THEOREM 2.9 The linear Diophantine

THEOREM 2.9 The linear Diophantine equation ax+by=c has a solution if and only if d⁄c, where d=gcd⁡(a,b). If x_0 , y_0 is any particular solution of this equation, then all other solutions are given by x=x_0+(b/d)t, y=y_0-(a/d)t,
For varying integers t.
Proof : To establish the second assertion of the theorem, let us suppose that a solution x_0,y_0 of the given equation is known. If x^',y^' is any other solution, then
ax_0+by_0=c=ax^'+by^',
Which is equivalent to
a(x^'-x_0 )=b(y_0-y^' ).
By the Corollary to Theorem 2.4, there exist relatively prime integers r and s such that a=dr,b=ds. Substituting these values into the last-written equation and cancelling the common factor d, we find that
r(x^'-x_0 )=s(y_0-y^' ).
The situation is now this: r | s(y_0-y^' ), with gcd (r,s)=1. Using Euclid’s Lemma, it must be the case that r |(y_0-y^' ); or, in other words,y_0-y^'=rt for some integer t. Substituting, We obtain
x^'-x_0=st.
This leads us to the formulas
x^'=x_0+st=x_0+(b⁄d)t,
y^'=y_0-rt=y_0-(a⁄d)t.
It is easy to see that these values satisfy the Diophantine equation, regardless of the choice of the integer t; for,
〖ax〗^'+〖by〗^'=a{x_0+(a⁄d)t}+b{y_0-(a⁄d)t}
=(〖ax〗_0+〖by〗_0 )+(ab⁄d-ab⁄d)t
=c+0 .t=c
Thus there are an infinite number of solutions of the given equation, one for each value of t.
Example 2.4
Consider the linear Diophantine equation
172x+20y=1000.
Applying Euclid’s Algorithm to the evaluation of gcd(172, 20), we find that
172=8∙20+12,
20=1∙12+8,
12=1∙8+4,
8=2∙4,

When gcd(172, 20) = 4. Since 4l1000, a solution to this equation exists. To obtain the integer 4 as a linear combination of 172 and 20, we work backwards through the above calculations, as follows:
4=12-8
=12-(20-12)
=2∙12-20
=2(172-8∙20)-20
=2∙172+(-17)20.
Upon multiplying this relation by 250, one arrives at
1000=250∙4=250{2∙172+(-17)20}
=500∙172+(-4250)20.
So that x=500 and y=-4250 provides one solution to the Diophantine equation in question. All other solution are expressed by
x=500+(20⁄4)t=500+5t,
y=-4250-(172⁄4)t=-4250-43t
for some integer t.
A little further effort produces the solutions in the positive integers, if any happen to exist. For this, t must be chosen so as to satisfy simultaneously the inequalities
5t+500>0, -43t-4250>0
Or, what amounts to the same thing,
-98 36/43>t>-100.
Since t must be an integer, we are forced to conclude that t=-99
Thus our Diophantine equation has a unique positive solution x=5 ,y=7 corresponding to the value t=-99
It might be helpful to record the form that Theorem 2.9 takes when the coefficients are relatively prime integers.
COROLLARY. Ifgcd⁡(a,b)=1 and if x_0,y_0 is a particular solution of the linear Diophantine equation ax+by=c, then all solutions are given by
x=x_0+bt,y=y_0-at
For integral values of t.
For example : The equation 5x+22y=18 has x_0=8,y_0=-1 as one solution; from the Corollary, a complete solution is given by x=8+22t,y=-1-5t for arbitrary t.
Diophantine equation frequently arise in the solving of certain types of traditional “word problems,” as evidenced by our

