรับความเร็วของอนุภาคภายในก๊าซ - ขนาดของความเร็ว กระจายนี้บ่งชี้ว่าความเร็วมีแนวโน้มมากขึ้น: อนุภาคจะมีความเร็วในการสุ่มเลือกจากการกระจายและมีแนวโน้มที่จะได้รับภายในหนึ่งช่วงของความเร็วกว่าที่อื่น การจัดจำหน่ายขึ้นอยู่กับอุณหภูมิของระบบและมวลของอนุภาค. [2] การกระจาย Maxwell-Boltzmann นำไปใช้กับแก๊สอุดมคติคลาสสิกซึ่งเป็นอุดมการณ์ของก๊าซที่แท้จริง ก๊าซที่แท้จริงมีผลกระทบต่างๆ (เช่นแวนเดอร์ Waals ปฏิสัมพันธ์ไหล vortical จำกัด ความเร็วความสัมพันธ์และการมีปฏิสัมพันธ์แลกเปลี่ยนควอนตัม) ที่ทำให้การกระจายความเร็วของพวกเขาบางครั้งความแตกต่างจากรูปแบบ Maxwell-Boltzmann อย่างไรก็ตามก๊าซซึ่งได้ทำให้บริสุทธิ์ที่อุณหภูมิสามัญประพฤติเกือบเช่นแก๊สอุดมคติและการกระจายความเร็วแมกซ์เวลเป็นประมาณที่ดีเยี่ยมสำหรับก๊าซดังกล่าว ดังนั้นจึงเป็นพื้นฐานของทฤษฎีการเคลื่อนไหวของก๊าซซึ่งมีคำอธิบายที่เรียบง่ายของก๊าซหลายคุณสมบัติพื้นฐานรวมทั้งความดันและการกระจาย. [3] การกระจายการตั้งชื่อตามเสมียนเจมส์แมกซ์เวลและ Ludwig Boltzmann ในขณะที่การจัดจำหน่ายที่ได้มาครั้งแรกโดยแมกซ์เวลในปี 1860 ในบริเวณพื้นฐาน [4] Boltzmann ภายหลังดำเนินการสืบสวนอย่างมีนัยสำคัญเข้าสู่ต้นกำเนิดทางกายภาพของการกระจายนี้. สารบัญ1 ฟังก์ชั่นการกระจายความเร็ว 2 ทั่วไป3 มาและการกระจายที่เกี่ยวข้อง3.1 การจัดจำหน่ายสำหรับโมเมนตัมเวกเตอร์3.2 สำหรับการกระจายพลังงาน3.3 การจัดจำหน่ายสำหรับความเร็วเวกเตอร์4 ดูเพิ่มเติม5 อ้างอิง6 อ่านเพิ่มเติม7 แหล่งข้อมูลอื่นฟังก์ชั่นการกระจาย [แก้ไข] ฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นความเร็วของความเร็วของก๊าซมีตระกูลไม่กี่ที่อุณหภูมิ 298.15 K (25 ° C) . แกน y อยู่ใน s / m เพื่อให้พื้นที่ตามมาตราใดของเส้นโค้ง (ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความน่าจะเป็นของความเร็วอยู่ในช่วงนั้น) เป็นขนาด. กระจาย Maxwell-Boltzmann เป็นฟังก์ชั่นที่เป็นมวลของอนุภาคและเป็น สินค้าที่อุณหภูมิคงที่และความร้อนของ Boltzmann. หนาแน่นเป็นฟังก์ชันนี้จะช่วยให้ความน่าจะเป็นต่อความเร็วหน่วยในการหาอนุภาคที่มีความเร็วใกล้ สมการนี้เป็นเพียงการกระจายแมกซ์เวล (ในกล่อง) กับพารามิเตอร์การจัดจำหน่าย ในทฤษฎีความน่าจะกระจาย Maxwell-Boltzmann คือการกระจายไคสามองศาอิสระและพารามิเตอร์ขนาด. สมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่ง่ายที่สุดในความพึงพอใจโดยการจัดจำหน่ายคือในการนำเสนอหรือ unitless: ความเร็วทั่วไป [แก้ไข] ความเร็วเฉลี่ยความเร็วน่าจะเป็นที่สุด ( โหมด) และรากเฉลี่ยตารางสามารถหาได้จากคุณสมบัติของการกระจายแมกซ์เวล. ความเร็วน่าจะเป็นที่สุดรองประธานฝ่ายเป็นความเร็วส่วนใหญ่มีแนวโน้มที่จะถูกครอบงำโดยโมเลกุลใด ๆ (ของมวลเดียวกันม.) ในระบบและสอดคล้องกับ ค่าสูงสุดหรือโหมดของ f (V) จะพบว่าเราจะคำนวณ DF / DV ตั้งเป็นศูนย์และแก้ปัญหาสำหรับวี: ที่ทำให้: . ที่ R คือคงก๊าซและ M = NA m คือมวลโมเลกุลของสารไนโตรเจนสำหรับอะตอมสองอะตอม (N2 