ON DICKSON’S THEOREM CONCERNING ODD

ON DICKSON’S THEOREM CONCERNING ODD PERFECT
NUMBERS
PAUL POLLACK
Abstract. A 1913 theorem of Dickson asserts that for each fixed natural
number k, there are only finitely many odd perfect numbers N with at most
k distinct prime factors. We show that the number of such N is bounded by
4
k
2
.
1. Introduction
If N is a natural number, we write σ(N) := P
d|N d for the sum of the divisors
of N. We call N perfect if σ(N) = 2N, i.e., if N is equal to the sum of its proper
divisors. The even perfect numbers were completely classified by Euclid and Euler,
but the odd perfect numbers remain utterly mysterious: despite millennia of effort,
we don’t know of a single example, but we possess no argument ruling out their
existence.
In 1913, Dickson [2] proved that for each fixed natural number k, there are only
finitely many odd perfect numbers N with ω(N) ≤ k. (Here and below, we write
ω(N) for the number of distinct prime factors of the natural number N.) The first
explicit bounds were given by Pomerance [7], who showed that any such N satisfies
N ≤ (4k)
(4k)
2
k
2
.
After the work of Heath-Brown [4], and its subsequent refinements by Cook [1] and
Nielsen [5], we know that any such N satisfies
(1) N < 2
4
k
.
In addition to an upper bound on the size of such N, it is sensible to ask for a
bound on the number of such N. The purpose of this note is to prove the following
estimate:
Theorem 1. For each positive integer k, the number of odd perfect numbers N
with ω(N) ≤ k is bounded by 4
k
2
.
It is amusing to note the typographical similarities between the bound 24
k
of (1)
and our (much smaller!) bound of 4k
2
. Theorem 1 is a corollary of the following
result that is perhaps of independent interest:
Theorem 2. Let x ≥ 1 and let k ≥ 1. The number of odd perfect N ≤ x with
ω(N) ≤ k is bounded by (log x)
k
.
The proofs are self-contained except for the use of the bound (1) and an appeal to
the following classical result of Sylvester [8]: if N is odd and perfect, then ω(N) ≥ 5.
(For a detailed account of Sylvester’s investigations into odd perfect numbers, see
[3].) Recently Nielsen [6] has shown that actually ω(N) ≥ 9.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในทฤษฎีบทของดิ๊กสันเกี่ยวกับสมบูรณ์คี่หมายเลขพอลแลคพอลบทคัดย่อ ค.ศ. 1913 ทฤษฎีบทของดิ๊กสันยืนยันที่สำหรับแต่ละที่คงธรรมชาติหมายเลข k มีเฉพาะ finitely หลายคี่เหมาะตัวเลข N มากที่สุดปัจจัยหลักทั้งหมด k แสดงว่า จำนวน N ดังกล่าวล้อมรอบด้วย4k2.1. บทนำถ้า N เป็นจำนวนธรรมชาติ เราเขียน σ(N): = Pd| D N ผลบวกของตัวหารของ N. เราเรียก N เหมาะถ้า σ(N) = 2N เช่น ถ้า N มีค่าเท่ากับผลรวมของความเหมาะสมหาร หมายเลขสมบูรณ์แม้ไม่สมบูรณ์ตามยุคลิดและออยเลอร์แต่จำนวนสมบูรณ์คี่ยังคงลึกลับโคตร: แม้ มีวัดวาอารามที่เราไม่รู้ว่าของอย่างเดียว แต่เรามีหุอาร์กิวเมนต์ไม่ออกของพวกเขาดำรงอยู่ในปี 1913 ดิ๊กสัน [2] พิสูจน์ว่า k ละธรรมชาติจำนวนคงที่ มีเท่านั้นหลาย finitely คี่เหมาะหมายเลข N กับคุณ≤ ω(N) (ที่นี่ และต่ำ กว่า เราเขียนΩ(N) จำนวนตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของจำนวนธรรมชาติ N.) ครั้งแรกขอบเขตชัดเจนถูกกำหนด โดย Pomerance [7], ซึ่งแสดงให้เห็นว่า ตรง N เช่น≤ N (4k)(4k)2k2.หลังจากการทำงานของฮีธน้ำตาล [4], และ refinements ที่ตามมา ด้วยอาหาร [1] และนีล [5], เรารู้ว่า ตรง N เช่น(1) N < 24k.นอกจากเป็นขอบเขตบนในขนาดของ N เช่น ไม่เหมาะสมขอความผูกจำนวน N. ดังกล่าว วัตถุประสงค์ของบันทึกนี้คือการ พิสูจน์ต่อไปนี้ประเมิน:ทฤษฎีบทที่ 1 สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก k จำนวนสมบูรณ์คี่เลข Nล้อมรอบ ด้วย ω(N) ≤ k โดย 4k2.ก็สนุกโปรดสังเกตความคล้ายคลึง typographical ระหว่าง 24 เขตk(1)และผูก 4k ของเรา (ขนาดเล็ก)2. ทฤษฎีบท 1 เป็น corollary ต่อไปนี้ผลที่อาจจะน่าสนใจด้วยตนเอง:ทฤษฎีบทที่ 2 ให้ x ≥ 1 และให้ k ≥ 1 จำนวนคี่โก N ≤ xΩ(N) ≤ k ถูกล้อมรอบโดย (ล็อก x)k.หลักฐานมีอยู่ในตัวเองยกเว้นการใช้ผูกกับ (1) และการอ้อนผลลัพธ์ต่อไปนี้คลาสสิกของซิลเวสเตอร์ [8]: ถ้า N เป็นคี่ และสมบูรณ์ แล้ว ω(N) ≥ 5(บัญชีรายละเอียดของการสอบสวนของซิลเวสเตอร์เป็นจำนวนสมบูรณ์คี่ การ[3]) ล่าสุดนีล [6] ได้แสดงนั้นจริง ω(N) ≥ 9

