Voronoi diagram of a set of "sites"

Voronoi diagram of a set of "sites" (points) is a collection of regions that divide up the plane. Each region corresponds to one of the sites, and all the points in one region are closer to the corresponding site than to any other site.

All of the Voronoi regions are convex polygons. Some of them are infinite -- these correspond to the sites on the convex hull. The boundary between two adjacent regions is a line segment, and the line that contains it is the perpendicular bisector of the segment joining the two sites. Usually, Voronoi regions meet three at at time at Voronoi points. If three sites determine Voronoi regions that meet at a Voronoi point, the circle through those three sites is centered at that Voronoi point, and there are no other sites in the circle.

So how would this be useful for solving, say Knuth's Post Office Problem? Suppose we had the Voronoi diagram of the post office locations. Then the find the closest post office to a given house, all we need to do is figure out which Voronoi region the house is in. This is an example of the "point location" problem.

Once we have the Voronoi diagram, we can solve the post office problem as follows. (This is not the best solution, but it's reasonably simple.) Draw a vertical line through each of the Voronoi points. These lines split the plane into vertical slabs. To locate a point p, first do a binary search to find the slab containing p. Within each slab, there are no Voronoi points, so the Voronoi edges that cross each slab do so nicely. To find the Voronoi region containing p, we just do another binary search, this time on the spaces between the Voronoi edges in our slab. Altogether, the search takes O(log n) steps, where n is the number of sites.

Now let's look at the toxic waste dump problem. You are given n points in the plane, representing cities, and you want to put a toxic waste dump as far from the cities as possible. Obviously, the best solution is to put the dump far away from ALL the points, but to make the problem interesting, let's suppose we have to put the dump inside the convex hull of the points. With this contraint, the best place to put the waste dump is either (1) on a Voronoi vertex, or (2) on the midpoint of a convex hull edge, which must be on a Voronoi edge.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Voronoi ไดอะแกรมของชุดของ "ไซต์" (จุด) คือ ชุดของขอบเขตที่แบ่งเครื่องบิน แต่ละภูมิภาคที่สอดคล้องกับหนึ่งในเว็บไซต์ และทุกจุดในภูมิภาคหนึ่งใกล้ชิดกับไซต์สอดคล้องกันกว่าเว็บไซต์อื่น ๆทุกภูมิภาค Voronoi เป็นรูปหลายเหลี่ยมนูน บางคนมีที่สิ้นสุด - เหล่านี้ตรงกับไซต์บนตัวถังโค้ง เป็นเขตแดนระหว่างสองภูมิภาคที่ติดกับส่วนของเส้นตรง และบรรทัดที่ประกอบด้วยมันเป็นจุดแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนร่วมสองเว็บไซต์ มักจะ Voronoi ภูมิภาคตอบสนองสามที่เวลา Voronoi จุด ถ้าสามว่า Voronoi ภูมิภาคที่พบที่จุด Voronoi วงกลมผ่านไซต์สามเหล่านั้นเป็นศูนย์กลางที่ที่ Voronoi ชี้ และมีเว็บไซต์อื่น ๆ ในวงดังนั้นวิธีนี้เป็นประโยชน์สำหรับการแก้ พูดปัญหาของ Knuth ไปรษณีย์ สมมติว่า เราได้ไดอะแกรม Voronoi ของสถานทำการไปรษณีย์ แล้ว ค้นหาที่ทำการไปรษณีย์ใกล้บ้านที่กำหนด เราต้องทำเป็นเข้าใจภูมิภาค Voronoi ที่บ้านนั้นอยู่ใน นี่คือตัวอย่างของปัญหา "จุดดี"เมื่อเรามีไดอะแกรม Voronoi เราสามารถแก้ปัญหาไปรษณีย์ดังนี้ (นี่ไม่ใช่การแก้ปัญหาที่ดีที่สุด แต่มันเป็นง่ายพอสมควร) วาดเส้นแนวตั้ง โดยแต่ละจุด Voronoi บรรทัดเหล่านี้แยกเครื่องบินเป็นแผ่นแนวตั้ง การค้นหาจุด p ก่อนทำการค้นหาแบบไบนารีการค้นหาพื้นที่ประกอบด้วย p ภายในแต่ละพื้น มีจุดไม่ Voronoi จึงขอบ Voronoi ที่ข้ามพื้นละทำได้อย่างดี หา Voronoi ภูมิภาคประกอบด้วย p เราเพียงแค่ทำการค้นหาแบบไบนารีอื่น ช่องว่างระหว่างขอบ Voronoi ในพื้นของเราครั้งนี้ ทั้งหมด การค้นหาไป O (บันทึก n) โดยที่ n คือ จำนวนของไซต์ตอนนี้เรามาดูปัญหาการถ่ายโอนข้อมูลของเสียที่เป็นพิษ คุณจะได้รับ n จุดในระนาบ แทนเมือง และคุณต้องการวางการถ่ายโอนข้อมูลของเสียที่เป็นพิษอยู่ห่างจากเมืองไป อย่างชัดเจน การแก้ปัญหาที่ดีที่สุดคือวางการถ่ายโอนข้อมูลห่างจากทุกจุด แต่เพื่อ ให้ปัญหาที่น่าสนใจ ลองสมมติว่า เราต้องการถ่ายโอนข้อมูลภายในตัวถังนูนจุดใส่ นี้ contraint การใส่การถ่ายโอนข้อมูลเสียได้ (1) จุดยอด Voronoi หรือ (2) จากจุดกึ่งกลางของขอบนูนฮัลล์ ซึ่งต้องมีขอบ Voronoi

