1. INTRODUCTION The aim of this pap

1. INTRODUCTION
The aim of this paper is to construct a data-driven estimation procedure in order to reconstruct a
noisy signal in the multivariate Gaussian white noise model and to prove that this procedure is, in some
sense, optimal.
Many nonparametric estimation procedures can be used in order to reconstruct a noisy signal:
projection on finite-dimensional vector spaces (Fourier or wavelet reconstruction), local smoothing
(kernel estimators, local polynomials), etc. Each method usually depends on a tuning parameter which
could be difficult to calibrate from both practical and theoretical viewpoints. Nevertheless data-driven
methods have been developed to select these parameters. Among others let us mention the following
popular methods: cross-validation (Duin, 1976, Stone, 1984), coefficient thresholding (Donoho et al.,
1995), Lepski’s method (Lepski, 1990). The question that arises is the following: are the resulting
estimators optimal in some sense? A classical way to answer this question is to prove that the con-
structed estimation procedure is adaptive with respect to some nuisance parameter, that is, it achieves
the minimax rate of convergence simultaneously over a scale of spaces indexed by these parameters.
Unfortunately obtaining such a property is not obvious and in many situations the proposed estimator
achieves the minimax rate of convergence only up to an extra multiplicative logarithmic factor. Lepski
(1990) and Tsybakov (1998) proved that in particular statistical models this extra term can be viewed
as an unavoidable price to pay for adaptation. Nevertheless their definitions, designed for univariate
settings, suffer from some major defects in a multivariate setup. The first part of this paper is devoted
to the introduction (in a general statistical model) of a new criterion of optimality in order to overcome
the main drawbacks of the previous notions.
In the second part of this paper we focus on our main problem: the construction of an optimal
estimation procedure to reconstruct the unknown signal at a given fixed point. This or similar problems
received attention of many authors. Among others let us emphasize the following works: Lepski (1990),
Lepski and Spokoiny (1997), Goldenshluger and Nemirovski (1997), Tsybakov (1998), Klemela and
Tsybakov (2001), Chichignoud (2012). Recently, Goldenshluger and Lepski (2008) proposed for this
problem a universal pointwise selection rule. Considering various collections of kernels, the associated
estimation procedures can adapt to the smoothness or the structure of the underlying function. In
particular, it can be proved that there exists an adaptive estimation procedure that achieves the minimax
*
E-mail: [e-mail]
132

POINTWISE ADAPTIVE ESTIMATION
133
rate of convergence (up to a multiplicative logarithmic factor) simultaneously over a scale of anisotropic
¨Holder spaces. Unfortunately the Goldenshluger–Lepski procedure does not take into account the
“end-point effect” (see Section 4.1, third point) that appears in Lepski (1990), Tsybakov (1998),
Chichignoud (2012) among others. In words, this phenomenon implies that, for the most regular space
in the considered scale the extra log-term disappears. Hence a theoretical question arises: does there
exist an estimator that outperforms the Goldenshluger–Lepski procedure at the final point of regularity?
We propose to answer this question by constructing a specific estimation procedure that achieves
this goal. The main idea is to follow the principle of Lepski’s procedure: the estimators are compared
pairwise using a criterion in order to select a bandwidth that realizes a bias-variance trade-off. In order
to make these comparisons possible in an anisotropic setup, two different estimators are compared by
introducing an auxiliary estimator. The same methodology was successfully used in Kerkyacharian et al.
(2001), Bertin (2005), Goldenshluger–Lepski (2008) among others. We finally prove that our procedure
is optimal with respect to our criterion.
