The Essential HoneycombHoneycombs,

The Essential Honeycomb

Honeycombs, we all know, store honey. Honey is obviously valuable to bees. It feeds their young. It sustains the hive. It makes the wax that holds the honeycomb together. It takes thousands and thousands of bee hours, tens of thousands of flights across the meadow, to gather nectar from flower after flower after flower, so it's reasonable to suppose that back at the hive, bees want a tight, secure storage structure that is as simple to build as possible.

So how to build it? Well, suppose you start your honeycomb with a cell like this ... a totally random shape, no equal sides, just a squiggle ...

Bee with random shape.
Robert Krulwich/NPR
If you start this way, what will your next cell look like? Well, you don't want big gaps between cells. You want the structure tight. So the next cell will have to be customized to cling to the first, like this ...

Two bees with random shapes
Robert Krulwich/NPR
And the third cell, once again, will have to be designed to fit the first two. Each cell would be a little different, and that means, says Alan Lightman ...

... this method of constructing a honeycomb would require that the worker bees work sequentially, one at a time, first making once cell, then fitting the next cell to that, and so on.
But that's not the bee way. Look at any YouTube version of bees building a honeycomb, says Alan, and you won't see a lot of bees lounging about, waiting for their turn to build a cell. Instead, everybody's working. They do this collectively, simultaneously and constantly.

So a "squiggle cell plan" creates idle bees. It wastes time. For bees to assemble a honeycomb the way bees actually do it, it's simpler for each cell to be exactly the same. If the sides are all equal — "perfectly" hexagonal — every cell fits tight with every other cell. Everybody can pitch in. That way, a honeycomb is basically an easy jigsaw puzzle. All the parts fit.

Bee dreaming
Robert Krulwich/NPR
OK, that explains why honeycomb cells are same-sized. But back to our first question: Why the preference for hexagons? Is there something special about a six-sided shape?

Some shapes you know right away aren't good. A honeycomb built from spheres would have little spaces between each unit ...

Bee on spheres
Robert Krulwich/NPR
... creating gaps that would need extra wax for patching. So you can see why a honeycomb built from spheres wouldn't be ideal. Pentagons, octagons also produce gaps. What's better?

"It is a mathematical truth," Lightman writes, "that there are only three geometrical figures with equal sides that can fit together on a flat surface without leaving gaps: equilateral triangles, squares and hexagons."

Bees in shapes
Robert Krulwich/NPR
So which to choose? The triangle? The square? Or the hexagon? Which one is best? Here's where our Roman, Marcus Terentius Varro made his great contribution. His "conjecture" — and that's what it was, a mathematical guess — proposed that a structure built from hexagons is probably a wee bit more compact than a structure built from squares or triangles. A hexagonal honeycomb, he thought, would have "the smallest total perimeter." He couldn't prove it mathematically, but that's what he thought.

Compactness matters. The more compact your structure, the less wax you need to construct the honeycomb. Wax is expensive. A bee must consume about eight ounces of honey to produce a single ounce of wax. So if you are watching your wax bill, you want the most compact building plan you can find.

And guess what?

[The honeycomb is] absolutely perfect in economizing labor and wax.
Charles Darwin
Two thousand thirty-five years after Marcus Terentius Varro proposed his conjecture, a mathematician at the University of Michigan, Thomas Hales, solved the riddle. It turns out, Varro was right. A hexagonal structure is indeed more compact. In 1999, Hales produced a mathematical proof that said so.

As the ancient Greeks suspected, as Varro claimed, as bee lovers have always thought, as Charles Darwin himself once wrote, the honeycomb is a masterpiece of engineering. It is "absolutely perfect in economizing labor and wax."

