3 IdealsDefinition 3.1. A non-empty

3 Ideals
Definition 3.1. A non-empty subset A of a KK-algebra X is called a closed of X on condition that x∗y ∈ A whenever x,y ∈ A. Definition 3.2. A non-empty subset A of a KK- algebra X is called an ideal of X if it satisfies the following conditions:
(I-1) 0 ∈ A (I-2) for any x,y ∈ X, x∗y ∈ A and x ∈ A imply y ∈ A.
Examples 3.3. Let X ={0,1,2,3} and let ∗ be defined by the table
A structure of KK-algebras and its properties 1039
* 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 0 0 3 3 2 3 3 0 0 3 3 2 1 0
Thus, it can be easily shown that X is a KK- algebra. And we see that I ={0,1} and J = {0,3} are closed ideals of X. Lemma 3.4. Let A be a closed of KK-algebra X. Then A is an ideal of X if and only if x ∈ A and z∗y ∈ A imply z∗(x∗y)∈ A for all x,y,z ∈ X. Proof. Let A be an ideal of X and let x ∈ A whereas z ∗y ∈ A. Suppose that z ∗(x∗y) ∈ A. By proposition 2.9, we see that x∗(z ∗y) ∈ A. Since A is an ideal of X and x ∈ A, z∗y ∈ A, a contradiction. So z∗(x∗y)∈ A. Conversely, assume that if x ∈ A and z∗y ∈ A imply z∗(x∗y)∈ A for all x,y,z ∈ X. Since A is a closed of X, then there is x ∈ A which 0 = x∗x ∈ A. That is, 0 ∈ A. Now, let x∗y ∈ A and x ∈ A. Assume that y ∈ A. We have that 0∗y = y ∈ A. It follows that 0∗(x∗y)∈ A. Hence x∗y ∈ A, contradiction. Therefore A is an ideal of X. This completes the proof. 
Corollary 3.5. Let A be a closed of KK-algebra X. Then A is an ideal of X if and only if x ∈ A and y ∈ A imply x∗y ∈ A for all x,y ∈ X. Lemma 3.6. Let A be a closed of KK-algebra X. Then A is an ideal of X if and only if x∗(y∗z) ∈ A and x∗z ∈ A imply y ∈ A for all x,y,z ∈ X. Proof. Let A be an ideal of X and let x∗(y∗z) ∈ A, x∗z ∈ A. Suppose that y ∈ A. By proposition 2.9, we have y∗(x∗z) ∈ A. Since A is an ideal of X, thus x∗z ∈ A, contradiction, this shows that y ∈ A. Conversely, assume that x∗(y∗z) ∈ A and x∗z ∈ A imply y ∈ A for all x,y,z ∈ X. Since A is a closed of X, then there is y ∈ A which 0 = y∗y ∈ A. Then 0 ∈ A. Let y ∗ z ∈ A, y ∈ A and suppose that z ∈ A. By KK-2, 0∗(y∗z) ∈ A and 0∗z ∈ A. By assumption, so y ∈ A, a contradiction. This proves that A is an ideal of X. 
Corollary 3.7. Let A be a closed of KK-algebra X. Then A is an ideal of X if and only if x∗y ∈ A and y ∈ A imply x ∈ A for all x,y,z ∈ X. This Lemma gives some properties of ideal of KK-algebra.
Lemma 3.8. If A is an ideal of KK-algebra X and B is an ideal of A, then B is an ideal of X. Proof. Since B is an ideal of A, then 0 ∈ B. Let x,y ∈ X such thatx ∗y ∈ B and x ∈ B. It follows that that x∗y ∈ A and x ∈ A. By assumption,A is an ideal of X, so y ∈ A and x ∈ B. From B is an ideal of A, so y ∈ B. Therefore, B is an ideal of X. 
