- ข้อความ
- ประวัติศาสตร์
Mathematical Reasoning ICourse Note
Mathematical Reasoning I
Course Notes
Fall 2005
David Lyons
Mathematical Sciences
Lebanon Valley College
Mathematical Reasoning I
Course Notes
Fall 2005
David Lyons
Mathematical Sciences
Lebanon Valley College
Copyright
c 2005
Contents
0 Sets and Functions 1
0.1 Definitions for sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Venn diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 Some important sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.4 Definitions for functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.6 Inverse functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.7 Operations on real-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.8 Sequences and functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.9 Summation notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 Logic 11
1.1 Statements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Order of precedence in notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Truth tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Counting 17
2.1 How many in a row? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 The multiplication principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Summary of counting formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Mathematical Reasoning I, Course Notes ii
3 Arithmetic and Geometric Sequences 22
3.1 Arithmetic sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Geometric sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Explicit formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Recursive formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Sums of terms in a sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6 Geometric Series and Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.7 Linear and exponential growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Complex Numbers 30
5 Vectors, Linear Maps, and Matrices 36
6 Operations on Linear Maps and Matrices 41
0.10 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Mathematical Reasoning I, Course Notes 1
0 Sets and Functions
The vocabulary of sets and functions is fundamental to all of mathematics,
theoretical and applied. We present basic terminology and examples in this
section.
0.1 Definitions for sets
A set is a collection of objects. The objects belonging to a set are called its
elements, members or points. For example, the members of the set of odd digits
are 1, 3, 5, 7 and 9. The word points for members of a set comes from geometry.
For example, a line is a set of points in the plane or in space.
To indicate that a set A consists of elements called x, y and z, we write
A = {x, y, z}
listing the elements, separated by commas, inside curly brackets. The order
in which the elements are listed does not matter, nor does redundancy in the
listing. For example, we can say the following for the set A above.
A = {x, y, z} = {y, z, x} = {x, x, y, z}
(0.1.1) Set builder notation.
When a set has more than a few members, we usually describe the set rather
than list all of its elements. For example, it is easier to say “the set of even whole
numbers” than it is to list all of the even whole numbers. The mathematical
way to write such verbal descriptions is called set builder notation, and has the
following form.
{x | (a statement, in which x is the subject)}
This denotes the set of all objects for which the statement is true. For example,
the set of even whole numbers can be written like this.
{x | x is an even whole number}
Sometimes a colon is used instead of the vertical bar. Here are some more
examples. The set of positive real numbers can be written {x: x > 0}. The
set of United States Citizens can be written {x | x is a US citizen}. The set of
points in the x, y-plane that lie above the x-axis (“above” means on the positive
y-axis side of the x-axis) can be written {(x, y): y > 0}.
A summary of vocabulary and special notation used for sets is given in (0.1.2).
Mathematical Reasoning I, Course Notes 2
(0.1.2) Set vocabulary and notation.
{. . .} (set brackets) indicates a set with a list or description of set members
between the brackets
{x | p(x)} (set builder notation, see (0.1.1)) denotes the set of all objects x for which
the statement p(x) holds true
{x: p(x)} alternate form of set builder notation
|A| the number of elements in a finite set A
x 2 A the object x is a member of the set A
; the empty set (the set with no members)
A B (pronounced “A is contained in B,” or “A is a subset of B”) every member
of the set A is also a member of the set B
A B (pronounced “A intersect B”) the set of all objects which are members of
both set A and set B
A [ B (pronounced “A union B”) the set of all objects which are members of
either set A or set B, or both
A B (pronounced “A minus B”) the set of all objects which are members of
the set A and are not members of the set B
set difference refers to a set of the form A B
disjoint two sets are disjoint if their intersection is empty
ordered pair an ordered list (x, y) of two elements from a set, where we allow the
possibility that x equals y
A × B (pronounced “A times B,” or “(Cartesian) product of A and B,” named
after Rene Descartes) the set of all ordered pairs (a, b) 2 A [ B such that
a 2 A and b 2 B
A2 (pronounced “A squared”) the product A × A of a set A with itself
(0.1.3) Examples to illustrate set notation. Let A = {1, 2, 3, 7}, B =
{1, 2, 4, 5} and C = {3, 5} be subsets of the set of digits. Then we have the
following.
{x 2 A | x > 1} = {2, 3, 7}
{x: x 2 A or x 2 C} = {1, 2, 3, 5, 7}
A B = {1, 2}
A [ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
A B = {3, 7}
B A = {4, 5}
|A| = 4
|A [ B| = 6
A × C = {(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5), (7, 3), (7, 5)}
C2 = C × C = {(3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5)}
Mathematical Reasoning I, Course Notes 3
0.2 Venn diagrams
S R
T
P
Figure 1
Venn diagram example
3
7
1
2
4
5
A B
A B
Figure 2
A B = {1, 2}
3
7
1
2
4
5
A [ B
Figure 3
A [ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
3
7
1
2
4
5
A B
Figure 4
A B = {3, 7}
It is often helpful to use pictures to visualize the relationships between sets.
Venn diagrams depict sets as 2-dimensional regions in the plane. Figure 1 shows
a Venn diagram illustrating the relationships between the set R of all rectangles,
the set S of all squares, the set T of all triangles and the set P of all polygons.
Venn diagrams illustrating intersection, union and set difference involving sets
A and B from example (0.1.3) are shown in Figures 2–4.
0.3 Some important sets
The Real Numbers
One of the most important sets in mathematics is the set R of real numbers,
which is the set of points on a line. The name “real” indicates the notion that
R is an appropriate set to represent quantities which can be measured in the
“real” physical world, such as time, distance, temperature, etc. We represent
R by drawings such as Figure 5. Two labeled points on the line indicate a scale
and direction.
0 1
Figure 5
The real number line
Euclidean space
y
1 x
1
Figure 6
The Euclidean plane R2
The set R2 = R × R = {(x, y) | x, y 2 R} is called the x, y-coordinate plane or
the Euclidean plane, named after Euclid (ca. 300 BC) because it is the setting
for classical plane geometry. We represent R2 with drawings such as Figure 6.
We assume the reader is familiar with the identification of pairs (x, y) of real
numbers with points in the plane.
The set R3 = R × R × R = {(x, y, z) | x, y, z 2 R} is called real 3-dimensional
space or Euclidean 3-space and models the world in which we live. We repre-
sent R3 by drawings such as Figure 7, where we imagine the z-coordinate axis
perpendicular to the flat plane in which the x and y-axes lie.
Important Subsets of the Reals
The integers or whole numbers, is the set Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
The rational numbers or fractions, denoted Q, is the subset of all real numbers
which can be written in the form m/n, where m and n are integers and n 6= 0.
The irrational numbers is the set RQ of points on the line, such as and p2,
which are not rational.
For two numbers a, b with a < b we have the following subsets of R, called
intervals.
Mathematical Reasoning I, Course Notes 4
Notation Subset of R Type of in
Course Notes
Fall 2005
David Lyons
Mathematical Sciences
Lebanon Valley College
Mathematical Reasoning I
Course Notes
Fall 2005
David Lyons
Mathematical Sciences
Lebanon Valley College
Copyright
c 2005
Contents
0 Sets and Functions 1
0.1 Definitions for sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Venn diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 Some important sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.4 Definitions for functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.6 Inverse functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.7 Operations on real-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.8 Sequences and functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.9 Summation notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 Logic 11
1.1 Statements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Order of precedence in notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Truth tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Counting 17
2.1 How many in a row? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 The multiplication principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Summary of counting formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Mathematical Reasoning I, Course Notes ii
3 Arithmetic and Geometric Sequences 22
3.1 Arithmetic sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Geometric sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Explicit formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Recursive formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Sums of terms in a sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6 Geometric Series and Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.7 Linear and exponential growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Complex Numbers 30
5 Vectors, Linear Maps, and Matrices 36
6 Operations on Linear Maps and Matrices 41
0.10 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Mathematical Reasoning I, Course Notes 1
0 Sets and Functions
The vocabulary of sets and functions is fundamental to all of mathematics,
theoretical and applied. We present basic terminology and examples in this
section.
0.1 Definitions for sets
A set is a collection of objects. The objects belonging to a set are called its
elements, members or points. For example, the members of the set of odd digits
are 1, 3, 5, 7 and 9. The word points for members of a set comes from geometry.
For example, a line is a set of points in the plane or in space.
To indicate that a set A consists of elements called x, y and z, we write
A = {x, y, z}
listing the elements, separated by commas, inside curly brackets. The order
in which the elements are listed does not matter, nor does redundancy in the
listing. For example, we can say the following for the set A above.
A = {x, y, z} = {y, z, x} = {x, x, y, z}
(0.1.1) Set builder notation.
When a set has more than a few members, we usually describe the set rather
than list all of its elements. For example, it is easier to say “the set of even whole
numbers” than it is to list all of the even whole numbers. The mathematical
way to write such verbal descriptions is called set builder notation, and has the
following form.
{x | (a statement, in which x is the subject)}
This denotes the set of all objects for which the statement is true. For example,
the set of even whole numbers can be written like this.
{x | x is an even whole number}
Sometimes a colon is used instead of the vertical bar. Here are some more
examples. The set of positive real numbers can be written {x: x > 0}. The
set of United States Citizens can be written {x | x is a US citizen}. The set of
points in the x, y-plane that lie above the x-axis (“above” means on the positive
y-axis side of the x-axis) can be written {(x, y): y > 0}.
A summary of vocabulary and special notation used for sets is given in (0.1.2).
Mathematical Reasoning I, Course Notes 2
(0.1.2) Set vocabulary and notation.
