AN EQUIVALENT FORM OF THE FUNDAMENT

AN EQUIVALENT FORM OF THE FUNDAMENTAL TRIANGLE INEQUALITY
AND ITS APPLICATIONS
SHAN-HE WU AND MIHÁLY BENCZE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE
LONGYAN UNIVERSITY
LONGYAN FUJIAN 364012
PEOPLE’S REPUBLIC OF CHINA
[e-mail]
URL: http://www.hindawi.com/10865893.html
STR. HARMANULUI 6
505600 SACELE-NÉGYFALU
JUD. BRASOV, ROMANIA
[e-mail]
Received 12 March, 2008; accepted 20 January, 2009
Communicated by S.S. Dragomir
ABSTRACT. An equivalent form of the fundamental triangle inequality is given. The result is
then used to obtain an improvement of the Leuenberger’s inequality and a new proof of the
Garfunkel-Bankoff inequality.
Key words and phrases: Fundamental triangle inequality, Equivalent form, Garfunkel-Bankoff inequality, Leuenberger’s inequality.
2000 Mathematics Subject Classification. 26D05, 26D15, 51M16.
1. INTRODUCTION AND MAIN RESULTS
In what follows, we denote by A, B, C the angles of triangle ABC, let a, b, c denote the
lengths of its corresponding sides, and let s, R and r denote respectively the semi-perimeter,
circumradius and inradius of a triangle. We will customarily use the symbol of cyclic sums:
X
f(a) = f(a) + f(b) + f(c),
X
f(a, b) = f(a, b) + f(b, c) + f(c, a).
The fundamental triangle inequality is one of the cornerstones of geometric inequalities for
triangles. It reads as follows:
(1.1) 2R2 + 10Rr − r2 − 2(R − 2r)
p
R2 − 2Rr
6 s2 6 2R2 + 10Rr − r2 + 2(R − 2r)
p
R2 − 2Rr.
The present investigation was supported, in part, by the Natural Science Foundation of Fujian Province of China under Grant S0850023,
and, in part, by the Science Foundation of Project of Fujian Province Education Department of China under Grant JA08231.
Both of the authors are grateful to the referees for their helpful and constructive comments which enhanced this paper.
275-08
2 SHAN-HE WU AND MIHÁLY BENCZE
The equality holds in the left (or right) inequality of (1.1) if and only if the triangle is isosceles.
As is well known, the inequality (1.1) is a necessary and sufficient condition for the existence
of a triangle with elements R, r and s. This classical inequality has many important applications
in the theory of geometric inequalities and has received much attention. There exist a
large number of papers that have been written about applying the inequality (1.1) to establish
and prove the geometric inequalities for triangles, e.g., see [1] to [10] and the references cited
therein.
In a recent paper [11], we presented a sharpened version of the fundamental triangle, as
follows:
(1.2) 2R2 + 10Rr − r2 − 2(R − 2r)
p
R2 − 2Rr cos 
6 s2 6 2R2 + 10Rr − r2 + 2(R − 2r)
p
R2 − 2Rr cos ,
where  = min{|A − B| , |B − C| , |C − A|}.
The objective of this paper is to give an equivalent form of the fundamental triangle inequality.
As applications, we shall apply our results to a new proof of the Garfunkel-Bankoff inequality
and an improvement of the Leuenberger inequality. It will be shown that our new inequality
can efficaciously reduce the computational complexity in the proof of certain inequalities for
triangles. We state the main result in the following theorem:
Theorem 1.1. For any triangle ABC the following inequalities hold true:
(1.3)
1
4
(4 − )3 6 s2
R2 6 1
4
(2 − )(2 + )3,
where  = 1 −
p
1 − (2r/R). Furthermore, the equality holds in the left (or right) inequality
of (1.3) if and only if the triangle is isosceles.
2. PROOF OF THEOREM 1.1
We rewrite the fundamental triangle inequality (1.1) as:
(2.1) 2 +
10r
R
−
r2
R2
− 2

1 −
2r
R
r
1 −
2r
R
6 s2
R2 6 2 +
10r
R
−
r2
R2 + 2

1 −
2r
R
r
1 −
2r
R
.
By the Euler’s inequality R > 2r (see [1]), we observe that
0 6 1 −
2r
R
< 1.
Let
(2.2)
r
1 −
2r
R
= 1 − , 0 <  6 1.
Also, the identity (2.2) is equivalent to the following identity:
(2.3)
r
R
=  −
1
2
2.
J. Inequal. Pure and Appl. Math., 10(1) (2009), Art. 16, 6 pp. http://jipam.vu.edu.au/
AN EQUIVALENT FORM OF THE FUNDAMENTAL TRIANGLE INEQUALITY 3
By applying the identities (2.2) and (2.3) to the inequality (2.1), we obtain that
2 + 10

