5. Special SubsemigroupsNext we wan

5. Special Subsemigroups
Next we want to characterize subsemigroups of (P(Wτ (X)); ·xi
) having
particular properties. A semigroup (S; ·) is said to be constant if there is
an element k ∈ S such that a·b = k for any two elements a, b ∈ S. Constant
subsemigroups of (P(Wτ (X)); ·xi
) have the following property:
Proposition 5.1. Let (S; ·xi
) be a constant subsemigroup of (P(Wτ (X)); ·xi
).
If A ∈ S and xi ∈ V ar(A), then there is a set K ∈ S such that A ⊆ K.
Proof. There is a set K ∈ S such that A·xiB = K for any A, B ∈ S. By
Lemma 3.1 xi ∈ V ar(A) implies xi ∈ K and then we obtain xi ∈ A. This
gives A ⊆ A·xiA = K.
We recall also the definition of a left-(right-)zero semigroup (S; ·) as a
semigroup satisfying the equation x · y = x (x · y = y) for all x, y ∈ S.
The class of rectangular bands can be defined as the join of the class of all
left-zero semigroups and the class of all right-zero semigroups. Therefore,
rectangular bands are defined by the equation x = x · y · x for all x, y ∈ S.
Theorem 5.2. Let S ⊆ P(Wτ (X)). Then, the following properties are
pairwise equivalent:
(i) (S; ·xi
) is a constant subsemigroup of (P(Wτ (X)); ·xi
) and there is a
set A ∈ S such that xi 6∈ V ar(A).
(ii) S = {K} where xi 6∈ V ar(K).
(iii) (S; ·xi
) is a right-zero subsemigroup of (P(Wτ (X)); ·xi
) and there is
a set K ∈ S with xi 6∈ V ar(K).
Proof. (i)⇒(ii) Suppose that (S; ·xi
) is a constant subsemigroup of
(P(Wτ (X)); ·xi
), then there is a set K ∈ S such that B·xiB0 = K for
all B, B0 ∈ S. Since A·xiA = K, we have xi 6∈ V ar(K). This implies
xi 6∈ V ar(B) for all B ∈ S and then B = B·xiB = K for all B ∈ S. Thus
S = {K}.
Products of Tree Languages 25
(ii) ⇒ (i) is clear.
(ii) ⇒ (iii) is clear.
(iii) ⇒ (ii) By Proposition 2.2 (ii) and by definition of a right-zero semigroup
we get K = K·xiB = B for all B ∈ S. This means S = {K}.

In the next proposition we consider subsemigroups of (P(Wτ (X)); ·xi
)
with xi ∈ V ar(A) for all A ∈ S.
Proposition 5.3. Let S ⊆ P(Wτ (X)) and xi ∈ V ar(A) for all A ∈ S.
Then (S; ·xi
) is a left-zero subsemigroup of (P(Wτ (X)); ·xi
) if and only if
S = {A} where A is an idempotent element in (P(Wτ (X)); ·xi
).
Proof. Suppose that (S; ·xi
) is a left-zero subsemigroup of (P(Wτ (X)); ·xi
).
Then by Lemma 3.1 we get xi ∈ A, B for all sets A, B ∈ S. Then
A ⊆ Sˆn
g
(B, {x1}, . . . , {xi−1}, A, {xi+1}, . . . , {xn}) = B·xiA = B
and in a similar way we obtain A = B. The converse is clear.
In the other case, i.e. if there is a subset A ⊆ P(Wτ (X)) such that
xi 6∈ V ar(A) we have
Proposition 5.4. Let S ⊆ P(Wτ (X)) and xi 6∈ V ar(A) for some A ∈ S.
Then, the following properties are pairwise equivalent:
(i) (S; ·xi
) is a left-zero subsemigroup of (P(Wτ (X)); ·xi
).
(ii) (S; ·xi
) is a rectangular band.
(iii) S ⊆ {T ∈ P(Wτ (X)) | xi 6∈ V ar(T)}.
Proof. (i) ⇒ (iii) Since A0
·xiA = A0
for all A0 ∈ S and since xi 6∈ V ar(A),
we have xi 6∈ V ar(A0
). Therefore, S ⊆ {T ∈ P(Wτ (X)) | xi 6∈ V ar(T)}.
