The above definition is a dual form

The above definition is a dual form of the ordinary definition[1, 3]. on any
BCK-algebra (G, ., 0) for all x,y ∈ G, we can define the natural order putting
x ≤ y ⇐⇒ xy = 0 (1)
It is not difficult to verify that this order is partial and 0 is its smallest element.
In a BCK-algebra (G, ., 0) for all x,y, z ∈ G the following identities hold.
(1.2) x0 = x and x ≤ y implies xz ≤ yz and zy ≤ zx and xy.z = xz.y
A BCK-algebra G is said to be bounded if there exists an elements 1 ∈ G such
that x ≤ 1 for all x ∈ G. For elements x and y of a BCK-algebra G, we denote
(1.3) x ∧ y = y.(yx) and x ∨ y = N(Nx ∧ Ny) where Nx = 1x.
A BCK-algebra G is said to be commutative if it satisfies x ∧ y = y ∧ x for
all x,y ∈ G. A non-empty subset S of a BCK-algebra G is called a BCKsubalgebra of G, if xy ∈ S whenever x,y ∈ S. Also a non-empty subset
I of a BCC-algebra G is called and BCC-ideal if (i) 0 ∈ I, (ii) (xy).z ∈ I
and y ∈ I imply xz ∈ I for all x,y ∈ G. If (ii) holds only in case when
z = 0, then I is called a BCK-ideals. A BCK- algebra G is called implicative
iff x.(yx) = x, also G is called positive implicative BCK-algebra if it satisfy
in property xz.yz = xy.z, In any commutative BCK-algebra, the following
statements hold:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คำจำกัดความข้างต้นเป็นแบบที่สองของข้อกำหนดทั่วไป [1, 3] บนใด ๆBCK พีชคณิต (G, ., 0) สำหรับทุก x, y ∈ G เราสามารถย้ายลำดับธรรมชาติx ≤ y ⇐⇒ xy = 0 (1)ไม่ยากที่จะตรวจสอบว่า ใบสั่งนี้เป็นบางส่วน และ 0 เป็นองค์ประกอบเล็กที่สุดใน BCK-พีชคณิต (G, ., 0) สำหรับทุก x, y, z ∈ G เก็บข้อมูลต่อไปนี้(1.2) x 0 = x และ x ≤ y หมายถึง xz ≤ yz และทานซี≤ zx และ xy.z = xz.yG BCK พีชคณิตกล่าวถูกล้อมรอบถ้ามีเป็นองค์ประกอบ 1 ∈ G เช่นที่≤ x 1 สำหรับทุก x ∈กรัม สำหรับองค์ประกอบของ x และ y ของแบบพีชคณิต BCK เราแสดง(1.3) x ∧ y = y.(yx) และ x ∨ y = N(Nx ∧ Ny) ที่ Nx = 1 xG BCK พีชคณิตว่า จะสลับถ้ามันตรง y x ∧ y ∧ = x สำหรับทั้งหมด x, y ∈กรัม ย่อยไม่ว่าง S G BCK พีชคณิตจะเรียกว่าเป็น BCKsubalgebra ของ G ถ้า xy ∈ S เมื่อ x, y ∈ s ได้ นอกจากนี้ยังย่อยไม่ว่างเปล่าฉัน G พีชคณิตสำเนาลับถึงจะเรียกว่า BCC-ห้องพัก และถ้า (i) 0 ∈ฉัน, (ii) (xy) ∈.z ฉันและฉันเป็นสิทธิ์แบบ xz ∈∈ y ผมสำหรับทุก x, y ∈กรัม ถ้าถือ (ii) เฉพาะในกรณีเมื่อz = 0 แล้วคือ BCK-อุดมคติ G BCK พีชคณิตเรียกว่า implicativeiff x.(yx) = x, G จะเรียกว่า implicative บวกพีชคณิต BCK ถ้ามันตอบสนองในคุณสมบัติ xz.yz = xy.z ในการสลับ BCK พีชคณิต ต่อไปนี้ระงับคำสั่ง:

