We called this number the determina

We called this number the determinant of A. It is
clear from this that we would like to have similar
result for bigger matrices (meaning higher orders).
There is similar notion of determinant for any
square matrix, which determines whether square
matrix is invertible or not. In order to generalize
such notion to higher orders, it is required to study
the determinant and see what kind of properties it
satisfies.
Notation
The following notation is used for the determinant:
ad cb
c d
a b
- = =




 


=




 


c d
a b
det
c d
a b
determinant of
1.2 Properties of the Determinant
(1) Any matrix A and its transpose have the
same determinant, meaning
det (A) = det(AT )
(2) The determinant of a triangular matrix is
the product of the entries on the diagonal,
that is
ad
c d
a
d
a b
= =
0
0
(3) If we interchange two rows, the
determinant of the new matrix is the
opposite of the old one, that is
a b
c d
c d
a b
= -
(4) If we multiply one row with a constant, the
determinant of the new matrix is the
determinant of the old one multiplied by
the constant, that is
kc kd
a b
c d
a b
k
c d
ka kb
= =
In particular, if all the entries in one row
are zero, then the determinant is zero.
(5) If we add one row to another one
multiplied by a constant, the determinant
of the new matrix is the same as the old
one, that is
c ka d kb
a b
c d
a b
c d
a kc b kd
+ +
= =
+ +
(6) We have
det (AB) = det(A) . det(B)
If A and B are similar, then
det (A) = det(B)
2. FORMING SINGULAR MATRIX
2.1 Special Properties
Let us consider following special properties
a11 + a22 – a21 = a12
a21 + a32 – a31 = a22
a12 + a23 – a22 = a13
a22 + a33 – a32 = a33
The determinant of any matrix constructed using
above properties is zero except matrix of order
(2 X 2) and (1 X 1) and the sum of elements in the
two diagonals is also equal.
2.2 Theorem
Theorem Any Matrix formed using the above
special properties is singular
Proof: Let us consider the 3 X 3matrix.
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a


  =  
 
 
From special properties (see Section. 2.1), we
derive
a11 – a12 = a21 – a22 = a31 – a32 (1)
a12 – a13 = a22 – a23 = a32 – a33 (2)
Subtracting second column from the first column
We get
11 12 12 13
21 22 22 23
31 32 32 33
_
_
_
A
a a a a
a a a a
a a a a


 
=    
 
 

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เราเรียกว่าหมายเลขนี้ดีเทอร์มิแนนต์ของอ. จึงล้างจากนี้ที่เราอยากได้เหมือนกันผลการหาเมทริกซ์ขนาดใหญ่ (ความหมายใบสูง)มีความคล้ายกันของดีเทอร์มิแนนต์ใด ๆตารางเมตริกซ์ ซึ่งกำหนดว่าตารางเมทริกซ์นี้สามารถหาอินเวอร์สได้ หรือไม่ การทั่วไปเช่นแนวคิดสั่งสูงกว่า จึงต้องศึกษาดีเทอร์มิแนนต์ และดูชนิดของคุณสมบัตินั้นเป็นไปตามนั้นสัญกรณ์ใช้ดีเทอร์มิแนนต์สัญลักษณ์ต่อไปนี้:โฆษณา cbc dแบบ b- = =

 =

 c dแบบ bเดชc dแบบ bดีเทอร์มิแนนต์ของ1.2 คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์(1) ทุกเมตริกซ์ A และเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของได้นี้ความหมายของดีเทอร์มิแนนต์ เดียวกันเดช (A) =เดช (AT)(2 ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยม)เป็นผลิตภัณฑ์ของรายการบนเส้นทแยงมุมนั่นก็คือโฆษณาc dมีdแบบ b= =00(3) ถ้าเราแลกเปลี่ยนแถวที่สอง การดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ใหม่เป็นการตรงกันข้ามกับของเก่า ที่แบบ bc dc dแบบ b= -(4) ถ้าเราคูณแถวหนึ่ง มีค่าคง การดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ใหม่เป็นการดีเทอร์มิแนนต์ของเก่าด้วยนั่นคือค่าคงเคซี kdแบบ bc dแบบ bkc dka kb= =ในกรณีเฉพาะ รายการทั้งหมดในหนึ่งแถวเป็นศูนย์ แล้วดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์(5) ถ้าเราเพิ่มหนึ่งแถวหนึ่งคูณ ด้วยค่าคง ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ใหม่เป็นเหมือนเก่าหนึ่ง ที่กา c d kbแบบ bc dแบบ bc dบีเคซี kd+ += =+ +(6) เราได้เดช (AB) = det(A) det(B)ถ้า A และ B เหมือนกัน แล้วเดช (A) = det(B)2. เป็นเมตริกซ์เอกฐาน2.1 คุณสมบัติพิเศษให้เราพิจารณาตามคุณสมบัติพิเศษa11 + a22-a21 = a12a21 a32-a31 + = a22a12 + a23-a22 = a13a22 + a32-a33 = a33ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ใด ๆ ที่สร้างขึ้นด้านบนคุณสมบัติเป็นศูนย์ยกเว้นเมตริกซ์ของใบสั่ง(2 x 2) และ (1 X 1) และผลรวมขององค์ประกอบในการเส้นทแยงมุมทั้งสองก็เท่ากัน2.2 ทฤษฎีบททฤษฎีบทเมทริกซ์ใด ๆ เกิดขึ้นโดยใช้ข้อมูลข้างต้นคุณสมบัติพิเศษเป็นเอกพจน์หลักฐาน: ให้เราพิจารณา 3 X 3matrix11 12 1321 22 2331 32 33การมีA เป็นแบบการมี
  =    จากคุณสมบัติพิเศษ (ดูส่วน 2.1), เราสืบทอดมาa11-a12 = a21-a22 = a31-a32 (1)a12 – a13 = a22-a23 = a32-a33 (2)ลบคอลัมน์สองคอลัมน์แรกเราได้รับ11 12 12 1321 22 22 2331 32 32 33___Aการมีการการมีการการมีการ
 =      