{. . .} (set brackets) indicates a set with a list or description of set members
between the brackets
{x | p(x)} (set builder notation, see (0.1.1)) denotes the set of all objects x for which
the statement p(x) holds true
{x: p(x)} alternate form of set builder notation
|A| the number of elements in a finite set A
x 2 A the object x is a member of the set A
; the empty set (the set with no members)
A B (pronounced “A is contained in B,” or “A is a subset of B”) every member
of the set A is also a member of the set B
A B (pronounced “A intersect B”) the set of all objects which are members of
both set A and set B
A [ B (pronounced “A union B”) the set of all objects which are members of
either set A or set B, or both
A B (pronounced “A minus B”) the set of all objects which are members of
the set A and are not members of the set B
set difference refers to a set of the form A B
disjoint two sets are disjoint if their intersection is empty
ordered pair an ordered list (x, y) of two elements from a set, where we allow the
possibility that x equals y
A × B (pronounced “A times B,” or “(Cartesian) product of A and B,” named
after Rene Descartes) the set of all ordered pairs (a, b) 2 A [ B such that
a 2 A and b 2 B
A2 (pronounced “A squared”) the product A × A of a set A with itself
(0.1.3) Examples to illustrate set notation. Let A = {1, 2, 3, 7}, B =
{1, 2, 4, 5} and C = {3, 5} be subsets of the set of digits. Then we have the
following.
{x 2 A | x > 1} = {2, 3, 7}
{x: x 2 A or x 2 C} = {1, 2, 3, 5, 7}
A B = {1, 2}
A [ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
A B = {3, 7}
B A = {4, 5}
|A| = 4
|A [ B| = 6
A × C = {(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5), (7, 3), (7, 5)}
C2 = C × C = {(3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5)}
Mathematical Reasoning I, Course Notes 3
0.2 Venn diagrams
S R
T
P
Figure 1
Venn diagram example
3
7
1
2
4
5
A B
A B
Figure 2
A B = {1, 2}
3
7
1
2
4
5
A [ B
Figure 3
A [ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
3
7
1
2
4
5
A B
Figure 4
A B = {3, 7}
It is often helpful to use pictures to visualize the relationships between sets.
Venn diagrams depict sets as 2-dimensional regions in the plane. Figure 1 shows
a Venn diagram illustrating the relationships between the set R of all rectangles,
the set S of all squares, the set T of all triangles and the set P of all polygons.
Venn diagrams illustrating intersection, union and set difference involving sets
A and B from example (0.1.3) are shown in Figures 2–4.
0.3 Some important sets
The Real Numbers
One of the most important sets in mathematics is the set R of real numbers,
which is the set of points on a line. The name “real” indicates the notion that
R is an appropriate set to represent quantities which can be measured in the
“real” physical world, such as time, distance, temperature, etc. We represent
R by drawings such as Figure 5. Two labeled points on the line indicate a scale
and direction.
0 1
Figure 5
The real number line
Euclidean space
y
1 x
1
Figure 6
The Euclidean plane R2
The set R2 = R × R = {(x, y) | x, y 2 R} is called the x, y-coordinate plane or
the Euclidean plane, named after Euclid (ca. 300 BC) because it is the setting
for classical plane geometry. We represent R2 with drawings such as Figure 6.
We assume the reader is familiar with the identification of pairs (x, y) of real
numbers with points in the plane.
The set R3 = R × R × R = {(x, y, z) | x, y, z 2 R} is called real 3-dimensional
space or Euclidean 3-space and models the world in which we live. We repre-
sent R3 by drawings such as Figure 7, where we imagine the z-coordinate axis
perpendicular to the flat plane in which the x and y-axes lie.
Important Subsets of the Reals
The integers or whole numbers, is the set Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
The rational numbers or fractions, denoted Q, is the subset of all real numbers
which can be written in the form m/n, where m and n are integers and n 6= 0.
The irrational numbers is the set RQ of points on the line, such as and p2,
which are not rational.
For two numbers a, b with a < b we have the following subsets of R, called
intervals.
Mathematical Reasoning I, Course Notes 4
Notation Subset of R Type of in
0/5000
Mathematical Reasoning I
Course Notes
Fall 2005
David Lyons
Mathematical Sciences
Lebanon Valley College
Mathematical Reasoning I
Course Notes
Fall 2005
David Lyons
Mathematical Sciences
Lebanon Valley College
Copyright
c 2005
Contents
0 Sets and Functions 1
0.1 Definitions for sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Venn diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 Some important sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.4 Definitions for functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.6 Inverse functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.7 Operations on real-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.8 Sequences and functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.9 Summation notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 Logic 11
1.1 Statements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Order of precedence in notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Truth tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Counting 17
2.1 How many in a row? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 The multiplication principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Summary of counting formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Mathematical Reasoning I, Course Notes ii
3 Arithmetic and Geometric Sequences 22
3.1 Arithmetic sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Geometric sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Explicit formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Recursive formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Sums of terms in a sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6 Geometric Series and Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.7 Linear and exponential growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Complex Numbers 30
5 Vectors, Linear Maps, and Matrices 36
6 Operations on Linear Maps and Matrices 41
0.10 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Mathematical Reasoning I, Course Notes 1
0 Sets and Functions
The vocabulary of sets and functions is fundamental to all of mathematics,
theoretical and applied. We present basic terminology and examples in this
section.
0.1 Definitions for sets
A set is a collection of objects. The objects belonging to a set are called its
elements, members or points. For example, the members of the set of odd digits
are 1, 3, 5, 7 and 9. The word points for members of a set comes from geometry.
For example, a line is a set of points in the plane or in space.
To indicate that a set A consists of elements called x, y and z, we write
A = {x, y, z}
listing the elements, separated by commas, inside curly brackets. The order
in which the elements are listed does not matter, nor does redundancy in the
listing. For example, we can say the following for the set A above.
A = {x, y, z} = {y, z, x} = {x, x, y, z}
(0.1.1) Set builder notation.
When a set has more than a few members, we usually describe the set rather
than list all of its elements. For example, it is easier to say “the set of even whole
numbers” than it is to list all of the even whole numbers. The mathematical
way to write such verbal descriptions is called set builder notation, and has the
following form.
{x | (a statement, in which x is the subject)}
This denotes the set of all objects for which the statement is true. For example,
the set of even whole numbers can be written like this.
{x | x is an even whole number}
Sometimes a colon is used instead of the vertical bar. Here are some more
examples. The set of positive real numbers can be written {x: x > 0}. The
set of United States Citizens can be written {x | x is a US citizen}. The set of
points in the x, y-plane that lie above the x-axis (“above” means on the positive
y-axis side of the x-axis) can be written {(x, y): y > 0}.
A summary of vocabulary and special notation used for sets is given in (0.1.2).
Mathematical Reasoning I, Course Notes 2
(0.1.2) Set vocabulary and notation.
{. . .} (set brackets) indicates a set with a list or description of set members
between the brackets
{x | p(x)} (set builder notation, see (0.1.1)) denotes the set of all objects x for which
the statement p(x) holds true
{x: p(x)} alternate form of set builder notation
|A| the number of elements in a finite set A
x 2 A the object x is a member of the set A
; the empty set (the set with no members)
A B (pronounced “A is contained in B,” or “A is a subset of B”) every member
of the set A is also a member of the set B
A B (pronounced “A intersect B”) the set of all objects which are members of
both set A and set B
A [ B (pronounced “A union B”) the set of all objects which are members of
either set A or set B, or both
A B (pronounced “A minus B”) the set of all objects which are members of
the set A and are not members of the set B
set difference refers to a set of the form A B
disjoint two sets are disjoint if their intersection is empty
ordered pair an ordered list (x, y) of two elements from a set, where we allow the
possibility that x equals y
A × B (pronounced “A times B,” or “(Cartesian) product of A and B,” named
after Rene Descartes) the set of all ordered pairs (a, b) 2 A [ B such that
a 2 A and b 2 B
A2 (pronounced “A squared”) the product A × A of a set A with itself
(0.1.3) Examples to illustrate set notation. Let A = {1, 2, 3, 7}, B =
{1, 2, 4, 5} and C = {3, 5} be subsets of the set of digits. Then we have the
following.
{x 2 A | x > 1} = {2, 3, 7}
{x: x 2 A or x 2 C} = {1, 2, 3, 5, 7}
A B = {1, 2}
A [ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
A B = {3, 7}
B A = {4, 5}
|A| = 4
|A [ B| = 6
A × C = {(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5), (7, 3), (7, 5)}
C2 = C × C = {(3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5)}
Mathematical Reasoning I, Course Notes 3
0.2 Venn diagrams
S R
T
P
Figure 1
Venn diagram example
3
7
1
2
4
5
A B
A B
Figure 2
A B = {1, 2}
3
7
1
2
4
5
A [ B
Figure 3
A [ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
3
7
1
2
4
5
A B
Figure 4
A B = {3, 7}
It is often helpful to use pictures to visualize the relationships between sets.
Venn diagrams depict sets as 2-dimensional regions in the plane. Figure 1 shows
a Venn diagram illustrating the relationships between the set R of all rectangles,
the set S of all squares, the set T of all triangles and the set P of all polygons.
Venn diagrams illustrating intersection, union and set difference involving sets
A and B from example (0.1.3) are shown in Figures 2–4.
0.3 Some important sets
The Real Numbers
One of the most important sets in mathematics is the set R of real numbers,
which is the set of points on a line. The name “real” indicates the notion that
R is an appropriate set to represent quantities which can be measured in the
“real” physical world, such as time, distance, temperature, etc. We represent
R by drawings such as Figure 5. Two labeled points on the line indicate a scale
and direction.
0 1
Figure 5
The real number line
Euclidean space
y
1 x
1
Figure 6
The Euclidean plane R2
The set R2 = R × R = {(x, y) | x, y 2 R} is called the x, y-coordinate plane or
the Euclidean plane, named after Euclid (ca. 300 BC) because it is the setting
for classical plane geometry. We represent R2 with drawings such as Figure 6.
We assume the reader is familiar with the identification of pairs (x, y) of real
numbers with points in the plane.
The set R3 = R × R × R = {(x, y, z) | x, y, z 2 R} is called real 3-dimensional
space or Euclidean 3-space and models the world in which we live. We repre-
sent R3 by drawings such as Figure 7, where we imagine the z-coordinate axis
perpendicular to the flat plane in which the x and y-axes lie.
Important Subsets of the Reals
The integers or whole numbers, is the set Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
The rational numbers or fractions, denoted Q, is the subset of all real numbers
which can be written in the form m/n, where m and n are integers and n 6= 0.
