Let a, b, and c be the lengths of t

Let a, b, and c be the lengths of the legs of a triangle opposite angles A, B, and C. Then the law of cosines states

a^2 = b^2+c^2-2bccosA
(1)
b^2 = a^2+c^2-2accosB
(2)
c^2 = a^2+b^2-2abcosC.
(3)
Solving for the cosines yields the equivalent formulas

cosA = (-a^2+b^2+c^2)/(2bc)
(4)
cosB = (a^2-b^2+c^2)/(2ac)
(5)
cosC = (a^2+b^2-c^2)/(2ab).
(6)
This law can be derived in a number of ways. The definition of the dot product incorporates the law of cosines, so that the length of the vector from X to Y is given by

|X-Y|^2 = (X-Y)·(X-Y)
(7)
= X·X-2X·Y+Y·Y
(8)
= |X|^2+|Y|^2-2|X||Y|costheta,
(9)
where theta is the angle between X and Y.

LawOfCosinesTriangles
The formula can also be derived using a little geometry and simple algebra. From the above diagram,

c^2 = (asinC)^2+(b-acosC)^2
(10)
= a^2sin^2C+b^2-2abcosC+a^2cos^2C
(11)
= a^2+b^2-2abcosC.
(12)
The law of cosines for the sides of a spherical triangle states that

cosa = cosbcosc+sinbsinccosA
(13)
cosb = cosccosa+sincsinacosB
(14)
cosc = cosacosb+sinasinbcosC
(15)
(Beyer 1987). The law of cosines for the angles of a spherical triangle states that

cosA = -cosBcosC+sinBsinCcosa
(16)
cosB = -cosCcosA+sinCsinAcosb
(17)
cosC = -cosAcosB+sinAsinBcosc
(18)
(Beyer 1987).

For similar triangles, a generalized law of cosines is given by

aa^'=bb^'+cc^'-(bc^'+b^'c)cosA
(19)
(Lee 1997). Furthermore, consider an arbitrary tetrahedron A_1A_2A_3A_4 with triangles T_1=DeltaA_2A_3A_4, T_2=DeltaA_1A_3A_4, T_3=DeltaA_1A_2A_4, and T_4=A_1A_2A_3. Let the areas of these triangles be s_1, s_2, s_3, and s_4, respectively, and denote the dihedral angle with respect to T_i and T_j for i!=j=1,2,3,4 by theta_(ij). Then

