ELAA. HORN’S RESULT ON MATRICES WIT

ELA
A. HORN’S RESULT ON MATRICES WITH PRESCRIBED
SINGULAR VALUES AND EIGENVALUES∗
TIN-YAU TAM†
Abstract. We give a new proof of a classical result of A. Horn on the existence of a matrix with
prescribed singular values and eigenvalues.
Key words. Eigenvalues, singular values.
AMS subject classifications. 15A45, 15A18.
Let A ∈ Cn×n and let λ1, . . . , λn be the eigenvalues of A arranged in the order
|λ1| ≥ · · · ≥ |λn|. The singular values of A are the nonnegative square roots of the
eigenvalues of the positive semi-definite matrix A∗A and are denoted by s1 ≥ · · · ≥ sn.
Weyl’s inequalities [7] provide a very nice relation between the eigenvalues and singular
values of A:
Y
k
j=1
|λj | ≤ Y
k
j=1
(1.1) sj , k = 1, . . . , n − 1,
Yn
j=1
|λj | =
Yn
j=1
(1.2) sj .
The equality follows from two ways of expressing the absolute value of the determinant
of A. A. Horn [2] established the converse of Weyl’s result.
Theorem 1.1. (A. Horn) If |λ1| ≥ · · · ≥ |λn| and s1 ≥ · · · ≥ sn satisfy (1.1)
and (1.2), then there exists A ∈ Cn×n such that λ1, . . . , λn are the eigenvalues and
s1, . . . , sn are the singular values of A.
Horn’s original proof is divided into two cases: (i) sn 6= 0 (the nonsingular case)
and (ii) sn = 0 (the singular case. There is a typo: Cm,m+1 = γ and Ci,i+1 = αi
should be Cm+1,m = γ and Ci+1,i = αi on [2, p.6]). In this note we provide a new
proof of Horn’s result. Our proof differs from Horn’s proof in two ways that (i) our
proof is divided into two cases according to λ1 = 0 and λ1 6= 0, and (ii) our induction
technique is different. It is very much like Chan and Li’s technique [1] (the same
∗Received by the editors on June 10, 2009. Accepted for publication on July 31, 2010. Handling
Editors: Roger A. Horn and Fuzhen Zhang.
†Department of Mathematics and Statistics, Auburn University, AL 36849–5310, USA
([e-mail]).
25
Electronic Journal of Linear Algebra ISSN 1081-3810
A publication of the International Linear Algebra Society
Volume 21, pp. 25-27, October 2010
http://math.technion.ac.il/iic/ela

