Proof. Suppose S is the union of th

Proof. Suppose S is the union of the left strongly simple subsemigroups Sα,
α ∈ Y . Then we have a ∈ (Sa2Sa] for every a ∈ S. In fact: Let a ∈ S, and let
a ∈ Sα for some α ∈ Y . Since Sα is a left strongly simple ordered semigroup
and a, a2 ∈ Sα, by Lemma 6, we have a ∈ (Sαa2Sαa]Sα
⊆ (Sa2Sa].
Let now L be a left ideal of S and a ∈ L. Since a, a2 ∈ S, we have
a ∈ (Sa2Sa] ⊆ (S(Sa4Sa2]Sa] = (S(Sa4Sa2)Sa] ⊆ ((Sa2)a2(Sa2Sa)].
Since a2 ∈ L, we have Sa2 ⊆ SL ⊆ L and Sa2Sa ⊆ SL ⊆ L. Thus we have
a ∈ (La2L] = (La2L]L, and L is intra-regular.
The converse statement: Suppose every left ideal of S is an intra-regular
subsemigroup of S. Then every left ideal of S is a semisimple subsemigroup
of S. Indeed: Let L be a left ideal of S and a ∈ L. Since L is intra-regular,
we have
a

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลักฐาน สมมติว่า S เป็นสหภาพของ subsemigroups ของ่ายซ้าย SαΑ∈ Y แล้วเราจะเป็น∈ (Sa2Sa] สำหรับทุก∈ s ได้ ในความเป็นจริง: ให้∈ S และให้การ∈ Sα สำหรับบาง∈α Y ตั้งแต่ Sα เป็นซ้ายขอ ง่ายสั่งซื้อ semigroup∈ a, a2 Sα และ โดยที่ 6 หน่วยการ เรามีการ∈ (Sαa2Sαa] Sα⊆ (Sa2Sa]ให้ L ตอนนี้จะเหมาะเป็นซ้ายของ S และ∈ l ตั้งแต่∈ a, a2 S เรามีการ∈ (Sa2Sa] ⊆ (S (Sa4Sa2] Sa] = (S (Sa4Sa2) Sa] ⊆ ((Sa2)a2(Sa2Sa)]ตั้งแต่ a2 ∈ L เรามี Sa2 ⊆ SL ⊆ L และ Sa2Sa ⊆ SL ⊆ L. ทำให้ เรามีการ∈ (La2L] = (La2L] L, L เป็นปกติภายในคำสั่งสนทนา: สมมติว่าเหมาะทุกซ้ายของ S เป็นปกติภายในsubsemigroup ของ s แล้ว เหมาะทุกซ้ายของ S คือ การ subsemigroup semisimpleของ s แน่นอน: ให้ L เป็นเหมาะเป็นซ้ายของ S และ∈ L. L เป็นปกติภายในเรามีมี

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พิสูจน์ สมมติว่าเป็นสหภาพของซ้ายขอ subsemigroups αอย่างง่าย ,α∈ y แล้วเราก็มี∈ ( sa2sa ] สำหรับทุก∈ S . ในความเป็นจริง : ให้∈ s และปล่อยให้เป็น∈ S αบางα∈ y เนื่องจากเป็นαเป็นซ้ายของ่ายสั่งกึ่งกรุปและ∈ A2 s αโดยแทรก 6 เรามี∈ ( s α a2s α s α ]⊆ ( sa2sa ]ให้ฉันเป็นซ้ายในอุดมคติของ S และ L ∈ตั้งแต่ A2 ∈ S , เรามีเป็น∈ ( sa2sa ] ⊆ ( S ( sa4sa2 ] ซา ] = ( S ( sa4sa2 ) ซา ] ⊆ ( ( ปรับได้ ) A2 ( sa2sa ) ]∈ตั้งแต่ A2 l เราได้ปรับได้⊆ SL ⊆ L และ sa2sa ⊆ SL ⊆ . ดังนั้นเราได้เป็น∈ ( la2l ] = ( la2l ] L และ L ภายในปกติข้อความสนทนา : สมมติว่าทุกเหมาะไว้เป็นปกติภายในsubsemigroup ของ S แล้วทุกเหมาะเหลือเป็น subsemigroup ปริมาณS . แน่นอน : ให้ฉันเป็นซ้ายในอุดมคติของ S และ L . ตั้งแต่ฉันเป็น∈ภายในปกติเรามีเป็น