3. THE MULTIPOLE METHODThe potentia

3. THE MULTIPOLE METHOD
The potential of the incident wave is given by (2.3) as

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

3. วิธีการเอ็นโค้ดศักยภาพของคลื่นเหตุการณ์ถูกกำหนด โดย (2.3) เป็น{ชุดสมการที่สองเหล่านี้จะพึงพอใจสำหรับ 0,;;; e ,;;;;; ! rr ในสั่งการแก้พวกเขา เราคูณสมการ (3.7) และ (3.8) cos 2n8 บาป (2n + 1) e' ตามลำดับ และรวมแล้ว มากกว่า e เราขอบิดามารดาแยกออกสองต่อไปนี้ระบบสมการเชิงเส้น พีชคณิต ซับซ้อนสำหรับ c สัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก (มี = 1, 2):: และ bmay มีประเมินอย่างชัดเจน นิพจน์เหล่านี้ถูกกำหนดในภาคผนวก aเมื่อ chave มุ่ง เราสามารถประเมิน RT, fx และ fy• จากคำนิยามของ R และ T และพฤติกรรมของ นิพจน์สำหรับ jand ! y ในแง่ของ c ยังอาจได้รับ เหล่านี้ได้ในภาคผนวก a สำหรับงานตัวเลข เราต้องตัดทอนสองระบบอนันต์ (3.9) (ฉัน =และ = 2); สำหรับแต่ละ เราแก้สมการ N แรกแรก N สัมประสิทธิ์ c เรามีสองตรวจสอบตัวเลขบรรจบกัน ซึ่งทั้งสองถูกนำมาใช้: เราสามารถทดสอบวิธีการที่ดี (2.11) และความสัมพันธ์สอง (2.10) พอใจ และเราสามารถเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่แตกต่างกันค่าของ N.ในตารางที่ 1 และ 2 เรานำเสนอค่านิยมคำนวณของ R, T, fx และ/y, 0.01(0.01)0.1(0.1)1.0(1.0) 10.0 = Ka เราต้องการแสดงผลของเราเป็นตารางของตัวเลข มากกว่ากราฟ เนื่องจากค่าตัวเลขไม่ได้ (i)โดยทั่วไปที่พร้อมใช้งาน และ (ii), มีประโยชน์มากขึ้นเมื่อทางเลือกโปรแกรมคอมพิวเตอร์ (ตามวิธีการทางคณิตศาสตร์แตกต่างกัน) ที่จะประเมิน (หมายเหตุว่า เราให้อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนในช่วง (-rr, rr) .)โดยการตรวจสอบประมวลผลของเรา ที่เราได้พบว่า สำหรับ Ka,;;; 2 เราสามารถประเมินสี่ซับซ้อนปริมาณ R, T, fx และ เลขนัยสำคัญน้อยสี่ โดยการN = 20 เป็นกาเพิ่มขึ้น เรามีการเพิ่ม N ตามลำดับการขอรับความถูกต้องเดียวกัน ดังนั้น สำหรับ Ka,;;; 15 เราสามารถคำนวณ jand ! y เพื่อเลขนัยสำคัญน้อยสี่ด้วย N = 60 ค่าของ N ก็เพียงพอที่จะคำนวณ argR และอาร์กิวเมนต์ของค่า T ความถูกต้องเดียวกัน สำหรับ Ka)' 2.8 (ประมาณ), IR ผม = 1.0 ถึงสี่เลขนัยสำคัญ อย่างไรก็ตาม เป็น Ka เพิ่มขึ้น มันกลายเป็นยากต่อการผมคำนวณโดยใช้วิธีการเอ็นโค้ด Tl ในตารางที่ 3 เราให้ค่าคำนวณของ T สำหรับ Ka =ฉัน 0 และหลายค่าของ n เราเห็นว่า ที่ N =' 20, 30 และ 60 เราได้คำนวณ Tl ผมแม่นยำศูนย์ หนึ่งและสองที่สำคัญตัวเลข ตามลำดับ นอกจากนี้ สูตร totic ของ Ursell asymp สมการ (2.17), ให้ฉัน Tl = 0.000064 เช่นที่ Ka = 10 ผลจากการคำนวณและผล asymptotic แตกต่าง โดยประมาณ 15% ที่ Ka = 15 พวกเขาแตกต่างโดยเกี่ยวกับ7%คณบดีและ Urscll3 ใช้หลักวิธีการที่อธิบายข้างต้น พวกเขาทำการคำนวณสำหรับค่า 16 Ka ในช่วง 0.01 หาก), ฉัน ฉันและความวาด IR เหล่านี้อาจจะเป็น ciently suffi ที่ถูกต้องสำหรับเปรียบเทียบกับการทดลองของพวกเขา (ดูส่วนที่ 5)เที่ยวและฮูสตัน 12 มีแก้ไขสมการ (3.7) และ(3.8) โดยวิธีการอื่น พิจารณาสมการ (3.7), ซึ่งต้องค้างไว้ 08 ! 1r พวกเขาแทนอนุกรมอนันต์ โดยเงื่อนไขของหกครั้งแรก (เช่น N = 7), และสมการที่ 8 ผลประเมินแล้ว = 90° ผลผลิต 21 สมการสำหรับราชวงศ์เจ็ด c 0°(4.5°) i, c,..., 4; c พวกเขาแก้ไขเหล่านี้ ด้วยเทคนิคแบบกำลังสองน้อยสุด ในตาราง 4 เราทำซ้ำผลตัล lfxl และ lfyl เหล่านี้อาจจะเปรียบเทียบกับตารางที่ผมและ 2 สำหรับปริมาณบางส่วน (เช่น lfyl atKa = 3), เราหาข้อตกลงที่สมบูรณ์ แต่ สำหรับคนอื่น ๆ (เช่นความที่ Ka = 4), เราหาเลขไม่มีนัยสำคัญในตกลง ment