1040 S. Asawasamrit and A. Sudprasert
Theorem 3.9. Let{Ji : i ∈ N}be a family of ideals of a KK-algebra X where Jn ⊆ Jn+1 for all n ∈ N. Then ∞  n=1 Jn is an ideal of X. Proof. Let {Ji : i ∈ N} be a family of ideals of X. It can be proved easily that ∞  n=1 Jn ⊆ X. Since Ji is an ideal of X for all i, so 0 ∈ ∞  n=1 Jn. Let x∗y ∈ ∞  n=1 Jn and x ∈ ∞  n=1 Jn. It follows that x∗y ∈ Jj for some j ∈ N and x ∈ Jk for some k ∈ N. Furthermore, let Jj ⊆ Jk. Hence x ∗ y ∈ Jk and x ∈ Jk. By assumption, Jk is an ideal of X, it follows that y ∈ Jk. Therefore, y ∈ ∞  n=1 Jn, proving that ∞  n=1 Jn is an ideal of X.  Theorem 3.10. Let {Ji : i ∈ N} be a family of closed ideals of a KK-algebra X where Jn ⊆ Jn+1 for all n ∈ N. Then ∞  n=1 Jn is a closed ideal of X. Proof. Let {Ji : i ∈ N} be a family of closed ideals of X. By theorem 3.9, ∞  n=1 Jn is an ideal of X. We will show that ∞  n=1 Jn is a closed of X. Let x,y ∈ ∞  n=1 Jn. It follows that x ∈ Jj for some j ∈ N and y ∈ Jk for some k ∈ N. WLOG, we assume that j ≤ k, we obtain Jj ⊆ Jk. That is, x ∈ Jk and x ∈ Jk. Since Jk is a closed of X, we get x∗y ∈ Jk ⊆ ∞  n=1 Jn. This proves that ∞  n=1 Jn is a closed ideal of X.  Theorem 3.11. Let {Ij : j ∈ J} be a family of ideals of a KK-algebra X. Then  j∈J Ij is an ideal of X. Proof. Let {Ij : j ∈ J} be a family of ideals of X. It is obvious that j∈J Ij ⊆ X. Since 0 ∈ Ij for all j ∈ J, it follows that 0∈  j∈J Ij. Let x∗y ∈  j∈J Ij and x ∈  j∈J Ij. We get that x∗y ∈ Ij and x ∈ Ij for all j ∈ J, then y ∈ Ij for all j ∈ J. Because Ij is an ideal of X. So y ∈  j∈J Ij, proving our theorem.  Theorem 3.12. Let {Ij : j ∈ J} be a family of closed ideals of a KK-algebra X. Then  j∈J Ij is a closed ideal of X. Proof. Let {Ij : j ∈ J} be a family of closed ideals of X. By theorem 3.11,  j∈J Ij is an ideal of X. We will show that  j∈J Ij is a closed of X. Let x,y ∈  j∈J Ij. It follows that x,y ∈ Ij for all j ∈ J. Since Ij is a closed of X and x∗y ∈ Ij for all j ∈ J, then x∗y ∈  j∈J Ij. This show that  j∈J Ij is a closed ideal of X. 
A structure of KK-algebras and its properties 1041

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

3 อุดมคติ
De Fi nition 3.1 ไม่ว่างเปล่าย่อยของ KK-X พีชคณิตเรียกว่าปิด X บนเงื่อนไขที่ว่า X * Y ∈เมื่อใดก็ตามที่ x, y ∈ A. De Fi nition 3.2 ไม่ว่างเปล่าย่อยของ KK- พีชคณิต X เรียกว่าอุดมคติของ X ถ้ามัน satis Fi ES เงื่อนไขต่อไปนี้:
(I-1) 0 ∈ A (I-2) สำหรับ X ใด ๆ , y ∈ X, X * Y ∈ A และ x ∈บ่งบอกถึง Y ∈ A.