(iii) ⇒ (i) is clear by Proposition 2.2 (ii).
(ii) ⇒ (iii) Let A ∈ S with xi 6∈ V ar(A). Then for any B ∈ S, B·xiA·xiB =
B and this implies xi 6∈ V ar(B) and therefore S ⊆ {T ∈ P(Wτ (X)) | xi 6∈
V ar(T)}.
(iii) ⇒ (ii) By Proposition 2.2 (ii) we have B·xiB0 = B and then also
B = B·xiB0
·xiB.
26 K. Denecke, N. Sarasit
Rectangular bands can be characterized as follows:
Proposition 5.5. Let S ⊆ P(Wτ (X)) and let xi ∈ V ar(A) for all A ∈ S.
Then (S; ·xi
) is a rectangular band if and only if (S; ·xi
) is a right-zero
subsemigroup of (P(Wτ (X)); ·xi
).
Proof. Every right-zero semigroup is a rectangular band. If (S; ·xi
) is a
rectangular band, then from xi ∈ V ar(A), xi ∈ V ar(B) for all A, B ∈ S
by Lemma 3.1 there follows xi ∈ B·xiA and then by Proposition 2.2, xi ∈
A, xi ∈ B. Thus, A ⊆ B·xiA ⊆ A·xiB·xiA = A. This implies A = B·xiA
and (S; ·xi
) forms a right-zero subsemigroup of (P(Wτ (X)); ·xi
).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

5. พิเศษ Subsemigroupsต่อไป เราต้องการลักษณะ subsemigroups ของ (P (Wτ (X)) ·xi) มีคุณสมบัติบาง Semigroup (S ·) กล่าวได้ว่า คงถ้ามีมีองค์ประกอบ k ∈ S ดังกล่าวว่า a·b = a, b ∈ k สำหรับองค์ประกอบใด ๆ สอง S. คงsubsemigroups ของ (P (Wτ (X)) ·xi) มีคุณสมบัติต่อไปนี้:เรื่องที่ 5.1 ให้ (S; ·xi) จะ subsemigroup ที่คงที่ของ (P (Wτ (X)) ·xi).ถ้า∈ S และ xi ar(A) ∈ V แล้วมีการตั้งค่า K ∈ S ดังกล่าวที่⊆ A เคหลักฐาน มีการตั้งค่า K ∈ S ดังกล่าวว่า A·xiB = K สำหรับใด ๆ A, B ∈คู่รักโดยมีความหมายหน่วยการ 3.1 xi ∈ V ar(A) xi ∈ K และเรารับแล้ว ซี∈ a.นี้ให้เป็น⊆ A·xiA =เคเราจำได้ยังคำนิยามของเครื่องซ้าย (ขวา) semigroup ศูนย์ (S ·) เป็นการsemigroup ภิรมย์ x · สมการ y = x (x · y = y) สำหรับทุก x, y ∈ s ได้ชั้นของวงสี่เหลี่ยมสามารถกำหนดเป็นการรวมชั้นของทั้งหมดsemigroups ศูนย์ซ้ายและชั้น semigroups ขวาเป็นศูนย์ทั้งหมด ดังนั้นสี่เหลี่ยมวงถูกกำหนด โดยสมการ x = x · y · x สำหรับทุก x, y ∈ s ได้ทฤษฎีบทที่ 5.2 ให้ P S ⊆ (Wτ (X)) จากนั้น มีคุณสมบัติต่อไปนี้แพร์ไวส์ที่เทียบเท่ากับ:(i) (S; ·xi) เป็น subsemigroup ที่คงที่ของ (P (Wτ (X)) ·xi) และมีการตั้ง∈ S ดังกล่าวที่ xi 6∈ V ar(A)(ii) S = {K } ที่ xi 6∈ V ar(K)(iii) (S; ·xi) คือ subsemigroup เป็นศูนย์ขวาของ (P (Wτ (X)) ·xi) และมีมีชุด K ∈ S ด้วยสิ 6∈ V ar(K)หลักฐาน (i)⇒(ii) สมมุติว่า (S; ·xi) เป็น subsemigroup ที่คงที่ของ(P (Wτ (X)) ·xi), แล้วมีการตั้งค่า