 −
1
2
2

−

 −
1
2
2
2
− 2

1 − 2

 −
1
2
2

(1 − )
6 s2
R2 6 2 + 10

 −
1
2
2

−

 −
1
2
2
2
+ 2

1 − 2

 −
1
2
2

(1 − ),
that is
16 − 122 + 33 −
1
4
4 6 s2
R2 6 4 + 4 − 3 −
1
4
4.
After factoring out common factors, the above inequality can be transformed into the desired
inequality (1.3). This completes the proof of Theorem 1.1. 
3. APPLICATION TO A NEW PROOF OF THE GARFUNKEL-BANKOFF INEQUALITY
Theorem 3.1. If A, B, C are angles of an arbitrary triangle, then we have the inequality
(3.1)
X
tan2 A
2 > 2 − 8 sin
A
2
sin
B
2
sin
C
2
.
The equality holds in (3.1) if and only if the triangle ABC is equilateral.
Inequality (3.1) was proposed by Garfunkel as a conjecture in [12], and it was first proved by
Bankoff in [13]. In this section, we give a simplified proof of this Garfunkel-Bankoff inequality
by means of the equivalent form of the fundamental triangle inequality.
Proof. From the identities for an arbitrary triangle (see [2]):
(3.2)
X
tan2 A
2
=
(4R + r)2
s2
− 2,
(3.3) sin
A
2
sin
B
2
sin
C
2
=
r
4R
,
it is easy to see that the Garfunkel-Bankoff inequality is equivalent to the following inequality:
(3.4)

4 −
2r
R

s2
R2
−

4 +
r
R
2
6 0.
Using the inequality (1.3) and the identity (2.3), we have

4 −
2r
R

s2
R2
−

4 +
r
R
2
6 1
4
(4 − 2 + 2)(2 − )(2 + )3 −
1
4
(4 − )2(2 + )2
= −
1
4
2(2 + )2(1 − )2
6 0,
which implies the required inequality (3.4), hence the Garfunkel-Bankoff inequality is proved.

J. Inequal. Pure and Appl. Math., 10(1) (2009), Art. 16, 6 pp. http://jipam.vu.edu.au/
4 SHAN-HE WU AND MIHÁLY BENCZE
4. APPLICATION TO AN IMPROVEMENT OF LEUENBERGER’S INEQUALITY
In 1960, Leuenberger presented the following inequality concerning the sides and the circumradius
of a triangle (see [1])
(4.1)
X1
a >
p
3
R
.
Three years later, Steinig sharpened the inequality (4.1) to the following form ([14], see also
[1])
(4.2)
X1
a > 3
p
3
2(R + r)
.
Mitrinovi´c et al. [2, p. 173] showed another sharpened form of (4.1), as follows:
(4.3)
X1
a > 5R − r
2R2 + (3
p
3 − 4)Rr
.
Recently, a unified improvement of the inequalities (4.2) and (4.3) was given by Wu [15],
that is,
(4.4)
X1
a > 11
p
3
5R + 12r + k0(2r − R)
,
where k0 = 0.02206078402 . . . . It is the root on the interval (0, 1/15) of the following equation
405k5 + 6705k4 + 129586k3 + 1050976k2 + 2795373k − 62181 = 0.
We show here a new improvement of the inequalities (4.2) and (4.3), which is stated in
Theorem 4.1 below.
Theorem 4.1. For any triangle ABC the following inequality holds true:
(4.5)
X1
a >
p
25Rr − 2r2
4Rr
,
with equality holding if and only if the triangle ABC is equilateral.
Proof. By using the identity (2.3) and the identities for an arbitrary triangle (see [2]):
(4.6)
X
ab = s2 + 4Rr + r2, abc = 4sRr,
we have
X1
a
2
−
25Rr − 2r2
16R2r2
(4.7)
=
(s2 + 4Rr + r2)2
16s2R2r2
−
25Rr − 2r2
16R2r2
=
R2
16s2r2
"
s4
R4
−