ตัวอย่าง 3.3 ให้ X = {0,1,2,3} * และปล่อยให้เป็นที่นิยามโดยตาราง
โครงสร้างของ KK-จีบและคุณสมบัติของ 1039
* 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 0 0 3 3 2 3 3 0 0 3 3 2 1 0
ดังนั้นจึงสามารถแสดงให้เห็นได้อย่างง่ายดายว่า X เป็นพีชคณิต KK- และเราเห็นว่าฉัน = {0,1} และ J = {0,3} จะปิดอุดมคติของเอ็กซ์แทรก 3.4 ให้ได้รับการปิดของ KK-พีชคณิตเอ็กซ์แล้วเป็นอุดมคติของ X ถ้าหากว่า x ∈ A และ Z * Y? ∈บ่งบอกถึง Z * (x * y)? ∈สำหรับทุก x, y, z ∈เอ็กซ์หลักฐาน ปล่อยให้เป็นอุดมคติของ X และให้ x ∈ในขณะ Z * Y? ∈ A. สมมติว่า Z * (x * y) ∈ A. ตามข้อเสนอ 2.9 เราจะเห็นว่า X * (Z * y) ∈ A. ตั้งแต่ เป็นอุดมคติของ x และ x ∈ A, Z * Y ∈ A, ความขัดแย้ง ดังนั้น Z * (x * y)? ∈ A. ตรงกันข้ามคิดว่าถ้า x ∈ A และ Z * Y? ∈บ่งบอกถึง Z * (x * y)? ∈สำหรับทุก x, y, z ∈เอ็กซ์ตั้งแต่ เป็นปิด x แล้วมี x ∈ที่ 0 = x * x ∈ A. นั่นคือ 0 ∈ A. ตอนนี้ให้ x * Y ∈ A และ x ∈ A. สมมติ Y ที่? ∈ A. เรามี ที่ 0 * Y = Y? ∈ A. มันตามที่ 0 * (x * y)? ∈ A. ดังนั้น x * Y? ∈ A, ความขัดแย้ง ดังนั้นจึงเป็นอุดมคติของเอ็กซ์เสร็จสมบูรณ์หลักฐาน ?
ควันหลง 3.5 ปล่อยให้เป็นปิดของ KK-พีชคณิตเอ็กซ์แล้วเป็นอุดมคติของ X ถ้าหากว่า x ∈ A และ Y? ∈เปรย X * Y? ∈สำหรับทุก x, y ∈เอ็กซ์แทรก 3.6 ให้ได้รับการปิดของ KK-พีชคณิตเอ็กซ์แล้วเป็นอุดมคติของ X และถ้าหาก X * (y * z) ∈ A และ X * Z? ∈บ่งบอกถึง Y? ∈สำหรับทุก x, y, z ∈เอ็กซ์หลักฐาน ปล่อยให้เป็นอุดมคติของ X และให้ X * (y * z) ∈ A, X * Z? ∈ A. สมมติว่า Y ∈ A. ตามข้อเสนอ 2.9 เรามี Y * (x * z) ∈ A. ตั้งแต่ เป็นอุดมคติของ x จึง x * Z ∈ A, ความขัดแย้งนี้แสดงให้เห็นว่า Y? ∈ A. ตรงกันข้ามสมมติว่า x * (y * z) ∈ A และ x * Z? ∈บ่งบอกถึง Y? ∈สำหรับทุก x, Y, Z ∈เอ็กซ์ตั้งแต่เป็นปิด x แล้วมี Y ∈ที่ 0 = Y * Y ∈ A. แล้ว 0 ∈ A. Let Y * Z ∈ A, Y ∈ A และสมมติว่า Z ? ∈ A. โดย KK-2, 0 * (y * z) ∈ A และ 0 * Z? ∈ A. ตามสมมติฐาน, y เพื่อ? ∈ A, ความขัดแย้ง นี้พิสูจน์ให้เห็นว่าเป็นอุดมคติของ X. ?
ควันหลง 3.7 ให้ได้รับการปิดของ KK-พีชคณิตเอ็กซ์แล้วเป็นอุดมคติของ X และถ้าหาก X * Y ∈ A และ Y? ∈เปรย X? ∈สำหรับทุก x, y, z ∈เอ็กซ์แทรกนี้จะช่วยให้ คุณสมบัติของอุดมคติของ KK-พีชคณิตบาง.