s_k=sum_(j!=k; 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ให้ a, b และ c เป็นความยาวของขาของรูปสามเหลี่ยมตรงข้ามมุม A, B และ c แล้วกฎหมายรัฐโคไซน์ตัว ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2bccosA (1)b ^ 2 =ตัว ^ 2 + c ^ 2-2accosB (2)c ^ 2 =ตัว ^ 2 + b ^ 2-2abcosC (3)แก้สำหรับโคไซน์ที่ทำให้สูตรเทียบเท่าcosA = (-a^2+b^2+c^2)/(2bc) (4)cosB (a^2-b^2+c^2)/(2ac) = (5)cosC = (a^2+b^2-c^2)/(2ab) (6)กฎหมายนี้สามารถได้รับมาหลายวิธี ข้อกำหนดของผลิตภัณฑ์จุดประกอบด้วยกฎหมายกฎของโคไซน์ เพื่อให้ได้ความยาวของเวกเตอร์จาก X ไป Y โดย|X Y| ^ 2 = (X-Y) ·(X-Y) (7) = X·X 2X·Y + Y·Y (8) = |X| ^ 2 + |Y| ^ 2-2|X||Y|costheta (9)ทีตาอยู่มุมระหว่าง X และ YLawOfCosinesTrianglesยังจะมาสูตรใช้น้อยเรขาคณิตและพีชคณิตอย่างง่าย จากแผนภาพข้างต้นc ^ 2 = (asinC) ^ 2 + (b acosC) ^ 2 (10) =การ ^ 2sin ^ 2 C + b ^ 2-2abcosC + การ ^ 2cos ^ 2C (11) =การ ^ 2 + b ^ 2-2abcosC (12)กฎหมายกฎของโคไซน์ในด้านของรูปสามเหลี่ยมทรงกลมระบุว่าcosa = cosbcosc + sinbsinccosA (13)cosb = cosccosa + sincsinacosB (14)cosc = cosacosb + sinasinbcosC (15)(Beyer 1987) กฎหมายกฎของโคไซน์ในมุมของรูปสามเหลี่ยมทรงกลมระบุว่าcosA = - cosBcosC + sinBsinCcosa (16)cosB = - cosCcosA + sinCsinAcosb (17)cosC = - cosAcosB + sinAsinBcosc (18)(Beyer 1987)สำหรับสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน กฎหมายเมจแบบทั่วไปกฎของโคไซน์ถูกกำหนดโดย เอเอ ^'= bb ^'+ cc ^'- (bc ^'+ b ^'c) cosA (19)(ลี 1997) นอกจากนี้ พิจารณาการกำหนดทรงสี่หน้าปลาย A_1A_2A_3A_4 กับสามเหลี่ยม T_1 = DeltaA_2A_3A_4, T_2 = DeltaA_1A_3A_4, T_3 = DeltaA_1A_2A_4 และ T_4 = A_1A_2A_3 ให้พื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้เป็น s_1, s_2, s_3 และ s_4 ตามลำดับ และแสดงมุม dihedral กับ T_i และ T_j หา! = j = 1, 2, 3, 4 โดย theta_(ij) แล้ว s_k = sum_ (เจ! = k; 1 < =ฉัน < = 4)s_icostheta_(ki) (20)ซึ่งทำให้กฎหมายกฎของโคไซน์ในเป็นทรงสี่หน้าปลาย s_k ^ 2 = sum_ (i ! = k; 1 < =เจ < = 4) s_j ^ 2-2sum_(i,j!=k; 1<=i,j<=4)s_is_jcostheta_(ij) (21)(ลี 1997) Corollary การให้ตัวดี s_1s_1^'=s_2s_2^'+s_3s_3^'+s_4s_4^'-(s_2s_3^'+s_2^'s_3)costheta_(23) -(s_3s_4^'+s_3^'s_4)costheta_(34)-(s_2s_4^'+s_2^'s_4)costheta_(24). (22)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ให้ A, B, และ c เป็นความยาวของขาของมุมตรงข้ามสามเหลี่ยม A, B และ C จากนั้นกฎหมายของความผาสุกระบุ^ 2 b = ^ 2 + c ^ 2-2bccosA (1) ข ^ 2 = ^ 2 + c ^ 2-2accosB (2) c ^ 2 = ^ 2 + B ^ 2-2abcosC. (3) การแก้สำหรับความผาสุกผลตอบแทนถัวเฉลี่ยสูตรเทียบเท่าcosA = (-a ^ 2 + B ^ 2 + c ^ 2) / (2BC) (4) ลงโทษ = (^ 2-B ^ 2 + c ^ 2) / (2AC) (5) COSC = (^ 2 + B ^ 2-c ^ 2) / ( 2ab). (6) กฎหมายฉบับนี้จะได้รับในหลายวิธี ความหมายของผลิตภัณฑ์จุดรวมของความผาสุกกฎหมายเพื่อให้ความยาวของเวกเตอร์จาก X เป็น Y จะได้รับโดย| XY | ^ 2 = (XY) · (XY) (7) = X · x- 2X · Y + Y · Y (8) = X | | | ^ 2 + | Y | ^ 2-2 | X || Y | costheta, (9) ที่ theta คือมุมระหว่างเอ็กซ์และวายLawOfCosinesTriangles สูตรนอกจากนี้ยังสามารถมาใช้ เรขาคณิตเล็ก ๆ น้อย ๆ และพีชคณิตง่าย จากแผนภาพข้างต้นc ^ 2 = (Asinc) ^ 2 + (B-acosC) ^ 2 (10) = ^ ^ 2sin 2C + B ^ 2-2abcosC + ^ ^ 2cos 2C (11) = ^ 2 b + ^ 2-2abcosC. (12) กฎหมายของความผาสุกสำหรับด้านข้างของทรงกลมเหลี่ยมระบุว่าcosa = cosbcosc + sinbsinccosA (13) ลงโทษ = cosccosa + sincsinacosB (14) COSC = cosacosb + sinasinbcosC (15) (เบเยอร์ 1987 ) กฎหมายของผาสุกสำหรับมุมของรูปสามเหลี่ยมทรงกลมระบุว่าcosA = -cosBcosC + sinBsinCcosa (16) ลงโทษ = -cosCcosA + sinCsinAcosb (17) COSC = -cosAcosB + sinAsinBcosc (18) (เบเยอร์ 1987). สำหรับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน กฎหมายทั่วไปของความผาสุกจะได้รับจากAA ^ '= bb ^' ซีซี + ^ '- (BC ^' b + ^ 'ค) cosA (19) (ลี 1997) นอกจากนี้ยังพิจารณา A_1A_2A_3A_4 จัตุรมุขพลกับสามเหลี่ยม T_1 = DeltaA_2A_3A_4, T_2 = DeltaA_1A_3A_4, T_3 = DeltaA_1A_2A_4 และ T_4 = A_1A_2A_3 ให้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้เป็น s_1, s_2, s_3 และ s_4 ตามลำดับและแสดงมุม dihedral ด้วยความเคารพและ t_i T_j สำหรับฉัน! = J = 1,2,3,4 โดย theta_ (IJ) จากนั้นs_k = sum_ (! J = k; 1 <= ฉัน <= 4) s_icostheta_ (ki), (20) ซึ่งจะทำให้กฎหมายของความผาสุกในจัตุรมุข, ! s_k ^ 2 = sum_ (i = k; 1 <= ! J <= 4) s_j ^ 2-2sum_ (I, J = k; 1 <= ฉัน j <= 4) s_is_jcostheta_ (IJ) (21) (ลี 1997) พิสูจน์ให้มีความสุข