The bees, presumably, shrugged. As Alan Lightman says, "They knew it was true all along.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

รังผึ้งจำเป็นHoneycombs เรารู้ เก็บน้ำผึ้ง น้ำผึ้งมีคุณค่าอย่างเห็นได้ชัดกับผึ้ง มันกินหนุ่มของพวกเขา มันค้ำจุนไฮฟ์ มันทำให้ขี้ผึ้งที่มีรังผึ้งร่วมกัน ใช้หลายพัน และหลายพันชั่วโมงผึ้ง หมื่นบินข้ามทุ่ง เพื่อรวบรวมน้ำหวานจากดอกไม้หลังดอกไม้หลังดอกไม้ จึงเหมาะสมกับสมมติว่า กลับไปที่รัง ผึ้งต้องแน่น ปลอดภัยโครงสร้างการจัดเก็บที่ง่ายเพื่อสร้างเป็นดังนั้นวิธีการสร้างมัน ดี สมมติว่าคุณเริ่มรังผึ้งของเซลล์เช่นนี้...รูปสุ่ม ด้านไม่เท่า เพียง squiggle ...ผึ้งกับสุ่มโรเบิร์ต Krulwich/NPRถ้าคุณเริ่มด้วยวิธีนี้ จะดูของเซลล์ถัดไปชอบอะไรบ้าง ดี คุณไม่ต้องการใหญ่ช่องว่างระหว่างเซลล์ คุณต้องการโครงสร้างแน่น ดังนั้นเซลล์ถัดไปจะต้องปรับแต่งให้ยึดไปก่อน เช่นนี้...ผึ้งที่สอง มีรูปร่างแบบสุ่มโรเบิร์ต Krulwich/NPRและมือที่สาม อีกครั้ง จะมีการออกแบบให้เหมาะกับสองคนแรก แต่ละเซลล์จะแตกต่าง และ ว่า กล่าวว่า Alan Lightman ......วิธีการสร้างรังผึ้งต้องว่า ผึ้งผู้ปฏิบัติงานทำงานตามลำดับ ครั้ง แรก ทำเมื่อเซลล์ แล้วตัวถัดไปที่ cell และอื่น ๆแต่ที่ไม่ใช่ผึ้งวิธี ดูที่ผึ้งสร้างรังผึ้ง กล่าวว่า Alan รุ่น YouTube ใด ๆ และคุณจะเห็นจำนวนมากของผึ้งนั่งเกี่ยวกับ รอเปิดของพวกเขาในการสร้างเซลล์ แทน ทุกคนทำงานอยู่ พวกเขาทำเช่นนี้รวมกัน พร้อมกัน และอย่างต่อเนื่องดังนั้น "squiggle เซลล์แผน" สร้างผึ้งงาน มันเสียเวลา สำหรับผึ้งประกอบเป็นรังผึ้งวิธีผึ้งจริงทำมัน มันได้ง่ายขึ้นสำหรับแต่ละเซลล์จะตรงเดียวกัน ถ้าด้านเท่าทั้งหมด — หกเหลี่ยม "สมบูรณ์แบบ" — ทุกเซลล์เหมาะกับแน่นกับทุกเซลล์ ทุกคนสามารถสนามใน วิธี รังผึ้งเป็นจิ๊กซอว์ง่าย ชิ้นส่วนทั้งหมดพอดีฝันผึ้งโรเบิร์ต Krulwich/NPRตกลง ที่อธิบายว่า ทำไมเซลล์รังผึ้งมีขนาดเดียวกัน แต่กลับ ไปคำถามแรกของเรา: ทำไมค่ารูปหกเหลี่ยม มีสิ่งพิเศษเกี่ยวกับรูปร่างหกเหลี่ยมรูปร่างบางและฟิตไม่ดี รังผึ้งที่สร้างขึ้นจากทรงกลมจะมีช่องว่างเล็ก ๆ ระหว่างแต่ละหน่วย...