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

3. multipole วิธีการ
ที่มีศักยภาพของคลื่นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจะได้รับจาก (2.3) ขณะที่


ชุด {

ทั้งสองสมการจะมีความพึงพอใจสำหรับ 0, ;;;;; E, ;;;;; ! RR ใน
เพื่อที่จะแก้ปัญหาได้เราคูณสมการ (3.7) และ (3.8) โดย cos 2n8 และบาป (2n + 1) E 'ตามลำดับแล้วบูรณาการผ่าน e เราได้รับสองต่อไปไม่มีที่สิ้นสุด uncoupled
ระบบที่ซับซ้อนเชิงเส้นสมการพีชคณิตสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก C (A = 1, 2):


Am และ bmay ได้รับการประเมินอย่างชัดเจน; การแสดงออกเหล่านี้จะได้รับในภาคผนวก A
เมื่อ Chave ถูกกำหนดเราสามารถประเมิน R,
T, FX และปีงบประมาณ•จากคำจำกัดความของ R และ T และลักษณะการทำงานของ

! นิพจน์สำหรับ Jand Y ในแง่ของซียังอาจจะได้รับ; เหล่านี้ยังจะได้รับในภาคผนวก A


สำหรับการทำงานที่เป็นตัวเลขที่เราจะต้องตัดทั้งสองระบบที่ไม่มีที่สิ้นสุด (3.9) (ก = ฉันและ = 2); สำหรับแต่ละเราแก้สม N ครั้งแรกสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ N แรก, C เรามีสองตรวจสอบเกี่ยวกับการบรรจบตัวเลขซึ่งทั้งสองถูกนำมาใช้: เราสามารถทดสอบวิธีการที่ดีทั้งสองความสัมพันธ์ (2.10) และ (2.11) มีความพึงพอใจ; และเราสามารถเปรียบเทียบผลที่ค่าที่แตกต่างของสหประชาชาติ
ในตารางที่ 1 และ 2 เรานำเสนอค่าคำนวณของเรา R, T, FX และ / Y สำหรับ Ka = 0.01 (0.01) 0.1 (0.1) 1.0 (1.0) 10.0 เราต้องการที่จะนำเสนอผลงานของเราเป็นตารางของตัวเลขมากกว่ากราฟเนื่องจากค่าตัวเลขเป็น (i) ไม่
สามารถใช้ได้โดยทั่วไปและ (ii) ที่มีประโยชน์มากขึ้นเมื่อโปรแกรมคอมพิวเตอร์ทางเลือก (ขึ้นอยู่กับวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน) จะได้รับการประเมิน (โปรดทราบว่าเราจะให้การขัดแย้งของตัวเลขที่ซับซ้อนในช่วง (-rr, RR).)
โดยการตรวจสอบการคำนวณของเราเราได้พบว่าสำหรับกา ;;;;; 2 เราสามารถประเมินสี่ปริมาณที่ซับซ้อน R, T, FX และ! เพื่ออย่างน้อยสี่ตัวเลขที่สำคัญโดยการใช้
N = 20 เป็นกาเพิ่มขึ้นเราต้องเพิ่ม N ในการสั่งซื้อ
เพื่อให้ได้ความถูกต้องเหมือนกัน ดังนั้นสำหรับกา ;;;;; 15 เราสามารถคำนวณ Jand! Y เพื่ออย่างน้อยสี่ตัวเลขที่สำคัญกับ N = 60 ค่า n นี้จะเพียงพอที่จะคำนวณ argR และหาเรื่อง T เพื่อความถูกต้องเหมือนกัน สำหรับกา) 2.8 (โดยประมาณ), IR I = 1.0 ถึงสี่ตัวเลขที่สำคัญ.

