Maxwell’s Equations11.9 Maxwell’s E

Maxwell’s Equations
11.9 Maxwell’s Equations. What value of A and β are required if the two fields:
E ¼ ^y120πcos 106πt  βx
 

V=m

H ¼ ^zAπcos 106πt  βx
 

A=m

satisfy Maxwell’s equations in a linear, isotropic, homogeneous medium with εr ¼ μr ¼ 4 and σ ¼ 0? Assume there
are no current or charge densities in space.
11.10 Dependency in Maxwell’s Equations. Show that Eq. (11.8) (∇B ¼ 0) can be derived from Eq. (11.5) and,
therefore, is not an independent equation.
11.11 Dependency in Maxwell’s Equations. Show that Eq. (11.7) (∇D ¼ ρv) can be derived from Eq. (11.6) with the
use of the continuity equation [Eq. (11.13)] and, therefore, is not an independent equation.
11.12 The Lorenz Condition (Gauge). Show that the Lorenz condition in Eq. (11.49) leads to the continuity equation.
Hint: Use the expression for electric potential due to a general volume charge distribution and the expression for the
magnetic vector potential due to a general current density in a volume.
11.13 Maxwell’s Equations. Maxwell’s equations in Eqs. (11.24) through (11.27) are equivalent to eight scalar equations.
Find these equations by writing the vector fields explicitly in Cartesian coordinates and equating components.
11.14 Maxwell’s Equations in Cylindrical Coordinates. Write Maxwell’s equations explicitly in cylindrical coordinates
by expanding the expressions in Eqs. (11.24) through (11.27).
11.15 Maxwell’s Equations. A time-dependent magnetic field is given as B ¼ ^x20e jð104tþ104zÞ ½T in a material with
properties εr ¼ 9 and μr ¼ 1. Assume there are no sources in the material. Using Maxwell’s equations:
(a) Calculate the electric field intensity in the material.
(b) Calculate the electric flux density and the magnetic field intensity in the material.
11.16 Maxwell’s Equations. A time-dependent electric field intensity is given as E ¼ ^x10πcos 106t  50z
 