The irrational numbers is the set RQ of points on the line, such as and p2,
which are not rational.
For two numbers a, b with a < b we have the following subsets of R, called
intervals.
Mathematical Reasoning I, Course Notes 4
Notation Subset of R Type of in
Course Notes
Fall 2005
David Lyons
Mathematical Sciences
Lebanon Valley College
Mathematical Reasoning I
Course Notes
Fall 2005
David Lyons
Mathematical Sciences
Lebanon Valley College
Copyright
c 2005
Contents
0 Sets and Functions 1
0.1 Definitions for sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Venn diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 Some important sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.4 Definitions for functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.6 Inverse functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.7 Operations on real-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.8 Sequences and functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.9 Summation notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 Logic 11
1.1 Statements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Order of precedence in notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Truth tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Counting 17
2.1 How many in a row? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 The multiplication principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Summary of counting formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Mathematical Reasoning I, Course Notes ii
3 Arithmetic and Geometric Sequences 22
3.1 Arithmetic sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Geometric sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Explicit formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Recursive formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Sums of terms in a sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6 Geometric Series and Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.7 Linear and exponential growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Complex Numbers 30
5 Vectors, Linear Maps, and Matrices 36
6 Operations on Linear Maps and Matrices 41
0.10 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Mathematical Reasoning I, Course Notes 1
0 Sets and Functions
The vocabulary of sets and functions is fundamental to all of mathematics,
theoretical and applied. We present basic terminology and examples in this
section.
0.1 Definitions for sets
A set is a collection of objects. The objects belonging to a set are called its
elements, members or points. For example, the members of the set of odd digits
are 1, 3, 5, 7 and 9. The word points for members of a set comes from geometry.
For example, a line is a set of points in the plane or in space.
To indicate that a set A consists of elements called x, y and z, we write
A = {x, y, z}
listing the elements, separated by commas, inside curly brackets. The order
in which the elements are listed does not matter, nor does redundancy in the
listing. For example, we can say the following for the set A above.
A = {x, y, z} = {y, z, x} = {x, x, y, z}
(0.1.1) Set builder notation.
When a set has more than a few members, we usually describe the set rather
than list all of its elements. For example, it is easier to say “the set of even whole
numbers” than it is to list all of the even whole numbers. The mathematical
way to write such verbal descriptions is called set builder notation, and has the
following form.
{x | (a statement, in which x is the subject)}
This denotes the set of all objects for which the statement is true. For example,
the set of even whole numbers can be written like this.
{x | x is an even whole number}
Sometimes a colon is used instead of the vertical bar. Here are some more
examples. The set of positive real numbers can be written {x: x > 0}. The
set of United States Citizens can be written {x | x is a US citizen}. The set of
points in the x, y-plane that lie above the x-axis (“above” means on the positive
y-axis side of the x-axis) can be written {(x, y): y > 0}.
A summary of vocabulary and special notation used for sets is given in (0.1.2).
Mathematical Reasoning I, Course Notes 2
(0.1.2) Set vocabulary and notation.
{. . .} (set brackets) indicates a set with a list or description of set members
between the brackets
{x | p(x)} (set builder notation, see (0.1.1)) denotes the set of all objects x for which
the statement p(x) holds true
{x: p(x)} alternate form of set builder notation
|A| the number of elements in a finite set A
x 2 A the object x is a member of the set A
; the empty set (the set with no members)
A B (pronounced “A is contained in B,” or “A is a subset of B”) every member
of the set A is also a member of the set B
A B (pronounced “A intersect B”) the set of all objects which are members of
both set A and set B
A [ B (pronounced “A union B”) the set of all objects which are members of
either set A or set B, or both
A B (pronounced “A minus B”) the set of all objects which are members of
the set A and are not members of the set B
set difference refers to a set of the form A B
disjoint two sets are disjoint if their intersection is empty
ordered pair an ordered list (x, y) of two elements from a set, where we allow the
possibility that x equals y
A × B (pronounced “A times B,” or “(Cartesian) product of A and B,” named
after Rene Descartes) the set of all ordered pairs (a, b) 2 A [ B such that
a 2 A and b 2 B
A2 (pronounced “A squared”) the product A × A of a set A with itself
(0.1.3) Examples to illustrate set notation. Let A = {1, 2, 3, 7}, B =
{1, 2, 4, 5} and C = {3, 5} be subsets of the set of digits. Then we have the
following.
{x 2 A | x > 1} = {2, 3, 7}
{x: x 2 A or x 2 C} = {1, 2, 3, 5, 7}
A B = {1, 2}
A [ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
A B = {3, 7}
B A = {4, 5}
|A| = 4
|A [ B| = 6
A × C = {(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5), (7, 3), (7, 5)}
C2 = C × C = {(3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5)}
Mathematical Reasoning I, Course Notes 3
0.2 Venn diagrams
S R
T
P
Figure 1
Venn diagram example
3
7
1
2
4
5
A B
A B
Figure 2
A B = {1, 2}
3
7
1
2
4
5
A [ B
Figure 3
A [ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
3
7
1
2
4
5
A B
Figure 4
A B = {3, 7}
It is often helpful to use pictures to visualize the relationships between sets.
Venn diagrams depict sets as 2-dimensional regions in the plane. Figure 1 shows
a Venn diagram illustrating the relationships between the set R of all rectangles,
the set S of all squares, the set T of all triangles and the set P of all polygons.
Venn diagrams illustrating intersection, union and set difference involving sets
A and B from example (0.1.3) are shown in Figures 2–4.
0.3 Some important sets
The Real Numbers
One of the most important sets in mathematics is the set R of real numbers,
which is the set of points on a line. The name “real” indicates the notion that
R is an appropriate set to represent quantities which can be measured in the
“real” physical world, such as time, distance, temperature, etc. We represent
R by drawings such as Figure 5. Two labeled points on the line indicate a scale
and direction.
0 1
Figure 5
The real number line
Euclidean space
y
1 x
1
Figure 6
The Euclidean plane R2
The set R2 = R × R = {(x, y) | x, y 2 R} is called the x, y-coordinate plane or
the Euclidean plane, named after Euclid (ca. 300 BC) because it is the setting
for classical plane geometry. We represent R2 with drawings such as Figure 6.
We assume the reader is familiar with the identification of pairs (x, y) of real
numbers with points in the plane.
The set R3 = R × R × R = {(x, y, z) | x, y, z 2 R} is called real 3-dimensional
space or Euclidean 3-space and models the world in which we live. We repre-
sent R3 by drawings such as Figure 7, where we imagine the z-coordinate axis
perpendicular to the flat plane in which the x and y-axes lie.
Important Subsets of the Reals
The integers or whole numbers, is the set Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
The rational numbers or fractions, denoted Q, is the subset of all real numbers
which can be written in the form m/n, where m and n are integers and n 6= 0.
The irrational numbers is the set RQ of points on the line, such as and p2,
which are not rational.
For two numbers a, b with a < b we have the following subsets of R, called
intervals.
Mathematical Reasoning I, Course Notes 4
Notation Subset of R Type of in
การแปล กรุณารอสักครู่..
คณิตศาสตร์เหตุผลที่ฉัน
หลักสูตรหมายเหตุ
ฤดูใบไม้ร่วง 2005
เดวิดลียง
วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์
เลบานอน Valley College
คณิตศาสตร์เหตุผลที่ฉัน
หลักสูตรหมายเหตุ
ฤดูใบไม้ร่วง 2005
เดวิดลียง
วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์
เลบานอน Valley College
ลิขสิทธิ์
ค 2005
เนื้อหา
0 ชุดและฟังก์ชั่นที่ 1
0.1 ความหมายสำหรับชุด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 แผนภาพเวนน์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 บางชุดที่สำคัญ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.4 ความหมายสำหรับฟังก์ชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.5 องค์ประกอบ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.6 ฟังก์ชั่นผกผัน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.7 การดำเนินงานในฟังก์ชั่นแบบเรียลไทมูลค่า . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.8 ลำดับและฟังก์ชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.9 สัญกรณ์สรุป . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.10 การออกกำลังกาย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
ลอจิก 1 11
1.1 งบ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 การปฏิเสธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 ลำดับความสำคัญในการแสดง . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 ตารางความจริง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 หลักฐาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 การออกกำลังกาย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 นับ 17
2.1 หลายวิธีในแถว? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 หลักการคูณ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 พีชคณิต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 การรวม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 สรุปสาระสำคัญของสูตรการนับ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 การออกกำลังกาย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
เหตุผลทางคณิตศาสตร์ผมหมายเหตุหลักสูตร ii
3 คณิตศาสตร์และลำดับเรขาคณิต 22
3.1 ลำดับเลขคณิต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 ลำดับเรขาคณิต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 สูตรที่ชัดเจน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 สูตรซ้ำ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 ผลรวมของคำในลำดับ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6 ซีรีส์ทางเรขาคณิตและบรรจบกัน . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.7 เชิงเส้นและการเจริญเติบโต . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.8 การออกกำลังกาย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 จำนวนเชิงซ้อน 30
5 เวกเตอร์, แผนที่เชิงเส้นและเมทริกซ์ 36
6 การดำเนินงานในเชิงเส้นแผนที่และเมทริกซ์ 41
0.10 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.9 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.5 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.7 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.9 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
เหตุผลที่ผมคณิตศาสตร์, สนามหมายเหตุ 1
0 ชุดและฟังก์ชั่น
ของชุดคำศัพท์และฟังก์ชั่นเป็นพื้นฐานทั้งหมดของคณิตศาสตร์
ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ เรานำเสนอคำศัพท์พื้นฐานและการยกตัวอย่างในเรื่องนี้
ส่วน.
0.1 นิยามสำหรับชุด
ชุดคือชุดของวัตถุ วัตถุที่อยู่ในประเภทที่เรียกว่าชุดของ
องค์ประกอบสมาชิกหรือจุด ตัวอย่างเช่นสมาชิกของชุดของตัวเลขที่แปลก
คือ 1, 3, 5, 7 และ 9 จุดคำสำหรับสมาชิกของชุดมาจากรูปทรงเรขาคณิต.