Our paper is organized as follows. In Section 2 we present our new definition of what should be an
“optimal” estimation procedure. Section 3 is devoted to the presentation of the statistical framework as
well as the description of our estimation procedure. The main results are stated in Section 4 and their
proofs are given in Section 5. The proofs of technical or auxiliary results are gathered in the appendix.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1. บทนำ จุดประสงค์ของเอกสารนี้คือการ สร้างกระบวนการประเมินการขับเคลื่อนข้อมูลเพื่อสร้างเป็นสัญญาณเสียงดัง ในรูปแบบตัวแปรพหุ Gaussian ขาวเสียง และ เพื่อพิสูจน์ว่า กระบวนการนี้เป็น ในบางความรู้สึก ดีที่สุด ขั้นตอนการประเมิน nonparametric หลายสามารถใช้เพื่อสร้างสัญญาณเสียงดัง:ราบเรียบบน finite มิติเวกเตอร์พื้นที่ (ฟูรีเยหรือ wavelet ฟื้นฟู), เครื่องฉาย(estimators เคอร์เนล ท้องถิ่น polynomials), เป็นต้น แต่ละวิธีจะขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์การปรับแต่งซึ่งอาจจะ difficult การจากมุมมองทั้งปฏิบัติ และทฤษฎี อย่างไรก็ตาม ปรับปรุงข้อมูลได้รับการพัฒนาวิธีการเพื่อเลือกพารามิเตอร์เหล่านี้ หมู่คนอื่น ๆ ให้เราพูดต่อไปนี้วิธียอดนิยม: ตรวจสอบข้าม (Duin, 1976 หิน 1984), coefficient thresholding (Donoho et al.,1995), วิธีการของ Lepski (Lepski, 1990) คำถามที่เกิดขึ้นคือ ต่อไปนี้: มีการส่งผลestimators เหมาะสมที่สุดในความรู้สึกบางอย่าง วิธีคลาสสิกที่จะตอบคำถามนี้คือการ พิสูจน์ที่คอน -structed ขั้นตอนการประเมินถูกปรับให้เหมาะสมกับพารามิเตอร์บางอย่างรบกวน นั่นคือ การประสบความอัตรา minimax ลู่เข้าพร้อมกว่าขนาดของช่องว่างที่ทำดัชนี โดยพารามิเตอร์เหล่านี้แต่ได้รับคุณสมบัติดังกล่าวไม่ชัดเจน และ ในหลายสถานการณ์ประมาณนำเสนอได้รับอัตรา minimax ลู่เข้าถึงปัจจัยการลอการิทึมเชิงการคูณพิเศษเท่านั้น Lepski(1990) และ Tsybakov (1998) พิสูจน์ว่า โดยเฉพาะแบบจำลองทางสถิติคำนี้เพิ่มเติมสามารถดูได้เป็นราคาที่หลีกเลี่ยงไม่ชำระค่าปรับ อย่างไรก็ตามของพวกเขา definitions มาอย่างไร univariateการตั้งค่า suffer จากข้อบกพร่องบางอย่างสำคัญในการตั้งค่าตัวแปรพหุ ส่วน first ของกระดาษนี้จะทุ่มเทกับการแนะนำ (ในแบบจำลองทางสถิติทั่วไป) ของเกณฑ์ใหม่ของ optimality เพื่อเอาชนะข้อเสียหลักของความเข้าใจก่อนหน้านี้ ในส่วนสองของกระดาษนี้ ให้ความสำคัญกับปัญหาหลัก: การก่อสร้างเหมาะสมขั้นตอนการประเมินการสร้างสัญญาณไม่รู้จักจุดกำหนด fixed นี้ หรือปัญหาที่คล้ายกันได้รับความสนใจของผู้เขียนมาก หมู่คนอื่น ๆ เราเน้นต่อไปนี้: Lepski (1990),Lepski และ Spokoiny (1997), Goldenshluger และ Nemirovski (1997), Tsybakov (1998), Klemela และTsybakov (2001), Chichignoud (2012) ล่าสุด Goldenshluger และ Lepski (2008) ที่นำเสนอนี้ปัญหาสิ่งสากล pointwise พิจารณาคอลเลกชันต่าง ๆ ของเมล็ด การเชื่อมโยงขั้นตอนการประเมินสามารถปรับราบรื่นหรือโครงสร้างของฟังก์ชันต้นแบบ ในเฉพาะ มันสามารถถูกพิสูจน์ว่า มีกระบวนการประเมินที่เหมาะสมที่ได้รับการ minimax*อีเมล์: [e-mail]132 POINTWISE การประเมินที่เหมาะสม133อัตราการลู่เข้า (ขึ้นอยู่กับปัจจัยการลอการิทึมเชิงการคูณ) กันมากกว่าขนาดของ anisotropic ¨Holder ช่องว่าง แต่ตอน Goldenshluger – Lepski ไม่คำนึงถึงการ"การวิ effect" (ดูหัวข้อ 4.1 สาม จุด) ที่ปรากฏใน Lepski (1990), Tsybakov (1998),Chichignoud (2012) ในหมู่ผู้อื่น คำ ปรากฏการณ์นี้หมายถึงที่ สำหรับพื้นที่ทั่วในการพิจารณา เสริมบันทึกระยะหายไป จึง เกิดคำถามทฤษฎี: ไม่มีประมาณที่ outperforms ขั้นตอน Goldenshluger – Lepski ที่จุด final ของความ มีอยู่หรือไม่ เราเสนอการตอบคำถามนี้ โดยการสร้างกระบวนงานการประเมิน specific ที่ได้รับเป้าหมายนี้ ความคิดหลักเป็นไป ตามหลักการของกระบวนการของ Lepski: estimators ที่จะเปรียบเทียบpairwise ใช้เกณฑ์เพื่อเลือกแบนด์วิดธ์ที่ตระหนักเป็นความโน้มเอียงต่างค้า-off ในใบสั่งต้องการเปรียบเทียบเหล่านี้ได้ในการตั้งค่า anisotropic, estimators different 2 จะเปรียบเทียบโดยแนะนำประมาณการเสริม วิธีเดียวกันสำเร็จใช้ใน Kerkyacharian et al(2001), Bertin (2005) Goldenshluger-Lepski (2008) ในหมู่ผู้อื่น เรา finally พิสูจน์ที่ขั้นตอนของเราได้เหมาะสมกับเงื่อนไขของเรา กระดาษของเรามีการจัดระเบียบดังนี้ ใน 2 ส่วน เรานำ definition ของเราใหม่ของสิ่งที่ควรจะเป็นขั้นตอนการประเมิน "ดี" ทุ่มเทเพื่อการนำเสนอของกรอบงานสถิติเป็น 3 ส่วนรวมทั้งคำอธิบายของขั้นตอนของการประเมิน ระบุไว้ในหมวดที่ 4 ผลลัพธ์หลัก และของพวกเขาหลักฐานจะได้รับใน 5 ส่วน มีการรวบรวมหลักฐานของผลทางเทคนิค หรือเสริมในภาคผนวก

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1.
บทนำจุดมุ่งหมายของการวิจัยนี้คือการสร้างขั้นตอนการประมาณค่าที่ขับเคลื่อนด้วยข้อมูลเพื่อสร้างการให้สัญญาณที่มีเสียงดังในเสียนรูปแบบเสียงสีขาวหลายตัวแปรและเพื่อพิสูจน์ว่าขั้นตอนนี้คือในบางความรู้สึกที่ดีที่สุด. หลายขั้นตอนการประมาณค่าไม่อิงพารามิเตอร์สามารถ ถูกนำมาใช้เพื่อสร้างสัญญาณที่มีเสียงดัง: ฉายในสายเวกเตอร์พื้นที่ Nite มิติ (ฟูริเยร์หรือฟื้นฟูเวฟ) เรียบท้องถิ่น(ประมาณเมล็ดมีหลายชื่อท้องถิ่น) เป็นต้นแต่ละวิธีมักจะขึ้นอยู่กับการปรับค่าตัวแปรที่อาจจะdi FFI ศาสนาในการสอบเทียบ ทั้งจากมุมมองในทางปฏิบัติและทฤษฎี อย่างไรก็ตามข้อมูลที่ขับเคลื่อนด้วยวิธีการที่ได้รับการพัฒนาเพื่อเลือกพารามิเตอร์เหล่านี้ ท่ามกลางคนอื่น ๆ ให้เราพูดถึงต่อไปนี้วิธีที่นิยม(. Donoho et al, การตรวจสอบข้าม (Duin 1976, หิน, 1984) coe FFI เพียงพอ thresholding 1995) วิธีการของ Lepski (Lepski, 1990) คำถามที่เกิดขึ้นคือต่อไปนี้: มีผลประมาณที่ดีที่สุดในความรู้สึกบางอย่าง? วิธีที่คลาสสิกที่จะตอบคำถามนี้คือการพิสูจน์ว่าทำาขั้นตอนการประมาณค่า structed คือการปรับตัวที่เกี่ยวกับบางพารามิเตอร์รำคาญ, ที่อยู่, มันประสบความสำเร็จในอัตรามินิแมกซ์ของการบรรจบกันพร้อมกันไปตามขนาดของพื้นที่การจัดทำดัชนีตามลำดับเหล่านี้ได้. แต่น่าเสียดายที่ได้รับดังกล่าว สถานที่ให้บริการไม่ชัดเจนและในหลาย ๆ สถานการณ์ที่นำเสนอประมาณการประสบความสำเร็จในอัตราของการลู่มินิแมกซ์เท่านั้นถึงปัจจัยลอการิทึมคูณพิเศษ Lepski (1990) และ Tsybakov (1998) ได้รับการพิสูจน์ว่าในแบบจำลองทางสถิติโดยเฉพาะอย่างยิ่งในระยะพิเศษนี้สามารถดูได้เป็นราคาที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ที่จะจ่ายสำหรับการปรับตัว อย่างไรก็ตาม nitions ไฟเดอของพวกเขาได้รับการออกแบบสำหรับ univariate ตั้งค่าเอ้อซูฉฉข้อบกพร่องที่สำคัญบางอย่างในการติดตั้งหลายตัวแปร ส่วนแรกสายของการวิจัยนี้คือการทุ่มเทที่จะนำ (ในแบบจำลองทางสถิติทั่วไป) ของเกณฑ์ใหม่ของ optimality เพื่อที่จะเอาชนะอุปสรรคหลักของความคิดที่ผ่านมา. ในส่วนที่สองของบทความนี้เราจะมุ่งเน้นไปที่ปัญหาหลักของเรา: การก่อสร้างที่ดีที่สุดของขั้นตอนการประมาณค่าที่จะสร้างสัญญาณที่ไม่รู้จักที่จุดคงที่ที่กำหนด ปัญหานี้หรือคล้ายกันได้รับความสนใจของผู้เขียนหลายคน ท่ามกลางคนอื่น ๆ ให้เราเน้นการทำงานต่อไปนี้: Lepski (1990), Lepski และ Spokoiny (1997), และ Goldenshluger Nemirovski (1997), Tsybakov (1998), และ Klemela Tsybakov (2001), Chichignoud (2012) เมื่อเร็ว ๆ นี้และ Goldenshluger Lepski (2008) เสนอนี้ปัญหากฎการเลือกpointwise สากล พิจารณาคอลเลกชันต่างๆของเมล็ดที่เกี่ยวข้องขั้นตอนการประมาณค่าสามารถปรับให้เข้ากับความเรียบเนียนหรือโครงสร้างของฟังก์ชั่นพื้นฐาน ในโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่จะสามารถได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีขั้นตอนการประมาณค่าการปรับตัวที่ประสบความสำเร็จในมินิแมกซ์* E-mail: [e-mail] 132 pointwise ADAPTIVE ประมาณ133 อัตราของการบรรจบกัน (ถึงปัจจัยลอการิทึมคูณ) พร้อมกันไปตามขนาด ของ anisotropic พื้นที่ Holder แต่น่าเสียดายที่ขั้นตอน Goldenshluger-Lepski ไม่คำนึงถึง"จุดสิ้นสุดจฉฉ ect" (ดูมาตรา 4.1 