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เราเรียกว่าหมายเลขนี้ปัจจัยของเอมันเป็นที่ชัดเจนจากที่เราต้องการที่จะมีคล้ายกันผลที่ใหญ่กว่าสำหรับการฝึกอบรม(หมายถึงคำสั่งซื้อที่สูงกว่า). มีความคิดที่คล้ายกันของปัจจัยสำหรับการใด ๆเมทริกซ์ตารางซึ่งกำหนดว่าตารางเมทริกซ์กลับด้านหรือไม่ เพื่อที่จะพูดคุยความคิดดังกล่าวเพื่อให้คำสั่งซื้อที่สูงขึ้นก็จำเป็นต้องมีการศึกษาปัจจัยและดูสิ่งที่ชนิดของคุณสมบัติมันน่าพอใจ. สัญกรณ์สัญกรณ์ต่อไปนี้จะใช้สำหรับปัจจัย: โฆษณา cb ซีดีAB - =? ???? ??? =? ???? ??? cd AB เดชอุดมซีดีAB ปัจจัยของ1.2 คุณสมบัติของปัจจัย(1) เมทริกซ์ใด ๆ และ transpose ที่มีปัจจัยเดียวที่มีความหมายdet (A) = det (AT) (2) ปัจจัยของเมทริกซ์สามเหลี่ยมเป็นผลิตภัณฑ์ของรายการในแนวทแยง, ที่โฆษณาซีดีd AB = 0 0 (3) ถ้าเราแลกเปลี่ยนสองแถวที่ปัจจัยของเมทริกซ์ใหม่เป็นตรงข้ามของคนเก่าที่เป็นAB cd cd AB = - (4) ถ้าเราคูณหนึ่งแถวที่มีค่าคงที่ปัจจัยของเมทริกซ์ใหม่เป็นปัจจัยของคนเก่าคูณด้วยค่าคงที่ที่เป็นkc KD AB ซีดีAB k cd กากิโล= โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้ารายการทั้งหมด ในหนึ่งแถวเป็นศูนย์แล้วปัจจัยที่เป็นศูนย์. (5) ถ้าเราเพิ่มหนึ่งแถวไปยังอีกที่หนึ่งคูณด้วยค่าคงที่ปัจจัยของเมทริกซ์ใหม่เป็นเช่นเดียวกับเก่าเดียวคือคกาd กิโลไบต์AB ซีดีAB ซีดีKD ข kc + = + (6) เรามีเดชอุดม(AB) = det (A) det (B) ถ้า A และ B จะคล้ายกันแล้วdet (A) = det (B) 2 ขึ้นรูป MATRIX SINGULAR 2.1 คุณสมบัติพิเศษขอให้เราพิจารณาดังต่อไปนี้คุณสมบัติพิเศษa11 + a22 - a21 = a12 a21 + A32 - a31 = a22 a12 + A23 - a22 = A13 A22 + A33 - A32 = A33 ปัจจัยของเมทริกซ์ใด ๆ ที่สร้างโดยใช้ข้างต้นคุณสมบัติเป็นศูนย์ยกเว้นเมทริกซ์ของการสั่งซื้อ(2 X 2) และ (1 X 1) และผลรวมขององค์ประกอบในสองเส้นทแยงมุมยังมีค่าเท่ากับ. 2.2 ทฤษฎีบททฤษฎีบทเมทริกซ์ใดๆที่เกิดขึ้นโดยใช้ข้างต้นคุณสมบัติพิเศษเป็นเอกพจน์พิสูจน์: ขอให้เราพิจารณา 3 X 3matrix. 11 12 13 21 22 23 31 32 33 กกข่าย AAA AAA? ?? ? =? ?? ?? ? จากคุณสมบัติพิเศษ (ดูมาตรา 2.1.) เราได้รับมาa11 - a12 = a21 - a22 = a31 - A32 (1) a12 - A13 = a22 - A23 = A32 - A33 (2) ลบคอลัมน์ที่สองจากคอลัมน์แรกเราได้รับ12 12 11 13 21 22 22 23 วันที่ 31 32 32 33 _ _ _ ข่าย AAA AAAA AAAA? ?? ? =? ? ? ? ?? ??? ?