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ELAอ.ผลฮอร์นในเมทริกซ์มีกำหนดค่าเอกพจน์และ EIGENVALUES∗ดีบุกเยา TAM†บทคัดย่อ เราให้หลักฐานใหม่ผลคลาสสิกของ A. ฮอร์นในการดำรงอยู่ของเมทริกซ์กับกำหนดค่าเอกพจน์และเวกเตอร์คำสำคัญ เวกเตอร์ ค่าเอกพจน์การจัดประเภทเรื่อง AMS 15A45, 15A18ให้∈ Cn × n และ λ1,..., λn ให้เป็นเวกเตอร์ของ A|Λ1| ≥ · · · ≥ |λn| ค่าของ A เอกพจน์มีราก nonnegative ของการเวกเตอร์การบวกเมทริกซ์กึ่งแน่นอน A∗A และจะสามารถบุจาก s1 ≥··· ≥ snความเหลื่อมล้ำทางของ Weyl [7] ให้ความสัมพันธ์ที่ดีระหว่างเวกเตอร์และเอกพจน์ค่าของ a:Ykj = 1|Λj | ≤ Ykj = 1(1.1) sj, k = 1,..., n − 1Ynj = 1|Λj | =Ynj = 1(1.2) sjความเสมอภาคต่อจากสองวิธีในการแสดงค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ของ อ.ฮอร์น [2] ก่อตั้งขึ้นตรงกันข้ามผลของ Weylทฤษฎีบทที่ 1.1 (A. ฮอร์น) ถ้า |λ1| ≥ · · · ≥ |λn| และ s1 ≥··· ≥ sn ตาม (1.1)(1.2), แล้วมี∈ Cn × n เช่นที่ λ1,..., λn เป็นแบบเวกเตอร์ และs1,..., sn มีค่าเอกพจน์ของอ.แบ่งออกเป็นสองกรณีหลักฐานต้นฉบับของฮอร์น: (i) sn 6 = 0 (กรณี nonsingular)(ii) และ sn = 0 (กรณีเอกพจน์ มีการพิมพ์ผิด: ซม. m + 1 =γ และ Ci ฉัน + 1 = αiควร Cm + 1, m =γ และ Ci + 1 ฉัน = αi บน [2, p.6]) ในบันทึกนี้ เราให้ใหม่หลักฐานผลของฮอร์น หลักฐานของเราแตกต่างจากหลักฐานของฮอร์นในสองวิธีที่ (i) ของเราหลักฐานแบ่งออกเป็นสองกรณีตาม λ1 = 0 และ λ1 6 = 0 และ (ii) การเหนี่ยวนำของเราเทคนิคแตกต่างกันได้ มันเป็นอย่างมากเช่นเทคนิคของ Li และจันทร์ [1] กัน∗Received โดยบรรณาธิการที่ 10 มิถุนายน 2009 ยอมรับตีพิมพ์เมื่อ 31 กรกฎาคม 2010 การจัดการบรรณาธิการ: Roger A. ฮอร์นและเตียว Fuzhen†Department คณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยออเบิร์น อัล 36849-5310 สหรัฐอเมริกา([e-mail])25สมุดอิเล็กทรอนิกส์ของพีชคณิตเชิงเส้นนอก 1081-3810 ประกาศของสมาคมนานาชาติพีชคณิตเชิงเส้นเล่ม 21 นำ 25-27, 2010 ตุลาคมhttp://math.technion.ac.il/iic/ela

