Far East Journal of Mathematical Sc

Far East Journal of Mathematical Sciences (FJMS)
Volume 45, Number 1, 2010, Pages 69-80
This paper is available online at http://pphmj.com/journals/fjms.htm
© 2010 Pushpa Publishing House

: tion Classifica ject Sub s Mathematic 2010 46F10.

Keywords and phrases: diamond operator.
The first author is supported by the funding for research personnel, Sakon Nakhon Rajabhat
University.
*
Corresponding author
Received July 17, 2010
ON THE SOLUTION OF THE n-DIMENSIONAL OPERATOR
RELATED TO THE DIAMOND OPERATOR
SUDPRATHAI BUPASIRI
∗
and KAMSING NONLAOPON
Department of Mathematics
Sakhon Nakhon Rajabhat University
Sakhon Nakhon 47000, Thailand
e-mail: [e-mail]
Department of Mathematics
Khon Kaen 40002, Thailand
e-mail: [e-mail]
Abstract
In this paper, we consider the solution of the equation () = x u k
c ◊
∑ =
δ
m
r
r
c r C 0
, ◊ where
k
c ◊ is the operator related to the diamond operator
iterated k-times and is defined by
.
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
4
k
q p p p p
k
c
x x x x x x c


















∂
∂
+ +
∂
∂
+
∂
∂
−








∂
∂
+ +
∂
∂
+
∂
∂
=
+ + +
" " ◊
Now
n
x R ∈ is the n-dimensional Euclidean space, , n q p = +
r C is a
constant, δ is the Dirac-delta distribution and δ = δ 0
c ◊ and . ... , 2 , 1 , 0 = k SUDPRATHAI BUPASIRI and KAMSING NONLAOPON

70
It is found that the type of solution of this equation, such as the ordinary
function, the tempered distributions and the singular distributions depend
on the relationship between the values of k and m.
1. Introduction
Kananthai [4] showed that the solution of the convolution form () = x u
() () x R x R c k c k 2 1 , 2 , 2 ∗ is a unique elementary solution of the equation () x u k
c
k
c 2 1



, δ = where
k
c1

and
k
c2

are the operators which related to the ultra-hyperbolic
type operators iterated k-times and δ is the Dirac-delta distribution and in particular,
if 1 = = p k with t x = 1 (times), 1 c and 2 c are velocities, then ( )() x R x u c1 , 2 =
() x R c2 , 2 ∗ is the elementary solution of the elastic wave equation of fourth order.
Sritanratana and Kananthai [6] studied the product of the nonlinear diamond
operators related to the elastic wave and also introduced the ultra-hyperbolic
operator .
k
c
Consider the operator related to the ultra-hyperbolic operator iterated
k-times defined by
.
1
11
2
2
2
2
2
k
p
i
q p
p j
j i
k
c
x x c 







∂
∂
−
∂
∂
= ∑∑ =
+
+ =


Trione [8] showed that the generalized function ( ) x R k 1 , 2 defined by (2.2) is the
unique elementary solution of the operator , 1
k

that is, () , 1 , 2 1 δ = x R k
k

where
n
x R ∈ is the n-dimensional Euclidian space. Also, Tellez [7, pp. 147-149] proved
that () x R k 1 , 2 exists only if n is an odd with p odd and q even or only n is an even
with p odd and q odd. Moreover, Bupasiri and Nonlaopon [1] studied the weak
solution of compound equations related to the ultra-hyperbolic operators of the form
() ()
∑ =
=
m
r
r
c r x f x u C
0
.