ยกตัวอย่างเช่นสายคือชุดของจุดในเครื่องบินหรือในพื้นที่ .
เพื่อแสดงให้เห็นว่าชุดประกอบด้วยองค์ประกอบที่เรียกว่า x, y z และเราเขียน
= {X, Y, Z}
ชื่อองค์ประกอบคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคภายในวงเล็บปีกกา เพื่อ
ที่องค์ประกอบที่มีอยู่ไม่สำคัญและไม่ซ้ำซ้อนใน
รายการ ตัวอย่างเช่นเราสามารถพูดได้ดังต่อไปนี้สำหรับการตั้งค่าด้านบน.
= {X, Y, Z} = {y, z, x} = {x, X, Y, Z}
(0.1.1) ตั้งโน้ตสร้าง
เมื่อชุดมีมากกว่าสมาชิกไม่กี่เรามักจะอธิบายชุดค่อนข้าง
กว่ารายการทั้งหมดขององค์ประกอบของ ยกตัวอย่างเช่นมันเป็นเรื่องง่ายที่จะพูดว่า "ชุดของทั้งแม้
ตัวเลข "กว่าก็คือการรายการทั้งหมดของตัวเลขทั้งหมดแม้กระทั่ง คณิตศาสตร์
วิธีการเขียนคำอธิบายด้วยวาจาดังกล่าวเรียกว่าสัญกรณ์สร้างชุดและมี
แบบฟอร์มต่อไป.
{x | (งบซึ่งเป็นเรื่อง x)}
นี้หมายถึงชุดของวัตถุทั้งหมดที่คำสั่งที่เป็นความจริง ตัวอย่างเช่น
ชุดของแม้ตัวเลขทั้งหมดสามารถเขียนเช่นนี้.
{x | x เป็นจำนวนเต็ม} แม้
บางครั้งลำไส้ใหญ่ใช้แทนแถบแนวตั้ง นี่คือบางส่วนมากขึ้น
ตัวอย่าง ชุดของตัวเลขจริงบวกสามารถเขียน {x: x> 0}
ชุดของสหรัฐอเมริกาประชาชนสามารถเขียน {x | x เป็นพลเมืองสหรัฐฯ} ชุดของ
จุด x, y เครื่องบินที่อยู่เหนือแกน x ("เหนือ" หมายความว่าในเชิงบวก
และด้านแกนของแกน x) สามารถเขียน {(x, y): y> 0} .
บทสรุปของคำศัพท์และสัญกรณ์พิเศษที่ใช้สำหรับชุดจะได้รับใน (0.1.2).
คณิตศาสตร์เหตุผลผมหมายเหตุหลักสูตร 2
(0.1.2) คำศัพท์ที่ตั้งและสัญกรณ์.
{ . .} (ตั้งวงเล็บ) ระบุชุดที่มีรายชื่อหรือคำอธิบายของสมาชิกชุด
ระหว่างวงเล็บ
{x | P (x)} (ชุดสัญกรณ์สร้างให้ดู (0.1.1)) หมายถึงชุดของวัตถุทั้งหมด x ที่
คำสั่ง P (x) ถือเป็นจริง
{x: p (x)} รูปแบบอื่นของชุดสัญกรณ์สร้าง
| | จำนวนขององค์ประกอบในขอบเขต
x 2 x วัตถุที่เป็นสมาชิกของชุด
; เซตว่าง (ชุดที่มีไม่มีสมาชิก)
? B (ออกเสียง "ที่มีอยู่ใน B" หรือ "เป็นส่วนหนึ่งของ B") สมาชิกทุกคน
ของชุดยังเป็นสมาชิกของชุด B
B (ออกเสียง "ตัด B") ชุดของทั้งหมด วัตถุที่เป็นสมาชิกของ
ทั้งสองชุดและชุด B
[B (ออกเสียง "สหภาพ B") ชุดของวัตถุทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของ
ชุดหรือตั้ง B หรือทั้งสอง
B (ออกเสียง "ลบ B" ) ชุดของวัตถุทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของ
ชุดและไม่ได้เป็นสมาชิกของ B ชุด
ที่แตกต่างกันชุดหมายถึงชุดของรูปแบบ B
เคล็ดสองชุดมีเคล็ดถ้าแยกของพวกเขาเป็นที่ว่างเปล่า
คู่สั่งซื้อรายการสั่งซื้อ (x , y) ของทั้งสององค์ประกอบจากชุดที่เราอนุญาตให้
เป็นไปได้ว่า x เท่ากับและ
× B (ออกเสียง "ครั้ง B" หรือ "(คาร์ทีเซียน) ผลิตภัณฑ์ของ A และ B," ชื่อ
หลังจาก Rene Descartes) ชุดของ คู่อันดับทั้งหมด (b) 2 [B เช่นที่
2 A และ B 2 B
A2 (ออกเสียง "กำลังสอง") ผลิตภัณฑ์×ชุดด้วยตัวเอง
(0.1.3) ตัวอย่างแสดงให้เห็นถึงสัญกรณ์ชุด . Let = {1, 2, 3, 7}, B =
{1, 2, 4, 5} และ C = {3, 5} เป็นส่วนย่อยของชุดของตัวเลข แล้วเรามี
ดังต่อไปนี้.
{x 2 | x> 1} = {2, 3, 7}
{x: x 2 x 2 หรือ C} = {1, 2, 3, 5, 7}
B = {1, 2}
[B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
B = {3, 7}
B = {4, 5}
| | = 4
| [B | = 6
× C = {(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5), (7, 3) ( 7, 5)}
C2 = C × C = {(3, 3), (3, 5), (5, 3) (5, 5)}
คณิตศาสตร์เหตุผลที่ฉัน, สนามหมายเหตุ 3
0.2 แผนภาพเวนน์
SR
T
P
รูป 1
ตัวอย่างแผนภาพเวนน์
3
7
1
2
4
5
B
AB
รูปที่ 2
B = {1, 2}
3
7
1
2
4
5
[B
รูปที่ 3
[B = {1, 2, 3, 4, 5 7}
3
7
1
2
4
5
B
รูปที่ 4
B = {3, 7}
มันมักจะเป็นประโยชน์ในการใช้ภาพที่จะเห็นภาพความสัมพันธ์ระหว่างชุด.
แผนภาพเวนน์พรรณนาชุดเป็นภูมิภาค 2 มิติในระนาบ รูปที่ 1 แสดง
แผนภาพเวนน์ที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง R ชุดของรูปสี่เหลี่ยมทั้งหมด
S ชุดของสี่เหลี่ยมทั้งหมดชุด T ของรูปสามเหลี่ยมและ P ชุดของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด.
เวนน์ไดอะแกรมที่แสดงจุดตัดสหภาพและความแตกต่างที่เกี่ยวข้องกับการตั้งค่าชุด
และ B จากตัวอย่าง (0.1.3) จะแสดงในรูปที่ 2-4.
0.3 บางชุดที่สำคัญ
ตัวเลขจริง
หนึ่งในชุดที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์ R ชุดของตัวเลขจริง
ซึ่งเป็นที่ตั้งของจุดบนเส้น ชื่อ "ของจริง" หมายถึงความคิดที่ว่า
R คือชุดที่เหมาะสมในการเป็นตัวแทนของปริมาณที่สามารถวัดได้ใน
"ของจริง" โลกทางกายภาพเช่นเวลา, ระยะทาง, อุณหภูมิเป็นต้นเราเป็นตัวแทน
R โดยภาพวาดดังกล่าวเป็นรูปที่ 5 สอง มีข้อความจุดบนเส้นระบุขนาด
และทิศทาง.
0 1
รูปที่ 5
เส้นจำนวนจริง
ยุคลิดพื้นที่
และ
1 x
1
รูปที่ 6
เครื่องบินยุคลิด R2
ตั้ง R2 = R × R = {(x, y) | x, y 2 R} เรียกว่า x, y พิกัดเครื่องบินหรือ
เครื่องบินยุคลิดตั้งชื่อตามยุคลิด (แคลิฟอร์เนีย 300 BC) เพราะมันคือการตั้งค่า
สำหรับรูปทรงเรขาคณิตเครื่องบินคลาสสิก เราเป็นตัวแทน R2 กับภาพวาดเช่นรูปที่ 6.
เราถือว่าผู้อ่านมีความคุ้นเคยกับบัตรประจำตัวของคู่ (x, y) ของจริง
ตัวเลขที่มีจุดในเครื่องบิน.
ชุด R3 = R × R × R = {(x, y , Z) | x, y, z 2 R} เรียกว่า 3 มิติจริง
พื้นที่หรือยุคลิด 3 พื้นที่และรูปแบบในโลกที่เราอาศัยอยู่ เรา repre-
ส่ง R3 โดยภาพวาดเช่นรูปที่ 7 ที่เราจินตนาการแกน Z พิกัด
ตั้งฉากกับแนวระนาบที่ x และ y แกนนอน.
สำคัญย่อยของ Reals
จำนวนเต็มหรือตัวเลขทั้งหมดเป็น Z ชุด = { . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . .}.
สรุปตัวเลขหรือเศษส่วนแสดง Q, เป็นส่วนหนึ่งของตัวเลขจริงทั้งหมด
ที่สามารถเขียนในรูปแบบเมตร / n โดยเมตรและ n เป็นจำนวนเต็มและ n 6 = 0.
ตัวเลขไม่ลงตัวเป็นชุด R Q ของจุดบนเส้นเช่น? และ P2,
ซึ่งไม่ได้มีเหตุผล.
สำหรับสองหมายเลข A, B กับ <b เรามีส่วนย่อยของ R ต่อไปนี้เรียกว่า
ช่วงเวลา.