จุดที่สาม) ที่ปรากฏใน Lepski (1990), Tsybakov (1998), Chichignoud (2012) ท่ามกลางคนอื่น ๆ ในคำพูดของปรากฏการณ์นี้หมายความว่าสำหรับพื้นที่ปกติมากที่สุดในการพิจารณาขนาดล็อกยาวหายไปเป็นพิเศษ ดังนั้นคำถามที่เกิดขึ้นในทางทฤษฎี: ไม่มี? อยู่ประมาณที่มีประสิทธิภาพดีกว่า Goldenshluger-Lepski ขั้นตอนที่จุดไฟ NAL ของระเบียบเราเสนอจะตอบคำถามนี้โดยการสร้างระบุไว้ขั้นตอนการประมาณคที่ประสบความสำเร็จในเป้าหมายนี้ แนวคิดหลักคือการปฏิบัติตามหลักการของขั้นตอนของ Lepski คือประมาณเมื่อเทียบจากจำนวนการใช้เป็นเกณฑ์ในการสั่งซื้อเพื่อเลือกแบนด์วิดธ์ที่ตระหนักถึงการค้าo อคติแปรปรวน FF เพื่อที่จะทำให้การเปรียบเทียบเหล่านี้เป็นไปได้ในการติดตั้ง anisotropic สองดิฉฉประมาณต่างกันเมื่อเทียบโดยการแนะนำประมาณการเสริม วิธีการเดียวกันถูกใช้ประสบความสำเร็จใน Kerkyacharian et al. (2001), Bertin (2005) Goldenshluger-Lepski (2008) ท่ามกลางคนอื่น ๆ เรา fi Nally พิสูจน์ให้เห็นว่าขั้นตอนของเราเป็นที่ดีที่สุดเกี่ยวกับการเกณฑ์ของเรา. กระดาษของเรามีการจัดระเบียบดังต่อไปนี้ ในส่วนที่ 2 เรานำเสนอ nition ไฟเดอใหม่ของเราสิ่งที่ควรจะขั้นตอนการประมาณค่า"ที่ดีที่สุด" ส่วนที่ 3 จะทุ่มเทให้กับการนำเสนอของกรอบทางสถิติเช่นเดียวกับรายละเอียดของขั้นตอนการประมาณค่าของเรา ผลหลักที่ระบุไว้ในมาตรา 4 ของพวกเขาและการพิสูจน์จะได้รับในมาตรา5 ให้ผลการพิสูจน์ทางเทคนิคหรือเสริมจะรวมตัวกันในภาคผนวก

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1 . บทนำ
วัตถุประสงค์ของบทความนี้คือการสร้างกระบวนการประมาณค่า - เพื่อสร้างสัญญาณรบกวนแบบเกาส์เซียน
ในเสียงสีขาวหลายตัวแปรและเพื่อพิสูจน์ว่าขั้นตอนนี้ ในบาง

ความรู้สึกที่ดีที่สุด ขั้นตอนการประเมินหลายวิธีที่สามารถใช้ในการสร้างสัญญาณเสียงดัง :
ฉายบนปริภูมิเวกเตอร์มิติจึงไนท์ ( Fourier หรือวิธีการบูรณะ ) ท้องถิ่นเรียบ
( เมล็ดประมาณพหุนาม , ท้องถิ่น ) ฯลฯ แต่ละวิธีที่มักจะขึ้นอยู่กับการปรับแต่งพารามิเตอร์ซึ่งอาจจะดีffi
ศาสนาต้องปรับตัวทั้งจากมุมมองในทางปฏิบัติและทฤษฎี . อย่างไรก็ตามวิธีการ -
ได้ถูกพัฒนาขึ้นเพื่อเลือกพารามิเตอร์เหล่านี้ท่ามกลางคนอื่น ๆให้เราได้พูดถึงวิธีที่นิยมต่อไปนี้
ข้ามการตรวจสอบ ( ดูน , 1976 , หิน , 1984 ) , โคffi cient ขีดแบ่ง ( ดอนเนอโฮ et al . ,
1995 ) , lepski วิธีการ ( lepski , 2533 ) คำถามที่เกิดขึ้นคือ ต่อไปนี้ เป็นเกิด
กะที่ดีที่สุดในความรู้สึกบางอย่าง ? เป็นวิธีที่คลาสสิกที่จะตอบคำถามนี้เพื่อพิสูจน์ว่า คอน -
จากการประเมินกระบวนการปรับตัวและบางพารามิเตอร์รำคาญที่ มันใช้
บริการอัตราการลู่เข้าพร้อมกันมากกว่าสเกลเป็นดัชนีโดยพารามิเตอร์เหล่านี้ .