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบท 2.9 สมการ Diophantine เชิงเส้น ax + โดย = c มีปัญหา และเมื่อ d⁄c ที่ d = gcd (a, b) ถ้า x_0, y_0 เป็นวิธีเฉพาะของสมการนี้ แล้ววิธีแก้ไขปัญหาอื่น ๆ ได้ โดย x = x_0 + (b/d) t, y = y_0 - t (a/d) สำหรับ t เต็มที่แตกต่างกันหลักฐาน: สร้างการยืนยันหลักการที่สองของทฤษฎีบท เราสมมติว่า เป็นโซลูชั่น x_0, y_0 ของสมการที่กำหนดให้เป็นที่รู้จักกัน ถ้า x ^', y ^' เป็นวิธีอื่น แล้วax_0 + by_0 = c = ax ^'+ โดย ^',ซึ่งจะเท่ากับเป็น (x ^'-x_0) = b (y_0 y ^') โดย Corollary กับทฤษฎีบท 2.4 มีอยู่เต็มที่ค่อนข้างเฉพาะ r และ s ให้เป็น = dr, b = ds แทนค่าเหล่านี้ลงในสมการที่เขียนล่าสุด และยกเลิกดีปัจจัยทั่วไป เราพบว่าr (x ^'-x_0) = s (y_0 y ^') สถานการณ์ตอนนี้เป็นนี้: r | s (y_0 y ^'), กับ gcd (r, s) = 1 ใช้การจับมือของยุคลิด มันต้องเป็นกรณีที่ r | (y_0-y ^'); หรือ ในคำอื่น ๆ y_0 y ^'= rt ในต.บางจำนวนเต็มแทน เราได้รับx ^'-x_0 =เซนต์นี้นำเราไปสู่สูตรx ^'= x_0 + เซนต์ = x_0 + t (b⁄d)y ^'= y_0-rt = y_0 - t (a⁄d) มันเป็นเรื่องง่ายเพื่อดูว่า ค่าเหล่านี้ตรงกับสมการ Diophantine ไม่หลากหลายไม่เต็ม สำหรับ〖ax〗 ^'+ 〖by〗 ^'= เป็น { x_0 + t (a⁄d) } + b { y_0 - t (a⁄d) } =(〖ax〗_0+〖by〗_0) + t (ab⁄d-ab⁄d) = c + 0 .t = cจึง มีการจำกัดจำนวนของโซลูชั่นของสมการกำหนด หนึ่งสำหรับแต่ละค่าของ tตัวอย่าง 2.4 พิจารณาสมการ Diophantine เชิงเส้น172 x + 20y = 1000เราใช้อัลกอริทึมของยุคลิดประเมินของ gcd (172, 20), พบว่า172 = 8∙20 + 1220 = 1∙12 + 812 = 1∙8 + 48 = 2∙4 เมื่อ gcd (172, 20) = 4 ตั้งแต่ 4l 1000 การแก้ไขสมการนี้อยู่ รับจำนวนเต็ม 4 เป็นการรวมเชิงเส้นของ 172 และ 20 เราทำงานย้อนหลังผ่านการคำนวณข้างต้น ดังนี้:4 = 12-8=12-(20-12)= 2∙12-20= 2(172-8∙20)-20= 2∙172 + (-17) 20เมื่อคูณความสัมพันธ์นี้ โดย 250 หนึ่งมาถึงที่1000 = 250∙4 = 250 { 2∙172 + 20 (-17) } = 500∙172 + (-4250) 20ให้ x = 500 และ y =-4250 สมการ Diophantine ยู่หนึ่งแก้ไข แก้ไขปัญหาอื่น ๆ ทั้งหมดจะแสดงโดย x = 500 + (20⁄4) t = 500 + 5ty =-4250- (172⁄4) t = 4250 43tสำหรับบางเต็มไม่ เพิ่มเติมเล็กน้อย พยายามสร้างโซลูชันในจำนวนเต็มบวก หากมีเกิดขึ้นอยู่ สำหรับนี้ t ต้องเลือกเพื่อตอบสนองความความเหลื่อมล้ำทางการพร้อมกัน5t + 500 > 0, -43t-4250 > 0หรือ อะไรจำนวนถึงสิ่งเดียวกัน-98 36/43 > t > -100ไม่ต้องให้ เป็นจำนวนเต็ม เราถูกบังคับให้สรุปว่า t =-99 ดังนั้น สมการ Diophantine เรามีเฉพาะค่าบวก x = 5, y = 7 สอดคล้องกับค่า t =-99 มันจะเป็นการบันทึกแบบฟอร์มที่ใช้ทฤษฎีบท 2.9 เมื่อสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มที่พักค่อนข้าง ดีCOROLLARY Ifgcd (a, b) = 1 และถ้า แก้ปัญหาเฉพาะ ของขวานสมการ Diophantine เส้น + โดย x_0, y_0 = c แล้วโซลูชั่นทั้งหมดจะได้รับโดยx = x_0 + bt, y = y_0-ที่สำหรับเป็นค่าของ t ตัวอย่าง: 5 สมการ x + 22y = 18 มี x_0 = 8, y_0 =-1 เป็นโซลูชันหนึ่ง จาก Corollary ตอบถูกกำหนด โดย x = 8 + 22t, y =-1-5t สำหรับกำหนดไม่ สมการ Diophantine มักเกิดขึ้นในการแก้บางชนิดดั้งเดิม "คำปัญหา เป็นหลักฐานโดยเรา

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบท 2.9 สมการเชิงเส้น Diophantine ขวาน + โดย = c มีทางออกถ้าหาก d/c ที่ d = gcd⁡ (b) หาก x_0, y_0 เป็นวิธีการแก้ปัญหาใด ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งของสมการนี้แล้วทั้งหมดโซลูชั่นอื่น ๆ จะได้รับจาก x = x_0 + (b / d) เสื้อ, y = y_0- (a / d) ที
แตกต่างกันสำหรับจำนวนเต็ม t.
พิสูจน์: เพื่อสร้าง ยืนยันที่สองของทฤษฎีบทให้เราคิดว่าวิธีการแก้ปัญหา x_0, y_0 ของสมการให้เป็นที่รู้จัก ถ้า x ^ ', y ^' เป็นวิธีการแก้ปัญหาใด ๆ อื่น ๆ แล้ว
ax_0 + by_0 = c = ขวาน ^ '+ โดย ^'
ซึ่งเทียบเท่ากับ
(x ^ - x_0) = ข (y_0-Y ^)
โดยควันหลงทฤษฎีบท 2.4 มีอยู่ integers ความสำคัญ r และ s เช่นที่ดร = ข ds = แทนค่าเหล่านี้เป็นสมการที่ผ่านมาเขียนและยกเลิก d ปัจจัยร่วมกันเราจะพบว่า
อาร์ (x ^ - x_0) = s (y_0-Y ^ ').
สถานการณ์อยู่ในขณะนี้นี้: อา | s (y_0-Y ^ ') กับ GCD (R, s) = 1 ใช้ของ Euclid แทรกนั้นจะต้องเป็นกรณีที่ r | (y_0-Y ^ '); หรือในคำอื่น ๆ y_0-Y ^ '= RT สำหรับ t จำนวนเต็มบาง แทนเราได้รับ
x ^ -. x_0 = เซนต์
นี้ทำให้เราสูตร
x ^ '= x_0 + เซนต์ x_0 = + (b/d) T,
Y ^ '= y_0-RT = y_0- (a/d) เสื้อ .
มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าค่าเหล่านี้ตอบสนองความสม Diophantine โดยไม่คำนึงถึงทางเลือกของเสื้อจำนวนเต็ม; สำหรับ
〖ขวาน〗 ^ '+ 〖โดย〗 ^' = {x_0 + (a/d) t} + {ข y_0- (a/d) t}
= (ขวาน〖〗〖 _0 + โดย〗 _0) + (AB /d-ab/d า) t
= C + 0 = c .t
จึงมีจำนวนอนันต์ของการแก้ปัญหาของสมการได้รับหนึ่งสำหรับค่าของแต่ละที.
ตัวอย่าง 2.4
พิจารณาสมการเชิงเส้น Diophantine
172X + 20y = 1000.
การประยุกต์ใช้ อัลกอริทึมของยุคลิดในการประเมินผลของ GCD (172, 20) เราพบว่า
172 = 8 ∙ 20 + 12,
20 = 1 ∙ 12 + 8,
12 = 1 ∙ 8 + 4,
8 = 2 ∙ 4 เมื่อ GCD (172 20) = 4 ตั้งแต่ 4l1000, วิธีการแก้สมการนี้อยู่ ที่จะได้รับ 4 จำนวนเต็มเป็นเชิงเส้นของการรวมกัน 172 และ 20 เราทำงานหลังผ่านการคำนวณข้างต้นดังต่อไปนี้: 4 = 12-8 = 12 (20-12) = 2 ∙ 12-20 = 2 (172-8 ∙ 20) -20 = 2 ∙ 172 + (- 17) 20. เมื่อคูณ 250 โดยความสัมพันธ์นี้หนึ่งมาถึงที่1000 = 250 ∙ 4 = 250 {2 ∙ 172 + (- 17) 20} = 500 ∙ 172 + ( -4250) 20. เพื่อให้ x = 500 และ Y = -4250 ให้เป็นหนึ่งในวิธีการแก้สมการ Diophantine ในคำถาม ทั้งหมดวิธีการแก้ปัญหาอื่น ๆ จะแสดงโดยx = 500 + (20/4) t = 500 + 5t, Y = -4250- (172/4) t = -4250-43t สำหรับ t จำนวนเต็มบาง. ความพยายามต่อไปเล็ก ๆ น้อย ๆ การแก้ปัญหาการผลิตใน จำนวนเต็มบวกถ้ามีเกิดขึ้นอยู่ สำหรับเรื่องนี้ทีจะต้องเลือกเพื่อที่จะตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันพร้อมกัน+ 5t 500> 0 -43t-4250> 0 หรือปริมาณสิ่งที่สิ่งเดียวกัน-98 36/43> เสื้อ> -100. ตั้งแต่ทีจะต้องเป็น จำนวนเต็มเราถูกบังคับให้สรุปได้ว่า t = -99 ดังนั้นสม Diophantine ของเรามีวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกันในเชิงบวก x = 5, y = 7 ที่สอดคล้องกับค่าเสื้อ = -99 มันอาจจะเป็นประโยชน์ในการบันทึกแบบฟอร์มที่ใช้ทฤษฎีบท 2.9 เมื่อ ค่าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มความสำคัญ. พิสูจน์ Ifgcd⁡ (b) = 1 และถ้า x_0, y_0 เป็นโซลูชั่นที่เฉพาะของสมการเชิงเส้น Diophantine ขวาน + โดย = c แล้วการแก้ปัญหาทั้งหมดจะได้รับจากx = x_0 บาท +, y = y_0 ที่สำหรับค่าหนึ่งของ . เสื้อตัวอย่างเช่นสมการ 5x + 22y = 18 มี x_0 = 8 y_0 = -1 เป็นหนึ่งในวิธีการแก้ปัญหา; จากผลที่เป็นโซลูชั่นที่สมบูรณ์จะได้รับจาก x = 8 + 22T, y = -1-5t สำหรับ t พล. สม Diophantine มักเกิดขึ้นในการแก้ปัญหาของบางประเภทของแบบดั้งเดิม "ปัญหาคำ" เป็นหลักฐานของเรา