17r
R
−
4r2
R2

s2
R2 +

4r
R
+
r2
R2
2
#
=
R2
16s2r2

s4
R4
−

−4 + 43 −
25
2
2 + 17

s2
R2 +
1
16
(4 − )2(4 − 2)22

.
Let
f

s2
R2

=

s2
R2
2
−

−4 + 43 −
25
2
2 + 17

s2
R2

+
1
16
(4 − )2(4 − 2)22.
J. Inequal. Pure and Appl. Math., 10(1) (2009), Art. 16, 6 pp. http://jipam.vu.edu.au/
AN EQUIVALENT FORM OF THE FUNDAMENTAL TRIANGLE INEQUALITY 5
It is easy to see that the quadratic function
f(x) = x2 −

−4 + 43 −
25
2
2 + 17

x +
1
16
(4 − )2(4 − 2)22
is increasing on the interval
1
2

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

อสมการสามเหลี่ยมพื้นฐานรูปแบบเทียบเท่าและการใช้งานของเขาชานวูและแบบ BENCZEวิทยาศาสตร์ภาควิชาคณิตศาสตร์และคอมพิวเตอร์มหาวิทยาลัยลองแยนฝูเจี้ยน LONGYAN 364012สาธารณรัฐประชาชนจีน[e-mail]: http://www.hindawi.com/10865893.htmlHARMANULUI STR. 6505600 SACELE-NÉGYFALUJUD BRASOV โรมาเนีย[e-mail]12 มีนาคม 2008 ได้รับ ยอมรับ 20 มกราคม 2009สื่อสาร โดยสโมสรฟุตบอล Dragomirบทคัดย่อ แบบเทียบเท่าของอสมการสามเหลี่ยมพื้นฐานจะได้รับ ผลที่ได้คือใช้แล้ว จะได้รับการปรับปรุงของความไม่เท่าเทียมกันของ Leuenberger และหลักฐานใหม่การ์ฟังเกล Bankoff ความไม่เท่าเทียมกันศัพท์และวลี: อสมการสามเหลี่ยมพื้นฐาน แบบฟอร์มเทียบเท่า อสมการ Bankoff การ์ฟังเกล ความไม่เท่าเทียมกันของ Leuenbergerการจัดประเภทเรื่องคณิตศาสตร์ 2000 26D 05, 26D 15, 51M 16บทนำและหลักผลในสิ่งต่อไปนี้ เราแสดง โดย A, B, C ทำให้มุมของสามเหลี่ยม ABC ให้ a, b, c แสดงการความยาวของด้านที่สอดคล้องกัน ความให้ s, R และ r แสดงลำดับขอบเขตกึ่งcircumradius และ inradius ของรูปสามเหลี่ยม เราจะใช้สัญลักษณ์ของวัฏจักรผล customarily:Xf(a) = f(a) + f(b) + f(c)Xf (a, b) = f (a, b) + f (b, c) + f(c, a)อสมการสามเหลี่ยมพื้นฐานเป็นหนึ่งในสิ่งสำคัญของความเหลื่อมล้ำทางเรขาคณิตสำหรับสามเหลี่ยม จะอ่านต่อไปนี้:(1.1) 2R2 + 10Rr − r2 − 2 (R − 2r)pR2 − 2Rr6 s2 6 2R2 + 10Rr − r2 + 2 (R − 2r)p2Rr − R2ตรวจสอบปัจจุบันได้รับการสนับสนุน ในส่วน โดยวิทยาศาสตร์ธรรมชาติพื้นฐานของจังหวัดฟูเจี้ยนของจีนภายใต้ S0850023 เงินช่วยเหลือและ ในส่วน โดยวิทยาศาสตร์รากฐานของโครงการของฝูเจี้ยนจังหวัดศึกษาแผนกของจีนภายใต้ JA08231 เงินช่วยเหลือทั้งของผู้เขียนมีความภาคภูมิใจการตัดสินสำหรับการเห็นประโยชน์ และสร้างสรรค์ที่เพิ่มกระดาษนี้275-082 ชานเขาวูและแบบ BENCZEความเสมอภาคมีความไม่เท่าเทียมกันด้านซ้าย (หรือขวา) ของ (1.1) ถ้าและเฉพาะถ้ารูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วทรงเป็นที่รู้จัก