ผึ้งในทรงกลมโรเบิร์ต Krulwich/NPR...การสร้างช่องว่างที่จะต้องขี้ผึ้งพิเศษสำหรับการแก้ไข ดังนั้น คุณสามารถดูทำไมรังผึ้งที่สร้างขึ้นจากทรงกลมคงจะเหมาะ กัน Pentagons, octagons ยังผลิตช่องว่าง คืออะไรดี"มันเป็นความจริงทางคณิตศาสตร์ Lightman เขียน, " ที่มีตัวเลขเรขาคณิตเพียงสามด้านเท่าที่สามารถใส่กันบนพื้นเรียบโดยไม่ต้องออกจากช่องว่าง: สามเหลี่ยมด้านเท่า สี่เหลี่ยม และรูปหกเหลี่ยม "ผึ้งในรูปร่างโรเบิร์ต Krulwich/NPRดังนั้นการเลือก สามเหลี่ยม สแควร์ หรือรูปหกเหลี่ยม ที่หนึ่งดีสุด นี่คือที่ของเราโรมัน มาร์คัส Terentius Varro ทำผลงานที่ยอดเยี่ยมของเขา เขา "ข้อความคาดการณ์" — และที่สิ่งที่มันเป็น เดาทางคณิตศาสตร์ซึ่งเสนอว่า โครงสร้างที่สร้างขึ้นจากรูปหกเหลี่ยมอาจเป็นบิตวีกะทัดรัดมากขึ้นกว่าโครงสร้างสร้างขึ้นจากช่องสี่เหลี่ยมหรือสามเหลี่ยม แบบรังผึ้งหกเหลี่ยม คิดว่า เขาจะมี "น้อยที่สุดรวมขอบเขตด้วย" เขาไม่สามารถพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ แต่เป็นสิ่งที่เขาคิดกะทัดรัดที่สำคัญ ยิ่งกระชับของโครงสร้าง ขี้ผึ้งน้อยที่คุณจำเป็นต้องสร้างรังผึ้ง ขี้ผึ้งมีราคาแพง ผึ้งต้องใช้ประมาณ 8 ออนซ์ของน้ำผึ้งผลิตออนซ์เดียวขี้ ดังนั้นถ้าคุณกำลังดูการเงินขี้ผึ้ง คุณต้องหาแผนอาคารขนาดกะทัดรัดที่สุดและเดาอะไร[รังผึ้งเป็น] อย่างสมบูรณ์แบบใน economizing แรงงานและขี้ผึ้งชาร์ลส์ดาร์วินสองพันสามสิบห้าปีหลังจากมาร์คัส Terentius Varro เสนอข้อความคาดการณ์ของเขา เป็นนักคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยมิชิแกน Thomas Hales แก้ไขปัญหาลับสมองการ มันเปิดออก Varro ถูก โครงสร้างหกเหลี่ยมมีขนาดเล็กมากขึ้นแน่นอน ในปี 1999, Hales ผลิตพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ว่า ได้เป็นรีกโบราณสงสัย เป็น Varro อ้าง ตามคนรักบีเสมอคิดว่า เป็นชาร์ลส์ดาร์วินเองเขียน รังผึ้งเป็นผลงานชิ้นเอกของวิศวกรรม มันเป็น "อย่างสมบูรณ์แบบใน economizing แรงงานและขี้ผึ้งงาน"ผึ้ง เวบ shrugged เป็น Alan Lightman พูดว่า "พวกเขารู้ว่า มันเป็นความจริงตลอด