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีสมการไดโอแฟนไทน์ประมาณแบบเชิงเส้นขวานโดย = C มีวิธีแก้ปัญหาถ้าและเพียงถ้า D ⁄ C , D = LCD ⁡ ( A , B ) ถ้า x_0 y_0 , ใด ๆโซลูชั่นเฉพาะของสมการนี้ แล้วโซลูชั่นอื่น ๆทั้งหมดจะได้รับโดย X = x_0 ( A / D ) T , Y = y_0 - ( A / D ) T ,
.
หลักฐานสำหรับการจำนวนเต็ม : สร้างการยืนยันที่สองของทฤษฎี ให้เราสมมติว่า x_0 โซลูชั่น y_0 ของสมการ , ให้เป็นที่รู้จัก ถ้า X Y

'เป็นโซลูชันอื่นแล้ว
ax_0 by_0 = c = ax
'
'
ซึ่งเทียบเท่ากับ
( x
- x_0 ) = B ( y_0-y

' ) โดยผลเพื่อทฤษฎีบท 2.4 มีนายกรัฐมนตรีค่อนข้างจำนวนเต็ม R และ S ซึ่ง = ดร. B = DS แทนค่าเหล่านี้ในล่าสุดเขียนสมการและการยกเลิกที่พ้องกัน D , เราพบว่า R ( x
-
' x_0 ) = S ( y_0-y