Furthermore, we also know that the function ( ) x E defined by (2.4) is an
elementary solution of the operator related to the Laplace operator ON THE SOLUTION OF THE n-DIMENSIONAL OPERATOR …

71
,
1
11
2
2
2
2
2
k
p
i
q p
p j j i
k
c
x x c 







∂
∂
+
∂
∂
= ∆ ∑∑ =
+
+ =

that is, () , δ = ∆ x E c where .
n
x R ∈
Now, in this paper, the operator related to the diamond operator can be expressed
as the product of the operator c
and , c ∆ that is,
k
q p
p j j
p
i i
k
c
x x c










 



 



∂
∂
−








∂
∂
= ∑ ∑
+
+ = =
2
1
2
2
2
1
2
2
4
1
◊
k
p
i
q p
p j j i
k
p
i
q p
p j j i
x x c x x c 







∂
∂
+
∂
∂








∂
∂
−
∂
∂
= ∑∑ ∑∑ =
+
+ = =
+
+ = 11
2
2
2
2
2
11
2
2
2
2
2
1 1

.
k
c
k
c∆ =
(1.1)
Now we are finding the solution of the equation
()
∑ =
δ =
m
r
r
c r
k
c C x u
0
◊ ◊
or
()
∑ =
δ ∆ = ∆
m
r
k
c
k
c r
k
c
k
c C x u
0
.

(1.2)
In finding the solutions of (1.2), we use the method of convolutions of the generalize
functions. Before going to that point, the following definitions and some concepts
are the needs.
2. Preliminaries
Definition 2.1. Let () n x x x x ..., , , 2 1 = be a point of the n-dimensional space
,
n
R
() ,
2 2
2
2
1
2 2
2
2
1
2
q p p p p x x x x x x c V + + + − − − − + + + = " " (2.1)
where . n q p = + Then define {} 0 and 0 : 1 > > ∈ = Γ+ V x x
n
R which designates SUDPRATHAI BUPASIRI and KAMSING NONLAOPON

