The Pythagorean theorem for right t

The Pythagorean theorem for right triangles, a² + b² = c², was actually already known to the Babylonians before the Pythagoreans decided to investigate the relation. What the Pythagoreans did was provide a solid proof of the fact using a clever argument with areas. Even today, the proof of the Pythagorean theorem is one of the most simple and elegant proofs in geometry.

First consider a right triangle with side lenghts a and b and hypotenuse c. At this point, we don't know what the relation among a, b, and c is. The only fact we can extract is that the area of this triangle is ab/2.

proof of the pythagorean theorem


Now take four identical copies of this triangle and arrange them into a large square with a smaller, tilted square inside.

proof of the pythagorean theorem


What can we say about the areas of the exterior and interior squares? The side length of the larger square is a + b, so its area is (a + b)². The area of the smaller square can be expressed two different ways.

Since its side length is c, we can see that its area is c². But its area is also equal to the area of the larger square minus the areas of the four triangles. This is

(a + b)² - 4(ab/2).

Thus we have

c² = (a + b)² - 4(ab/2)
c² = (a² + 2ab + b²) - 2ab
c² = a² + b².

Alternative Proof

You can arrange the four triangles into a square in another way:
proof of the pythagorean theorem


In this figure, the area of the larger square is c². The area of the interior square can be expressed in two different ways.

Since the side length of the smaller square is b - a, its area is (b - a)². But also its area can be expressed as the area of the larger square minus the areas of the four triangles. Thus, we obtain the equality

(b - a)² = c² - 4(ab/2)
b² - 2ab + a² = c² - 2ab
b² + a² = c².

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามเหลี่ยมขวา a² + b² = c² จริงแล้วรู้จัก Babylonians ก่อน Pythagoreans การตัดสินใจที่จะตรวจสอบความสัมพันธ์กัน Pythagoreans ไม่ได้แสดงหลักฐานความจริงใช้อาร์กิวเมนต์ฉลาดกับพื้นที่แข็ง แม้วันนี้ หลักฐานของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งปรู๊ฟง่ายที่สุด และฉลาดในทางเรขาคณิตก่อน พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก มีด้าน lenghts และ b และ hypotenuse c จุดนี้ เราไม่รู้ว่าความสัมพันธ์ระหว่าง a, b และ c จะ ความจริงเท่าที่เราสามารถแยกได้ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้ ab/2หลักฐานของทฤษฎีบทพีทาโกรัสตอนนี้ใช้สำเนาเหมือนสี่เหลี่ยมนี้ และจัดเรียงเป็นสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่กับภายในเล็ก เอียงเหลี่ยมหลักฐานของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเราสามารถพูดอะไรเกี่ยวกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมภายนอก และภายใน ความยาวด้านของสี่เหลี่ยมใหญ่เป็น + b เพื่อเป็นที่ตั้งของ (เป็น + บี) ² พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็กสามารถแสดงสองวิธีเนื่องจากความยาวของด้าน c เราจะเห็นว่าที่ตั้งของ c² แต่ยังเป็นพื้นที่เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมใหญ่ลบพื้นที่ของสามเหลี่ยมสี่ นี่คือ(แบบ + b) ² - 4(ab/2)ดังนั้น เรามีc² = (ตัวตรง) ² - 4(ab/2)c² = (a² + 2ab + b²) - 2abc² = a² + b²หลักฐานอื่นคุณสามารถจัดเรียงสามเหลี่ยมสี่เป็นสี่เหลี่ยมได้ทาง:หลักฐานของทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปนี้ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมใหญ่เป็น c² พื้นที่ของสี่เหลี่ยมภายในสามารถแสดงได้สองวิธีเนื่องจากความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็ก b - a ของพื้นที่ (b - เป็น) ² แต่ยัง สามารถแสดงพื้นที่ที่เป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมใหญ่ลบพื้นที่ของสามเหลี่ยมสี่ ดังนั้น เราได้รับความเสมอภาค(b - เป็น) ² = c² - 4(ab/2)b² - 2ab + a² = c² - 2abb² + a² = c²