K ∈ S ดังกล่าวว่า B·xiB0 = K สำหรับทั้ง B, B0 ∈ s ได้ ตั้งแต่ A·xiA = K เรามีสิ 6∈ V ar(K) นี้หมายถึงซีอาน 6∈ V ar(B) สำหรับทุก B ∈ S และ B = B·xiB = K สำหรับ∈ B ทุกคู่รักดังนั้นS = {K }ผลิตภัณฑ์ของต้นไม้ภาษา 25(ii) ⇒ (i) มีความชัดเจน(ii) ⇒ (iii) มีความชัดเจน(iii) ⇒ (ii) โดยเสนอ 2.2 (ii) และนิยามของการ semigroup ขวาเป็นศูนย์เราได้รับ K = K·xiB = B สำหรับทุก B ∈ s ได้ หมายถึง S = {K }ในเรื่องต่อไป เราพิจารณา subsemigroups ของ (P (Wτ (X)) ·xi)มีสิ ar(A) ∈ V สำหรับทั้งหมด∈ s ได้เรื่องที่ 5.3 ให้ S ⊆ P (Wτ (X)) และ xi ∈ V ar(A) สำหรับทั้งหมด∈ s ได้แล้ว (S; ·xi) คือ subsemigroup ศูนย์ซ้ายเป็นของ (P (Wτ (X)) ·xi) และถ้าหากS = {} ตำแหน่ง A เป็นองค์ idempotent ใน (P (Wτ (X)) ·xi).หลักฐาน สมมุติว่า (S; ·xi) คือ subsemigroup ศูนย์ซ้ายเป็นของ (P (Wτ (X)) ·xi).แล้ว โดย 3.1 หน่วยการ เรารับ xi ∈ A, B สำหรับชุดทั้งหมด A, B ∈คู่รักแล้วการ Sˆn ⊆กรัม(B, {x1 },..., {xi−1 }, {xi + 1 } A, ..., {xn }) = B·xiA = Bและคล้าย ๆ เราได้ A = b สนทนาได้ชัดเจนในอื่น ๆ กรณี เช่นหากมีการเซตย่อย A ⊆ P (Wτ (X)) ที่ซีอาน 6∈ V ar(A) เรามีเรื่องที่ 5.4 ให้ S ⊆ P (Wτ (X)) และ xi 6∈ V ar(A) สำหรับบาง A ∈ s ได้แล้ว คุณสมบัติต่อไปนี้จะเทียบเท่ากับแพร์ไวส์:(i) (S; ·xi) คือ subsemigroup ศูนย์ซ้ายเป็นของ (P (Wτ (X)) ·xi).(ii) (S; ·xi) เป็นวงดนตรีสี่เหลี่ยม(iii) S ⊆ { T ∈ P (Wτ (X)) | xi 6∈ V ar(T) }หลักฐาน (i) ⇒ (iii) ตั้งแต่ A0·xiA = A0สำหรับทั้งหมด A0 ∈ S และ ตั้งแต่ซี 6∈ V ar(A)เรามีสิ 6∈ V ar (A0). ดังนั้น S ⊆ { T ∈ P (Wτ (X)) | xi 6∈ V ar(T) }(iii) ⇒ (i) ได้ชัดเจน 2.2 ข้อเสนอ (ii)(ii) ⇒ (iii) ให้∈ S ด้วยสิ 6∈ V ar(A) แล้วสำหรับใด ๆ B ∈ S, B·xiA·xiB =B และนี้หมายถึงสิ 6∈ V ar(B) และ S ⊆ { T ∈ P (Wτ (X)) | xi 6∈V ar(T) }(iii) ⇒ (ii) ข้อเสนอ 2.2 (ii) เรามี B·xiB0 = B แล้วยังB = B·xiB0·xiB 26 เค Denecke, N. Sarasitวงสี่เหลี่ยมสามารถจะมีลักษณะเป็นดังนี้:เรื่องที่ 5.5 ให้ S ⊆ P (Wτ (X)) และให้ xi ∈ V ar(A) สำหรับทั้งหมด∈ s ได้แล้ว (S; ·xi) เป็นวงดนตรีสี่เหลี่ยมถ้า และถ้า (S; ·xi) เป็นขวาศูนย์subsemigroup ของ (P (Wτ (X)) ·xi).หลักฐาน ทุก semigroup ขวาเป็นศูนย์เป็นวงสี่เหลี่ยม ถ้า (S; ·xi) เป็นการวงสี่เหลี่ยม จากซี ar(A) ∈ V, xi ∈ V ar(B) สำหรับทุก A, B ∈ Sโดยหน่วยการ 3.1 มีดังนี้ซี∈ B·xiA และจากนั้น โดยเสนอ 2.2, xi ∈∈ a สิ b ดังนั้น ⊆ B·xiA ⊆ A·xiB·xiA = a นี้หมายถึง A = B·xiAและ (S; ·xi) แบบฟอร์มที่ subsemigroup ขวาเป็นศูนย์ของ (P (Wτ (X)) ·xi).