คณิตศาสตร์เหตุผลที่ฉัน, สนามหมายเหตุ 4
โน้ตกลุ่มย่อยของ R ประเภทใน
หลักสูตรหมายเหตุ
ฤดูใบไม้ร่วง 2005
เดวิดลียง
วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์
เลบานอน Valley College
คณิตศาสตร์เหตุผลที่ฉัน
หลักสูตรหมายเหตุ
ฤดูใบไม้ร่วง 2005
เดวิดลียง
วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์
เลบานอน Valley College
ลิขสิทธิ์
ค 2005
เนื้อหา
0 ชุดและฟังก์ชั่นที่ 1
0.1 ความหมายสำหรับชุด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 แผนภาพเวนน์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 บางชุดที่สำคัญ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.4 ความหมายสำหรับฟังก์ชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.5 องค์ประกอบ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.6 ฟังก์ชั่นผกผัน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.7 การดำเนินงานในฟังก์ชั่นแบบเรียลไทมูลค่า . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.8 ลำดับและฟังก์ชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.9 สัญกรณ์สรุป . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.10 การออกกำลังกาย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
ลอจิก 1 11
1.1 งบ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 การปฏิเสธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 ลำดับความสำคัญในการแสดง . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 ตารางความจริง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 หลักฐาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 การออกกำลังกาย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 นับ 17
2.1 หลายวิธีในแถว? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 หลักการคูณ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 พีชคณิต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 การรวม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 สรุปสาระสำคัญของสูตรการนับ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 การออกกำลังกาย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
เหตุผลทางคณิตศาสตร์ผมหมายเหตุหลักสูตร ii
3 คณิตศาสตร์และลำดับเรขาคณิต 22
3.1 ลำดับเลขคณิต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 ลำดับเรขาคณิต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 สูตรที่ชัดเจน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 สูตรซ้ำ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 ผลรวมของคำในลำดับ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6 ซีรีส์ทางเรขาคณิตและบรรจบกัน . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.7 เชิงเส้นและการเจริญเติบโต . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.8 การออกกำลังกาย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 จำนวนเชิงซ้อน 30
5 เวกเตอร์, แผนที่เชิงเส้นและเมทริกซ์ 36
6 การดำเนินงานในเชิงเส้นแผนที่และเมทริกซ์ 41
0.10 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.9 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.5 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.7 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.9 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
เหตุผลที่ผมคณิตศาสตร์, สนามหมายเหตุ 1
0 ชุดและฟังก์ชั่น
ของชุดคำศัพท์และฟังก์ชั่นเป็นพื้นฐานทั้งหมดของคณิตศาสตร์
ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ เรานำเสนอคำศัพท์พื้นฐานและการยกตัวอย่างในเรื่องนี้
ส่วน.
0.1 นิยามสำหรับชุด
ชุดคือชุดของวัตถุ วัตถุที่อยู่ในประเภทที่เรียกว่าชุดของ
องค์ประกอบสมาชิกหรือจุด ตัวอย่างเช่นสมาชิกของชุดของตัวเลขที่แปลก
คือ 1, 3, 5, 7 และ 9 จุดคำสำหรับสมาชิกของชุดมาจากรูปทรงเรขาคณิต.
ยกตัวอย่างเช่นสายคือชุดของจุดในเครื่องบินหรือในพื้นที่ .
เพื่อแสดงให้เห็นว่าชุดประกอบด้วยองค์ประกอบที่เรียกว่า x, y z และเราเขียน
= {X, Y, Z}
ชื่อองค์ประกอบคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคภายในวงเล็บปีกกา เพื่อ
ที่องค์ประกอบที่มีอยู่ไม่สำคัญและไม่ซ้ำซ้อนใน
รายการ ตัวอย่างเช่นเราสามารถพูดได้ดังต่อไปนี้สำหรับการตั้งค่าด้านบน.
= {X, Y, Z} = {y, z, x} = {x, X, Y, Z}
(0.1.1) ตั้งโน้ตสร้าง
เมื่อชุดมีมากกว่าสมาชิกไม่กี่เรามักจะอธิบายชุดค่อนข้าง
กว่ารายการทั้งหมดขององค์ประกอบของ ยกตัวอย่างเช่นมันเป็นเรื่องง่ายที่จะพูดว่า "ชุดของทั้งแม้
ตัวเลข "กว่าก็คือการรายการทั้งหมดของตัวเลขทั้งหมดแม้กระทั่ง คณิตศาสตร์
วิธีการเขียนคำอธิบายด้วยวาจาดังกล่าวเรียกว่าสัญกรณ์สร้างชุดและมี
แบบฟอร์มต่อไป.
{x | (งบซึ่งเป็นเรื่อง x)}
นี้หมายถึงชุดของวัตถุทั้งหมดที่คำสั่งที่เป็นความจริง ตัวอย่างเช่น
ชุดของแม้ตัวเลขทั้งหมดสามารถเขียนเช่นนี้.
{x | x เป็นจำนวนเต็ม} แม้
บางครั้งลำไส้ใหญ่ใช้แทนแถบแนวตั้ง นี่คือบางส่วนมากขึ้น
ตัวอย่าง ชุดของตัวเลขจริงบวกสามารถเขียน {x: x> 0}
ชุดของสหรัฐอเมริกาประชาชนสามารถเขียน {x | x เป็นพลเมืองสหรัฐฯ} ชุดของ
จุด x, y เครื่องบินที่อยู่เหนือแกน x ("เหนือ" หมายความว่าในเชิงบวก
และด้านแกนของแกน x) สามารถเขียน {(x, y): y> 0} .
บทสรุปของคำศัพท์และสัญกรณ์พิเศษที่ใช้สำหรับชุดจะได้รับใน (0.1.2).
คณิตศาสตร์เหตุผลผมหมายเหตุหลักสูตร 2
(0.1.2) คำศัพท์ที่ตั้งและสัญกรณ์.
{ . .} (ตั้งวงเล็บ) ระบุชุดที่มีรายชื่อหรือคำอธิบายของสมาชิกชุด
ระหว่างวงเล็บ
{x | P (x)} (ชุดสัญกรณ์สร้างให้ดู (0.1.1)) หมายถึงชุดของวัตถุทั้งหมด x ที่
คำสั่ง P (x) ถือเป็นจริง
{x: p (x)} รูปแบบอื่นของชุดสัญกรณ์สร้าง
| | จำนวนขององค์ประกอบในขอบเขต
x 2 x วัตถุที่เป็นสมาชิกของชุด
; เซตว่าง (ชุดที่มีไม่มีสมาชิก)
? B (ออกเสียง "ที่มีอยู่ใน B" หรือ "เป็นส่วนหนึ่งของ B") สมาชิกทุกคน
ของชุดยังเป็นสมาชิกของชุด B
B (ออกเสียง "ตัด B") ชุดของทั้งหมด วัตถุที่เป็นสมาชิกของ
ทั้งสองชุดและชุด B
[B (ออกเสียง "สหภาพ B") ชุดของวัตถุทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของ
ชุดหรือตั้ง B หรือทั้งสอง
B (ออกเสียง "ลบ B" ) ชุดของวัตถุทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของ
ชุดและไม่ได้เป็นสมาชิกของ B ชุด
ที่แตกต่างกันชุดหมายถึงชุดของรูปแบบ B
เคล็ดสองชุดมีเคล็ดถ้าแยกของพวกเขาเป็นที่ว่างเปล่า
คู่สั่งซื้อรายการสั่งซื้อ (x , y) ของทั้งสององค์ประกอบจากชุดที่เราอนุญาตให้
เป็นไปได้ว่า x เท่ากับและ
× B (ออกเสียง "ครั้ง B" หรือ "(คาร์ทีเซียน) ผลิตภัณฑ์ของ A และ B," ชื่อ
หลังจาก Rene Descartes) ชุดของ คู่อันดับทั้งหมด (b) 2 [B เช่นที่
2 A และ B 2 B
A2 (ออกเสียง "กำลังสอง") ผลิตภัณฑ์×ชุดด้วยตัวเอง
(0.1.3) ตัวอย่างแสดงให้เห็นถึงสัญกรณ์ชุด . Let = {1, 2, 3, 7}, B =
{1, 2, 4, 5} และ C = {3, 5} เป็นส่วนย่อยของชุดของตัวเลข แล้วเรามี
ดังต่อไปนี้.
{x 2 | x> 1} = {2, 3, 7}
{x: x 2 x 2 หรือ C} = {1, 2, 3, 5, 7}
B = {1, 2}
[B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
B = {3, 7}
B = {4, 5}
| | = 4
| [B | = 6
× C = {(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5), (7, 3) ( 7, 5)}
C2 = C × C = {(3, 3), (3, 5), (5, 3) (5, 5)}
คณิตศาสตร์เหตุผลที่ฉัน, สนามหมายเหตุ 3
0.2 แผนภาพเวนน์
SR
T
P
รูป 1
ตัวอย่างแผนภาพเวนน์
3
7
1
2
4
5
B
AB
รูปที่ 2
B = {1, 2}
3
7
1
2
4
5
[B
รูปที่ 3
[B = {1, 2, 3, 4, 5 7}
3
7
1
2
4
5
B
รูปที่ 4
B = {3, 7}
มันมักจะเป็นประโยชน์ในการใช้ภาพที่จะเห็นภาพความสัมพันธ์ระหว่างชุด.
แผนภาพเวนน์พรรณนาชุดเป็นภูมิภาค 2 มิติในระนาบ รูปที่ 1 แสดง
แผนภาพเวนน์ที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง R ชุดของรูปสี่เหลี่ยมทั้งหมด
S ชุดของสี่เหลี่ยมทั้งหมดชุด T ของรูปสามเหลี่ยมและ P ชุดของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด.
เวนน์ไดอะแกรมที่แสดงจุดตัดสหภาพและความแตกต่างที่เกี่ยวข้องกับการตั้งค่าชุด
และ B จากตัวอย่าง (0.1.3) จะแสดงในรูปที่ 2-4.
0.3 บางชุดที่สำคัญ
ตัวเลขจริง
หนึ่งในชุดที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์ R ชุดของตัวเลขจริง
ซึ่งเป็นที่ตั้งของจุดบนเส้น ชื่อ "ของจริง" หมายถึงความคิดที่ว่า
R คือชุดที่เหมาะสมในการเป็นตัวแทนของปริมาณที่สามารถวัดได้ใน
"ของจริง" โลกทางกายภาพเช่นเวลา, ระยะทาง, อุณหภูมิเป็นต้นเราเป็นตัวแทน
R โดยภาพวาดดังกล่าวเป็นรูปที่ 5 สอง มีข้อความจุดบนเส้นระบุขนาด
และทิศทาง.