ความไม่เท่าเทียมกัน (1.1) เป็นเงื่อนไขที่จำเป็น และเพียงพอสำหรับการดำรงอยู่รูปสามเหลี่ยมกับองค์ประกอบ R, r และ s อสมการนี้คลาสสิกมีโปรแกรมประยุกต์ที่สำคัญมากในทฤษฎีของความเหลื่อมล้ำทางเรขาคณิต และได้รับความสนใจมากขึ้น มีอยู่เอกสารที่เขียนเกี่ยวกับการใช้อสมการ (1.1) การสร้าง จำนวนมากและพิสูจน์ความเหลื่อมล้ำทางเรขาคณิตสามเหลี่ยม เช่น ดู [1] [10] และการอ้างอิงอ้างthereinในเอกสารล่าสุด [11], เราแสดงแบบยึดสามเหลี่ยมพื้นฐาน เป็นดังนี้:(1.2) 2R2 + 10Rr − r2 − 2 (R − 2r)pR2 − 2Rr cos6 s2 6 2R2 + 10Rr − r2 + 2 (R − 2r)pR2 − 2Rr cosที่ = min { |− B| , |B − C| , |C − A| }วัตถุประสงค์ของเอกสารนี้จะให้รูปแบบเทียบเท่าของอสมการสามเหลี่ยมพื้นฐานเป็นโปรแกรมประยุกต์ เราจะใช้ผลของเราเพื่อเป็นหลักฐานใหม่ของอสมการ Bankoff การ์ฟังเกลและการปรับปรุงของอสมการ Leuenberger มันจะแสดงที่ความไม่เท่าเทียมกันของเราใหม่efficaciously สามารถลดความซับซ้อนคำนวณในหลักฐานของความเหลื่อมล้ำทางบางสำหรับสามเหลี่ยม เรารัฐผลหลักในทฤษฎีบทต่อไปนี้:ทฤษฎีบทที่ 1.1 สำหรับรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ABC ความเหลื่อมล้ำทางการต่อไปนี้ถือเป็นจริง:(1.3)14(4 −) 3 6 s2R2 6 14(2 − )(2 +) 3ที่ = 1 −p1 − (2r R) นอกจากนี้ ความเสมอภาคถือในอสมการซ้าย (หรือขวา)ถ้า (1.3) และก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยมเป็นหน้าจั่วทรง2. หลักฐานของทฤษฎีบทที่ 1.1เราเขียนอสมการสามเหลี่ยมพื้นฐาน (1.1) เป็น:2 (2.1) +300R−r2R2− 21 −2rRr1 −2rR6 s2R2 6 2 +300R−r2R2 + 21 −2rRr1 −2rR.โดยความไม่เท่าเทียมกันของออยเลอร์ R > 2r (ดู [1]), เราสังเกตพบว่า0 6 1 −2rR< 1ปล่อยให้(2.2)r1 −2rR= 1 − 0 < 6 1ยัง รหัสประจำตัว (2.2) จะเหมือนกับรหัสต่อไปนี้:(2.3)rR=  −122J. Inequal บริสุทธิ์ และใช้ Math., 10(1) (2009), ศิลปะการ 16, 6 http://jipam.vu.edu.au/ พีพีอ่าวมาหยาอสมการสามเหลี่ยมพื้นฐาน 3 รูปแบบเทียบเท่าโดยใช้รหัสประจำตัว (2.2) และ (2.3) ความไม่เท่าเทียมกัน (2.1), เราได้ที่2 + 10 −122− −1222− 21 − 2 −122(1 − )6 s2R2 6 2 + 10 −122− −1222+ 21 − 2 −122(1 − ),นั่นก็คือ16 − 12 2 3 3 −144 6 s2R2 6 4 + −− 3 4144หลังจากแฟคออกปัจจัยทั่วไป สามารถแปลงความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวเป็นที่ต้องความไม่เท่าเทียมกัน (1.3) เสร็จสิ้นการพิสูจน์ทฤษฎีบท 1.1 3. โปรแกรมประยุกต์หลักฐานใหม่ของอสมการ BANKOFF การ์ฟังเกลทฤษฎีบท 3.1 ถ้า A, B, C คือ มุมของสามเหลี่ยมกำหนด แล้วเรามีความไม่เท่าเทียมกัน(3.1)Xtan2 A2 > 2 − 8 บาปA2บาปB2บาปC2.