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

5. Subsemigroups พิเศษ
ต่อไปเราต้องการที่จะอธิบายลักษณะของ subsemigroups (P (Wτ (X)); · Xi
) เป็นผู้มี
คุณสมบัติเฉพาะ กึ่งกลุ่ม (S ·) กล่าวจะคงที่หากมี
k ∈ S องค์ประกอบดังกล่าวที่· B = K สำหรับสององค์ประกอบ A, B ∈เอสคง
subsemigroups ของ (P (Wτ (X)); · Xi
) มีคุณสมบัติดังต่อไป
โจทย์ 5.1 ให้ (S · Xi
) เป็น subsemigroup คงที่ (P (Wτ (X)); · Xi
).
ถ้าหากผู้∈ S และ Xi ∈ V AR (A) แล้วมีชุด K ∈ S ดังกล่าวที่⊆ เค
หลักฐาน มีชุด K ∈ S ดังกล่าวว่าเป็น· xib = K สำหรับใด ๆ A, B ∈เอสโดยเป็น
บทแทรก 3.1 Xi ∈ V AR (A) หมายถึง Xi ∈ K และจากนั้นเราได้รับ Xi ∈ A. นี้
ให้⊆เป็น· เซี่ย = เค
เราจำได้ยังความหมายของการให้ซ้าย (ขวา) semigroup ศูนย์ (S ·) เป็น
กึ่งกลุ่มความพึงพอใจของสมการ x ·การ y = x (x · y = y) สำหรับทุก x, y ∈เอส
ชั้นของวงดนตรีที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถกำหนดเป็นเข้าร่วมของชั้นเรียนของทุก
semigroups ซ้ายศูนย์และระดับของสิทธิทั้งหมดศูนย์ semigroups ดังนั้น
วงดนตรีที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะถูกกำหนดโดยสมการ x = x ·· Y X สำหรับทุก x, y ∈ที่ S
ทฤษฎีบท 5.2 Let S ⊆ P (Wτ (X)) จากนั้นคุณสมบัติดังต่อไปนี้
เทียบเท่าคู่:
(i) (S · Xi
) เป็น subsemigroup คงที่ (P (Wτ (X)); · Xi
) และมี
การตั้งค่า∈ S ดังกล่าวว่า Xi 6∈ V AR (A).
(ii) S = {K} ที่ Xi 6∈ V AR (k).
(iii) (S · Xi
) เป็นขวาศูนย์ subsemigroup ของ (P (Wτ (X)); · Xi
) และมี
ชุด K ∈ S กับ V Xi 6∈ AR (k).
หลักฐาน (i) ⇒ (ii) สมมติว่า (S · Xi
) เป็น subsemigroup คงที่
(P (Wτ (X)); · Xi
) แล้วมีชุด K ∈ S ดังกล่าวว่า B · xiB0 = K สำหรับ
ทุก B, B0 ∈เอสตั้งแต่·เซี่ย = K เรามี Xi 6∈ V AR (k) นี่ก็หมายความ
Xi 6∈ V AR (B) สำหรับทุก B ∈ S แล้ว B = B · xib = K สำหรับทุก∈ B เอสดังนั้น
S = {K}.
ผลิตภัณฑ์ของต้นไม้ภาษา 25
(ii) ⇒ (I) ชัดเจน.
(ii) ⇒ (iii) เป็นที่ชัดเจน.
(iii) ⇒ (ii) ตามข้อเสนอ 2.2 (ii) และความหมายของศูนย์ขวากึ่งกลุ่ม
เราได้รับ K = K · xib = B สำหรับทุก∈ B เอสนี้ หมายความว่า S = {K}. ในเรื่องต่อไปที่เราจะพิจารณา subsemigroups ของ (P (Wτ (X)); · Xi ) กับ Xi ∈ V AR (A) สำหรับทั้งหมด∈เอสโจทย์ 5.3 Let S ⊆ P (Wτ (X)) และ Xi ∈ V AR (A) สำหรับทั้งหมด∈เอสแล้ว (S · Xi ) เป็นซ้ายศูนย์ subsemigroup ของ (P (Wτ (X)); · Xi ) และถ้าหากS = {A} ที่เป็นองค์ประกอบใน idempotent (P (Wτ (X)); · Xi ). หลักฐาน สมมติว่า (S · Xi ) เป็นซ้ายศูนย์ subsemigroup ของ (P (Wτ (X)); · Xi ). แล้วตามด้วยบทแทรก 3.1 เราได้รับ Xi ∈ A, B สำหรับทุกชุด A, B ∈เอสแล้ว⊆ Sn กรัม(B {X1}... {Xi-1}, A, {Xi + 1}... {xn}) = b ·เซี่ย = b และในทำนองเดียวกันเราได้รับ = บีสนทนาเป็นที่ชัดเจน. ในกรณีอื่น ๆ เช่นหากมีการย่อย⊆ P (Wτ (X)) เช่นที่Xi 6∈ V AR (A) เรามีข้อเสนอที่ 5.4 Let S ⊆ P (Wτ (X)) และ Xi 6∈ V AR (A) สำหรับบางคน∈เอสนั้นคุณสมบัติต่อไปนี้จะเทียบเท่าคู่: (i) (S · Xi ) เป็นศูนย์ซ้าย subsemigroup ของ (P (Wτ (X)); · Xi .) (ii) (S · Xi ) เป็นวงดนตรีเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า. (iii) S ⊆ {t ∈ P (Wτ (X)) | Xi 6∈ V AR (T)}. หลักฐาน (i) ⇒ (iii) ตั้งแต่ A0 ·เซี่ย = A0 สำหรับทุก A0 ∈ S และตั้งแต่ Xi 6∈ V AR (A) เรามี Xi 6∈ V AR (A0 ) ดังนั้น S ⊆ {t ∈ P (Wτ (X)) | Xi 6∈ V AR (T)}. (iii) ⇒ (i) เป็นที่ชัดเจนโดยโจทย์ 2.2 (ii). (ii) ⇒ (iii) ให้ A ∈ S กับ V Xi 6∈ AR (A) แล้วสำหรับ B ใด ๆ ∈ S, B ·เซี่ย· xib = B และนี้หมายถึง Xi 6∈ V AR (B) และดังนั้นจึง S ⊆ {t ∈ P (Wτ (X)) | Xi 6∈ V AR (T)}. (iii) ⇒ (ii) ตามข้อเสนอ 2.2 (ii) เราได้ B · xiB0 = B แล้วยังB = B · xiB0 · xib. 26 เค Denecke เอ็น Sarasit สี่เหลี่ยม วงดนตรีที่สามารถจะมีลักษณะดังต่อไปนี้ข้อเสนอที่ 5.5 Let S ⊆ P (Wτ (X)) และปล่อยให้ Xi ∈ V AR (A) สำหรับทั้งหมด∈เอสแล้ว (S · Xi ) เป็นวงรูปสี่เหลี่ยมและถ้าหาก (S · Xi ) เป็นขวา ศูนย์subsemigroup ของ (P (Wτ (X)); · Xi .) หลักฐาน ทุกขวาศูนย์ semigroup เป็นวงรูปสี่เหลี่ยม ถ้า (S · Xi ) เป็นวงรูปสี่เหลี่ยมแล้วจาก Xi ∈ V AR (A), Xi ∈ V AR (B) สำหรับทุก A, B ∈ S โดยแทรก 3.1 มีดังนี้ Xi ∈ B ·เซี่ยแล้วโดยโจทย์ 2.2 Xi ∈ A, Xi ∈บีดังนั้น⊆ B · Xia ⊆เป็น·· xib Xia = กนี้มีความหมาย A = B ·เซี่ยและ (S · Xi ) รูปแบบที่เหมาะสมศูนย์ subsemigroup ของ (P ( Wτ (X)); · Xi )