½V=m. The
field exists in a material with properties εr ¼ 4 and μr ¼ 1. Given that J ¼ 0 and ρv ¼ 0, calculate the magnetic field
intensity and magnetic flux density in the material.
Potential Functions
11.17 Current Density as a Primary Variable in Maxwell’s Equations. Given: Maxwell’s equations in a linear, isotropic,
homogeneous medium. Assume that there are no source current densities and no charge densities anywhere in the
solution space. An induced current density Je [A/m2] exists in conducting materials. Assume the whole space is
conducting, with a very low conductivity, σ [S/m]. Rewrite Maxwell’s equations in terms of the current density
Je ¼ σE. In other words, assume you need to solve for Je directly.
11.18 Magnetic Scalar Potential. Write an equation, equivalent to Maxwell’s equations in terms of a magnetic scalar
potential in a linear, isotropic, homogeneous medium. State the conditions under which this can be done:
(a) Show that Maxwell’s equations reduce to a second-order partial differential equation. What are the assumptions
necessary for this equation to be correct?
(b) What can you say about the relation between the electric and magnetic field intensities under the given
conditions?
11.19 Magnetic Vector Potential. Given: Maxwell’s equations and the vector B ¼ ∇  A, in a linear, isotropic,
homogeneous medium. Assume that E ¼ 0 for static fields:
(a) By neglecting the displacement currents, show that Maxwell’s equations reduce to a second-order partial
differential equation in A alone.
(b) What is the electric field intensity?
(c) Show that by using the Coulomb’s gauge, the equation in (a) is a simple Poisson equation.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ของแมกซ์เวลล์11.9 ของแมกซ์เวลล์ ค่าใดของ A βจำเป็นและถ้าทั้งสองเขตข้อมูล:E ¼ ^ y120πcos 106πt βx  V = mH ¼ ^ zAπcos 106πt βx  A = mตอบสนองของแมกซ์เวลล์ในสื่อเชิงเส้น เหมือน isotropic μr εr ¼¼ 4 และσ¼ 0 สมมติมีจะไม่มีกระแสหรือค่าความหนาแน่นในพื้นที่11.10 อ้างอิงในของแมกซ์เวลล์ แสดงว่า Eq. (11.8) (∇ B ¼ 0) ได้มาจาก Eq. (11.5) และดังนั้น ไม่ได้สมการอิสระ11.11 อ้างอิงในของแมกซ์เวลล์ แสดงว่า Eq. (11.7) (∇ D ¼ ρv) ที่ได้มาจาก Eq. (11.6) ด้วยการใช้ของสมการความต่อเนื่อง [Eq. (สาร 11.13)] และ ดังนั้น ไม่ใช่สมการอิสระ11.12 Lorenz สภาพ (วัด) แสดงว่า สภาพ Lorenz ใน