To attack the P = NP question the c

To attack the P = NP question the concept of NP-completeness is very useful. NP-complete problems are a set of problems to each of which any other NP-problem can be reduced in polynomial time, and whose solution may still be verified in polynomial time. That is, any NP problem can be transformed into any of the NP-complete problems. Informally, an NP-complete problem is an NP problem that is at least as "tough" as any other problem in NP.

NP-hard problems are those at least as hard as NP problems, i.e., all NP problems can be reduced (in polynomial time) to them. NP-hard problems need not be in NP, i.e., they need not have solutions verifiable in polynomial time.

For instance, the boolean satisfiability problem is NP-complete by the Cook–Levin theorem, so any instance of any problem in NP can be transformed mechanically into an instance of the boolean satisfiability problem in polynomial time. The boolean satisfiability problem is one of many such NP-complete problems. If any NP-complete problem is in P, then it would follow that P = NP. Unfortunately, many important problems have been shown to be NP-complete, and not a single fast algorithm for any of them is known.

Based on the definition alone it is not obvious that NP-complete problems exist. A trivial and contrived NP-complete problem can be formulated as: given a description of a Turing machine M guaranteed to halt in polynomial time, does there exist a polynomial-size input that M will accept?[8] It is in NP because (given an input) it is simple to check whether M accepts the input by simulating M; it is NP-complete because the verifier for any particular instance of a problem in NP can be encoded as a polynomial-time machine M that takes the solution to be verified as input. Then the question of whether the instance is a yes or no instance is determined by whether a valid input exists.

The first natural problem proven to be NP-complete was the boolean satisfiability problem. As noted above, this is the Cook–Levin theorem; its proof that satisfiability is NP-complete contains technical details about Turing machines as they relate to the definition of NP. However, after this problem was proved to be NP-complete, proof by reduction provided a simpler way to show that many other problems are also NP-complete, including the subset-sum problem discussed earlier. Thus, a vast class of seemingly unrelated problems are all reducible to one another, and are in a sense "the same problem".

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

โจมตี P = NP ถามแนวคิดของ NP-สมบูรณ์เป็นประโยชน์อย่างมาก ปัญหาทำ NP มีชุดของปัญหาแต่ละ ที่อื่น ๆ NP-ปัญหาจะลดลงในเวลาโพลิโนเมีย และโซลูชันอาจยังสามารถตรวจสอบในเวลาพหุนาม นั่นคือ NP ปัญหาใด ๆ สามารถเปลี่ยนเป็นมีปัญหาทำ NP บาง ปัญหาการทำ NP เป็นปัญหาการ NP ที่น้อยเป็น "ยาก" เป็นปัญหาอื่น ๆ ใน NPNP-ปัญหายากที่น้อยเป็นเป็นปัญหา NP เช่น NP ปัญหาทั้งหมดสามารถลดลง (ในเวลาโพลิโนเมีย) ไปได้ NP-ปัญหาต้องไม่อยู่ในเอ็นพี เช่น ไม่จำเป็นต้องมีวิธีพิสูจน์ได้ในเวลาพหุนามตัวอย่าง ปัญหาบูลได้ทำ NP โดยทฤษฎีบทคุก – Levin ให้อินสแตนซ์ใด ๆ ของปัญหาใน NP สามารถจะเปลี่ยนกลไกเป็นอินสแตนซ์ของปัญหาบูลในเวลาพหุนาม ปัญหาบูลเป็นหนึ่งในปัญหาดังกล่าวทำ NP ถ้าปัญหาทำ NP เป็น P แล้วมันจะทำตามที่ P = NP อับ ปัญหาสำคัญหลายอย่างได้รับการแสดงให้ สมบูรณ์ NP และเป็นที่รู้จักไม่เดียวรวดเร็วอัลกอริทึมใด ๆ ของพวกเขาตามนิยามเพียงอย่างเดียวที่ไม่ชัดเจนว่า ปัญหาทำ NP อยู่ เล็กน้อย และชื่นชมทำ NP ปัญหาสามารถจะถูกกำหนดเป็น: กำหนดรายละเอียดของเครื่องจักรทัวริง M รับประกันหยุดในเวลาพหุนาม มีอยู่ป้อนขนาดของพหุนามที่ M จะยอมรับหรือไม่[8] มี NP เนื่องจาก (ให้อินพุต) จึงง่ายต่อการตรวจสอบว่า M ยอมรับอินพุต โดยจำลอง M ได้ทำ NP เนื่องจาก verifier สำหรับอินสแตนซ์ใด ๆ เฉพาะปัญหาใน NP สามารถถูกเข้ารหัสเป็นพหุนามเวลาเครื่อง M ที่ใช้โซลูชันที่จะตรวจสอบเป็นข้อมูลป้อนเข้า แล้ว คำถามที่ว่าอินสแตนซ์ที่มีอินสแตนซ์ที่ใช่หรือไม่จะถูกกำหนด โดยป้อนข้อมูลที่ถูกต้องอยู่ที่ว่าปัญหาธรรมชาติแรกพิสูจน์ให้ ทำ NP ถูกปัญหาบูล ตามที่กล่าวข้างต้น เป็นทฤษฎีบทคุก – Levin หลักฐานของ satisfiability ว่าทำ NP ประกอบด้วยรายละเอียดทางเทคนิคเกี่ยวกับเครื่องจักรทัวริงเกี่ยวข้องกับข้อกำหนดของ NP อย่างไรก็ตาม หลังจากปัญหานี้ถูกพิสูจน์ให้ NP-สมบูรณ์ พิสูจน์ โดยลดให้แบบเรียบง่ายเพื่อแสดงปัญหาอื่น ๆ อีกมากมายยัง NP สมบูรณ์ รวมทั้งปัญหาผลรวมย่อยกล่าวถึงก่อนหน้านี้ ดังนั้น ชั้นมากมายปัญหาที่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้อง reducible ทั้งหมดหนึ่ง และในความรู้สึก "ปัญหาเดียวกัน"