ซึ่งเป็นองค์ประกอบหลัก ของอากาศ) ที่อุณหภูมิห้อง (300 K) นี้จะช่วยให้ m / s ความเร็วเฉลี่ยเป็นค่าที่คาดหวังของการกระจายความเร็วรากหมายถึงตารางความเร็วเป็นช่วงเวลาที่สองคำสั่งของความเร็ว: ความเร็วทั่วไปที่เกี่ยวข้องดังต่อไปนี้: ที่มา และการกระจายที่เกี่ยวข้อง [แก้ไข] รากศัพท์เดิมในปี 1860 โดยเจมส์แมกซ์เวลเสมียนเป็นข้อโต้แย้งขึ้นอยู่กับความต้องการ symmetries บางอย่างในฟังก์ชั่นการกระจายความเร็ว. [4] หลังจากที่แมกซ์เวลลุดวิก Boltzmann ใน 1872 ที่ได้รับการจัดจำหน่ายในบริเวณกลมากขึ้นโดยใช้สมมติฐาน ทฤษฎีเกี่ยวกับการเคลื่อนไหวของเขาและแสดงให้เห็นว่าก๊าซควรเมื่อเวลาผ่านไปมีแนวโน้มไปกระจายนี้เนื่องจากการชนกัน (ดู H-ทฤษฎีบท) หลังจากนั้นเขาก็ (1877) ที่ได้รับการจัดจำหน่ายอีกครั้งภายใต้กรอบของอุณหพลศาสตร์สถิติ derivations ในส่วนนี้เป็นไปตามเส้นของ Boltzmann ของ 1877 มาเริ่มต้นด้วยผลที่รู้จักกันเป็นสถิติ Maxwell-Boltzmann (จากอุณหพลศาสตร์สถิติ) สถิติ Maxwell-Boltzmann ให้ค่าเฉลี่ยของจำนวนอนุภาคที่พบในที่กำหนด microstate เดียวอนุภาคภายใต้สมมติฐานบางอย่าง: [1] [5] (1) ที่อยู่: i และ j เป็นดัชนี (หรือฉลาก) ของพันธนาการเดียวอนุภาคNi เป็นจำนวนเฉลี่ยของอนุภาคใน microstate เดียวอนุภาค i. N คือจำนวนของอนุภาคในระบบ. Ei พลังงานของ microstate i. T คืออุณหภูมิสมดุลของระบบ. k เป็นค่าคงที่ Boltzmann. สมมติฐานของสมการนี้ว่าอนุภาคไม่โต้ตอบและที่พวกเขามีความคลาสสิก; นี้หมายความว่ารัฐของอนุภาคแต่ละคนสามารถได้รับการพิจารณาเป็นอิสระจากรัฐอนุภาคอื่น ๆ นอกจากนี้อนุภาคจะถือว่าอยู่ในสมดุลความร้อน ส่วนในสมการ (1) เป็นเพียงปัจจัย normalizing เพื่อให้ Ni / N เพิ่มขึ้นถึง 1 - ในคำอื่น ๆ มันเป็นชนิดของฟังก์ชั่นพาร์ทิชัน (สำหรับระบบอนุภาคเดียวไม่แบ่งหน้าที่ตามปกติของระบบทั้งหมด ). เพราะความเร็วและความเร็วในการที่เกี่ยวข้องกับพลังงานสมการ (1) สามารถนำมาใช้ให้ได้มาซึ่งความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิและความเร็วของอนุภาคก๊าซ ทั้งหมดที่จำเป็นคือการค้นพบความหนาแน่นของพันธนาการในการใช้พลังงานซึ่งจะถูกกำหนดโดยการหารพื้นที่โมเมนตัมเป็นภูมิภาคที่มีขนาดเท่ากัน. จำหน่ายโมเมนตัมเวกเตอร์ [แก้ไข] พลังงานที่มีศักยภาพจะนำไปเป็นศูนย์เพื่อให้พลังงานทั้งหมดที่อยู่ใน รูปแบบของพลังงานจลน์ ความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานจลน์และโมเมนตัมสำหรับอนุภาคที่ไม่ใช่ความสัมพันธ์ขนาดใหญ่คือ(2) ที่ p2 เป็นตารางของโมเมนตัมเวกเตอร์พี = [พิกเซล, PY, PZ] ดังนั้นเราจึงอาจเขียนสมการ (1) ดังนี้(3) ซึ่งเป็นฟังก์ชั่น Z พาร์ทิชันที่สอดคล้องกับตัวหารในสมการ (1) นี่ m คือมวลโมเลกุลของก๊าซ T คืออุณหภูมิความร้อนและ k เป็นค่าคงที่ Boltzmann การกระจายของ Ni / N นี้เป็นสัดส่วนกับฟังก์ชั่นความหนาแน่น FP สำหรับการค้นหาโมเลกุลที่มีค่าเหล่านี้ของส่วนประกอบโมเมนตัมดังนั้น: (4) ค normalizing คงที่จะถูกกำหนดโดยตระหนักว่าน่าจะเป็นของโมเลกุลที่มีแรงผลักดันบางอย่างที่จะต้อง 