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ELA
เอ ผลฮอร์นที่มีต่อการฝึกอบรมที่มีกำหนดค่าเอกพจน์และค่าลักษณะเฉพาะ * TIN-Yau TAM †บทคัดย่อ เราจะให้หลักฐานใหม่ของผลที่คลาสสิกของกฮอร์นในการดำรงอยู่ของเมทริกซ์ที่มีค่าเอกพจน์และกำหนดค่าลักษณะเฉพาะ. คำสำคัญ ค่าลักษณะเฉพาะค่าเอกพจน์. AMS เรื่องการจำแนกประเภท 15A45, 15A18. ให้ A ∈ Cn × n และให้λ1, . . , λnเป็นลักษณะเฉพาะของการจัดลำดับ| λ1 | ≥···≥ | λn | ค่าเอกพจน์ของเป็นรากที่สองไม่เป็นลบของค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์กึ่งแน่นอนบวก A * A และจะแสดงด้วย≥ s1 ···≥ SN. ความไม่เท่าเทียมกันของ Weyl [7] ให้ความสัมพันธ์ที่ดีมากระหว่างค่าลักษณะเฉพาะและเอกพจน์ค่าของ A: Y k เจ = 1 | λj | Y ≤ k เจ = 1 (1.1) SJ, k = 1 . . , n - 1, Yn เจ = 1 | λj | = Yn เจ = 1 (1.2) SJ. เท่าเทียมกันต่อจากสองวิธีในการแสดงความค่าสัมบูรณ์ของปัจจัยของ AA ฮอร์น [2] จัดตั้งสนทนาผลไวล์ของ. ทฤษฎีบท 1.1 (กฮอร์น) ถ้า | λ1 | ≥···≥ | λn | และ s1 ≥···≥ SN ตอบสนอง (1.1) และ (1.2) จากนั้นมีอยู่∈ Cn × n ดังกล่าวที่λ1, . . , λnเป็นค่าลักษณะเฉพาะและs1, . . , SN เป็นค่าเอกพจน์เอหลักฐานเดิมฮอร์นจะแบ่งออกเป็นสองกรณี(i) SN 6 = 0 (กรณี nonsingular). และ (ii) SN = 0 (กรณีเอกพจน์มีพิมพ์ผิดคือ Cm, ม. 1 = γและ Ci, i + 1 = αiควรจะซม+ 1, m = γและ Ci + 1, i = αiบน [2, p.6]) ในบันทึกนี้เรามีให้ใหม่พิสูจน์ผลของฮอร์น หลักฐานของเราแตกต่างจากหลักฐานของฮอร์นในสองวิธีที่ (i) ของเราหลักฐานแบ่งออกเป็นสองกรณีตามλ1 = 0 และλ1 6 = 0 และ (ii) การเหนี่ยวนำของเราเทคนิคที่แตกต่างกัน มันเป็นอย่างมากเช่นหลงและเทคนิคของหลี่ [1] (เหมือนกันที่ได้รับจากบรรณาธิการ* เมื่อวันที่ 10 มิถุนายน 2009 ได้รับการยอมรับให้ตีพิมพ์ในวันที่ 31 กรกฎาคม 2010 การจัดการบรรณาธิการ:. โรเจอร์เอฮอร์นและจาง Fuzhen †ภาควิชาคณิตศาสตร์ และสถิติมหาวิทยาลัย Auburn AL 36849-5310, สหรัฐอเมริกา([e-mail]). 25 วารสารอิเล็กทรอนิกส์ของพีชคณิตเชิงเส้น ISSN 1081-3810 สิ่งพิมพ์ของสมาคมพีชคณิตเชิงเส้นนานาชาติเล่ม 21 หน้า. วันที่ 25-27 ตุลาคม 2010 ที่ http : //math.technion.ac.il/iic/ela

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ก็เธอ
. ฮอร์นในเมทริกซ์ที่มีผลกำหนดเอกพจน์ค่าและค่า

∗ tin-yau ตำภีษมะ
นามธรรม เราเอาหลักฐานใหม่ของ " คลาสสิกของ เขาในการมีอยู่ของเมทริกซ์ที่มีกำหนดเอกพจน์ค่าและค่า
.
คำสำคัญ ค่า ค่า เอกพจน์
AMS เรื่องในเมืองไทย 15a45 15a18 , .
ให้∈ CN × N และให้λ 1 . . . . . . . . ,λ n เป็นค่าของที่อยู่ในใบสั่ง
| λ 1 | ≥· · ·≥ | λ N | . ค่าเอกพจน์ของเป็นรากที่สองของ nonnegative
แบบกึ่งบวกแน่นอน∗เมทริกซ์และเขียนแทนด้วย S1 ≥· · ·≥ SN .
เวลของอสมการ [ 7 ] มีความสัมพันธ์ที่ดีระหว่างค่าและคุณค่าของเอกพจน์
:
Y
k
J = 1
| λ J | ≤ Y
k
J = 1
( 1.1 ) SJ , K = 1 , . . . . . . . . , n − 1
ใน
J = 1
| λ J | =

= 1 ใน J
( 1.2 ) สจ.
ความเสมอภาคตามจากสองวิธีของ expressing ค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์
. . ฮอร์น [ 2 ] ก่อตั้งขึ้นการสนทนาของเวลของผล .
ทฤษฎีบท 1.1 . ( A . เขา ) ถ้า | λ 1 | ≥· · ·≥ | λ N | และ S1 ≥· · ·≥ SN ตอบสนอง ( 1.1 )
( 1.2 ) แล้วมีอยู่∈ CN × N เช่นที่λ 1 . . . . . . . . λ , และ n เป็นค่า
S1 , . . . . . . . . ,