Eq. (11.49) นำสมการความต่อเนื่องคำแนะนำ: ใช้นิพจน์สำหรับศักย์ไฟฟ้าเนื่องจากการกระจายค่าธรรมเนียมทั่วไปไดรฟ์ข้อมูลและนิพจน์สำหรับการศักยภาพเวกเตอร์แม่เหล็กเนื่องจากความหนาแน่นทั่วไปปัจจุบันในไดรฟ์ข้อมูลสาร 11.13 ของแมกซ์เวลล์ สมการ Maxwell ใน Eqs (11.24) ผ่าน (11.27) จะเท่ากับสมการสเกลาที่แปดหาสมการเหล่านี้ โดยการเขียนเวกเตอร์ฟิลด์อย่างชัดเจนในพิกัดคาร์ทีเซียน และวัดองค์ประกอบ11.14 maxwell's สมการในพิกัดทรงกระบอก เขียนของแมกซ์เวลล์อย่างชัดเจนในพิกัดทรงกระบอกโดยการขยายนิพจน์ใน Eqs (11.24) ผ่าน (11.27)11.15 ของแมกซ์เวลล์ สนามแม่เหล็กขึ้นอยู่กับเวลาจะได้รับเป็น B ¼ ^ x20e jð104tþ10 4zÞ ½T ในวัสดุด้วยคุณสมบัติ εr ¼ 9 และ μr ¼ 1 สมมติไม่มีต้นในวัสดุ โดยใช้สมการ Maxwell:(ก) คำนวณความเข้มของสนามไฟฟ้าในวัสดุ(ข) คำนวณความหนาแน่นฟลักซ์ไฟฟ้าและความเข้มสนามแม่เหล็กในวัสดุ11.16 ของแมกซ์เวลล์ ความเข้มสนามไฟฟ้าขึ้นอยู่กับเวลาที่ถูกกำหนดเป็น E ¼ ^ x10πcos 106t 50z ½V = m การเขตข้อมูลที่มีอยู่ในวัสดุที่มีคุณสมบัติ εr ¼ 4 และ μr ¼ 1 กำหนดให้ J ที่¼ 0 และ ρv ¼ 0 คำนวณสนามแม่เหล็กความเข้มและความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็กในวัสดุฟังก์ชั่นที่มีศักยภาพ11.17 กระแสความหนาแน่นเป็นตัวแปรหลักในของแมกซ์เวลล์ รับ: maxwell's สมการในแบบเชิงเส้น isotropicสื่อที่เป็นเนื้อเดียวกัน สมมติว่า มีความหนาแน่นของกระแสไม่มีแหล่งและไม่มีค่าความหนาแน่นทุกในการวิธีการแก้ไขปัญหาพื้นที่ กระแสเหนี่ยวนำมีความหนาแน่นของ Je [A/m2] มีอยู่ในการดำเนินการวัสดุ สมมติมีพื้นที่ทั้งหมดดำเนินการ กับนำต่ำมาก σ [S/m] เขียนสมการ Maxwell ในแง่ของความหนาแน่นของกระแสเจ¼ σE ในคำอื่น ๆ สมมติคุณต้องหาเจโดยตรงสาร 11.18 แม่เหล็กของสเกลาศักยภาพ เขียนสมการ เทียบเท่ากับของแมกซ์เวลล์ในแง่ของสเกลาร์แม่เหล็กศักยภาพในการสื่อเชิงเส้น isotropic เป็นเนื้อเดียวกัน ระบุเงื่อนไขที่สามารถทำสิ่งนี้:(ก) แสดงที่ maxwell's สมการสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วนสองสั่งลด สมมติฐานคืออะไรจำเป็นสำหรับสมการนี้ถูกต้องหรือไม่(ข) สิ่งที่คุณสามารถพูดเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างไฟฟ้าและความเข้มสนามแม่เหล็กภายใต้การกำหนดเงื่อนไข11.19 เวกเตอร์แม่เหล็กศักยภาพ รับ: maxwell's สมการและเวกเตอร์ B ¼∇ A ในเชิง isotropicสื่อที่เป็นเนื้อเดียวกัน สมมติว่า E ¼ 0 สำหรับเขตข้อมูลแบบคง:(ก) โดยละเลยกระแสกระจัด แสดงว่า สมการ Maxwell ลดให้สองใบสั่งเป็นบางส่วนสมการเชิงอนุพันธ์ใน A เพียงอย่างเดียว(ข) ความเข้มของสนามไฟฟ้าคืออะไร(ค) แสดงที่ โดยใช้ของคูวัด ในสมการ (a) เป็นสมการแบบ Poisson ง่าย