72
the interior of

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทิศตะวันออกวารสารวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ (FJMS) ปริมาณ 45 หมายเลข 1, 2010 หน้า 69-80 กระดาษนี้มีออนไลน์ที่ http://pphmj.com/journals/fjms.htm© 2010 ศปาประกาศบ้าน : ทางการค้า Classifica ject ย่อย s 46F10 Mathematic 2010 คำสำคัญและวลี: เพชรดำเนิน ผู้เขียนแรกสนับสนุนเงินทุนวิจัยบุคลากร ราชภัฏนครสกลนคร มหาวิทยาลัย *ผู้เขียนที่สอดคล้องกัน รับ 17 กรกฎาคม 2010 ในการแก้ปัญหาของผู้ประกอบการ n มิติ ที่เกี่ยวข้องกับผู้ประกอบการเพชร SUDPRATHAI BUPASIRI∗ และ NONLAOPON รถคำสิงห์ ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสมุทรสาคร สกลนคร 47000 ประเทศไทย อีเมล์: [e-mail] ภาควิชาคณิตศาสตร์ ขอนแก่น 40002 ประเทศไทย อีเมล์: [e-mail] บทคัดย่อ ในกระดาษนี้ เราพิจารณาการแก้ปัญหาของสมการ() = x u kc ◊ ∑ =Δมrrc r C 0◊ที่ kc ◊มีตัวดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับผู้ประกอบการเพชร ทวิภาควนซ้ำ k-ครั้ง และถูกกำหนดโดย .12222222122222222124kq p p p pkcx x x x x x c∂∂+ +∂∂+∂∂−∂∂+ +∂∂+∂∂=+ + +" " ◊ ตอนนี้ nx R ∈คือ พื้นที่แบบยุคลิด n มิติ p n q = + r C คือการ คง δคือ แจกดิแรกเดลตาและδ =δ 0c ◊ และ ..., 2, 1, 0 = k SUDPRATHAI BUPASIRI และ NONLAOPON รถคำสิงห์ 70 พบว่าชนิดของการแก้ปัญหาของสมการนี้ เช่นสามัญ ฟังก์ชัน การกระจายอารมณ์ และการกระจายเอกพจน์ขึ้น ความสัมพันธ์ระหว่างค่าของ k และ m 1. บทนำ Kananthai [4] พบว่าการแก้ปัญหาของการพัฒนาแบบฟอร์ม() = x u ()() x R x R c k c เบียน 2, 2, 2 ∗เป็นประถมวิธีเฉพาะของสมการ() x u kckc 2 1 Δ =ที่ไหน kc1 และ kc2 มีผู้ประกอบการที่เกี่ยวข้องกับไฮเพอร์โบลิที่เป็นพิเศษ ชนิดตัวดำเนินการทวิภาควนซ้ำ k-ครั้งและδเป็นการแจกดิแรกเดลตา และโดยเฉพาะ อย่างยิ่ง ถ้า 1 == k p กับ t x = 1 (เท่า), 1 c และ 2 c มีความเร็ว, ()() x R x u c1, 2 = () x R c2, 2 ∗เป็นการแก้ปัญหาระดับประถมของสมการคลื่นยืดหยุ่นสั่งสี่ Sritanratana และ Kananthai [6] ศึกษาผลิตภัณฑ์ของเพชรไม่เชิงเส้น ผู้ประกอบการที่เกี่ยวข้องกับคลื่นยืดหยุ่น และยัง แนะนำที่ไฮเพอร์โบลิเป็นพิเศษ ตัวดำเนินการkc พิจารณาผู้ประกอบการที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการพิเศษไฮเพอร์โบลิทวิภาควนซ้ำ k-เวลาที่กำหนดโดย .11122222kpผมq pp jเจผมkcx x c ∂∂−∂∂= ∑∑ =++ = Trione [8] พบว่า ()ฟังก์ชันทั่วไป x R k 1, 2 กำหนด (2.2) โดยเป็นการ เฉพาะประถมโซลูชันของผู้ประกอบการ 1k นั่นคือ, () 1, 2 1 δ = x R kk ที่ nx R ∈เป็นพื้นที่ระบบยุคลิด n มิติ ยัง Tellez [7 ภภ. 147-149] พิสูจน์ ที่() x R k 1, 2 อยู่ถ้า n เป็นคี่คี่ของ p และ q ได้ หรือ n เท่านั้น แม้ คี่ที่ p และ q คี่ นอกจากนี้ Bupasiri และ Nonlaopon [1] ศึกษาอ่อนแอ แก้สมการที่ซับซ้อนที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการพิเศษไฮเพอร์โบลิของแบบฟอร์ม () ()∑ ==มrrc r x f x u C0. นอกจากนี้ เรายังรู้ว่า()ฟังก์ชัน x E กำหนด โดย (2.4) เป็นการ ระดับประถมศึกษาการแก้ปัญหาของผู้ประกอบการที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการลาปลาส ON การแก้ปัญหาของผู้ประกอบการ n มิติ... 71 ,11122222kpผมq pp j j ฉันkcx x c ∂∂+∂∂= ∆ ∑∑ =++ = นั่นคือ, () δ =δ x E c ซึ่งnx R ∈ ตอนนี้ ในกระดาษนี้ ตัวดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับผู้ประกอบการเพชรสามารถแสดง เป็นผลิตภัณฑ์ของผู้ประกอบการ c และδ c คือ kq pp j jpฉันฉันkcx x c∂∂−∂∂= ∑ ∑++ = =2122212241◊ kpผมq pp j j ฉันkpผมq pp j j ฉันx x x c x c ∂∂+∂∂∂∂−∂∂= ∑∑ ∑∑ =++ = =++ = 112222211222221 1 .kckc∆ = (1.1) ตอนนี้ เรากำลังค้นหาการแก้ปัญหาของสมการ ()∑ =Δ =มrrc rkc C x u0◊ ◊ หรือ ()∑ =δ ∆ = ∆มrkckc rkckc C x u0. (1.2) ในการหาโซลูชั่นของ (1.2), เราใช้วิธีการของการ generalize convolutions ฟังก์ชัน ก่อนที่จะไปจุดนั้น คำนิยามต่อไปนี้ และแนวคิดบาง มีความต้องการ 2. ขั้น นิยาม 2.1 ให้() n x x x x...,,, 2 1 =จุดพื้นที่ n มิติ ,nR () ,2 22212 22212q p p p p x x x x x x c V +++ −−−− +++ = "" (2.1) ที่ไหน p n q = + แล้ว กำหนด{} 0 และ 0:1 >> ∈ =Γ + V x xnR ซึ่งกำหนด SUDPRATHAI BUPASIRI และ NONLAOPON รถคำสิงห์ 72 ภายในของ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ฟาร์อีสท์วารสารวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ (FJMS)
ปริมาณ 45 จำนวน 1, 2010, หน้า 69-80
กระดาษนี้มีอยู่ที่ http://pphmj.com/journals/fjms.htm
© 2010 Pushpa สำนักพิมพ์