แต่เป็นกาเพิ่มขึ้นมันจะกลายเป็นเรื่องยากมากขึ้นในการ
คำนวณฉัน Tl โดยใช้วิธีการ multipole ในตารางที่ 3 เราจะให้ค่าที่คำนวณจาก T สำหรับ Ka = ฉัน 0 และอีกหลายคุณค่าของเอ็นเราจะเห็นว่าที่ N = '20, 30 และ 60 เราได้คำนวณฉัน Tl กับความถูกต้องของศูนย์หนึ่งและสอง ตัวเลขที่สำคัญตามลำดับ นอกจากนี้ asymp สูตร totic Ursell ของสมการ (2.17) จะช่วยให้ฉัน Tl = 0.000064 เช่นที่ Ka = 10 ผลการคำนวณและผลการ asymptotic แตกต่างกันโดยประมาณ 15%; ที่กา = 15 พวกเขาแตกต่างกันโดยประมาณ
7%.
คณบดีและ Urscll3 ใช้หลักวิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้น พวกเขาทำให้พวกเขาสำหรับการคำนวณค่า 16 ของกาใน
ช่วง 0.01

ถ้ามี), I, IR I และ ITL ถูกดึง; เหล่านี้อาจ suffi อย่างมีประสิทธิภาพถูกต้องสำหรับการเปรียบเทียบกับการทดลองของพวกเขา (ดูมาตรา 5).
Barakat และฮุสตัน 12 ได้แก้สมการ (3.7) และ
(3.8) โดยวิธีการที่แตกต่างกัน พิจารณาสมการ (3.7) ซึ่งต้องถือ 08! 1R พวกเขาแทนที่แบบไม่มีที่สิ้นสุดตามเงื่อนไขแรกของหก (เช่น N = 7) แล้วประเมินสมการที่เกิดขึ้น ณ วันที่ 8 = 0 ° (4.5 °) 90 °ยอม 21 สมเจ็ดราชวงศ์, CI, C, ... , C 4; พวกเขา
แก้ปัญหาเหล่านี้ได้โดยเทคนิคอย่างน้อยสี่เหลี่ยม ในตารางที่ 4 เราทำซ้ำผลของพวกเขาสำหรับเผอิญ lfxl และ lfyl; เหล่านี้อาจจะเทียบกับตาราง I และ 2; สำหรับปริมาณบางอย่าง (เช่น lfyl Atka = 3) เราจะพบข้อตกลงที่สมบูรณ์ แต่สำหรับคนอื่น (เช่น ITL ที่ Ka = 4) เราพบว่าไม่มีตัวเลขที่สำคัญในการยอมรับ ment