1. ได้รับดังนั้นหนึ่งของสมการ (4) มากกว่า px ทุก PY และ PZ จะต้อง 1. มันสามารถที่จะแสดงให้เห็นว่า: (5) แทนสมการ (5) ลงในสมการ (4) ให้:    (6) การจัดจำหน่ายคือ เห็นจะเป็นผลิตภัณฑ์ในสามของตัวแปรอิสระกระจายตามปกติและมีความแปรปรวน นอกจากนี้ก็จะเห็นได้ว่าขนาดของโมเมนตัมจะกระจายเป็นกระจาย Maxwell-Boltzmann ด้วย กระจาย Maxwell-Boltzmann โมเมนตัม (หรือเท่าเทียมกันสำหรับความเร็ว) สามารถรับได้มากขึ้นโดยใช้พื้นฐาน H-ทฤษฎีบทที่สมดุลภายในกรอบทฤษฎีจลน์. การกระจายพลังงาน [แก้ไข] การกระจายพลังงานพบการจัดเก็บภาษี(7) ที่ เป็นปริมาณเฟสพื้นที่เล็กของสักครู่ที่สอดคล้องกับช่วงเวลาที่พลังงาน การใช้สมมาตรทรงกลมของความสัมพันธ์การกระจายพลังงานโมเมนตัมนี้สามารถแสดงออกในแง่ของการเป็น(8) ใช้แล้ว (8) ใน (7), และการแสดงทุกอย่างในแง่ของพลังงานที่เราได้รับและในที่สุด   (9 ) เนื่องจากพลังงานเป็นสัดส่วนกับผลรวมของสี่เหลี่ยมของสามกระจายตามปกติส่วนประกอบโมเมนตัมการกระจายนี้เป็นกระจายแกมมา; โดยเฉพาะอย่างยิ่งก็คือการกระจายไคกำลังสองกับสามองศาอิสระ. โดยทฤษฎีบท equipartition พลังงานนี้จะกระจายในทุกสามองศาอิสระเพื่อให้พลังงานต่อระดับของเสรีภาพกระจายเป็นกระจายไคสแควร์ด้วย หนึ่งในระดับของเสรีภาพ: [6] ซึ่งเป็นพลังงานที่มีต่อระดับของเสรีภาพ สมดุลในการกระจายนี้จะถือเป็นจริงสำหรับจำนวนขององศาอิสระใด ๆ ตัวอย่างเช่นถ้าอนุภาคมีมวลไดโพลแข็งของช่วงเวลาขั้วคงที่พวกเขาจะมีสามองศาแปลของเสรีภาพและสององศาการหมุนที่เพิ่มขึ้นของเสรีภาพ การใช้พลังงานในระดับของเสรีภาพแต่ละคนจะได้รับการอธิบายตามการกระจายไคกำลังสองข้างต้นด้วยหนึ่งระดับของเสรีภาพและพลังงานทั้งหมดจะถูกกระจายไปตามการกระจายไคสแควร์กับห้าองศาอิสระ นี้มีผลกระทบในทฤษฎีของความร้อนที่เฉพาะเจาะจงของก๊าซ. กระจาย Maxwell-Boltzmann ยังสามารถได้รับโดยพิจารณาก๊าซที่เป็นชนิดของก๊าซควอนตัม. กระจายสำหรับความเร็วเวกเตอร์ [แก้ไข] จำได้ว่าน่าจะเป็นความเร็ว FV หนาแน่น เป็นสัดส่วนกับความน่าจะเป็นแรงผลักดันความหนาแน่นของฟังก์ชั่นโดยใช้ p = mv ที่เราได้รับซึ่งเป็นการกระจายความเร็ว Maxwell-Boltzmann ความน่าจะเป็นในการหาอนุภาคที่มีความเร็วในองค์ประกอบเล็ก [DVX, DVY, Dvz] เกี่ยวกับความเร็ว v = [vx, Vy, VZ] เป็นเหมือนแรงผลักดันการกระจายนี้ก็เห็นจะเป็นผลิตภัณฑ์ในสามของตัวแปรอิสระกระจายตามปกติ, และ แต่มีความแปรปรวน นอกจากนี้ยังสามารถเห็นได้ว่า Maxwell-Boltzmann กระจายความเร็วสำหรับความเร็วเวกเตอร์ [vx, Vy, VZ] เป็นผลิตภัณฑ์ของการกระจายสำหรับแต่ละสามทิศทาง: ที่จัดจำหน่ายสำหรับทิศทางเดียวเป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ความเร็วแต่ละ มีการกระจายปกติที่มีค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเพื่อให้มีเวกเตอร์ 3 มิติการกระจายปกติชนิดหนึ่งของการกระจายหลายตัวแปรปกติที่มีค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน. แมกซ์เวล-Bolt


























