0 1
รูปที่ 5
เส้นจำนวนจริง
ยุคลิดพื้นที่
และ
1 x
1
รูปที่ 6
เครื่องบินยุคลิด R2
ตั้ง R2 = R × R = {(x, y) | x, y 2 R} เรียกว่า x, y พิกัดเครื่องบินหรือ
เครื่องบินยุคลิดตั้งชื่อตามยุคลิด (แคลิฟอร์เนีย 300 BC) เพราะมันคือการตั้งค่า
สำหรับรูปทรงเรขาคณิตเครื่องบินคลาสสิก เราเป็นตัวแทน R2 กับภาพวาดเช่นรูปที่ 6.
เราถือว่าผู้อ่านมีความคุ้นเคยกับบัตรประจำตัวของคู่ (x, y) ของจริง
ตัวเลขที่มีจุดในเครื่องบิน.
ชุด R3 = R × R × R = {(x, y , Z) | x, y, z 2 R} เรียกว่า 3 มิติจริง
พื้นที่หรือยุคลิด 3 พื้นที่และรูปแบบในโลกที่เราอาศัยอยู่ เรา repre-
ส่ง R3 โดยภาพวาดเช่นรูปที่ 7 ที่เราจินตนาการแกน Z พิกัด
ตั้งฉากกับแนวระนาบที่ x และ y แกนนอน.
สำคัญย่อยของ Reals
จำนวนเต็มหรือตัวเลขทั้งหมดเป็น Z ชุด = { . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . .}.
สรุปตัวเลขหรือเศษส่วนแสดง Q, เป็นส่วนหนึ่งของตัวเลขจริงทั้งหมด
ที่สามารถเขียนในรูปแบบเมตร / n โดยเมตรและ n เป็นจำนวนเต็มและ n 6 = 0.
ตัวเลขไม่ลงตัวเป็นชุด R Q ของจุดบนเส้นเช่น? และ P2,
ซึ่งไม่ได้มีเหตุผล.
สำหรับสองหมายเลข A, B กับ <b เรามีส่วนย่อยของ R ต่อไปนี้เรียกว่า
ช่วงเวลา.
คณิตศาสตร์เหตุผลที่ฉัน, สนามหมายเหตุ 4
โน้ตกลุ่มย่อยของ R ประเภทใน
การแปล กรุณารอสักครู่..
การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ผม
ฤดูใบไม้ร่วง 2005 บันทึกหลักสูตรวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์
David Lyons เลบานอนวิทยาลัยหุบเขา
ผมบันทึกการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์หลักสูตรฤดูใบไม้ร่วง 2005
David Lyons
คณิตศาสตร์
b วิทยาลัยเลบานอนวัลลิขสิทธิ์ 2548 เนื้อหา
0
1
1 ชุด และฟังก์ชันที่นิยามสำหรับชุด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 เวนน์ไดอะแกรม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 ที่สำคัญชุด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0 คำนิยามสำหรับฟังก์ชัน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0 องค์ประกอบ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ฟังก์ชันผกผัน
7 0.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.7 การดำเนินการในฟังก์ชันค่าจริง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
1 ลำดับและฟังก์ชัน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
9 . สัญกรณ์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 แบบฝึกหัด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 ตรรกะ 11
1.1 ข้อความ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 ปฏิเสธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.3 connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 เพื่อความเป็นผู้นำในสัญกรณ์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 ความจริงโต๊ะ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 หลักฐาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . แบบฝึกหัดที่ 14
1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2 นับ 17
2.1 กี่แถว ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 การคูณหลัก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 กฎการสลับที่ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 ชุด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 สรุปนับสูตร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .แบบฝึกหัด 20
2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 20
ฉันบันทึกหลักสูตร 2
3 คณิตศาสตร์และเรขาคณิตลำดับ 22
3.1 คณิตศาสตร์ ลำดับ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 เรขาคณิต ลำดับ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 ชัดเจนสูตร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223.4 recursive สูตร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 ผลรวมของข้อตกลงในลำดับ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6 ชุดเรขาคณิตและบรรจบกัน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 เส้นและการเจริญเติบโตที่ชี้แจง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.8 แบบฝึกหัด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 จำนวนเชิงซ้อน 30
5 เวกเตอร์ แผนที่เชิงเส้นและเมทริกซ์ 36
6 ปฏิบัติการบนแผนที่เชิงเส้นและเมทริกซ์ 41
0 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.9 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ชั้น หลักสูตรหมายเหตุ 1
0
ชุดและฟังก์ชันและฟังก์ชันของชุดคำศัพท์คือพื้นฐานของคณิตศาสตร์
ทฤษฎีและการประยุกต์ เรานำเสนอคำศัพท์พื้นฐานและตัวอย่างในส่วนนี้
.
0
นิยาม 1 ชุด เป็นชุดของวัตถุ วัตถุที่เป็นของชุดเรียกว่าองค์ประกอบ
, สมาชิกหรือจุด ตัวอย่างเช่นสมาชิกของชุดของตัวเลขคี่
1 , 3 , 5 , 7 และ 9 คำว่าคะแนนสำหรับสมาชิกของชุดมาจากรูปทรงเรขาคณิต
ตัวอย่างเช่นบรรทัดคือชุดของจุดในระนาบ หรือในพื้นที่
ระบุว่าชุดประกอบด้วยธาตุเรียก X , Y และ Z ที่เราเขียน
= { x , y , z }
รายการองค์ประกอบ ที่คั่นด้วยจุลภาคภายในวงเล็บ . สั่งซื้อ
ซึ่งในองค์ประกอบอยู่ไม่สำคัญหรอกหรือมีความซ้ำซ้อนใน
รายการ ตัวอย่างเช่นเราสามารถพูดต่อไปนี้เพื่อตั้งค่าข้างต้น .
= { x , y , z } = { Y , Z , X } = { x , X , Y , Z }
( ที่ดำเนินการจัดสร้าง ) หมายเหตุ
เมื่อชุดมีมากกว่าไม่กี่สมาชิก เรามักจะอธิบาย ชุดค่อนข้าง
กว่ารายชื่อทั้งหมดขององค์ประกอบของ ตัวอย่างเช่น , มันง่ายที่จะพูดว่า " ชุดทั้ง
เบอร์ " มากกว่าที่จะแสดงรายการทั้งหมดของตัวเลขได้ทั้งวิธีทางคณิตศาสตร์
เขียนคำอธิบายด้วยวาจาดังกล่าวเรียกว่าชุดสร้างโน้ต และมีแบบฟอร์มต่อไปนี้ { x
.
| ( งบที่ X เป็นวิชา ) }
นี้ หมายถึง ชุดของวัตถุทั้งหมดที่ข้อความเป็นจริง ตัวอย่างเช่น
ชุดตัวเลขทั้งยังสามารถเขียนแบบนี้ |
{ x x เป็นทั้งหมายเลข }
บางครั้งลำไส้ที่ใช้แทนแนวตั้งบาร์นี่คือบางส่วนเพิ่มเติม
ตัวอย่าง เซตของจำนวนจริงบวกสามารถเขียน { x : x > 0 }
ชุดของพลเมืองสหรัฐอเมริกาสามารถเขียน | { x x เป็นพลเมือง } เรา เซตของจุดใน
x y-plane ที่อยู่เหนือแกน x ( " เหนือ " หมายความว่า ในทางด้านของแกน x แกน y
) สามารถเขียน { ( x , y ) y > 0 } .
สรุปศัพท์และเครื่องหมายพิเศษที่ใช้สำหรับชุดให้ (
0.1.2 )การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ชั้น หลักสูตร 2
หมายเหตุ ( 0.1.2 ) ชุดคําศัพท์และสัญกรณ์ .
{ . . . . . . . . } ( ชุดวงเล็บ ) แสดงชุดรายการหรือรายละเอียดของการตั้งค่าสมาชิก
ระหว่างวงเล็บ
{ x | P ( x ) } ( ชุดสร้างโน้ต เห็น ( ที่ดำเนินการ ) หมายถึงชุดของวัตถุทั้งหมด X ซึ่ง
งบ P ( x ) ยังคงเป็นจริง
{ : P ( x X ) }
โน้ตสลับรูปแบบของชุดสร้าง | เป็น | จำนวนขององค์ประกอบในชุด
จำกัดx 2 เป็นวัตถุ x เป็นสมาชิกของชุด
; เซตว่าง ( ชุดไม่มีสมาชิก ) : B ( ออกเสียง " ที่อยู่ใน บี " หรือ " เป็นสับเซตของ B "
) สมาชิกทุกคนของชุดยังเป็นสมาชิกของชุด บี
a / b ( ออกเสียง " เซก B " ) ชุดของวัตถุทั้งหมดที่สมาชิกของทั้งชุด A และชุด B
[ B ( ออกเสียง " สหภาพ B " ) ชุดของวัตถุทั้งหมดที่เป็นสมาชิก
ทั้งชุดหรือชุดบี หรือทั้งสองอย่าง
b ( ออกเสียง " ลบ B " ) ชุดของวัตถุทั้งหมดที่เป็นสมาชิก
ชุดและไม่ได้เป็นสมาชิกของเซต B
ความแตกต่างชุดหมายถึงชุดของรูปแบบ b
ยู่สองชุดจะไม่มีส่วนร่วม ถ้าแยกของพวกเขาว่างเปล่า
สั่งรายการคู่อันดับ ( x , y ) สององค์ประกอบจากชุดที่เราอนุญาตให้มีความเป็นไปได้ว่า x มีค่าเท่ากับ Y
a × b ( ออกเสียง " ครั้งที่สอง " หรือ " ( Cartesian ) ผลิตภัณฑ์ของ A และ B , " ชื่อ
หลังจากที่เรอเน เดส์การตส์ ) ชุดของคู่อันดับ ( a , b ) 2 [ B เช่นที่
2 A และ B 2 B
A2 ( ออกเสียง " ยกกำลังสอง " ) ผลิตภัณฑ์×ของชุดกับตัวเอง
( 0.1.3 ) ตัวอย่างที่แสดงให้เห็นถึงชุดสัญกรณ์ ให้ A = { 1 , 2 , 3 , 7 } , B =
{ 1 , 2 , 4 , 5 } และ C = { 3 , 5 } เป็นชุดย่อยของชุดของตัวเลข เราก็มี
following.