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

แผนภาพ Voronoi ชุดของ "เว็บไซต์" (จุด) เป็นคอลเลกชันของภูมิภาคที่แบ่งขึ้นเครื่องบิน แต่ละภูมิภาคสอดคล้องกับหนึ่งในเว็บไซต์ที่และทุกจุดในภูมิภาคหนึ่งที่ใกล้ชิดกับเว็บไซต์ที่เกี่ยวข้องกว่าเว็บไซต์อื่น ๆ .

ทุกภูมิภาค Voronoi เป็นรูปหลายเหลี่ยมนูน บางคนที่ไม่มีที่สิ้นสุด - เหล่านี้สอดคล้องกับเว็บไซต์บนเปลือกนูน เขตแดนระหว่างสองภูมิภาคที่อยู่ติดกันเป็นส่วนของเส้นตรงและเส้นที่มีมันเป็น bisector ตั้งฉากของกลุ่มเข้าร่วมสองเว็บไซต์ โดยปกติภูมิภาค Voronoi พบกับสามที่ในเวลาที่จุด Voronoi ถ้าสามเว็บไซต์กำหนดภูมิภาค Voronoi ที่ตรงกับที่จุด Voronoi วงกลมผ่านทั้งสามเว็บไซต์ที่เป็นศูนย์กลางที่จุด Voronoi นั้นและไม่มีเว็บไซต์อื่น ๆ ในวงกลม.

ดังนั้นวิธีนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับการแก้กล่าวว่าปัญหาสำนักงาน Knuth โพสต์ ? สมมติว่าเรามีแผนภาพ Voronoi สถานที่ที่ทำการไปรษณีย์ แล้วพบว่าที่ทำการไปรษณีย์ใกล้กับบ้านที่กำหนดทุกสิ่งที่เราต้องทำคือการคิดออกซึ่งภูมิภาค Voronoi บ้านอยู่ใน. นี้เป็นตัวอย่างของ "สถานที่ตั้งจุด" ปัญหา.

เมื่อเรามีแผนภาพ Voronoi เราสามารถแก้ปัญหา ปัญหาที่ทำการไปรษณีย์ดังต่อไปนี้ (ซึ่งไม่ได้เป็นทางออกที่ดีที่สุด แต่มันง่ายพอสมควร.) วาดเส้นแนวตั้งผ่านแต่ละจุด Voronoi เส้นเหล่านี้แยกเครื่องบินลงแผ่นในแนวตั้ง การหาจุด p แรกจะค้นหาไบนารีเพื่อหาสิ่งที่มี P แผ่น ภายในแต่ละแผ่นจะไม่มีจุด Voronoi ดังนั้นขอบ Voronoi ที่ข้ามแต่ละแผ่นจะทำเช่นนั้นเป็นอย่างดี เพื่อหาสิ่งที่ P ภูมิภาค Voronoi มีเราเพียงแค่ทำอีกค้นหา binary เวลานี้ในช่องว่างระหว่างขอบ Voronoi ในแผ่นของเรา พรึบค้นหาใช้เวลา O (log n) ขั้นตอนที่ n คือจำนวนของเว็บไซต์.