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ความสำคัญของรังผึ้งHoneycombs เราทุกคนรู้ว่าน้ำผึ้งร้าน ฮันนี่จะเห็นได้ชัดมีคุณค่าให้กับผึ้ง มันดึงพวกเขายังเด็ก มัน sustains รัง มันทำให้ขี้ผึ้งที่เก็บรังผึ้งด้วยกัน มันต้องใช้เวลาหลายพันชั่วโมงผึ้งนับหมื่นของเที่ยวบินข้ามทุ่งหญ้าเพื่อรวบรวมน้ำหวานจากดอกไม้หลังดอกไม้หลังดอกไม้จึงเป็นเหตุผลที่จะคิดว่ากลับไปที่รังผึ้งต้องการแน่นโครงสร้างการจัดเก็บการรักษาความปลอดภัยที่เป็น ง่ายต่อการสร้างความเป็นไปได้. ดังนั้นวิธีการที่จะสร้างมันได้หรือไม่ ดีสมมติว่าคุณเริ่มต้นรังผึ้งของคุณกับมือถือเช่นนี้ ... รูปร่างแบบสุ่มไม่มีฝ่ายเท่ากันเพียง Squiggle ... นักผึ้งที่มีรูปร่างแบบสุ่ม. โรเบิร์ต Krulwich / NPR หากคุณเริ่มต้นด้วยวิธีนี้สิ่งที่จะถือต่อไปของคุณ ดูเหมือน? ดีที่คุณไม่ต้องการช่องว่างขนาดใหญ่ระหว่างเซลล์ คุณต้องการโครงสร้างแน่น ดังนั้นเซลล์ถัดไปจะต้องมีการปรับแต่งเพื่อให้ยึดติดกับครั้งแรกเช่นนี้ ... สองผึ้งที่มีรูปร่างแบบสุ่มโรเบิร์ต Krulwich / เอ็นพีอาร์และเซลล์ที่สามอีกครั้งหนึ่งจะต้องได้รับการออกแบบเพื่อให้พอดีกับสองคนแรก แต่ละเซลล์จะแตกต่างกันเล็ก ๆ น้อย ๆ และนั่นหมายความว่ากล่าวว่าอลัน Lightman ... ... วิธีการสร้างรังผึ้งนี้จะต้องว่าผึ้งงานทำงานตามลำดับหนึ่งครั้งแรกครั้งเดียวทำให้เซลล์นั้นเหมาะสมต่อไป มือถือที่และอื่น ๆ . แต่นั่นไม่ใช่วิธีผึ้ง ดูรุ่นใด ๆ ของ YouTube ผึ้งสร้างรังผึ้งอลันกล่าวและคุณจะไม่เห็นมากของผึ้งพักผ่อนเกี่ยวกับการรอกลับของพวกเขาในการสร้างเซลล์ แต่ทุกคนทำงาน พวกเขาทำเช่นนี้เรียกรวมกันพร้อมกันและอย่างต่อเนื่อง. ดังนั้น "เซลล์วางแผน Squiggle" สร้างผึ้งไม่ได้ใช้งาน มันเสียเวลา สำหรับผึ้งจะรวบรวมรังผึ้งผึ้งวิธีการทำจริงมันก็ง่ายสำหรับแต่ละเซลล์จะตรงเดียวกัน ถ้าด้านข้างทุกคนเท่าเทียมกัน - "ดีเลิศ" หกเหลี่ยม - ทุกเซลล์พอดีแน่นด้วยมือถืออื่น ๆ ทุกคน ทุกคนสามารถ pitch ใน. วิธีการที่เป็นรังผึ้งเป็นพื้นจิ๊กซอว์ได้ง่าย สินค้าทุกชิ้นพอดี. ผึ้งฝันโรเบิร์ต Krulwich / เอ็นพีอาร์ตกลงที่อธิบายว่าทำไมเซลล์รังผึ้งที่มีขนาดเดียวกัน แต่กลับไปที่คำถามแรกของเรา: ทำไมการตั้งค่าสำหรับรูปหกเหลี่ยม? มีบางสิ่งบางอย่างที่พิเศษเกี่ยวกับรูปทรงหกเหลี่ยม? รูปร่างบางอย่างที่คุณรู้ได้ทันทีไม่ดี