บทแทรก 3.8 ถ้าเป็นอุดมคติของ KK-พีชคณิต X และ B เป็นอุดมคติของแล้ว B เป็นอุดมคติของเอ็กซ์หลักฐาน ตั้งแต่ B เป็นอุดมคติของแล้ว 0 ∈บี Let x, y ∈ X เช่น thatx * Y ∈ B และ x ∈บีมันเป็นไปตามที่ X * Y ∈ A และ x ∈ A. ตามสมมติฐานคือการ อุดมคติของ x ดังนั้น Y ∈ A และ x ∈บีจาก B เป็นอุดมคติของ A, Y เพื่อ∈บีดังนั้น B เป็นอุดมคติของ X. ?
1040 เอสเอและ Asawasamrit สุดประเสริฐ
ทฤษฎีบท 3.9 Let {จี: ฉัน∈ N} จะเป็นครอบครัวของอุดมคติของ KK-X พีชคณิตที่ยอห์น⊆ย + 1 สำหรับทุก n ∈เอ็นแล้ว∞? n = 1 ยอห์นเป็นอุดมคติของเอ็กซ์หลักฐาน Let {จี: ฉัน∈ N} จะเป็นครอบครัวของอุดมคติของเอ็กซ์จะสามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายว่า∞หรือไม่? n = 1 ยอห์น⊆ X. ตั้งแต่ Ji เป็นอุดมคติของ X สำหรับทั้งหมดที่ฉันดังนั้น 0 ∈∞? n = 1 ยอห์น Let X * Y ∈∞? n = 1 ยอห์นและ x ∈∞? n = 1 ยอห์น มันตามที่ X * Y ∈ Jj สำหรับ J บาง∈ n และ x ∈ Jk สำหรับ k ∈บาง N. นอกจากนี้ให้ Jj ⊆ Jk ดังนั้น X * Y ∈ Jk และ x ∈ Jk โดยสมมติฐาน Jk เป็นอุดมคติของ X มันตามที่ Y ∈ Jk ดังนั้น, y ∈∞? n = 1 ยอห์นพิสูจน์ว่า∞? n = 1 ยอห์นเป็นอุดมคติของเอ็กซ์? ทฤษฎีบท 3.10 Let {จี: ฉัน∈ N} จะเป็นครอบครัวของอุดมคติปิดของ KK-X พีชคณิตที่ยอห์น⊆ย + 1 สำหรับทุก n ∈เอ็นแล้ว∞? n = 1 ยอห์นเป็นที่เหมาะปิดของเอ็กซ์หลักฐาน Let {จี: ฉัน∈ N} จะเป็นครอบครัวของอุดมคติปิดของเอ็กซ์โดยทฤษฎีบท 3.9 ∞? n = 1 ยอห์นเป็นอุดมคติของ X. เราจะแสดงให้เห็นว่า∞? n = 1 ยอห์นเป็นปิดของเอ็กซ์ Let x, y ∈∞? n = 1 ยอห์น มันตามที่ x ∈ Jj สำหรับ J บาง∈ N และ y ∈ Jk สำหรับ k ∈บาง N. WLOG เราคิดว่า J K ≤เราได้รับ Jj ⊆ Jk นั่นคือ x ∈ Jk และ x ∈ Jk ตั้งแต่ Jk เป็นปิด X ของเราได้รับ X * Y ∈ Jk ⊆∞? n = 1 ยอห์น นี้พิสูจน์ให้เห็นว่า∞? n = 1 ยอห์นเป็นที่เหมาะปิดของเอ็กซ์? ทฤษฎีบท 3.11 Let {Ij: J ∈ J} จะเป็นครอบครัวของอุดมคติของเอ็กซ์ KK-พีชคณิตแล้วหรือไม่? j∈J Ij เป็นอุดมคติของเอ็กซ์หลักฐาน Let {Ij: J ∈ J} เป็นครอบครัวอุดมคติของเอ็กซ์มันเป็นที่ชัดเจนว่า? j∈J Ij ⊆ X. ตั้งแต่ 0 ∈ Ij สำหรับ J ทั้งหมด∈ J มันตามที่0∈? j∈J Ij Let X * Y ∈? j∈J Ij และ x ∈? j∈J Ij เราได้รับที่ X * Y ∈ Ij และ x ∈ Ij สำหรับ J ทั้งหมด∈ J แล้ว Y ∈ Ij สำหรับ J ทั้งหมด∈เจเพราะ Ij เป็นอุดมคติของเอ็กซ์ดังนั้น Y ∈? j∈J Ij พิสูจน์ทฤษฎีบทของเรา ? ทฤษฎีบท 3.12 Let {Ij: J ∈ J} จะเป็นครอบครัวของอุดมคติปิดของเอ็กซ์ KK-พีชคณิตแล้วหรือไม่? j∈J Ij เป็นเหมาะปิดของเอ็กซ์หลักฐาน Let {Ij: J ∈ J} จะเป็นครอบครัวของอุดมคติปิดของเอ็กซ์โดยทฤษฎีบท 3.11? j∈J Ij เป็นอุดมคติของ X. เราจะแสดงให้เห็นว่า? j∈J Ij เป็นปิดของเอ็กซ์ Let x, y ∈? j∈J Ij มันตามที่ x, y ∈ Ij สำหรับ J ทั้งหมด∈เจตั้งแต่ Ij เป็นปิดของ X และ Y X * ∈ Ij สำหรับ J ทั้งหมด∈ J แล้ว X * Y ∈? j∈J Ij นี้แสดงให้เห็นว่า? j∈J Ij เป็นเหมาะปิดของ X. ?
โครงสร้างของ KK-จีบและคุณสมบัติของ 1041

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

3 อุดมการณ์เดอ จึง nition 3.1 . ไม่ใช่ย่อยเป็นว่างของ KK พีชคณิต x เรียกว่าปิด X โดยมีเงื่อนไขว่า x ∗ Y ∈เป็นเมื่อ x , y ∈ . เดอ จึง nition 3.2 . ไม่ใช่ย่อยเป็นว่างของ KK - พีชคณิต x เรียกว่า อุดมคติของ X ถ้ามันพอจึงเสนอเงื่อนไขต่อไปนี้ :( i-1 ) 0 ∈ ( I-2 ) สำหรับ x , y ∈ X , Y และ X X ∗∈∈เป็นนัย Y ∈ .ตัวอย่าง 3.3 . ให้ x = { } และเราได้ 0,1,2,3 ∗เดอจึงเน็ดโดยตารางโครงสร้างของธนาคาร และคุณสมบัติของพีชคณิตฉัน* 0 1 2 3 0 0 1 2 3 3 0 0 3 3 3 3 3 0 0 3 3 2 1 0ดังนั้นจึงสามารถแสดงให้เห็นว่า x เป็น KK - พีชคณิต และเราเห็นว่าฉัน = { } = { 0 , 3 และ 0.1 J } ปิดอุดมคติของเอ็กซ์แทรก 3.4 . ปล่อยให้เป็นปิดพีชคณิต KK X แล้วเป็นอุดมคติของ x ถ้าและเพียงถ้า X และ Z ∈∗ Y ∈เป็นนัย ( X ∗ Y ) Z ∗∈เป็นทั้งหมดสำหรับ x , y , z ∈เอ็กซ์ พิสูจน์ ให้เหมาะเป็น X และ X และ Z ให้∈เป็น∗ Y ∈ . สมมติว่า∗ Z ( X ∗ Y ) ∈ก. โดยข้อเสนอ 2.9 เราจะเห็นว่า∗ X ( Z ∗ Y ) ∈ . ตั้งแต่ที่เป็นอุดมคติของ x และ x ∈ , Z ∗ Y ∈ , ความขัดแย้ง ดังนั้น∗ Z ( X ∗ Y ) ∈ . ในทางกลับกัน สมมติว่า ถ้า x ∈และ Z ∗ Y ∈เป็นนัย ( X ∗ Y ) Z ∗∈เป็นทั้งหมดสำหรับ x , y , z ∈ X เนื่องจากเป็นปิด X แล้วมี X ∈ที่ 0 = x ∗ x ∈ A . นั่นคือ 0 ∈ . ตอนนี้ให้ X Y และ X ∗∈∈ . สมมติว่า Y ∈ . เรามีที่ 0 ∗ Y = Y ∈ . มันเป็นไปตามที่ 0 ∗ ( X ∗ Y ) ∈ . ดังนั้น x ∗ Y ∈ , ความขัดแย้ง ดังนั้นจึงเป็นอุดมคติของเอ็กซ์ การพิสูจน์เสร็จสิ้นควันหลง 3.5 . ปล่อยให้เป็นปิดพีชคณิต KK X แล้วเป็นอุดมคติของ x ถ้าและเพียงถ้า X และ Y เป็น∈∈บ่งบอกถึง x ∗ Y ∈เป็นทั้งหมดสำหรับ x , y ∈เอ็กซ์แทรก 3.6 ปล่อยให้เป็นปิดพีชคณิต KK X แล้วเป็นอุดมคติของ x ถ้าและเพียงถ้า∗ X ( Y ∗ Z ) ∈และ x ∗ Z ∈เป็นนัย Y ∈เป็นทั้งหมดสำหรับ x , y , z ∈เอ็กซ์ พิสูจน์ ให้เหมาะเป็น X และให้ x ∗ ( Y ∗ Z ) ∈ A , x ∗ Z ∈ . สมมติว่า Y ∈ก. โดยข้อเสนอ 2.9 เรามี∗ Y ( X ∗ Z ) ∈ . ตั้งแต่ที่เป็นอุดมคติของ x ดังนั้น x ∗ Z ∈ , ขัดแย้ง , นี้แสดงให้เห็นว่า Y ∈ . ในทางกลับกัน สมมติว่า∗ X ( Y ∗ Z ) ∈และ x ∗ Z ∈เป็นนัย Y ∈เป็นทั้งหมดสำหรับ x , y , z ∈ X เนื่องจากเป็นปิด X แล้วมี Y ∈ที่ 0 = Y Y ∗∈ . แล้ว 0 ∈ให้ Y ∗ . ∈ Z , Y ∈และสมมติว่า Z ∈ก. โดย kk-2 , 0 ∗ ( Y ∗ Z ) ∈และ 0 ∗ Z ∈ . โดยสมมติฐาน ดังนั้น Y ∈ , ความขัดแย้ง นี้พิสูจน์ให้เห็นว่าเป็นอุดมคติของ Xควันหลง 3.7 ปล่อยให้เป็นปิดพีชคณิต KK X แล้วเป็นอุดมคติของ x ถ้าและเพียงถ้า X และ Y Y ∈∗∈เป็นนัย x ∈เป็นทั้งหมดสำหรับ x , y , z ∈ X บทตั้งนี้ให้คุณสมบัติบางอย่างของอุดมคติของพีชคณิต KK .แทรก 3.8 . ถ้าเป็นอุดมคติของ KK พีชคณิต x และ b เป็นอุดมคติของแล้ว B ที่เป็นอุดมคติของเอ็กซ์ พิสูจน์ ตั้งแต่ B ที่เป็นอุดมคติของแล้ว 0 ∈ B . ให้ x , y ∈ X เช่น thatx ∗ Y ∈ B และ x ∈มันดังต่อไปนี้ว่า X Y และ X ∗∈∈ . โดยสมมติฐาน ที่เป็นอุดมคติของ X , Y และ X ∈∈ B จาก B เป็นอุดมคติของดังนั้น Y ∈พ. ดังนั้น B ที่เป็นอุดมคติของ X1040 . asawasamrit สายทองยนต์และทฤษฎีบท 3.9 ให้จี : ผม∈ { n } เป็นครอบครัวของอุดมคติของ KK พีชคณิต x ที่ชุมทางชุมทาง⊆ + 1 สำหรับทุก n ∈ . แล้ว∞ n = 1 Jn เป็นอุดมคติของเอ็กซ์ พิสูจน์ ให้จี : ผม∈ { n } เป็นครอบครัวของอุดมคติของ X . มันสามารถพิสูจน์ได้ว่า ∞ n = 1 Jn ⊆ X ตั้งแต่จีเป็นอุดมคติของ x สำหรับผม ดังนั้น 0 ∈∞ n = 1 Jn . ให้ x ∗ Y ∈∞ n = 1 Jn และ X ∈∞ n = 1 Jn . มันเป็นไปตามที่∗ X Y ∈เจเจบาง J ∈ n x ∈ JK บาง K ∈ . นอกจากนี้ให้เจเจ⊆ JK ดังนั้น x ∗ Y ∈ JK และ X ∈ JK โดยสมมติฐาน , JK เป็นอุดมคติของ x , y ตาม∈ JK ดังนั้น y ∈∞ n = 1 Jn พิสูจน์ว่า ∞ n = 1 Jn เป็นอุดมคติของ X . ทฤษฎีบท 3.10 . ให้จี : ผม∈ { n } เป็นครอบครัวในอุดมคติของ KK ปิดพีชคณิต x ที่ชุมทางชุมทาง⊆ + 1 สำหรับทุก n ∈ . แล้ว∞ n = 1 Jn เหมาะปิด X พิสูจน์ ให้จี : ผม∈ { n } เป็นครอบครัวในอุดมคติของ X ปิดโดยทฤษฎีบท 3.9 ∞ , n = 1 Jn เป็นอุดมคติของ X เราจะแสดงให้เห็นว่า∞ n = 1 Jn เป็นปิด X ให้ x , y ∈∞ n = 1 Jn . มันเป็นไปตามที่ x ∈เจเจบาง∈ J และ Y ∈ JK บาง K ∈ . wlog เราสมมติว่า J ≤ K เราขอรับเจเจ⊆ JK นั่นคือ x และ x ∈ JK ∈ JK ตั้งแต่จองกุ๊กเป็นปิด x , เราได้รับ X ∗ Y ∈ JK ⊆∞ n = 1 Jn . นี้พิสูจน์ให้เห็นว่า∞ n = 1 Jn เหมาะปิด X ทฤษฎีบท 3.11 . ให้ { ij ; ∈ J } เป็นครอบครัวของอุดมคติของพีชคณิต KK X J J แล้ว∈ ij เป็นอุดมคติของเอ็กซ์ พิสูจน์ ให้ { ij ; ∈ J } เป็นครอบครัวของอุดมคติของเอ็กซ์ มันชัดเจนว่า เจเจ ∈ IJ ⊆ X ตั้งแต่ 0 ∈ IJ สำหรับ∈ เจเจ ไปตาม∈ 0 J ∈เจแอลเจ ให้ x ∗ Y ∈ J J J ∈ IJ และ X ∈∈เคแอลเจ เราเอา x ∗ Y และ X ∈ IJ IJ ∈ทั้งหมด∈ J J , Y ∈ IJ สำหรับ เจเจ เพราะ∈ ij เป็นอุดมคติของ X Y ให้เจเจ∈∈ IJ พิสูจน์ทฤษฎีบทของเรา ทฤษฎีบท 3.12 . ให้ { ij ; ∈ J } เป็นครอบครัวในอุดมคติของพีชคณิตปิด KK X J J แล้ว∈ IJ เหมาะปิด X พิสูจน์ ให้ { ij ; ∈ J } เป็นครอบครัวในอุดมคติของ X ปิดโดยทฤษฎีบท 3.11 , J ∈ J ij เป็นอุดมคติของ X เราจะแสดงที่ เจเจ ∈ ij เป็นปิด X ให้ x , y ∈ J ∈เคแอลเจ มันเป็นไปตามที่ x , y ∈ IJ สำหรับ เจเจ ตั้งแต่∈ IJ ฉัน