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

แมกซ์เวลสม
11.9 สมการของแมกซ์เวลล์ สิ่งที่มีค่าของ A และβจะต้องถ้าทั้งสองสาขา:
E ¼ ^ y120πcos106πt? βx
? ? v = M H ¼ ^ zAπcos106πt? βx ? ? A = M ตอบสนองสมการของแมกซ์เวลล์ในเชิงเส้น isotropic กลางเป็นเนื้อเดียวกันกับεr¼μr¼ 4 และσ¼ 0? ถือว่ามีไม่มีความหนาแน่นในปัจจุบันหรือค่าใช้จ่ายในพื้นที่. 11.10 พึ่งพาในสมการของแมกซ์เวลล์ แสดงให้เห็นว่าสมการ (11.8) (∇? B ¼ 0) จะได้รับจากสมการ (11.5) และดังนั้นจึงไม่ได้เป็นอิสระสม. 11.11 พึ่งพาในสมการของแมกซ์เวลล์ แสดงให้เห็นว่าสมการ (11.7) (∇? D ¼ρv) จะได้รับจากสมการ (11.6) กับการใช้งานของสมการความต่อเนื่อง [สม (11.13)] และดังนั้นจึงไม่ได้เป็นอิสระสม. 11.12 Lorenz สภาพ (Gauge) แสดงให้เห็นว่าสภาพอเรนซ์ในสมการ (11.49) นำไปสู่สมการความต่อเนื่อง. คำแนะนำ: ใช้การแสดงออกสำหรับศักย์ไฟฟ้าเนื่องจากการกระจายค่าใช้จ่ายทั่วไปและปริมาณการแสดงออกสำหรับแม่เหล็กเวกเตอร์ศักยภาพเนื่องจากมีความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าทั่วไปในปริมาณ. 11.13 สมการของแมกซ์เวลล์ สมการของแมกซ์เวลล์ใน EQS (11.24) ถึง (11.27) เทียบเท่ากับแปดสมเกลา. หาสมการเหล่านี้โดยการเขียนเวกเตอร์ฟิลด์อย่างชัดเจนในพิกัดคาร์ทีเซียนและเท่าส่วนประกอบ. 11.14 แมกซ์เวลสมการในรูปทรงกระบอกพิกัด เขียนสมการแมกซ์เวลอย่างชัดเจนในพิกัดทรงกระบอกโดยการขยายการแสดงออกใน EQS (11.24) ถึง (11.27). 11.15 สมการของแมกซ์เวลล์ สนามแม่เหล็กขึ้นกับเวลาจะได้รับเป็น B ¼ ^ x20e jð104tþ10? 4zÞ½T? ในวัสดุที่มีคุณสมบัติεr¼ 9 และμr¼ 1. สมมติว่ามีแหล่งที่มาในวัสดุไม่มี โดยใช้สมการแมกซ์เวล: . (ก) การคำนวณความเข้มสนามไฟฟ้าในวัสดุ(ข) การคำนวณความหนาแน่นของของเหลวไฟฟ้าและความเข้มของสนามแม่เหล็กในวัสดุ. 11.16 สมการของแมกซ์เวลล์ เวลาขึ้นอยู่กับความเข้มสนามไฟฟ้าจะได้รับเป็น E ¼ ^ x10πcos 106t? 50Z ? ? ½V = m ?. ข้อมูลที่มีอยู่ในวัสดุที่มีคุณสมบัติεr¼ 4 และμr¼ 1. ระบุว่าเจ¼ 0 และρv¼ 0 คำนวณสนามแม่เหล็กความเข้มและความหนาแน่นของสนามแม่เหล็กในวัสดุ. ฟังก์ชั่นที่มีศักยภาพ11.17 ความหนาแน่นกระแสเป็นตัวแปรหลักในการแมกซ์เวล สมการ ได้รับ: สมการของแมกซ์เวลล์ในเชิงเส้น isotropic, กลางเป็นเนื้อเดียวกัน สมมติว่าไม่มีแหล่งที่มาของความหนาแน่นในปัจจุบันและความหนาแน่นไม่มีค่าใช้จ่ายใดก็ได้ในพื้นที่แก้ปัญหา ความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าเหนี่ยวนำ Je [A / m2] มีอยู่ในการดำเนินการวัสดุ สมมติว่าพื้นที่ทั้งหมดจะดำเนินการด้วยการนำต่ำมากσ [S / M] เขียนสมการของแมกซ์เวลล์ในแง่ของความหนาแน่นกระแสJe ¼σE ในคำอื่น ๆ ถือว่าคุณต้องแก้ปัญหาสำหรับ Je โดยตรง. 11.18 ศักยภาพเกลาแม่เหล็ก เขียนสมการคิดเป็นสมการของแมกซ์เวลล์ในแง่ของสเกลาแม่เหล็กที่มีศักยภาพในเชิงเส้น isotropic กลางเป็นเนื้อเดียวกัน รัฐภายใต้เงื่อนไขที่นี้สามารถทำได้: (ก) แสดงว่าสมการของแมกซ์เวลล์ลดไปเป็นลำดับที่สองสมการอนุพันธ์ย่อย สิ่งที่เป็นสมมติฐานที่จำเป็นสำหรับสมการนี้จะถูกต้องหรือไม่(ข) สิ่งที่คุณสามารถพูดเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างความเข้มสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กภายใต้ที่กำหนดเงื่อนไข? 11.19 แม่เหล็กเวกเตอร์ศักยภาพ ได้รับ: สมการของแมกซ์เวลล์และเวกเตอร์ B ¼∇? ในเชิงเส้น isotropic, กลางเป็นเนื้อเดียวกัน สมมติ E ที่¼ 0 สำหรับเขตข้อมูลแบบคงที่: (ก) โดยละเลยกระแสกระจัดแสดงให้เห็นว่าสมการแมกซ์เวลลดเป็นครั้งที่สองสั่งซื้อบางส่วนสมการเชิงอนุพันธ์ในเพียงอย่างเดียว. (ข) เป็นความเข้มสนามไฟฟ้าอะไร? (c) แสดงให้เห็นว่า โดยใช้มาตรวัดของ Coulomb สมการใน (ก) เป็นปัวซองสมการง่ายๆ