รังผึ้งสร้างขึ้นจากทรงกลมจะมีช่องว่างเล็ก ๆ น้อย ๆ ระหว่างแต่ละหน่วย ... ผึ้งบนทรงกลมโรเบิร์ต Krulwich / เอ็นพีอาร์... สร้างช่องว่างที่จะต้องขี้ผึ้งพิเศษสำหรับปะ เพื่อให้คุณสามารถดูว่าทำไมรังผึ้งสร้างขึ้นจากทรงกลมจะไม่เหมาะ ห้าเหลี่ยมแปดเหลี่ยมยังผลิตช่องว่าง มีอะไรดีขึ้นหรือไม่"มันเป็นความจริงทางคณิตศาสตร์" Lightman เขียน "ที่มีเพียงสามตัวเลขทางเรขาคณิตที่มีด้านเท่ากันที่สามารถใส่ร่วมกันบนพื้นผิวเรียบโดยไม่ต้องออกช่องว่าง:. รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่เหลี่ยมและรูปหกเหลี่ยม" ผึ้งในรูปทรงที่โรเบิร์ต Krulwich / NPR ดังนั้นการที่จะเลือก? สามเหลี่ยม? ตาราง? หรือหกเหลี่ยม? เป็นที่หนึ่งที่ดีที่สุด? นี่คือสิ่งที่เราโรมันมาร์คัส Terentius Varro ทำผลงานที่ดีของเขา ของเขา "คาดเดา" - และนั่นคือสิ่งที่มันเป็นเดาทางคณิตศาสตร์ - เสนอว่าโครงสร้างที่สร้างขึ้นจากรูปหกเหลี่ยมอาจเป็นบิตวีขนาดกะทัดรัดกว่าโครงสร้างที่สร้างขึ้นจากสี่เหลี่ยมหรือสามเหลี่ยม รังผึ้งหกเหลี่ยมที่เขาคิดว่าจะมี "ปริมณฑลทั้งหมดที่เล็กที่สุด." เขาไม่สามารถพิสูจน์ได้ทางคณิตศาสตร์ แต่นั่นคือสิ่งที่เขาคิด. เรื่องปึกแผ่น ขนาดกะทัดรัดมากขึ้นโครงสร้างของคุณ, ขี้ผึ้งน้อยกว่าที่คุณต้องสร้างรังผึ้ง หุ่นขี้ผึ้งที่มีราคาแพง ผึ้งจะต้องใช้ประมาณแปดออนซ์ของน้ำผึ้งในการผลิตออนซ์เดียวของขี้ผึ้ง ดังนั้นถ้าคุณกำลังรับชมการเรียกเก็บเงินขี้ผึ้งของคุณคุณต้องการแผนอาคารขนาดเล็กที่สุดที่คุณสามารถค้นหา. และเดาอะไร[รังผึ้งเป็น] อย่างที่สมบูรณ์แบบในการประหยัดแรงงานและขี้ผึ้ง. ชาร์ลส์ดาร์วินสองพันสามสิบห้าปีหลังจากมาร์คัส Terentius Varro เสนอ การคาดคะเนของเขาเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยมิชิแกนโทมัสเฮลส์, แก้ไขปริศนา มันจะเปิดออก Varro ถูกต้อง โครงสร้างหกเหลี่ยมแน่นอนขนาดกะทัดรัดมากขึ้น ในปี 1999 Hales ผลิตพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่กล่าวว่าดังนั้น. ในฐานะที่เป็นชาวกรีกโบราณที่ต้องสงสัยว่าเป็น Varro อ้างว่าเป็นคนรักผึ้งมีความคิดเสมอ, ชาร์ลส์ดาร์วินตัวเองเคยเขียนรังผึ้งเป็นงานชิ้นเอกของวิศวกรรม มันคือ "อย่างสมบูรณ์แบบในการประหยัดแรงงานและขี้ผึ้ง." ผึ้งสมมุติยักไหล่ ขณะที่อลัน Lightman กล่าวว่า "พวกเขารู้ว่ามันเป็นความจริงตลอด