ความเสมอภาคถือ (3.1) ถ้าและเฉพาะถ้า ABC รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอสมการ (3.1) ถูกเสนอ โดยการ์ฟังเกลเป็นข้อความคาดการณ์ใน [12], และก่อนถูกพิสูจน์โดยBankoff ใน [13] ในส่วนนี้ เราให้พิสูจน์ง่ายของอสมการนี้การ์ฟังเกล-Bankoffโดยรูปแบบเทียบเท่าของอสมการสามเหลี่ยมพื้นฐานหลักฐานการ จากรหัสประจำตัวสำหรับสามเหลี่ยมกำหนด (ดู [2]):(3.2)Xtan2 A2=(4R + r) 2s2− 2(3.3) บาปA2บาปB2บาปC2=r4R,ซึ่งง่ายต่อการดูว่าอสมการ Bankoff การ์ฟังเกลเท่ากับอสมการต่อไปนี้:(3.4)4 −2rRs2R2−4 +rR26 0เราใช้อสมการ (1.3) และเอกลักษณ์ (2.3), มี4 −2rRs2R2−4 +rR26 14(4 − 2 + 2)(2 − )(2 + )3 −142(2 +) (4 −) 2= −142(2 +) 2 (1 −) 26 0ซึ่งหมายถึงความไม่เท่าเทียมกันต้อง (3.4) ดังนั้น พิสูจน์อสมการ Bankoff การ์ฟังเกลJ. Inequal บริสุทธิ์ และใช้ Math., 10(1) (2009), ศิลปะการ 16, 6 http://jipam.vu.edu.au/ พีพีอ่าวมาหยา4 เขาชานวูและแบบ BENCZE4. โปรแกรมประยุกต์การปรับปรุงของความไม่เท่าเทียมกันของ LEUENBERGER1960, Leuenberger แสดงอสมการต่อไปนี้ที่เกี่ยวข้องกับด้านข้างและ circumradiusรูปสามเหลี่ยม (ดู [1])(4.1)X 1ตัว >p3R.สามปีต่อมา Steinig รุนแรงขึ้นความไม่เท่าเทียมกัน (4.1) ไปยังแบบฟอร์มต่อไปนี้ ([14], ดู[1])(4.2)X 1> 3p32 (R + r).Mitrinovi´c และ al. [2, p. 173] แสดงตัวยึดของ (4.1), เป็นดังนี้:(4.3)X 1ความ > 5R − r2R2 + (3p3 − 4) Rr.ล่าสุด ปรับปรุงรวมของความเหลื่อมล้ำทาง (4.2) และ (4.3) ถูกกำหนด โดยอู๋ [15],นั่นก็คือ(4.4)X 1> 11p35R 12r + k0 (2r − R),ที่ k0 = 0.02206078402 ... เป็นรากบนช่วง (0, 1/15) ของสมการต่อไปนี้405 k 5 + 6705 k 4 + 129586 k 3 + 1050976 2 + 2795373 k k − 62181 = 0เราแสดงที่นี่ปรับปรุงใหม่ของความเหลื่อมล้ำทาง (4.2) และ (4.3), ซึ่งระบุไว้ในทฤษฎีบท 4.1 ด้านล่างทฤษฎีบท 4.1 สำหรับสามเหลี่ยม ABC ใดๆ อสมการต่อไปนี้ถือเป็นจริง:(4.5)X 1ตัว >p25Rr − 2r24Rr,ด้วยความเสมอภาคถือถ้ารับ สามเหลี่ยม ABC เป็นรูปหลักฐานการ โดยใช้รหัสประจำตัว (2.3) และลักษณะเฉพาะรูปสามเหลี่ยมกำหนด (ดู [2]):(4.6)Xab = s2 4Rr + r2, abc = 4sRrเรามีX 1การ2−25Rr − 2r216R2r2(4.7)=(s2 + 4Rr + r2) 216s2R2r2−25Rr − 2r216R2r2=R216s2r2"s4R4−370R−4r2R2s2R2 +4rR+r2R22#=R216s2r2s4R4−−− 4 + 4 32522 + 17s2R2 +116(4 −) 2 (4 − 2) 2 2.ปล่อยให้fs2R2=s2R22−−− 4 + 4 32522 + 17s2R2+116(4 −) 2 (4 − 2) 2 2J. Inequal บริสุทธิ์ และใช้ Math., 10(1) (2009), ศิลปะการ 16, 6 http://jipam.vu.edu.au/ พีพีอ่าวมาหยาอสมการสามเหลี่ยมพื้นฐาน 5 รูปแบบเทียบเท่าก็จะเห็นว่าฟังก์ชันกำลังสองf(x) = x 2 −−− 4 + 4 32522 + 17x +116(4 −) 2 (4 − 2) 2 2เพิ่มขึ้นในช่วง12