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

3 . วิธี multipoleศักยภาพของเหตุการณ์คลื่นให้ ( 2.3 ) เป็น< < ขายจำหน่ายและเป็นตัวแทนของแหล่งที่มาและมีคลื่น , คลื่นแนวนอนตามลำดับ ตั้งอยู่ที่ต้นกำเนิด ในทำนองเดียวกัน , < p : n < : แม้แต่และแปลก wavefree ศักยภาพ แต่ละ < P ตรงลาปลาซสมการในน้ำและพื้นผิวองฟรีและรังสีต่างๆชุด { < p } เป็นที่รู้จักกันเป็นโซลูชั่นที่สมบูรณ์ของปัญหา§ 2 และเพื่อให้เราได้รับอนุญาตให้ใช้ representa องใช้งานในสมการ ( 2 ) นอกจากนี้ ตัวแทนเหล่านี้ตอบสนองเงื่อนไขทั้งหมดของปัญหา§ 2 ยกเว้นบุนองเดรี่สภาพบนกระบอก ใช้นี้เราได้รับ :ทั้งสองสมการจะเป็นจริงสำหรับ 0 , ;;;;; E , ;;;;; ! RR . ในเพื่อแก้ไขปัญหาเหล่านั้น เราคูณสมการ ( 3 ) และ ( 3.8 ) ด้วย เพราะ 2n8 และบาป ( 2 + 1 ) E " ตามลำดับ และบูรณาการมากกว่า เราได้รับดังต่อไปนี้สองเปิ้ลอนันต์ระบบที่ซับซ้อนเชิงเส้นพีชคณิตสมการสำหรับสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก C ( = 1 , 2 )และ bmay ถูกประเมินอย่างชัดเจน ; การแสดงออกเหล่านี้จะได้รับในภาคผนวก Aเมื่อเชฟที่ถูกกำหนดไว้ เราสามารถประเมิน R ,T , FX และบิน - จากนิยามของ R และ T และพฤติกรรมของ < PG ที่ระยะทางขนาดใหญ่ ( ที่ได้รับจากสมการ ( 3 ) และ ( 4 ) ) เราพบว่าการแสดงออกสำหรับ jand ! และในแง่ของ C อาจจะได้รับ เหล่านี้ยังได้ระบุในภาคผนวก ก.สำหรับงานระบบ เราต้องตัดสองอนันต์ระบบ ( 3.9 ) ( = ฉัน = 2 ) ; สำหรับแต่ละ เราแก้สมการแรกก่อน ( N ) , C . เรามีสองการตรวจสอบการลู่เข้าเชิงเลข ซึ่งทั้งสองถูกใช้ : เราสามารถทดสอบว่าสอง : 2.10 ) และ ( 2.11 ) จะพอใจ และเราสามารถเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่แตกต่างกันค่า .ตารางที่ 1 และ 2 เราปัจจุบันเราคำนวณค่า R , T , FX และ / Y , KA = 0.01 ( 0.01 ) 0.1 ( 0.1 ) 1.0 ( 1.0 ) 10.0 . เราต้องการที่จะแสดงผลเป็นตารางตัวเลข มากกว่า กราฟ ตั้งแต่ค่าเชิงตัวเลข ( ผม ) ไม่โดยทั่วไป และ ( ii ) มีประโยชน์เมื่อคอมพิวเตอร์โปรแกรมทางเลือก ( ตามวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน ) จะถูกประเมิน ( หมายเหตุ ที่เราให้ข้อคิดของตัวเลขที่ซับซ้อนในช่วง ( - RR RR ) )โดยการตรวจสอบการคำนวณของเรา เราได้พบว่าสำหรับกา ;;;;; 2 เราสามารถประเมินสี่ซับซ้อนปริมาณ R , T , FX และ เพื่ออย่างน้อยสี่ตัวเลขสำคัญ โดยการใช้N = 20 เป็นกาเพิ่มขึ้น เราต้องเพิ่ม N เพื่อเพื่อให้ได้ความถูกต้องเหมือนกัน ดังนั้น สำหรับกา ;;;;; 15 เราสามารถคำนวณ jand ! Y อย่างน้อยสี่ตัวเลขสำคัญด้วย n = 60 ค่าของ N ยังเพียงพอที่จะคำนวณและ argr arg T เพื่อความถูกต้องเหมือนกัน สำหรับกะ ) 2.8 ( โดยประมาณ ) , IR = 1.0 ถึงสี่ตัวเลขที่สำคัญแต่เป็นการเพิ่มค่ะ มันกลายเป็นยากผมใช้วิธีคำนวณ TL , multipole . ตารางที่ 3 เราให้คำนวณค่า t = 0 สำหรับกะผมและหลาย ๆค่า เราเห็นว่า n = " 20 , 30 และ 60 เราได้คำนวณฉัน TL กับความถูกต้องของศูนย์ หนึ่งและสองตัวเลขที่สำคัญตามลำดับ นอกจากนี้ ursell เป็น asymp อง totic สูตร สมการ ( 2.17 ) ให้ฉัน TL = 0.000064 คือที่กา = 10 , คำนวณผลและผลที่แตกต่างกัน โดยเฉลี่ยประมาณ 15 % ; KA = 15 , พวกเขาแตกต่างโดยเกี่ยวกับ7 %คณบดีและ urscll3 ใช้หลักวิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้น พวกเขาทำให้การคำนวณ 16 ค่า กะ ในช่วง 0.01 < < ผมกะ 0 ด้วย n = 2 : เส้นโค้งของ LFX ฉันถ้าฉัน , และฉัน และ itl สุ่ม เหล่านี้อาจจะ suffi อง ciently ที่ถูกต้องสำหรับการเปรียบเทียบกับผลการทดลองของพวกเขา ( ดูมาตรา 5 )บารากัตและฮูสตัน 12 แก้สมการ ( 3 ) และ( 3.8 ) โดยวิธีที่แตกต่างกัน พิจารณาสมการที่ ( 3 ) ซึ่งต้องรอ 08 ! คลิป พวกเขาเปลี่ยนชุดอนันต์โดยเงื่อนไขหกครั้งแรก ( เช่น n = 7 ) และประเมินผลสมการที่ 8 = 0 องศา ( 4.5 องศา ) 90 องศา ผลผลิต 21 สมการสำหรับเจ็ด unknowns C I , C , . . . , C 4 ; พวกเขาแก้ปัญหาเหล่านี้ด้วยเทคนิควิธี . ตารางที่ 4 เราทำซ้ำผลลัพธ์ของพวกเขาสำหรับจำนวน lfxl lfyl , และ เหล่านี้อาจจะเทียบกับตารางและ 2 ; บางปริมาณ ( เช่น lfyl Atka = 3 ) เราสามารถหาข้อตกลงที่สมบูรณ์ แต่สำหรับคนอื่น ๆ ( เช่น itl ที่ KA = 4 ) เราพบตัวเลขสำคัญในเห็นด้วยอง ment