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การโจมตี P = คำถาม NP แนวคิดของ NP-ครบถ้วนเป็นประโยชน์อย่างมาก ปัญหา NP-สมบูรณ์เป็นชุดของปัญหาซึ่งแต่ละอื่น ๆ NP-ปัญหาสามารถลดลงได้ในเวลาพหุนามและมีวิธีการแก้ปัญหาอาจจะยังคงได้รับการยืนยันในเวลาพหุนาม นั่นคือปัญหาใด ๆ NP สามารถเปลี่ยนเป็นใด ๆ ของปัญหา NP-สมบูรณ์ ทางการปัญหา NP-สมบูรณ์เป็นปัญหา NP ที่มีอย่างน้อยขณะที่ "ยาก" เป็นปัญหาอื่น ๆ ใน NP. ปัญหา NP-ยากเป็นคนอย่างน้อยเป็นหนักเป็นปัญหา NP คือปัญหา NP สามารถลดลงได้ (ใน เวลาพหุนาม) กับพวกเขา ปัญหา NP-ยากไม่จำเป็นต้องอยู่ใน NP คือพวกเขาไม่จำเป็นต้องมีการแก้ปัญหาการตรวจสอบในเวลาพหุนาม. ยกตัวอย่างเช่นปัญหาความสอดคล้องแบบบูลเป็น NP-สมบูรณ์โดยทฤษฎีบทคุกเลวินดังนั้นอินสแตนซ์ของปัญหาใน NP ใด ๆ สามารถ เปลี่ยนกลเป็นตัวอย่างของปัญหาความสอดคล้องแบบบูลในเวลาพหุนาม ปัญหาความสอดคล้องแบบบูลเป็นหนึ่งในหลายปัญหาเช่น NP-สมบูรณ์ ถ้ามีปัญหา NP-สมบูรณ์อยู่ใน P, แล้วมันจะเป็นไปตามที่ P = NP แต่น่าเสียดายที่ปัญหาที่สำคัญจำนวนมากได้รับการแสดงที่จะ NP-สมบูรณ์และไม่ได้เป็นอัลกอริทึมที่รวดเร็วเดียวสำหรับการใด ๆ ของพวกเขาเป็นที่รู้จักกัน. อยู่บนพื้นฐานของความหมายเพียงอย่างเดียวก็ไม่ได้เป็นที่เห็นได้ชัดว่าปัญหา NP-สมบูรณ์อยู่ เล็ก ๆ น้อย ๆ และ contrived ปัญหา NP-สมบูรณ์สามารถนำสูตร: ให้รายละเอียดของเครื่องทัวริง M รับประกันว่าจะหยุดในเวลาพหุนามไม่มีอยู่การป้อนข้อมูลพหุนามไซส์ M ที่จะยอมรับได้ [8] มันอยู่ใน NP เพราะ (? ได้รับการป้อนข้อมูล) มันเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่า M รับข้อมูลโดยการจำลอง M; มันเป็น NP-สมบูรณ์เพราะตรวจสอบเช่นในด้านของปัญหาใน NP สามารถเข้ารหัสเป็นเครื่องพหุนามเวลา-M ที่จะใช้วิธีการแก้ปัญหาที่จะตรวจสอบว่าการป้อนข้อมูล แล้วคำถามที่ว่าเช่นเป็นใช่หรือไม่เช่นจะถูกกำหนดโดยไม่ว่าจะเป็นการป้อนข้อมูลที่ถูกต้องที่มีอยู่. ปัญหาธรรมชาติครั้งแรกที่พิสูจน์แล้วว่าเป็น NP-สมบูรณ์เป็นปัญหาความสอดคล้องแบบบูล ดังที่ระบุไว้ข้างต้นนี้เป็นทฤษฎีบทคุกเลวิน; หลักฐานที่เป็น satisfiability NP-สมบูรณ์มีรายละเอียดทางเทคนิคเกี่ยวกับเครื่องทัวริงที่เกี่ยวข้องกับความหมายของ NP อย่างไรก็ตามหลังจากที่ปัญหานี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็น NP-สมบูรณ์หลักฐานจากการลดลงให้เป็นวิธีที่ง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าปัญหาอื่น ๆ อีกมากมายนอกจากนี้ยังมีรุ่น NP-ที่สมบูรณ์รวมทั้งปัญหาย่อย-ผลรวมที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ ดังนั้นระดับใหญ่ของปัญหาที่ไม่เกี่ยวข้องดูเหมือนมีทั้งหมดออกซิเจนอีกคนหนึ่งและอยู่ในความรู้สึก "ปัญหาเดียวกัน"