 
 
 
 

















 
 
 
 




 
 
 
 




 
 
 
 






 
 
 
 











 
 
 
 




 
 
 
 

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ไม่ต้องวุ่นวายกับ Maxwell - Boltzmann สถิติ .
ในฟิสิกส์ โดยเฉพาะสถิติกลศาสตร์ แมกซ์เวล Boltzmann กระจายหรือการกระจายความเร็วและความเร็วของอนุภาคในแก๊สอุดมคติ Maxwell อธิบายว่าอนุภาคย้ายได้อย่างอิสระภายในภาชนะนิ่งไม่มีการโต้ตอบกับคนอื่นยกเว้นที่สั้นมากการชนที่พวกเขาแลกเปลี่ยนพลังงานและโมเมนตัมกับแต่ละอื่น ๆหรือความร้อนกับสภาพแวดล้อมของพวกเขา อนุภาคในบริบทนี้หมายถึงอะตอมหรือโมเลกุลก๊าซ และระบบของอนุภาคจะถือว่าได้ถึงภาวะสมดุลทางอุณหพลศาสตร์ . [ 1 ]

การแจกแจงคือการแจกแจงความน่าจะเป็น สำหรับความเร็วของอนุภาคในแก๊ส - ขนาดของความเร็วนี้บ่งชี้ว่า การแจกแจงความน่าจะเป็น ซึ่งความเร็วจะมากกว่า : อนุภาคจะมีความเร็วที่เลือกโดยการสุ่มจากการแจกแจง และมีแนวโน้มที่จะเป็นในช่วงหนึ่งจะเร็วกว่าอีก การกระจายขึ้นอยู่กับอุณหภูมิของระบบและมวลของอนุภาค . [ 2 ]

แมกซ์เวลล์โบลทซ์มันน์และการกระจายกับคลาสสิกแก๊สอุดมคติซึ่งเป็นแหลกละเอียดของแก๊สจริง ในก๊าซที่แท้จริง มีลักษณะต่างๆ ( เช่น แวนเดอวาลส์ ปฏิสัมพันธ์ ไหลวนจำกัด ความเร็วเชิงสัมพัทธภาพและควอนตัมของตรา ) ที่ทำให้การกระจายความเร็วของพวกเขาบางครั้งแตกต่างจากรูปแบบของแมกซ์เวลล์โบลทซ์มันน์และ . อย่างไรก็ตามก๊าซที่อุณหภูมิปกติทำตัว rarefied มากเกือบเหมือนแก๊สอุดมคติและ Maxwell ความเร็วกระจายเป็นประมาณที่ยอดเยี่ยมสำหรับก๊าซดังกล่าว ดังนั้นจึงเป็นพื้นฐานของทฤษฎีจลน์ของก๊าซ ซึ่งมีตัวย่อคำอธิบายคุณสมบัติของก๊าซพื้นฐานมากมาย รวมถึงความดันและการแพร่กระจาย [ 3 ]