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คำนิยามดังกล่าวข้างต้นเป็นรูปแบบที่สองของความหมายสามัญ [1, 3] ใด ๆ
BCK พีชคณิต (G., 0) สำหรับทุก x, y ∈ G, เราสามารถกำหนดธรรมชาติวาง
x ≤ y ที่⇐⇒เซ็กซี่ = 0 (1)
มันไม่ได้เป็นเรื่องยากที่จะตรวจสอบว่าคำสั่งนี้เป็นบางส่วนและ 0 เป็นองค์ประกอบเล็ก ๆ ของมัน.
ใน BCK พีชคณิต (G., 0) สำหรับทุก x, y, z ∈ G ตัวตนต่อไปนี้ถือ.
(1.2) x0 x = x และ y ที่หมายถึง≤≤ xz YZ และ ZY ≤ ZX และ xy.z = xz.y
BCK พีชคณิต G กล่าวจะสิ้นสุดถ้ามีองค์ประกอบที่ 1 ∈ G เช่น
ว่า x ≤ 1 สำหรับทุก x ∈กรัมสำหรับองค์ประกอบ x และ y ของ BCK พีชคณิต G เรา แสดง
(1.3) x ∧ y = y ที่. (YX) x และ y ที่∨ = N (Nx ∧ Ny) ที่ Nx = 1x.
BCK พีชคณิต G กล่าวจะสับเปลี่ยนถ้ามันสอดคล้อง x ∧ y ที่ y = x ∧สำหรับ
ทุก x, y ∈จีย่อยที่ไม่ว่างเปล่าของ S BCK พีชคณิต G เรียกว่า BCKsubalgebra จีถ้าเซ็กซี่∈ S เมื่อใดก็ตามที่ x, y ∈เอสนอกจากนี้ยังมีส่วนย่อยที่ไม่ว่างเปล่า
ฉัน BCC พีชคณิต G เรียกว่าและ BCC-เหมาะสำหรับกรณีที่ (i) 0 ∈ฉัน (ii) (เซ็กซี่) อัด Z ∈ฉัน
และฉัน∈ y ที่บ่งบอกถึง xz ∈ผมสำหรับทุก x, y ∈กรัมถ้า (ii) ถือหุ้นเฉพาะในกรณีที่
ซี = 0 แล้วฉันจะเรียกว่าอุดมการณ์ BCK- G พีชคณิต BCK- เรียกว่า implicative
IFF x. (YX) = x ยังเรียกว่า G implicative บวก BCK พีชคณิตถ้ามันตอบสนอง
ในทรัพย์สิน xz.yz = xy.z ในการเปลี่ยนแปลงใด ๆ BCK พีชคณิตต่อไปนี้
งบถือ :

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

นิยามข้างต้นเป็นรูปแบบที่สองของสามัญนิยาม [ 1 , 3 ] ใด ๆ
bck พีชคณิต ( G , 0 ) สำหรับ x , y ∈กรัม เราสามารถกำหนดธรรมชาติเพื่อใส่
x ≤ Y ⇐⇒ XY = 0 ( 1 )
มันไม่ได้เป็นเรื่องยากที่จะตรวจสอบว่าคำสั่งนี้เป็นบางส่วนและ 0 เป็นองค์ประกอบที่เล็กที่สุด .
ใน bck พีชคณิต ( กรัม . 0 ) สำหรับ x , y , z ∈กรัมข้อมูลต่อไปนี้ถือ .
( 12 ) x0 = x และ x ≤ Y หมายถึงระนาบ และ≤ yz zy ≤ ZX และ XY Z = ระนาบ . . Y
เป็น bck พีชคณิต G กล่าวจะสิ้นสุดหากมีองค์ประกอบที่ 1 ∈ G เช่น
X นั้น≤ 1 X ∈กรัม สำหรับองค์ประกอบของ x และ y ของ bck พีชคณิตกรัม เราหมายถึง
( 1.3 ) x ∧ y = y ( yx ) และ X ∨ Y = n ( NX ∧ NY ) ที่ NX = 1x .
เป็น bck พีชคณิต G เป็นการสับเปลี่ยนถ้ามันน่าพอใจ∧ X Y = Y ∧ x
X , Y ∈กรัมไม่ว่างของ bck พีชคณิตย่อยของ G เรียกว่า bcksubalgebra G ถ้า XY ∈เมื่อใดก็ตามที่ x , y ∈ S ยังไม่ว่างย่อย
ฉันของ BCC พีชคณิตกรัมเรียกว่าและ BCC เหมาะถ้า ( ผม ) 0 ∈ฉัน ( 2 ) ( XY ) Z ∈ผม
และ Y ∈ผมบ่งบอกถึงระนาบ ∈ฉันทั้งหมดสำหรับ x , y ∈กรัม ถ้า ( 2 ) ถือเฉพาะในกรณีที่เมื่อ
z = 0 แล้วผมเรียกว่า bck อุดมคติ เป็น bck - พีชคณิตกรัมเรียกว่า implicative
IFF ( yx ) = x , Xยัง จี เรียกว่า บวก implicative bck พีชคณิตถ้าพอใจ
ในคุณสมบัติ xz.yz = XY Z , ใน bck การสับเปลี่ยนพีชคณิต , งบดังต่อไปนี้
ถือ :