The calculation of the envelope of

The calculation of the envelope of a set of related trajectories can provide an interesting supplementary exercies in a course on classical mechanics. An example that is probably familiar to most readers is the envelope of all the possible trajectories of an object projected from a given point with a given speed in a unifrom gravitational field. The envelope of all these parabolic trajectories is itself a parabola;we shall give this as a first example in the cases discussed below.
We shall restrict ourselves to motion in a single plane. If we are using rectangular coordinates,the trajectories of a given family are describable by an equation of the from (00000000000) where (00000000) is a parameter that characterizes the individual trajectories. For a given trajectory,(00000000)is a constant. In the case of projectile motions,for example,(00000000) can be taken to be the angle of projection,(000000),relative to the horizontal.
The envelope of a set of trajectories is, of course, a line tangential to all the individual paths,as shown in Fig.1. It, too,satisfies the equation (0000000) at every point common to it and the individual trajectories because, for appropriate values of x and y, a point on the envelope coincides with a point on a trajectory with some value of (000000).However, the envelope has to satisfy the additional requirement that each trajectory in the family is tangent to it and that it, in turn, is tangent to every trajectory.It follows form this that the envelope must satisfy the auxiliary condition:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การคำนวณของซองจดหมายของชุด trajectories ที่เกี่ยวข้องสามารถให้ exercies เสริมน่าสนใจในหลักสูตรเกี่ยวกับกลศาสตร์ดั้งเดิม ตัวอย่างที่คงคุ้นเคยกับผู้อ่านมากที่สุดคือ ซองจดหมายทั้งหมด trajectories ได้วัตถุที่คาดว่าจากจุดที่กำหนดด้วยความเร็วที่กำหนดในฟิลด์ความโน้มถ่วง unifrom ซองจดหมายของ trajectories จานทั้งหมดเหล่านี้เป็นพาราโบลาเป็นเอง เราจะให้นี้เป็นตัวแรกเช่นในกรณีที่อธิบายไว้ด้านล่าง เราจะจำกัดตัวเองให้เคลื่อนไหวในระนาบเดียว ถ้าเราใช้พิกัด trajectories ของครอบครัวให้เป็น describable โดยสมการของการที่ (00000000000) (00000000) เป็นพารามิเตอร์ที่ระบุลักษณะ trajectories ละ ในการกำหนดวิถี, (00000000) เป็นค่าคง ในกรณีเคลื่อนไหว projectile สำหรับ example,(00000000) สามารถนำให้ มุมของการฉาย, (000000), สัมพันธ์กับแนวการ ซองจดหมายของชุด trajectories ได้ แน่นอน tangential ไปทั้งหมดแต่ละเส้นทาง เส้นดังแสดงในภาพ เกินไป เป็นไปตามสมการ (0000000) ในทุกจุดและ trajectories ละ เพราะ สำหรับค่าของ x และ y จุดบนซองจดหมายกรุณาจุดบนวิถีบางค่า (000000)อย่างไรก็ตาม ซองจดหมายได้รับการตอบสนองเพิ่มเติมความต้องว่าแต่ละวิถีในครอบครัวแทนเจนต์กับ และ กลับ ว่าแทนเจนต์เพื่อทุกวิถีการมันดังนี้แบบฟอร์มนี้ว่า ซองจดหมายต้องตอบสนองเงื่อนไขเสริม:

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การคำนวณของซองของชุดของที่น่าสนใจเกี่ยวกับสามารถให้เสริม exercies ในวิชากลศาสตร์คลาสสิก ตัวอย่างที่อาจจะคุ้นเคยกับผู้อ่านมากที่สุดคือ ซองทุกวิถีที่สุดของวัตถุฉายจากจุดที่กำหนด ด้วยที่ให้ความเร็วใน unifrom สนามโน้มถ่วง .ซองจดหมายของวิถีโค้งพาราโบลา ทั้งหมดเหล่านี้คือตัวเอง เราก็จะให้สิ่งนี้เป็นตัวอย่างแรกในคดีที่กล่าวถึงต่อไปนี้ เรา จะ จำกัด ตัวเอง
การเคลื่อนที่ในระนาบเดียว ถ้าเราใช้พิกัดสี่เหลี่ยมในวิถีของครอบครัว จะให้บอกโดยสมการของจาก ( 00000000000 ) ที่ไหน ( 1961 ) เป็นพารามิเตอร์ที่ characterizes วิถีของแต่ละบุคคล ให้วิถี ( 1961 ) เป็นค่าคงที่ ในกรณีของกระสุนปืน ภาพเคลื่อนไหว ตัวอย่างเช่น ( 1961 ) สามารถถ่ายได้มุมฉาย ( ล้าน ) เมื่อเทียบกับแนวระดับ
ซองของชุดวิถีคือแน่นอน เส้นแนวให้แต่ละเส้นทางตามที่แสดงใน” . มันเหมือนกันตรงสมการ ( 10 ) ทุกจุดปกติและวิถีบุคคลเพราะค่านิยมที่เหมาะสมของ X และ Y เป็นจุดบนซองจดหมายตรงกับจุดบนเส้นทางที่มีมูลค่า ( ล้าน ) แต่อย่างไรก็ตามซองมีเพื่อตอบสนองความต้องการเพิ่มเติมที่โคจรในแต่ละครอบครัวจะสัมผัสมัน และ มัน จะ เป็น สัมผัสทุกวิถี ตามแบบฟอร์มนี้ว่าซองต้องตอบสนองเงื่อนไขเสริม :