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เราเรียกจำนวนที่กำหนด . มัน
ชัดเจนจากที่เราต้องการจะมีผลที่คล้ายกัน
สำหรับเมทริกซ์ใหญ่ ( หมายถึงคำสั่งสูงกว่า ) .
มีความคิดคล้ายคลึงกันของปัจจัยใด
ตารางเมทริกซ์ซึ่งกำหนดว่าตาราง
เมทริกซ์ invertible หรือไม่ เพื่อที่จะลงความเห็น
เรื่องแบบนี้ไปสั่งซื้อที่สูงขึ้น จะต้องศึกษา
ปัจจัยและดูสิ่งที่ชนิดของ คุณสมบัติมัน


เข้าตา สัญกรณ์สัญกรณ์ต่อไปนี้จะใช้เพื่อกำหนด :
โฆษณา CB
C D
B
= =




   

 
=




   

 
C D
B
5
C D
B

สำหรับการกำหนดคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์
( 1 ) ใด ๆและการเปลี่ยนเมทริกซ์ดีเทอร์มิแนนต์เดียวกันได้

คือ ความหมาย ( ) = เดช ( ที่ )
( 2 ) ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยม
ผลิตภัณฑ์ของรายการบนเส้นทแยงมุม


C D ที่โฆษณา :
D
B
= =
0
0
( 3 ) ถ้าเราแลกเปลี่ยนแถวสอง
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ใหม่
ตรงข้ามกับตัวเก่าที่เป็น
B
c D C D

B
=
( 4 ) ถ้าเราคูณหนึ่งแถวกับคงที่
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ใหม่
กำหนดอายุหนึ่งคูณด้วย

KC และคงที่ นั่นคือ A B C D


B
k
D
c ค่ะบางครั้ง
= =
โดยเฉพาะถ้ารายการทั้งหมดในหนึ่งแถว
เป็นศูนย์ แล้วกำหนดเป็น 0
( 5 ) ถ้าเราเพิ่มแถวหนึ่งไปอีกหนึ่ง
คูณด้วยค่าคงที่ , ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ใหม่

เหมือนเก่าหนึ่ง ที่บางครั้ง

C กะ D /
c D
B
C D : เคซีบี KD

= =

( 6 ) เรามี
เดช ( AB ) = เดช ( ) เดช ( B )
ถ้า A และ B เป็นเหมือนกันแล้ว
เดช ( เดช ) = ( b )
2 รูปเอกพจน์เมทริกซ์พิเศษคุณสมบัติ

๑ให้เราพิจารณาคุณสมบัติดังต่อไปนี้
พิเศษ a22 – a21 A11 A12 =
a21 a32 –ขาย = a22
A12 a23 – a22 = A13
a22 A33 – a32 = A33 ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ใด

ข้างบนสร้างโดยใช้คุณสมบัติเป็นศูนย์ยกเว้นเมทริกซ์เพื่อ
( 2 ) และ ( 1 x 1 ) และ ผลรวมขององค์ประกอบใน
สองเส้นทแยงมุมเป็นเท่าใด ๆ
.
2.2 ทฤษฎีบททฤษฎีบทเมทริกซ์เกิดขึ้นโดยใช้คุณสมบัติที่เป็นเอกพจน์

พิเศษข้างต้นพิสูจน์ให้เราพิจารณา 3 x 3matrix .
11 12 13

21 22 23 31 32 33
A

เป็นเป็นเป็นเป็นเป็น เป็น


  =  
 

  จากคุณสมบัติพิเศษ ( ดูที่ส่วน 2.1 ) เรา

A11 A12 = a21 สืบทอด––– a22 = ขาย a32 ( 1 )
A12 A13 = a22 ––– a23 = a32 A33 ( 2 )
ลบคอลัมน์ที่สองจากคอลัมน์แรก

เราได้ 12 11 12 13
21 22 23 31 32 33 33 22

_



_ _ เป็นเป็นเป็นเป็นเป็น เป็นเป็นเป็นเป็น

A

a
  
=