{x 2 A | x > 1} = {2, 3, 7}
{x: x 2 A or x 2 C} = {1, 2, 3, 5, 7}
A B = {1, 2}
A [ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
A B = {3, 7}
B A = {4, 5}
|A| = 4
|A [ B| = 6
A × C = {(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5), (7, 3), (7, 5)}
C2 = C × C = {(3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5)}
Mathematical Reasoning I, Course Notes 3
0.2 Venn diagrams
S R
T
P
Figure 1
Venn diagram example
3
7
1
2
4
5
b
B
รูปที่ 2
B = { 1 , 2 }
3
7
1
2
4
5
B
3
[ รูป [ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 }
3
7
1
2
4
5
รูปที่ 2
B 7 } B = { 3
มันมักจะเป็นประโยชน์ที่จะใช้ภาพให้เห็นภาพความสัมพันธ์ระหว่างชุด .
แผนภาพเวนน์แสดงชุดภาค 2 มิติในระนาบ รูปที่ 1 แสดง : แผนภาพเวนน์ที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างเซต R ทั้งหมดสี่เหลี่ยม
ชุดของสี่เหลี่ยมชุดเสื้อยืดของรูปสามเหลี่ยม และชุด P
เวนน์ไดอะแกรมของรูปหลายเหลี่ยม ถึงสี่แยก สหภาพ และความแตกต่างของชุดเกี่ยวข้องกับชุด
A และ B จากตัวอย่าง ( 0.1.3 ) แสดงในรูปที่ 2 – 4
3 ที่สำคัญ
ชุดตัวเลขที่แท้จริงของชุดสำคัญในคณิตศาสตร์เป็นชุด R ของตัวเลขจริง
ซึ่งเป็นชุดของจุดบนเส้น ชื่อ " ตัวจริง " แสดงความคิดว่า
R คือการตั้งค่าที่เหมาะสมเพื่อแสดงปริมาณที่สามารถวัดได้ใน
" โลกทางกายภาพจริง " เช่น เวลา , ระยะทาง , อุณหภูมิ , ฯลฯ เราเป็นตัวแทนของ
R โดยการวาดรูป เช่น รูปที่ 5 สองป้ายจุดบนเส้นระบุขนาดและทิศทาง
.
0
1
รูปที่ 5 จํานวนจริงบรรทัด
Y
ใช้พื้นที่ 1 x
1
รูปที่ 6 ใช้เครื่องบิน R2
ชุด R2 = r × r = { ( x , y ) | x , y 2 R } เรียกว่า Xเครื่องบิน y-coordinate หรือ
ระนาบการผ่อนชำระ , ชื่อหลังจากอีริส ( ประมาณ 300 BC ) เพราะมันเป็นระนาบเรขาคณิตคลาสสิก
สำหรับการตั้งค่า เราเป็นตัวแทน R2 กับภาพวาด เช่น รูปที่ 6
เราถือว่าผู้อ่านคุ้นเคยกับตัวของคู่ ( x , y ) ของจำนวนจริง
ด้วยจุดในระนาบ
ชุด R3 = r × r × r = { ( x , y , z ) | X , Y , Z r 2 }
จริง 3 มิติที่เรียกว่าพื้นที่หรือใช้ 3-space และนางแบบโลกที่เราอาศัยอยู่ เรา repre ส่ง -
R3 โดยการเขียนแบบ เช่น รูปที่ 7 ที่เราจินตนาการ z-coordinate แกนตั้งฉากกับระนาบแบน
ที่ X และ y-axes โกหก .
ข้อมูลสำคัญ reals
จำนวนเต็มหรือตัวเลขทั้งหมดเป็นชุด Z = { . . . . . . . . − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . . . . . . . } .
จำนวนเต็มหรือเศษส่วน แทน คิวเป็นเซตย่อยของจำนวนจริง
ซึ่งสามารถเขียนได้ในรูป M / N ที่ M และ N เป็นจำนวนเต็ม N 6 = 0
ตัวเลขไม่ลงตัวคือชุด R Q ของจุดบนเส้นเช่นและ P2
ซึ่งไม่มีเหตุผล สำหรับตัวเลขสองเป็น B กับ < b เรามีชุดย่อยของ R ตามช่วงเวลาที่เรียกว่า
.
การใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ชั้น หลักสูตรหมายเหตุ 4
โน้ตย่อยของ R ชนิดของใน
ฤดูใบไม้ร่วง 2005 บันทึกหลักสูตรวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์
David Lyons เลบานอนวิทยาลัยหุบเขา
ผมบันทึกการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์หลักสูตรฤดูใบไม้ร่วง 2005
David Lyons
คณิตศาสตร์
b วิทยาลัยเลบานอนวัลลิขสิทธิ์ 2548 เนื้อหา
0
1
1 ชุด และฟังก์ชันที่นิยามสำหรับชุด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 เวนน์ไดอะแกรม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 ที่สำคัญชุด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0 คำนิยามสำหรับฟังก์ชัน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0 องค์ประกอบ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ฟังก์ชันผกผัน
7 0.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.7 การดำเนินการในฟังก์ชันค่าจริง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
1 ลำดับและฟังก์ชัน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
9 . สัญกรณ์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 แบบฝึกหัด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 ตรรกะ 11
1.1 ข้อความ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 ปฏิเสธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.3 connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 เพื่อความเป็นผู้นำในสัญกรณ์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 ความจริงโต๊ะ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 หลักฐาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . แบบฝึกหัดที่ 14
1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2 นับ 17
2.1 กี่แถว ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 การคูณหลัก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 กฎการสลับที่ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 ชุด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 สรุปนับสูตร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .แบบฝึกหัด 20
2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 20
ฉันบันทึกหลักสูตร 2
3 คณิตศาสตร์และเรขาคณิตลำดับ 22
3.1 คณิตศาสตร์ ลำดับ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 เรขาคณิต ลำดับ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 ชัดเจนสูตร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223.4 recursive สูตร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 ผลรวมของข้อตกลงในลำดับ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6 ชุดเรขาคณิตและบรรจบกัน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 เส้นและการเจริญเติบโตที่ชี้แจง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.8 แบบฝึกหัด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 จำนวนเชิงซ้อน 30
5 เวกเตอร์ แผนที่เชิงเส้นและเมทริกซ์ 36
6 ปฏิบัติการบนแผนที่เชิงเส้นและเมทริกซ์ 41
0 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.9 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6 โซลูชั่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ชั้น หลักสูตรหมายเหตุ 1
0
ชุดและฟังก์ชันและฟังก์ชันของชุดคำศัพท์คือพื้นฐานของคณิตศาสตร์
ทฤษฎีและการประยุกต์ เรานำเสนอคำศัพท์พื้นฐานและตัวอย่างในส่วนนี้
.
0
นิยาม 1 ชุด เป็นชุดของวัตถุ วัตถุที่เป็นของชุดเรียกว่าองค์ประกอบ
, สมาชิกหรือจุด ตัวอย่างเช่นสมาชิกของชุดของตัวเลขคี่
1 , 3 , 5 , 7 และ 9 คำว่าคะแนนสำหรับสมาชิกของชุดมาจากรูปทรงเรขาคณิต
ตัวอย่างเช่นบรรทัดคือชุดของจุดในระนาบ หรือในพื้นที่
ระบุว่าชุดประกอบด้วยธาตุเรียก X , Y และ Z ที่เราเขียน
= { x , y , z }
รายการองค์ประกอบ ที่คั่นด้วยจุลภาคภายในวงเล็บ . สั่งซื้อ
ซึ่งในองค์ประกอบอยู่ไม่สำคัญหรอกหรือมีความซ้ำซ้อนใน
รายการ ตัวอย่างเช่นเราสามารถพูดต่อไปนี้เพื่อตั้งค่าข้างต้น .
= { x , y , z } = { Y , Z , X } = { x , X , Y , Z }
( ที่ดำเนินการจัดสร้าง ) หมายเหตุ
เมื่อชุดมีมากกว่าไม่กี่สมาชิก เรามักจะอธิบาย ชุดค่อนข้าง
กว่ารายชื่อทั้งหมดขององค์ประกอบของ ตัวอย่างเช่น , มันง่ายที่จะพูดว่า " ชุดทั้ง
เบอร์ " มากกว่าที่จะแสดงรายการทั้งหมดของตัวเลขได้ทั้งวิธีทางคณิตศาสตร์
เขียนคำอธิบายด้วยวาจาดังกล่าวเรียกว่าชุดสร้างโน้ต และมีแบบฟอร์มต่อไปนี้ { x
.
| ( งบที่ X เป็นวิชา ) }
นี้ หมายถึง ชุดของวัตถุทั้งหมดที่ข้อความเป็นจริง ตัวอย่างเช่น
ชุดตัวเลขทั้งยังสามารถเขียนแบบนี้ |
{ x x เป็นทั้งหมายเลข }
บางครั้งลำไส้ที่ใช้แทนแนวตั้งบาร์นี่คือบางส่วนเพิ่มเติม
ตัวอย่าง เซตของจำนวนจริงบวกสามารถเขียน { x : x > 0 }
ชุดของพลเมืองสหรัฐอเมริกาสามารถเขียน | { x x เป็นพลเมือง } เรา เซตของจุดใน
x y-plane ที่อยู่เหนือแกน x ( " เหนือ " หมายความว่า ในทางด้านของแกน x แกน y
) สามารถเขียน { ( x , y ) y > 0 } .
สรุปศัพท์และเครื่องหมายพิเศษที่ใช้สำหรับชุดให้ (
0.1.2 )การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ชั้น หลักสูตร 2
หมายเหตุ ( 0.1.2 ) ชุดคําศัพท์และสัญกรณ์ .