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

รังผึ้งที่จำเป็นhoneycombs เราทั้งหมดรู้ว่า น้ำผึ้งที่ร้าน น้ำผึ้งมีคุณค่าอย่างชัดเจนผึ้ง ฟีดของพวกเขายัง มัน และกลุ่ม ทำให้เทียนที่ถือรวงผึ้งด้วยกัน มันใช้เวลาหลายพันและหลายพันชั่วโมงผึ้งนับหมื่นของเที่ยวบินข้ามทุ่งหญ้า เพื่อรวบรวมน้ำหวานจากดอกไม้ดอกไม้ดอกไม้หลังหลังให้มันมีเหตุผลที่จะสมมติว่ากลับไปที่รัง ผึ้งอยากให้แน่น เก็บรักษาความปลอดภัยโครงสร้างที่ง่ายในการสร้างมากที่สุดดังนั้น วิธีการที่จะสร้างมัน สมมุติว่าคุณเริ่มรังผึ้งของคุณกับเซลล์แบบนี้ . . . . . . . รูปร่างแบบสุ่ม ไม่ด้านเท่า แค่ว่ายไป . . . . . . .ผึ้งกับสุ่มรูปร่างโรเบิร์ต krulwich / วิทยุหากคุณเริ่มต้นด้วยวิธีนี้ จะเกิดอะไรต่อไป เซลล์ มีลักษณะอย่างไร ดี , คุณไม่ต้องการช่องว่างขนาดใหญ่ระหว่างเซลล์ คุณต้องการโครงสร้างที่แน่นหนา ดังนั้นเซลล์ถัดไปจะต้องปรับแต่งเพื่อให้ยึดครั้งแรก แบบนี้ . . . . . . .สอง ผึ้งกับรูปร่างแบบสุ่มโรเบิร์ต krulwich / วิทยุและสามเซลล์อีกครั้ง จะต้องถูกออกแบบมาให้พอดีกับสองคนแรก . แต่ละเซลล์จะแตกต่างกันเล็กน้อย และนั่นหมายถึงว่า อลัน ไลท์แมน . . . . . . .. . . . . . . วิธีการสร้างรังผึ้งนี้จะต้องว่า ผึ้งงาน ทำงานเป็นหนึ่งในเวลาก่อนทำเมื่อเซลล์แล้วเซลล์ถัดไปที่เหมาะสม , และดังนั้นบนแต่นั่นไม่ใช่ผึ้งนะ ดูใน YouTube รุ่นสร้างรังผึ้ง ผึ้งว่าอลันและคุณจะไม่เห็นมากของผึ้งยังเกี่ยวกับ รอเปิดเพื่อสร้างเซลล์ แต่ทุกคนก็ทำงาน พวกเขาทำอย่างนี้เรียกพร้อมกัน และอย่างต่อเนื่องดังนั้น " ว่ายไปเซลล์ว่างแผนสร้างผึ้ง มันเปลืองเวลา ผึ้งรังผึ้ง ผึ้งจะรวบรวมวิธีทำมันจริงๆ มันง่ายกว่าสำหรับแต่ละเซลล์จะตรงเดียวกัน ถ้าด้านเท่าเทียมกัน - " สมบูรณ์ " หกเหลี่ยม - ทุกเซลล์พอดีสนิทกับทุก ๆเซลล์ ทุกคนสามารถช่วย วิธี รังผึ้งเป็นพื้นจิ๊กซอว์ปริศนาง่าย ทั้งหมดส่วนพอดีฝันผึ้งโรเบิร์ต krulwich / วิทยุโอเค นั่นอธิบายว่าทำไมเซลล์รังผึ้งที่มีขนาดเดียวกัน . แต่กลับไปดูคำถามแรก : ทำไมความชอบรูปหกเหลี่ยม ? มีบางสิ่งที่พิเศษเกี่ยวกับหกด้านรูปร่างรูปทรงบาง คุณทราบทันที ไม่เก่ง รังผึ้งที่สร้างจากทรงกลมจะมีช่องว่างเล็กน้อยระหว่างแต่ละหน่วย . . . . . . .