A box contains white and black ball

A box contains white and black balls. When two balls are drawn without replacement, suppose the probability that both are white is 1/3. (a) Fine the smallest number of balls in the box. (b) How small can the total number of balls be if black balls are even in number?
Solution
(a) Let a and b denote the number of white and black balls in the box, and Wk the event
Wk = “a white ball is drawn at the kth draw”
We are given that P(W1 W2) = 1/3. But
P(W1 W2) = P(W2 W1) = P(W2 | W1) P(W1) = (a-1)/(a+b-1) . a/(a+b) = 1/3
Because
a/(a+b) > (a-1)/(a+b-1) b > 0
we can rewrite as
((a-1)/(a+b-1))2 < 1/3 < (a/(a+b))2
This gives the inequalities
(√3 + 1) b/2 < a < 1 + ((√3 + 1) b/2
For b = 1, this gives 1.36 < a < 2.36, or a = 2, and we get
P (W2 W1) = 2/3 • 1/2 = 1/3
Thus the smallest number of balls required is 3.
b a from (2 - 40) P1 (W2W1)
2 3 3/5 • 2/4 = 3/10 ≠ 1/3
4 6 6/10 • 5/9 = 1/3
TABLE 2-1

(b) For even value of b, we can use (2-40) with b = 2, 4, … as shown in Table 2-1. From the table, when b is even, 10 is the smallest number of balls (a = 6, b = 4) that give the desired probability.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

กล่องมีลูกบอลสีขาวและดำ เมื่อลูกสองจะมีการวาดแทนโดยสมมติว่าน่าจะเป็นที่ทั้งสองเป็นสีขาวเป็น 1/3 (ก) ปรับจำนวนที่เล็กที่สุดของลูกในกล่อง (ข) วิธีการขนาดเล็กจำนวนรวมของลูกสามารถถ้าลูกบอลสีดำแม้จะอยู่ในจำนวน? การแก้ปัญหา

(ก) ให้ a และ b หมายถึงจำนวนของลูกบอลสีขาวและสีดำในกล่องและสัปดาห์เหตุการณ์
สัปดาห์ = "ลูกบอลสีขาวที่ถูกวาดขึ้นที่ KTH วาด"
เราจะได้รับว่า p (w1 w2) = 1/3 แต่ p
(w1 w2) = P (w2 W1) = P (w2 | w1) p (W1) = (-1) / (b-1) / (AB) = 1/3

เพราะ / (AB)> (-1) / (b-1) b> 0
เราสามารถเขียนเป็น
((A-1) / (B- 1)) 2 <1/3 <(/ (AB)) 2
นี้จะช่วยให้ความไม่เท่าเทียมกัน
(√ 3 1) b / 2 <<1 ((√ 3 1) b / 2
สำหรับ b = 1, นี้จะช่วยให้ 1.36 <<2.36 หรือ = 2 และเราได้รับ
p (w2 W1) = 2/3 • 1/2 = 1/3
ดังนั้นจำนวนที่เล็กที่สุดของลูกต้องมี 3 ba
จาก (2-40). p1 (w2w1)
2 3 3/5 • 2/4 = 3/10 ≠ 1/3
4 6 6/10 • 5/9 = 1/3
2-1 ตาราง
_
(ข) สำหรับค่าแม้แต่ b เราสามารถใช้ (2-40) ด้วย b = 2 , 4, ... ดังแสดงในตาราง 2-1 จากตารางเมื่อ b คือแม้กระทั่ง 10 เป็นจำนวนที่เล็กที่สุดของลูก (= 6, b = 4) ที่ให้ความน่าจะเป็นที่ต้องการ.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