' ) สถานการณ์ตอนนี้ : R | S ( y_0-y
' ) กับ LCD ( r ( , s ) = 1ใช้ของยุคลิดแทรก มันต้องเป็นกรณีที่ R | ( y_0-y
' ) ; หรือในคำอื่น ๆ y_0-y
' = RT สำหรับบางจำนวนเต็ม ต. แทน เราขอรับ
x
-
x_0 = เซนต์นี้นำเราไปสู่สูตร
x
' = x_0 ST = x_0 ( บี ⁄ D ) T ,
y
' = y_0-rt = y_0 - ( ⁄ D ) T .
มันเป็นเรื่องง่ายเพื่อดูว่าค่าเหล่านี้เป็นไปตามสมการไดโอแฟนไทน์ โดยไม่คำนึงถึงทางเลือกของจำนวนเต็ม t ; ,
〖ขวาน〗
' 〖โดย〗
' = { x_0 ( ⁄ D ) t } B { y_0 - ( ⁄ D ) t }
= ( 〖ขวาน〗 _0 〖โดย〗 _0 ) ( AB ⁄ d-ab ⁄ D ) T
T C = 0 = c
ดังนั้นจึงมีจำนวนของโซลูชั่นของสมการที่กำหนดหนึ่งสำหรับแต่ละค่าของ T .
ตัวอย่าง 2.4 พิจารณาสมการไดโอแฟนไทน์เส้น


สมัคร 172x 20y = 1000 อัลกอริทึมของยูคลิดกับการประเมินของ LCD ( 172 , 20 ) พบว่า
172 = 8 ∙ 20 12
20 = 1 ∙ 12 8
12 = 1 ∙ 8 4
8 = 2 ∙ 4

เมื่อ LCD ( ตอนที่ 20 ) = 4 ตั้งแต่ 4l1000 ,แก้สมการนี้มีอยู่ รับจำนวนเต็ม 4 เป็นการรวมกันเชิงเส้นของแล้ว 20 เราทำงานย้อนหลังผ่านการคำนวณข้างต้นดังนี้ :
4 = 12-8
= 12 - ( 20-12 )
= 2 ∙ 12-20
= 2 ( 172-8 ∙ 20 ) - 20
= 2 ∙ 172 ( - 17 ) 20 .
เมื่อ ทวีความสัมพันธ์นี้โดย 250 , หนึ่งมาถึง
1000 = 250 ∙ 4 = 250 { 2 ∙ 172 ( - 17 ) 20 }
= 500 ∙ 172 ( 4250 ) 20 .
ดังนั้น x = y = - 4 , 250 500 และมีหนึ่งในโซลูชั่นเพื่อสมการไดโอแฟนไทน์ในคำถาม ทั้งหมดโซลูชั่นอื่น ๆแสดงโดย
x = 500 ( 20 ⁄ 4 ) = 500 5T T , Y = -
4 , 250 - ( 172 ⁄ 4 ) T = - 4250-43t
.
สำหรับบางจำนวนเต็มเพิ่มเติมเล็กน้อย พยายามสร้างโซลูชั่นในจํานวนเต็มบวก ถ้าใด ๆ เกิดขึ้น คงอยู่ นี้ไม่ต้องเลือกเพื่อตอบสนองพร้อมกัน inequalities
5T 500 > 0 , - 43t-4250 > 0
หรือปริมาณสิ่งที่เหมือนกัน
- 98 36 / 43 > T
T - 100 เพราะต้องเป็นจํานวนเต็ม เราถูกบังคับให้สรุปได้ว่า t =
ดังนั้นสมการไดโอแฟนไทน์ - 99 ของเรามีเอกลักษณ์บวกโซลูชั่น x = 5 , y = 7 ซึ่งสอดคล้องกับค่า t = 99
มันอาจเป็นประโยชน์ในการบันทึกแบบฟอร์มที่ทฤษฎีบท 2.9 จะเมื่อสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มนายกรัฐมนตรีค่อนข้าง .
ควันหลง . ifgcd ⁡ ( a , b ) = 1 และถ้า x_0 ,y_0 เป็นโดยเฉพาะการแก้ปัญหาเชิงเส้นสมการไดโอแฟนไทน์ของขวานโดย = C แล้วโซลูชั่นทั้งหมดจะได้รับโดย
x = x_0 BT , Y = ค่าจำนวนเต็มของ y_0-at
.
ตัวอย่างเช่นสมการ 5x 22y = 18 มี x_0 = 8 , y_0 = - 1 เป็นหนึ่งในโซลูชั่น จากควันหลง , โซลูชั่นที่สมบูรณ์ให้ x = 8 22T , y = -
1-5t สำหรับข้อต.สมการไดโอแฟนไทน์บ่อยเกิดขึ้นในการแก้ปัญหาของบางประเภทของโจทย์ปัญหาแบบดั้งเดิม " , " เป็นหลักฐานโดยของเรา