: การ Classifica Ject ต s คณิตศาสตร์ 2010 46F10.

คำและวลี. ผู้ประกอบการเพชร
ผู้เขียนคนแรกที่ได้รับการสนับสนุนโดยการระดมทุนสำหรับบุคลากรวิจัยราชภัฏสกลนคร
มหาวิทยาลัย.
*
ผู้รับผิดชอบ
ที่ได้รับ 17 กรกฎาคม 2010
ในการแก้ปัญหาของผู้ประกอบการ n-มิติ
ที่เกี่ยวข้องกับเพชร OPERATOR
SUDPRATHAI BUPASIRI
*
และ Kamsing NONLAOPON
ภาควิชาคณิตศาสตร์
สกลนครมหาวิทยาลัยราชภัฏ
สกลนคร 47000, Thailand
E-mail: [e-mail]
ภาควิชาคณิตศาสตร์
ขอนแก่น 40002, Thailand
E-mail: [e-mail]
บทคัดย่อ
ในการนี้ กระดาษเราจะพิจารณาวิธีการแก้ปัญหาของสมการ () = xuk
C ◊
Σ =
δ
M
R
R
C R C 0
, ◊ที่
K
C ◊เป็นผู้ประกอบการที่เกี่ยวข้องกับเพชรประกอบการ
ซ้ำ K-ครั้งและถูกกำหนดโดย
.
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
4
K
Q pppp
K
C
x xxxxxc


















∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
-








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+ + +
"" ◊
ตอนนี้
n
x R ∈เป็น n มิติพื้นที่ Euclidean, nqp = +
R C คือ
คงที่δ คือการกระจายแรคเดลต้าและδδ = 0
C และ◊ ... , 2, 1, 0 = K SUDPRATHAI BUPASIRI และ Kamsing NONLAOPON

70
นอกจากนี้ยังพบว่าประเภทของการแก้ปัญหาของสมการนี้เช่นสามัญของ
ฟังก์ชั่นการกระจายอารมณ์และการกระจายเอกพจน์ขึ้นอยู่
กับความสัมพันธ์ระหว่างค่าของ k และม.
1 บทนำ
Kananthai [4] แสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาของแบบฟอร์มการบิดที่ () = เสี่ยว
() () x R x R ckck 2 1, 2, 2 * เป็นโซลูชั่นประถมศึกษาที่ไม่ซ้ำกันของสมการ () xuk
C
k
C 2 1



, δ = ที่
K
C1

และ
K
C2

มีผู้ประกอบการที่เกี่ยวข้องกับอัลตร้าเกินความจริง
ผู้ประกอบการประเภทซ้ำ K-ครั้งและδคือการกระจายแรคเดลต้าและโดยเฉพาะอย่างยิ่ง
ถ้า 1 = = PK กับ TX = 1 (ครั้ง) 1 C 2 และ C มีความเร็วแล้ว () () x R Xu C1, 2 =
() x R C2, 2 * เป็นวิธีการแก้ปัญหาเบื้องต้นของสมการคลื่นยืดหยุ่นของการสั่งซื้อที่สี่.
Sritanratana และ Kananthai [6] ศึกษาผลิตภัณฑ์ของ เพชรไม่เชิงเส้น
ผู้ประกอบการที่เกี่ยวข้องกับคลื่นยืดหยุ่นและยังแนะนำพิเศษผ่อนชำระ
ประกอบการ.
k
c
พิจารณาผู้ประกอบการที่เกี่ยวข้องกับการพิเศษผ่อนชำระประกอบการซ้ำ
K-เวลาที่กำหนดโดย
.
1
11
2
2
2
2
2
K
P
ผม
Q P
P J
J ฉัน
k
C
x XC 