ขออภัยขอรับคุณสมบัติดังกล่าวไม่ชัดเจน และในหลายกรณี เสนอประมาณการ
บรรลุอัตราการลู่เข้าของ Minimax เท่านั้นถึงเพิ่มการคูณลอการิทึม ปัจจัยlepski
( 1990 ) และ tsybakov ( 1998 ) ได้พิสูจน์ว่า ในแบบจำลองทางสถิติโดยเฉพาะในระยะนี้พิเศษสามารถดู
เป็นราคาที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ที่จะจ่ายสำหรับการปรับตัว อย่างไรก็ตาม ตนจึง nitions เดอ ออกแบบมาสำหรับการตั้งค่า 2
, ซูff ER จากหลักบางข้อบกพร่องในการติดตั้งหลายตัวแปร ส่วนแรกของบทความนี้จึงทุ่มเท
ในเบื้องต้น ( ในทางสถิติทั่วไปรุ่น ) ของเกณฑ์ใหม่ของความเหมาะที่สุดในการเอาชนะ
ข้อเสียหลักของตนก่อนหน้า
ในส่วนที่สองของบทความนี้เราจะมุ่งเน้นไปที่ปัญหาหลักของเรา : การสร้างกระบวนการการประมาณที่ดีที่สุด
เพื่อสร้างสัญญาณที่ไม่รู้จักที่ได้รับจึง xed จุด นี้ หรือปัญหาที่คล้ายกัน
ได้รับความสนใจของหลายนักเขียนท่ามกลางคนอื่น ๆให้เราเน้นงานต่อไปนี้ : lepski ( 1990 ) ,
lepski และ spokoiny ( 1997 ) และ goldenshluger nemirovski ( 1997 ) , tsybakov ( 1998 ) , klemela และ
tsybakov ( 2001 ) , chichignoud ( 2012 ) เมื่อเร็วๆ นี้ goldenshluger lepski ( 2008 ) และเสนอปัญหา กฎการเลือกการจัดการสากลนี้

พิจารณาจากคอลเลกชันต่างๆ ของเมล็ดที่
ขั้นตอนการประมาณค่าสามารถปรับให้เรียบหรือโครงสร้างของต้นแบบฟังก์ชัน ใน
เฉพาะ มันสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีการปรับกระบวนการที่ใช้บริการ

E-mail : Nicolas . klutchnikoff @ ensai . fr

เฉพาะจุดปรับประมาณ 132 133

อัตราการลู่เข้า ( ขึ้นอยู่กับปัจจัยการคูณลอการิทึม ) พร้อมกันมากกว่าระดับของอุบ
ตั้งวางเป็น . แต่น่าเสียดายที่กระบวนการ goldenshluger – lepski ไม่ได้คำนึงถึง
" ความหมาย : E ff ect " ( ดูหมวด 4.1 จุดที่สาม ) ที่ปรากฏใน lepski ( 1990 ) , tsybakov ( 1998 ) ,
chichignoud ( 2012 ) ในหมู่คนอื่น ๆ เนื้อเพลง ปรากฏการณ์นี้แสดงให้เห็นว่า ในปกติมากที่สุดในการพิจารณาขนาดพื้นที่
ระยะเวลาบันทึกพิเศษหายไป ดังนั้นคำถามที่เกิดขึ้น : ทฤษฎีก็มีการประเมินว่ามีประสิทธิภาพดีกว่า
goldenshluger –ขั้นตอนที่ lepski จึงนาลชี้ระเบียบ ?
เราขอตอบคำถามนี้โดยการสร้างกระบวนการที่ใช้กาจึง C ประมาณ
เป้าหมายนี้ แนวคิดหลักคือปฏิบัติตามหลักการของ lepski เป็นขั้นตอน : วิธีการเปรียบเทียบ
คู่ที่ใช้เป็นเกณฑ์ในการเลือกแบนด์วิดธ์ที่ตระหนักถึงอคติ ความแปรปรวน trade-o ff . เพื่อ
ให้เปรียบเทียบเหล่านี้เป็นไปได้ในการตั้งค่าทิศทาง สอง ดิ ffประมาณ erent เปรียบเทียบ
แนะนําตัวเสริม วิธีการเดียวกันถูกนำมาใช้ใน kerkyacharian et al .
( 2001 ) Bertin ( 2005 ) , goldenshluger – lepski ( 2008 ) ในหมู่คนอื่น ๆแนลลี่ เราจึงพิสูจน์ว่า
ขั้นตอนของเราจะเหมาะสมตามเกณฑ์ของเรา
กระดาษของเราจะจัดดังนี้ ในส่วนที่ 2 เราจึงเสนอ nition เดอใหม่ของสิ่งที่ควรเป็น
" ที่สุด " การประเมินขั้นตอนของเรา มาตรา ๓ เพื่อรองรับการนำเสนอกรอบสถิติ
รวมทั้งรายละเอียดของขั้นตอนการประมาณค่าของเรา ผลลัพธ์หลักที่ระบุไว้ในมาตรา 4 และ
หลักฐานที่ได้รับในส่วนที่ 5 . การพิสูจน์ผลทางเทคนิคหรือเสริมกันในภาคผนวก .