ตอนนี้ให้ดูที่ปัญหาการถ่ายโอนข้อมูลขยะพิษ คุณจะได้รับ n จุดในเครื่องบินที่เป็นตัวแทนของเมืองและคุณต้องการที่จะนำการถ่ายโอนข้อมูลขยะพิษเท่าจากเมืองที่เป็นไปได้ เห็นได้ชัดว่าทางออกที่ดีที่สุดคือการวางการถ่ายโอนข้อมูลที่อยู่ห่างไกลจากทุกจุด แต่จะทำให้ปัญหาที่น่าสนใจลองสมมติว่าเรามีการถ่ายโอนข้อมูลที่จะนำภายในเปลือกนูนของจุด กับ contraint นี้เป็นสถานที่ที่ดีที่สุดที่จะนำการถ่ายโอนข้อมูลของเสียที่เป็นทั้ง (1) ใน Voronoi จุดสุดยอดหรือ (2) เกี่ยวกับจุดกึ่งกลางของขอบเปลือกนูนซึ่งจะต้องอยู่บนขอบ Voronoi

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

แผนภาพโวโรนอยของชุดของ " ไซต์ " ( จุด ) เป็นคอลเลกชันของภูมิภาคที่แบ่งขึ้นเครื่องบิน แต่ละภูมิภาคสอดคล้องกับหนึ่งในเว็บไซต์และทุกจุดในพื้นที่หนึ่งที่ใกล้ชิดกับเว็บไซต์ที่เกี่ยวข้องกว่าเว็บไซต์อื่นทั้งหมดของ Name ภูมิภาคนูนรูปหลายเหลี่ยม บางส่วนของพวกเขาเป็นอนันต์ -- เหล่านี้สอดคล้องกับเว็บไซต์บนผิวนูน เขตแดนระหว่างสองภูมิภาคที่อยู่ติดกันเป็นเส้นตรงและเส้นโค้งที่มีมันเป็นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากส่วนร่วม 2 เว็บไซต์ โดยปกติ โวโรนอยภูมิภาคได้พบกับสามที่เวลาที่ Name จุด ถ้าสามเว็บไซต์กำหนด Name ภูมิภาคที่พบใน Name จุดวงกลมผ่านทั้งสามเว็บไซต์ที่เป็นศูนย์กลางที่ Name จุด และไม่มีเว็บไซต์อื่น ๆใน วงกลมดังนั้นวิธีนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับการ พูด คนูธของไปรษณีย์มีปัญหา สมมติว่าเรามีแผนภาพโวโรนอยของไปรษณีย์ สถานที่ แล้วหาที่ทำการไปรษณีย์ใกล้บ้าน เพื่อให้ เราต้องทำคือการคิดออกซึ่ง Name เขตบ้านใน นี้เป็นตัวอย่างของ " ชี้ตั้ง " ปัญหาเมื่อเราได้แผนภาพโวโรนอย เราสามารถแก้ปัญหาไปรษณีย์ดังนี้ ( นี่ไม่ใช่ทางออกที่ดีที่สุด แต่เป็นเหตุง่าย . ) วาดเส้นแนวตั้งผ่านแต่ละของโวโรนอยจุด เส้นเหล่านี้แยกเครื่องบินเป็นแผ่นในแนวตั้ง เพื่อหาจุด P ก่อนทําการค้นหาแบบไบนารีเพื่อหาพื้นที่ประกอบด้วยหน้าในแต่ละพื้น ไม่มีจุดที่ Name ดังนั้น Name ขอบที่ข้ามแต่ละพื้นทำสวยมากเลย ค้นหา Name เขตประกอบด้วย P เราก็ทำอีก การค้นหาแบบทวิภาค , เวลาในช่องว่างระหว่าง Name ขอบในพื้นของเรา ทั้งหมด ค้นหาใช้เวลา O ( log n ) ขั้นตอนโดยที่ n คือหมายเลขของเว็บไซต์ตอนนี้เรามาดูของเสียทิ้งปัญหา คุณจะได้รับ N จุดในระนาบของเมือง , และคุณต้องการที่จะนำขยะพิษ เช่น ไกลจากเมืองมากที่สุด เห็นได้ชัดว่า ทางออกที่ดีที่สุด คือ วางทิ้งห่างจากคะแนนทั้งหมด แต่เพื่อให้ปัญหาที่น่าสนใจ สมมติว่าเราต้องวางทิ้งอยู่ภายในเปลือกนูนของจุด กับ contraint นี้สถานที่ที่ดีที่สุดที่จะนำขยะทิ้งทั้ง ( 1 ) บน Name จุดสุดยอด หรือ ( 2 ) จุดกึ่งกลางของขอบเปลือกนูน ซึ่งต้องอยู่ในโวโรนอยขอบ