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

โจมตี P = NP ถามแนวคิดของ NP สมบูรณ์เป็นประโยชน์มาก ปัญหา NP สมบูรณ์ชุดของปัญหาอื่น ๆซึ่งแต่ละปัญหา NP สามารถลดลงได้ในเวลาพหุนาม ซึ่งโซลูชั่นที่อาจยังคงถูกตรวจสอบในพหุนามเวลา คือว่ามีปัญหา NP สามารถแปลงใด ๆของปัญหา NP สมบูรณ์ . แบบเป็นกันเองเป็นปัญหาเอ็นพีสมบูรณ์เป็นปัญหา NP คืออย่างน้อยเป็น " เหนียว " เป็นปัญหาอื่นใดใน NP

NP ยากปัญหาเหล่านั้น อย่างน้อยเท่าที่ปัญหา NP คือปัญหา NP จะลดลง ( ในเวลาพหุนาม ) เหล่านั้น คือ ปัญหาหนัก ไม่ต้องใน NP คือพวกเขาไม่ต้องมีการแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม

สำหรับอินสแตนซ์ปัญหาความสอดคล้องแบบบูลเป็น NP สมบูรณ์โดยแม่ครัว–เลวินทฤษฎีบท ดังนั้นในกรณีของปัญหาใด ๆใน NP สามารถเปลี่ยนกลไกในอินสแตนซ์ของปัญหาความสอดคล้องแบบบูลีนในเวลา ปัญหาความสอดคล้องแบบบูลเป็นอีกมาก เช่น ปัญหา NP สมบูรณ์ . ถ้ามีปัญหา NP สมบูรณ์อยู่ที่ P แล้วจะติดตามว่า P = NP ขออภัยปัญหาที่สำคัญมากที่ได้แสดงเป็น NP สมบูรณ์ และไม่มีวิธีที่รวดเร็วสำหรับการใด ๆของพวกเขาเป็นที่รู้จักกัน

ตามคำนิยามอย่างเดียวมันไม่ได้ชัดเจนว่าปัญหา NP สมบูรณ์อยู่ เล็กน้อยและ contrived ปัญหา NP สมบูรณ์สามารถกำหนดเป็น : ได้รับรายละเอียดของเครื่องจักรทัวริง m รับประกันที่จะหยุดในพหุนามเวลาไม่มีอยู่ใส่ขนาดพหุนามที่ M จะยอมรับหรือไม่ [ 8 ] มันอยู่ใน NP เพราะ ( ให้ข้อมูล ) มันเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่า M รับป้อนข้อมูลจำลอง M ; มันเป็น NP สมบูรณ์เพราะตรวจสอบสำหรับอินสแตนซ์ โดยเฉพาะปัญหาใน NP สามารถเข้ารหัสเป็นพหุนามเวลาเครื่อง M ที่ใช้โซลูชั่นที่สามารถตรวจสอบได้ เช่น การป้อนข้อมูลแล้วถามว่า ตัวอย่างคือ ใช่ หรือ ไม่ใช่ เช่น พิจารณาว่าข้อมูลถูกต้องมีอยู่

แรกธรรมชาติปัญหา NP สมบูรณ์พิสูจน์ให้เป็นบูลีนความสอดคล้องปัญหา ตามที่ระบุไว้ข้างต้นนี้เป็นแม่ครัว–เลวินทฤษฎีบทพิสูจน์ความสอดคล้องเป็น NP ; ความสมบูรณ์ มีรายละเอียดทางเทคนิคเกี่ยวกับเครื่องจักรทัวริงเช่นที่พวกเขาเกี่ยวข้องกับนิยามของ NP อย่างไรก็ตามหลังจากที่เกิดปัญหานี้ได้พิสูจน์แล้วว่าเป็น NP สมบูรณ์ พิสูจน์โดยการลดให้วิธีที่ง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่า ปัญหาอื่น ๆอีกมากมายยัง NP สมบูรณ์ รวมถึงย่อยสรุปปัญหาที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ ดังนั้น ระดับใหญ่ของปัญหาจึงอาจจะลดไปอีกแบบหนึ่ง และในความรู้สึก " ปัญหา " เดียวกัน