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ให้ a , b และ c คือความยาวของขาของสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้ามมุม A , B และ C แล้ว กฎของโคไซน์อเมริกา


2 = b
2 C

2-2bccosa ( 1 )
b
2 = a
2 C
2-2accosb
C

( 2 ) 2 = a
2 B
2-2abcosc .

( 3 ) การแก้ไขสำหรับ cosines ผลผลิตเทียบเท่าสูตร

สิ่ง = ( -
2 b
2 C
2 ) / ( 2bc )
( 4 ) = (

cosb ห้อง 2-B
2 C
2 ) / ( 2ac )
( 5 ) = ( a

COSC 2 b
2 c
2 ) / ( 2ab )

( 6 ) กฎหมายนี้สามารถใช้ในหลายวิธีความหมายของผลิตภัณฑ์จุดประกอบด้วยกฎของโคไซน์ ดังนั้นความยาวของเวกเตอร์จาก X Y ให้

| x-y |
2 = ( x-y ) ด้วย ( x-y )
( 7 )
= x ด้วย Y Y Y x-2x ด้วยด้วย

( 8 ) = | x | |
2 Y |
2-2 | x | | | costheta Y ,

( 9 ) ที่ theta เป็นมุมระหว่าง x และ y

lawofcosinestriangles
สูตรยังสามารถได้รับการใช้เรขาคณิตและพีชคณิตอย่างง่าย จากแผนภาพข้างต้น

C
2 = (
asinc )2 ( b-acosc )
2
( 10 )
=
2sin
2 B



2-2abcosc เป็น 2cos 2C ( 11 )
=
2 B
2-2abcosc .

( 12 ) พันธะไฮโดรเจนที่ด้านข้างของทรงกลม สามเหลี่ยม ระบุว่า โคซา cosbcosc sinbsinccosa =



cosb ( 13 ) ( 14 ) cosccosa sincsinacosb =

= cosacosb COSC sinasinbcosc
( 15 )
( เบเยอร์ 1987 ) โดยกฎของโคไซน์ในมุมของทรงกลมสามเหลี่ยมอเมริกา

= - cosbcosc โคซา sinbsinccosa

( 16 )cosb = - cosccosa sincsinacosb

COSC ( 17 ) = - cosacosb sinasinbcosc
( 18 )
( เบเยอร์ 1987 ) .

สำหรับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ทั่วไปกฎของโคไซน์จะได้รับโดย


'
'
' = บีบีซีซี ( พ.ศ.
B
' c )
( 19 โคซา )
( ลี พ.ศ. 2540 ) นอกจากนี้ พิจารณาข้อจัตุรมุข a_1a_2a_3a_4 กับสามเหลี่ยม t_1 = deltaa_2a_3a_4 deltaa_1a_3a_4 t_2 = , , = deltaa_1a_2a_4 t_3 และ t_4 = a_1a_2a_3 . ให้พื้นที่ของสามเหลี่ยม s_1 เหล่านี้ ,s_2 s_3 , และ s_4 ตามลำดับ และแสดงถึงมุม dihedral ด้วยความเคารพและ t_i t_j สำหรับฉัน ! = j = 1 , 2 , 3 , 4 โดย theta_ ( IJ ) แล้ว

s_k = sum_ ( J = k ; 1 < = i < = 3 ) s_icostheta_ ( Ki )

( 20 ) ซึ่งจะช่วยให้พันธะไฮโดรเจนในจัตุรมุข ,

s_k
2 = sum_ ( ฉัน ! = k ; 1 < = J < = 4 ) s_j
2-2sum_ ( I , J = k ; 1 < = i , j < = 4 ) s_is_jcostheta_ ( IJ )
( 21 )
( ลี พ.ศ. 2540 ) เป็นข้อพิสูจน์ให้เอกลักษณ์ดี

s_1s_1
' = s_2s_2


' ' s_3s_3 s_4s_4' - ( s_2s_3

' s_2 's_3 ) costheta_ ( 23 ) ( s_3s_4
-
' s_3
's_4 ) costheta_ ( 34 ) - ( s_2s_4

' s_2 's_4 ) costheta_ ( 24 )

( 22 )