∂
∂
-
∂
∂
= ΣΣ =
+
= +


Trione [8] แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นทั่วไป () x R K 1, 2 กำหนดโดย (2.2) เป็น
ระดับประถมศึกษาที่ไม่ซ้ำกัน วิธีการแก้ปัญหาของผู้ประกอบการ 1
K

นั่นคือ (), 1, 2 1 δ = x K R
k

ที่
n
x ∈ R เป็น n มิติพื้นที่ Euclidian นอกจากนี้ Tellez [7, PP. 147-149] ได้รับการพิสูจน์
ว่า () x R K 1, 2 มีอยู่เฉพาะถ้า n เป็นคี่กับ P แปลกและ Q หรือแม้กระทั่งเพียง n คือแม้
กับ P Q แปลกและแปลก นอกจากนี้ Bupasiri และ Nonlaopon [1] การศึกษาที่อ่อนแอ
แก้ปัญหาของสมสารประกอบที่เกี่ยวข้องกับผู้ประกอบการอัลตร้าเกินความจริงของรูปแบบ
() ()
Σ =
=
M
R
R
C rxfxu C
0
.

นอกจากนี้เรายังไม่ทราบว่าฟังก์ชั่น () x E กำหนดโดย (2.4) เป็น
วิธีการแก้ปัญหาเบื้องต้นของผู้ประกอบการที่เกี่ยวข้องกับการประกอบการเลซในการแก้ปัญหาของผู้ประกอบการ n-มิติ ... ความ

71
,
1
11
2
2
2
2
2
K
P
ผม
Q P
P jji
K
C
x XC 







∂
∂
+
∂
∂
= ΔΣΣ =
+
= +

ว่ามี () δ = Δ x E C ที่.
n
x ∈ R
ตอนนี้ในบทความนี้ผู้ประกอบการที่เกี่ยวข้องกับการประกอบการเพชร สามารถแสดง
เป็นผลิตภัณฑ์ของผู้ประกอบการที่ C
และ C Δนั่นคือ
K
Q P
P JJ
P
I I
k
C
x XC


















∂
∂
-








∂
∂
= ΣΣ
+
+ = =
2
1
2
2
2
1
2
2
4
1
◊
K
P
ผม
Q P
P jji
K
P
ผม
Q P
P jji
xxcxxc 







∂
∂
+
∂
∂








∂
∂
-
∂
∂
= ΣΣΣΣ =
+
= + =
+
= + 11
2
2
2
2
2
11
2
2
2
2
2
1 1

.
K
C
K
cΔ =
(1.1)
ตอนนี้เรากำลังมองหาวิธีการแก้ปัญหาของสมการ
()
Σ =
δ =
M
R
R
C R
K
C C Xu
0
◊◊
หรือ
()
Σ =
δδ = δ
M
R
K
C
k
C R
K
C
k
C C Xu
0
.

(1.2)
ในการหาโซลูชั่นของ (1.2) เราใช้วิธีการพูดคุยของ convolutions ที่
ฟังก์ชั่น ก่อนที่จะไปยังจุดที่ต่อไปนี้คำจำกัดความและแนวคิดบางส่วน
มีความต้องการ.
2 รอบคัดเลือกโซน
นิยาม 2.1 ให้ () nxxxx ... ,, 2 1 = เป็นจุดของพื้นที่ n มิติที่
,
n
R
()
2 2
2
2
1
2 2
2
2
1
2
Q ppppxxxxxxc V + + + - - - - + + = "" (2.1)
ที่ nqp + = ระบุ {} 0 คนและ 0: 1>> = ∈Γ + V xx
n
R ซึ่งกำหนด SUDPRATHAI BUPASIRI และ Kamsing NONLAOPON

72
การตกแต่งภายในของ