ผึ้งบนทรงกลมโรเบิร์ต krulwich / วิทยุ. . . . . . . สร้างช่องว่างที่จะต้องเสริมขี้ผึ้งสำหรับ patching . ดังนั้นคุณสามารถดูว่าทำไมรังผึ้งที่สร้างจากทรงกลมคงไม่เหมาะ ห้าเหลี่ยมแปดเหลี่ยมยังสร้างช่องว่าง เกิดอะไรขึ้น ?" มันคือความจริงทางคณิตศาสตร์ " ไลท์แมนเขียน " ซึ่งมีเพียง 3 ด้านเท่ากับเรขาคณิตของตัวเลขที่สามารถใส่ร่วมกันบนพื้นผิวเรียบโดยไม่ต้องออกจากช่องว่าง : ซึ่งมีด้านเท่ากันทุกด้านสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมและหกเหลี่ยม "ผึ้งในรูปร่างโรเบิร์ต krulwich / วิทยุดังนั้นจะเลือกแบบไหน ? สามเหลี่ยมทองคำ ตาราง ? หรือหกเหลี่ยม ? ซึ่งเป็นที่ดีที่สุด ? ที่นี่คือที่ของเราโรมัน มาร์คัส terentius ฟาโรทำผลงานที่ยิ่งใหญ่ของเขา " เดา " - และนั่นคือสิ่งที่มันเป็น เดา - คณิตศาสตร์เสนอว่าโครงสร้างที่สร้างขึ้นจากรูปอาจเป็นบิตวีกระชับมากกว่าโครงสร้างที่สร้างขึ้นจากสี่เหลี่ยม หรือ สามเหลี่ยม หกเหลี่ยมรังผึ้ง เขาคิดว่าจะต้อง " ปริมณฑลรวมน้อยที่สุด เขาไม่สามารถพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ แต่นั่นคือสิ่งที่เขาคิดเรื่องความเป็นปึกแผ่น . ยิ่งกระชับโครงสร้างของคุณ คุณต้องสร้างน้อยกว่าผึ้งรังผึ้ง ขี้ผึ้ง ราคาแพง ผึ้งต้องกินประมาณแปดออนซ์ของน้ำผึ้งผลิตออนซ์เดียวของขี้ผึ้ง ดังนั้นถ้าคุณกำลังดูบิลขี้ผึ้งของคุณ คุณต้องการให้กระชับมากที่สุด ผังอาคารที่คุณสามารถหาได้และเดาอะไร[ รังผึ้ง ] อย่างสมบูรณ์แบบในหาทางประหยัดแรงงานและขี้ผึ้งชาร์ลส์ ดาร์วินสองพันปีหลังจากที่มาร์คัส terentius วาร์โรเสนอ การคาดเดาของเขา เป็นนักคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยมิชิแกน , โธมัส เฮลส์แก้ไขปริศนา ปรากฏว่า วาร์โร พูดถูก โครงสร้างหกเหลี่ยมก็กะทัดรัดมากขึ้น ในปี 1999 เฮลส์ผลิตพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่กล่าวว่าดังนั้นเป็นกรีกโบราณ สงสัยเป็นวาร์โรอ้างว่าเป็นคนรักผึ้งคิดเสมอ ขณะที่ ชาร์ลส์ ดาร์วินเองเคยเขียนไว้ว่า รังผึ้งเป็นชิ้นเอกของวิศวกรรม มันคือ " อย่างสมบูรณ์แบบในหาทางประหยัดแรงงานและขี้ผึ้ง "ผึ้งแล้ว สันนิษฐานว่า ยัก . อลัน ไลท์แมน กล่าวว่า " พวกเขารู้ว่ามันเป็นความจริงทั้งหมด