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในดิกสันเป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับเลขคี่สมบูรณ์แบบ


พอล พอลแล็คตัวเลขนามธรรม 1913 ทฤษฎีบทของดิกสันอ้างว่าแต่ละถาวรธรรมชาติ
เลขที่ K มีจำกัดมากที่สมบูรณ์แบบตัวเลขคี่กับที่สุด
K ที่แตกต่างกันเฉพาะ ด้าน เราพบว่า จำนวนดังกล่าวถูกล้อมรอบโดย n
4
k
2
.
1 บทนำ
ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกที่เราเขียนσ ( N ) : = P
D | N D สำหรับ ยอดรวมของตัวหาร
.เราเรียก N สมบูรณ์แบบถ้าσ ( n ) = 2n เช่นถ้า N มีค่าเท่ากับผลรวมของตัวหารเหมาะสม
. ตัวเลขที่สมบูรณ์แบบแม้ถูกจัดโดยยุคลิด )
แต่แปลกและ , สมบูรณ์แบบตัวเลขยังคงโคตรลึกลับ : แม้จะมีหนึ่งของความพยายาม
เราไม่รู้ของตัวอย่างเดียว แต่เราไม่มีการพิพากษาจากการดำรงอยู่ของพวกเขา
.
ใน 1913 ,ดิกสัน [ 2 ] พิสูจน์ว่าสำหรับแต่ละกำหนดจำนวนธรรมชาติ k มีเพียง
จำกัดมากแปลกสมบูรณ์แบบตัวเลขกับω ( N ) K ( ≤ที่นี่ด้านล่าง เราเขียน
ω ( N ) สำหรับจำนวนที่แตกต่างกันเฉพาะปัจจัยของจำนวนธรรมชาติ N ) ขอบเขตชัดเจนก่อน
pomerance ได้รับโดย [ 7 ] ซึ่งพบว่าระบบดังกล่าวใด ๆ n
n ≤ ( 4K )
( 4K )
2
k
2
.
หลังจากที่ทำงานของฮีท สีน้ำตาล [ 4 ]และภายหลังการปรับแต่งโดยปรุงอาหาร [ 1 ] และ [ 2 ]
( เรารู้ว่าการใด ๆ เช่น N เข้าตา
( 1 ) N < 2
4
k
.
นอกจากขอบเขตบนในขนาด เช่น N , มันมีเหตุผลที่จะขอ
ผูกพันบนหมายเลขดังกล่าว โดยวัตถุประสงค์ของบันทึกนี้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทค่า

ต่อไปนี้ : 1 . สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก k , จํานวนคี่สมบูรณ์แบบตัวเลข n
กับω ( N ) ≤ K ถูกล้อมรอบ โดย 4
k
2

มันสนุกที่จะต้องทราบความคล้ายคลึงในการพิมพ์ระหว่างผูกพัน 24
k

( 1 ) และ ( ขนาดเล็กมาก ) ขอบเขตของ 4K
2

ทฤษฎีบทที่ 1 เป็นข้อพิสูจน์ของผลที่อาจจะสนใจ อิสระ ดังต่อไปนี้
:
ทฤษฎีบท 2 ให้ x ≥ 1 และให้ k ≥ 1 จํานวนคี่ที่สมบูรณ์แบบ n ≤ x ด้วย
ω ( N ) ≤ k ล้อมรอบไปด้วย ( log x )
k

การพิสูจน์จะรที่ยกเว้นใช้ผูก ( 1 ) และข้อร้องเรียน

ผลคลาสสิกของซิลเวสเตอร์ [ 8 ] ดังต่อไปนี้ ถ้า n เป็นคี่ และสมบูรณ์แบบ แล้วω ( N ) ≥ 5
( สำหรับรายละเอียดของซิลเวสเตอร์ การสืบสวนเป็นจำนวนสมบูรณ์คี่ดู
[ 2 ] . ) เมื่อเร็วๆ นี้ ( [ 6 ] ได้แสดงให้เห็นว่าจริงๆ แล้วω ( N ) ≥ 9