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมขวาa² + b² = c²เป็นจริงรู้อยู่แล้วว่าบาบิโลนก่อน Pythagoreans ตัดสินใจที่จะสอบสวนความสัมพันธ์ อะไร Pythagoreans ไม่ได้ให้หลักฐานที่มั่นคงของความเป็นจริงโดยใช้อาร์กิวเมนต์ฉลาดกับพื้นที่ แม้กระทั่งวันนี้หลักฐานการทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในบทพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดและสง่างามในรูปทรงเรขาคณิต. ก่อนพิจารณาสิทธิเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน lenghts A และ B และ C ด้านตรงข้ามมุมฉาก ณ จุดนี้เราไม่ได้รู้ว่าสิ่งที่มีความสัมพันธ์ในหมู่ A, B, และ c คือ ความเป็นจริงเพียง แต่เราสามารถแยกเป็นว่าพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนี้คือ AB / 2. หลักฐานการทฤษฎีบทพีทาโกรัสตอนนี้ใช้เวลาสี่สำเนาที่เหมือนกันของรูปสามเหลี่ยมนี้และจัดให้เป็นตารางขนาดใหญ่ที่มีขนาดเล็กตารางเอียงภายใน. พิสูจน์ของพีทาโกรัส ทฤษฎีบทสิ่งที่เราสามารถพูดเกี่ยวกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมภายนอกและภายใน? ความยาวด้านของตารางที่มีขนาดใหญ่เป็น A + B ดังนั้นพื้นที่ของมันคือ (A + B) ² พื้นที่ของตารางที่มีขนาดเล็กสามารถแสดงสองวิธีที่แตกต่างกัน. ตั้งแต่ความยาวด้านของมันคือ C, เราจะเห็นว่าพื้นที่ที่เป็นc² แต่พื้นที่ที่ยังเท่ากับพื้นที่ของตารางขนาดใหญ่ลบพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสี่ นี่คือ(A + B) ² -. 4 (AB / 2) ดังนั้นเราได้c² = (A + B) ² - 4 (AB / 2) = c² (a² + 2ab + b²) - 2ab c² = a² + b² . หลักฐานทางเลือกคุณสามารถจัดเรียงสี่สามเหลี่ยมเข้าไปในตารางในอีกทางหนึ่ง: หลักฐานการทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปนี้พื้นที่ของตารางที่มีขนาดใหญ่เป็นc² พื้นที่ของตารางการตกแต่งภายในสามารถแสดงออกในสองวิธีที่แตกต่างกัน. ตั้งแต่ความยาวด้านของตารางที่มีขนาดเล็กเป็นข - พื้นที่ของมันคือ (ข -) ² แต่ก็ยังมีพื้นที่ที่สามารถแสดงเป็นพื้นที่ของตารางขนาดใหญ่ลบพื้นที่ในสี่ของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้นเราจึงได้รับความเท่าเทียมกัน(ข -) ² = c² - 4 (AB / 2) b² - 2ab + a² = c² - 2ab + b²a² = c²

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก , B = C พนักงานขายพนักงานขายพนักงานขาย ถูกจริง ๆ แล้วว่าชาวบาบิโลนก่อน Pythagoreans ตัดสินใจที่จะศึกษาความสัมพันธ์ สิ่งที่ Pythagoreans ไม่ได้ให้หลักฐานของความเป็นจริงโดยใช้อาร์กิวเมนต์ที่ฉลาดกับพื้นที่ แม้วันนี้ ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในที่ง่ายที่สุดและหรูหรา บทพิสูจน์ในเรขาคณิต .

ก่อนพิจารณาสามเหลี่ยมขวาข้าง lenghts A และ B และด้านตรงข้ามมุมฉาก C . ณจุดนี้ เราไม่รู้ว่า ความสัมพันธ์ ระหว่าง A , B และ C เป็น แต่ความเป็นจริงเราสามารถแยกเป็น พื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้ AB / 2 .

พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส


ตอนนี้ใช้สี่เหมือนกันเล่มนี้จัดเป็นสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่ที่มีขนาดเล็ก , เอียงตารางข้างใน

ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส


สิ่งที่เราสามารถพูดเกี่ยวกับพื้นที่ของภายนอกและภายในสี่เหลี่ยม ? ด้านความยาวของสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่ เป็น บี ดังนั้น พื้นที่ของ ( ข ) พนักงานขาย พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนาดเล็กสามารถแสดงสองวิธีที่แตกต่างกัน

ตั้งแต่ด้านความยาว C เราสามารถเห็นพื้นที่ของ c พนักงานขายแต่พื้นที่ก็เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่สี่ลบพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม นี้

( b ) พนักงานขาย - 4 ( AB / 2 )

ดังนั้นเรา

c พนักงานขาย = ( b ) พนักงานขาย - 4 ( AB /
c = 2 ) พนักงานขาย ( พนักงานขาย 2ab B พนักงานขาย ) - 2ab
c พนักงานขาย = B

ทางเลือกพนักงานขายพนักงานขาย หลักฐาน

คุณสามารถจัดเรียงสี่สามเหลี่ยมให้เป็นสี่เหลี่ยมอีกวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส :



ในรูป พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่ C พนักงานขายพื้นที่ของสี่เหลี่ยมภายในสามารถแสดงในสองวิธีที่แตกต่างกัน

ตั้งแต่ด้านความยาวของสี่เหลี่ยมขนาดเล็ก คือ B - พื้นที่ของมันคือ ( B - ) พนักงานขาย แต่ยังพื้นที่ดังกล่าว สามารถแสดงเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่สี่ลบพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้นเราจึงได้รับความเสมอภาค

( B - ) = c พนักงานขายพนักงานขาย - 4 ( AB / 2 ) :
b พนักงานขาย - 2ab เป็นพนักงานขายพนักงานขาย - 2ab = C :
b พนักงานขายเป็นพนักงานขาย = c
พนักงานขาย