การตั้งชื่อตามเจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ และลุดวิกโบลทซ์มันน์ . ในขณะที่การกระจายเป็นครั้งแรกที่ได้มาโดยแมกซ์เวลล์ในปี 1860 ในบริเวณขั้นพื้นฐาน [ 4 ] รวมภายหลังดำเนินการสืบสวนที่สําคัญในการกำเนิดทางกายภาพของการกระจายนี้


1
2 เนื้อหาฟังก์ชันการแจกแจงปกติความเร็ว
3 ซึ่งเกี่ยวข้องกับการแจกแจง
3.1 กระจายโมเมนตัมเวกเตอร์
32 การกระจายพลังงาน
3.3 แจกจ่ายเพื่อเวกเตอร์ความเร็ว
4
5
6 ยังเห็นการอ้างอิงการเชื่อมโยงภายนอก

7 อ่านเพิ่มเติมฟังก์ชันการแจกแจง [ แก้ไข ]

ความเร็วฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของความเร็วของแก๊สมีสกุล ไม่กี่ที่อุณหภูมิ 298.15 รึเปล่า K ( 25  ° C )ส่วนแกน Y เป็น S / M เพื่อให้พื้นที่ภายใต้ส่วนของเส้นโค้งที่แสดงถึงความน่าจะเป็นของความเร็วอยู่ในช่วงนั้น ) คือไร้มิติ .
แมกซ์เวลล์โบลทซ์มันน์และการกระจายฟังก์ชัน


ที่เป็นอนุภาคมวลและผลิตภัณฑ์ของ Boltzmann คงที่และอุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ .

นี้ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นให้ความน่าจะเป็น ต่อความเร็วของหน่วยหาอนุภาคที่มีความเร็วใกล้ สมการนี้เป็นเพียงการกระจายแมกซ์เวลล์ ( ให้อยู่ในกล่องข้อมูล ) กับพารามิเตอร์ของการแจกแจง ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและแมกซ์เวล Boltzmann กระจายการแจกแจงไคกับสามองศาของเสรีภาพและพารามิเตอร์ขนาด

ง่ายสมการเชิงอนุพันธ์พอใจโดยกระจาย :



หรือ unitless นำเสนอ :



โดยทั่วไปความเร็ว [ แก้ไข ]
ความเร็วหมายถึงความเร็วที่น่าจะเป็นมากที่สุด ( Mode ) และ Root Mean Square ได้จากคุณสมบัติของการแจกแจงแมกซ์เวลล์ .

น่าจะเป็นไปได้มากที่สุดคือความเร็ว ซึ่งความเร็วมักจะถูกครอบครองโดยโมเลกุลของ M มวลเดียวกัน ) ในระบบและสอดคล้องกับค่าสูงสุดหรือโหมด F ( V ) หา เราคำนวณ DF / DV , ตั้งศูนย์และแก้ v :

ซึ่งผลผลิต :


ที่ r คือก๊าซคงที่ และ M = na m คือมวลโมเลกุลของไนโตรเจนอะตอมสาร

( N2 , ส่วนประกอบหลักของอากาศ ที่อุณหภูมิห้อง ( 300 K ) นี้จะช่วยให้ M / S
ความเร็วหมายถึงค่าคาดหมายของความเร็วการกระจาย

รากหมายถึงความเร็วตารางเป็นสอง - ช่วงความเร็ว : ความเร็วทั่วไป




ที่เกี่ยวข้องดังนี้รากศัพท์และการแก้ไข ]
ต้นฉบับรากศัพท์ใน 1860 โดย เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์เป็นอาร์กิวเมนต์ตามความต้องการบางอย่างในความสมมาตรฟังก์ชันการแจกแจง [ 4 ] หลังจากที่ แมกซ์เวล ลุดวิกโบลทซ์มันน์ใน 1872 มากระจายในพื้นที่มากขึ้นกล โดยใช้สมมติฐานของทฤษฎีจลน์ของเขา