{ . . . . . . . . } ( ชุดวงเล็บ ) แสดงชุดรายการหรือรายละเอียดของการตั้งค่าสมาชิก
ระหว่างวงเล็บ
{ x | P ( x ) } ( ชุดสร้างโน้ต เห็น ( ที่ดำเนินการ ) หมายถึงชุดของวัตถุทั้งหมด X ซึ่ง
งบ P ( x ) ยังคงเป็นจริง
{ : P ( x X ) }
โน้ตสลับรูปแบบของชุดสร้าง | เป็น | จำนวนขององค์ประกอบในชุด
จำกัดx 2 เป็นวัตถุ x เป็นสมาชิกของชุด
; เซตว่าง ( ชุดไม่มีสมาชิก ) : B ( ออกเสียง " ที่อยู่ใน บี " หรือ " เป็นสับเซตของ B "
) สมาชิกทุกคนของชุดยังเป็นสมาชิกของชุด บี
a / b ( ออกเสียง " เซก B " ) ชุดของวัตถุทั้งหมดที่สมาชิกของทั้งชุด A และชุด B
[ B ( ออกเสียง " สหภาพ B " ) ชุดของวัตถุทั้งหมดที่เป็นสมาชิก
ทั้งชุดหรือชุดบี หรือทั้งสองอย่าง
b ( ออกเสียง " ลบ B " ) ชุดของวัตถุทั้งหมดที่เป็นสมาชิก
ชุดและไม่ได้เป็นสมาชิกของเซต B
ความแตกต่างชุดหมายถึงชุดของรูปแบบ b
ยู่สองชุดจะไม่มีส่วนร่วม ถ้าแยกของพวกเขาว่างเปล่า
สั่งรายการคู่อันดับ ( x , y ) สององค์ประกอบจากชุดที่เราอนุญาตให้มีความเป็นไปได้ว่า x มีค่าเท่ากับ Y
a × b ( ออกเสียง " ครั้งที่สอง " หรือ " ( Cartesian ) ผลิตภัณฑ์ของ A และ B , " ชื่อ
หลังจากที่เรอเน เดส์การตส์ ) ชุดของคู่อันดับ ( a , b ) 2 [ B เช่นที่
2 A และ B 2 B
A2 ( ออกเสียง " ยกกำลังสอง " ) ผลิตภัณฑ์×ของชุดกับตัวเอง
( 0.1.3 ) ตัวอย่างที่แสดงให้เห็นถึงชุดสัญกรณ์ ให้ A = { 1 , 2 , 3 , 7 } , B =
{ 1 , 2 , 4 , 5 } และ C = { 3 , 5 } เป็นชุดย่อยของชุดของตัวเลข เราก็มี
following.
{x 2 A | x > 1} = {2, 3, 7}
{x: x 2 A or x 2 C} = {1, 2, 3, 5, 7}
A B = {1, 2}
A [ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
A B = {3, 7}
B A = {4, 5}
|A| = 4
|A [ B| = 6
A × C = {(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5), (7, 3), (7, 5)}
C2 = C × C = {(3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5)}
Mathematical Reasoning I, Course Notes 3
0.2 Venn diagrams
S R
T
P
Figure 1
Venn diagram example
3
7
1
2
4
5
b
B
รูปที่ 2
B = { 1 , 2 }
3
7
1
2
4
5
B
3
[ รูป [ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 }
3
7
1
2
4
5
รูปที่ 2
B 7 } B = { 3
มันมักจะเป็นประโยชน์ที่จะใช้ภาพให้เห็นภาพความสัมพันธ์ระหว่างชุด .
แผนภาพเวนน์แสดงชุดภาค 2 มิติในระนาบ รูปที่ 1 แสดง : แผนภาพเวนน์ที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างเซต R ทั้งหมดสี่เหลี่ยม
ชุดของสี่เหลี่ยมชุดเสื้อยืดของรูปสามเหลี่ยม และชุด P
เวนน์ไดอะแกรมของรูปหลายเหลี่ยม ถึงสี่แยก สหภาพ และความแตกต่างของชุดเกี่ยวข้องกับชุด
A และ B จากตัวอย่าง ( 0.1.3 ) แสดงในรูปที่ 2 – 4
3 ที่สำคัญ
ชุดตัวเลขที่แท้จริงของชุดสำคัญในคณิตศาสตร์เป็นชุด R ของตัวเลขจริง
ซึ่งเป็นชุดของจุดบนเส้น ชื่อ " ตัวจริง " แสดงความคิดว่า
R คือการตั้งค่าที่เหมาะสมเพื่อแสดงปริมาณที่สามารถวัดได้ใน
" โลกทางกายภาพจริง " เช่น เวลา , ระยะทาง , อุณหภูมิ , ฯลฯ เราเป็นตัวแทนของ
R โดยการวาดรูป เช่น รูปที่ 5 สองป้ายจุดบนเส้นระบุขนาดและทิศทาง
.
0
1
รูปที่ 5 จํานวนจริงบรรทัด
Y
ใช้พื้นที่ 1 x
1
รูปที่ 6 ใช้เครื่องบิน R2
ชุด R2 = r × r = { ( x , y ) | x , y 2 R } เรียกว่า Xเครื่องบิน y-coordinate หรือ
ระนาบการผ่อนชำระ , ชื่อหลังจากอีริส ( ประมาณ 300 BC ) เพราะมันเป็นระนาบเรขาคณิตคลาสสิก
สำหรับการตั้งค่า เราเป็นตัวแทน R2 กับภาพวาด เช่น รูปที่ 6
เราถือว่าผู้อ่านคุ้นเคยกับตัวของคู่ ( x , y ) ของจำนวนจริง
ด้วยจุดในระนาบ
ชุด R3 = r × r × r = { ( x , y , z ) | X , Y , Z r 2 }
จริง 3 มิติที่เรียกว่าพื้นที่หรือใช้ 3-space และนางแบบโลกที่เราอาศัยอยู่ เรา repre ส่ง -
R3 โดยการเขียนแบบ เช่น รูปที่ 7 ที่เราจินตนาการ z-coordinate แกนตั้งฉากกับระนาบแบน
ที่ X และ y-axes โกหก .
ข้อมูลสำคัญ reals
จำนวนเต็มหรือตัวเลขทั้งหมดเป็นชุด Z = { . . . . . . . . − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . . . . . . . } .
จำนวนเต็มหรือเศษส่วน แทน คิวเป็นเซตย่อยของจำนวนจริง
ซึ่งสามารถเขียนได้ในรูป M / N ที่ M และ N เป็นจำนวนเต็ม N 6 = 0
ตัวเลขไม่ลงตัวคือชุด R Q ของจุดบนเส้นเช่นและ P2
ซึ่งไม่มีเหตุผล สำหรับตัวเลขสองเป็น B กับ < b เรามีชุดย่อยของ R ตามช่วงเวลาที่เรียกว่า
.
การใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ชั้น หลักสูตรหมายเหตุ 4
โน้ตย่อยของ R ชนิดของใน
การแปล กรุณารอสักครู่..
ภาษาอื่น ๆ
การสนับสนุนเครื่องมือแปลภาษา: กรีก, กันนาดา, กาลิเชียน, คลิงออน, คอร์สิกา, คาซัค, คาตาลัน, คินยารวันดา, คีร์กิซ, คุชราต, จอร์เจีย, จีน, จีนดั้งเดิม, ชวา, ชิเชวา, ซามัว, ซีบัวโน, ซุนดา, ซูลู, ญี่ปุ่น, ดัตช์, ตรวจหาภาษา, ตุรกี, ทมิฬ, ทาจิก, ทาทาร์, นอร์เวย์, บอสเนีย, บัลแกเรีย, บาสก์, ปัญจาป, ฝรั่งเศส, พาชตู, ฟริเชียน, ฟินแลนด์, ฟิลิปปินส์, ภาษาอินโดนีเซี, มองโกเลีย, มัลทีส, มาซีโดเนีย, มาราฐี, มาลากาซี, มาลายาลัม, มาเลย์, ม้ง, ยิดดิช, ยูเครน, รัสเซีย, ละติน, ลักเซมเบิร์ก, ลัตเวีย, ลาว, ลิทัวเนีย, สวาฮิลี, สวีเดน, สิงหล, สินธี, สเปน, สโลวัก, สโลวีเนีย, อังกฤษ, อัมฮาริก, อาร์เซอร์ไบจัน, อาร์เมเนีย, อาหรับ, อิกโบ, อิตาลี, อุยกูร์, อุสเบกิสถาน, อูรดู, ฮังการี, ฮัวซา, ฮาวาย, ฮินดี, ฮีบรู, เกลิกสกอต, เกาหลี, เขมร, เคิร์ด, เช็ก, เซอร์เบียน, เซโซโท, เดนมาร์ก, เตลูกู, เติร์กเมน, เนปาล, เบงกอล, เบลารุส, เปอร์เซีย, เมารี, เมียนมา (พม่า), เยอรมัน, เวลส์, เวียดนาม, เอสเปอแรนโต, เอสโทเนีย, เฮติครีโอล, แอฟริกา, แอลเบเนีย, โคซา, โครเอเชีย, โชนา, โซมาลี, โปรตุเกส, โปแลนด์, โยรูบา, โรมาเนีย, โอเดีย (โอริยา), ไทย, ไอซ์แลนด์, ไอร์แลนด์, การแปลภาษา.
- ฉันอยากฟังเรื่องตลกจัง
- i am me as jung is jung like a caffeine
- เล่นเทเบิลเทนนิสไหมครู
- The possibly corroding influences of oth
- web cam litle lower
- ถัดจากห้องดังกล่าว
- follow
- เม็ด
- Question ending in prepositions
- you only like men
- สมชาย
- ตลอดไป
- I would like to talk to you but I don't
- ฉันยงไม่พร้อมในตอนนี้..ฉันมีปัญหานิดหน่อ
- จับ
- Meditation
- ไม่โกหก
- Realy.how did you end up here?
- น้าตาสดใสนะเรา
- ฉันเป็นแบบนั้น
- ส่วนหนังสือพิมพ์ที่ถือว่ายักษ์ใหญ่ 3 ฉบั
- Haha so at least u can reach him when u
- U like that big super hard?
- ก็คุณเป็นคนบอกฉัน