กล่องประกอบด้วยลูกบอลสีขาว และสีดำ เมื่อลูกที่สองจะออกโดยไม่เปลี่ยน สมมติว่า ความน่าเป็นว่า ทั้งสองเป็นสีขาวเป็น 1/3 (ก) ปรับจำนวนลูกในกล่องที่เล็กที่สุด (ข) วิธีเล็กจำนวนลูกได้ถ้าลูกดำอยู่แม้ในหมายเลข?
โซลูชัน
(ตัว) เป็น b แสดงหมายเลขของสีขาว และสีดำลูกในกล่อง และ Wk เหตุการณ์
Wk = "ลูกบอลสีขาวออกที่วาด kth"
เราได้ว่า P (W1 W2) = 1/3 แต่
P (W1 W2) = P (W2 W1) = P(W2 | W1) P(W1) = (ก) / (b-1) a / (b) = 1/3
เนื่องจาก
a / (b) > (a-1) / (b-1) b > 0
เราสามารถเขียนเป็น
((a-1) / (b-1)) 2 < 1/3 < 2 (เป็น / (b))
นี้ทำให้ความเหลื่อมล้ำทาง
(√3 1) b/2 < < 1 ((√3 1) b/2
สำหรับ b = 1 นี้ให้ 1.36 < < 2.36 หรือมี = 2 และเราได้รับ
P (W2 W1) =• 2/3 1/2 = 1 3
ดังนั้น จำนวนลูกที่ต้องการน้อยที่สุดคือ 3.
b การจาก P1 (2-40) (W2W1)
• 2 3 3/5 2/4 = 3/10 ≠ 1/3
• 4 6 6/10 5/9 = 1 3
ตาราง 2-1

(b) ค่าแม้บี เราสามารถใช้ (2-40) กับ b = 2, 4,...ตามแสดงในตาราง 2-1 จากตาราง เมื่อ b เป็นเลขคู่ 10 มีจำนวนลูกน้อย (เป็น = 6, b = 4) ที่ให้ความน่าเป็นที่ต้องการ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ช่องทำเครื่องหมายที่ประกอบด้วยลูกสีขาวและสีดำ เมื่อทั้งสองลูกมาโดยไม่มีการเปลี่ยนคิดว่าความเป็นไปได้ที่ทั้งสองมีสีขาวเป็น 1/3 1/3 1/3 (ก)ชั้นดีจำนวนมากที่มีขนาดเล็กที่สุดของลูกในกล่องที่. ( B )ได้อย่างไรขนาดเล็กจะสามารถจำนวนรวมของลูกได้ถ้าลูกสีดำและมีแม้แต่ในหมายเลขหรือไม่?

ตามมาตรฐานโซลูชัน( A )ให้ A และ B แสดงว่าจำนวนของลูกสีขาวและสีดำในกล่องและ wk กรณีที่
wk ="ลูกสีขาวที่มีมาในการ kth "
เราได้รับ P ( W 1 W 2 )ที่= 1/3 1/3 1/3 แต่
P ( W 1 W 2 )= P ( W 2 W 1 )= P ( W 2 | W 1 ) P ( W 1 )=( A - 1 )/( A , B - 1 )/( A , B )= 1/3 1/3 1/3

เนื่องจาก A /( A , B )>( A - 1 )/( A , B - 1 ) b > 0
เราสามารถเขียนเป็น
((ที่ 1 )/( A , B - 1 )) 2 < 1/3 1/3 1/3 <( A /( A , B ) 2
นี้จะช่วยให้ได้ความไม่เท่าเทียมกัน
(√ 31 ) b / 2 A << 1 ((√ 31 ) b / 2
สำหรับ B = 1 ,นี้จะช่วยให้มีปริมาตร 1.36 ลิตรโดยมีขนาดที่<< 2.36 ,หรือ= 2 ,และเราจะได้รับตอบแทน
p ( W 2 W 1 )= 2/3 2/3 2/3 • 1/2 = 1/3 1/3 1/3
ดังนั้นที่มีขนาดเล็กที่สุดของลูกที่ต้องการคือ 3 .
B จาก( 2 - 40 ) P 1 ( W 2 W 1 )
23 3/5 • 2/4 = 3/10 ≠ 1/3 1/3 1/3
46 6/10 • 5/9 = 1/3 1/3 1/3
โต๊ะ 2-1 2-1 2-1

( B )สำหรับความคุ้มค่าของ B ,เราสามารถใช้งาน( 2-40 )พร้อมด้วย B = 2 , 4 ,...ตามที่แสดงในตาราง 2-1 2-1 2-1 . จากโต๊ะเมื่อ B คือ 10 เป็นเลขที่มีขนาดเล็กที่สุดของลูก(= 6 B = 4 A )ที่ให้โอกาสที่ต้องการ.