( c ) Give a congruency-subtraction

( c ) Give a congruency-subtraction proof of the Pythagorean to have been devised by Leonardo da Vinci ( 1452-1519).

It is interesting that any two equal polygonal areas are congruent by addition, and that the dissection can always be carried out with slraightedge and compases. On the other hand, in 1901, Max Dehn showed that two equal polyhedral volumes are not necessarily congruent by either addition or subtraction. In particular, it is impossible to dissect a regular tetrahedron into polyhedral pieces which can be ressembled to form a cube.

3.6 Pythagorean Triples
( a ) What is the relation between the hypotenuse and the longer leg of the integral-sided right triangles given by the Pythagorean formula of Section 3-4?
( b ) Find the Pythagorean triples given by the Pythagorean formula of section 3-4 for which the hypotenuse does not exceed 100.
( c ) Prove that there exists no isosceles right triangle whose sides are integers.
( d ) Prove that no Pythagorean triple exists in which one integer is a mean proportional between the other two.
3.7 Irrational Numbers
( a ) Prove that the straight line through the points (0,0) and ( 1,√2 ) passes through no point, other than (0,0) , of the coordinate lattice.
( b ) Show how the coordiuate lattice may be used for finding rational approximations of √2.
( c) If p is a prime number, show that √p is irrational.
( d ) Show that log₁₀ 2 is irrational.
( e ) Generalize part (d) by showing that log₄ b is irrational if a and b are positive integers and one of them contains a prime factor not contained in the other.
3.8 Algebraic ldentities
Indicate how each of the following algebraic identities might be established geometrically.
(a-b)² = a² - 2ab + b²
a (b+c) = ab + ac
( a + b )(c+d) = ac + ad + bd
The statement of Proposition 9 of Book II of Euclid’s Elements is: if a straight line is divided equally and also unequal parts is twice the sum of the squares on half the line and on the line between the points of section. From this theorem obtain the algebraic identity
(a + b)² + (a-b) = 2(a² + b²).

3.9 Geometric Algebra
Draw three unequal line segments. Label the longest one a, the medium one b, and take the smallest one as 1 unit. With straightedge and compasses construct line segments of lengths
a + b and a – b,
ab,
a/b,
√a,
a/n,n a positive integer,
x= (a² + b² - ab)½. If we form a triangle with sides a, b, x, what is the size of the angle between sides a and b?

3.10 Geometric Solution of Quadratic Equations
(a) Given a unit segment, solve the quadratic equation x² - 7x + 12 = 0 by the Pythagorean method.
(b) Given a unit segment, solve the quadratic equation x² + 4x – 21 = 0 by the Pythagorean method.
(c) With straightedge and compasses divide a segment a into two parts such that difference of their squares shall be equal to their product.
(d) Show that, in part ( c ), the longer segment is a mean proportional between the shorter segment and the whole line. The line segment is said to be divided in exlreme and radio, or in golden section.
(e) Let us be given a quadratic equation x² - gx + h = 0. On a rectangular Cartesian frame of reference plot the points B: (0,1) and Q: (g,h). Draw the circle on BQ as diameter and let it cut the x-axis in M and N. Show that the signed lengths of OM and ON represent the roots of the given quadratic equation.This geometrical solution of quadratic equation appeared in Leslie’s Elements of Geometry with the remark. “The solution of this important problem now inserted in the text, was suggested to me by Mr. Thomas Carlyle, ingenious young mathematician, and formerly my pupil.”
(f) Solve the quadratic equation x² - 7x + 12 = 0 and x² + 4x – 21 = 0 by Carlyle’s method.
3.11 Transformation of Areas
(a) Draw an irregular hexagon and then construct, with straightedge and compasses, a square having the same area.
(b) With straightedge and compasses divide a quadrilateral ABCD in three equivalent parts by straight lines drawn through vertex A.
(c) Bisect a trapezoid by a line drawn from a point P in the smaller base.
(d) Transform triangle ABC so that the angle A is not altered, but the side opposite the angle A becomes parallel to a given line MN.
(e) Transform a given triangle into an isosceles triangle having a given vertex angle.
3.12 Regular Solids
(a) Show that there can be no more than give regular polyhedral.
(b) Fine the volume and surface of a regular octahedron of edge e.
(c ) For each of the five regular polyhedral enumerate the number of vertices v, edges e, and faces f, and then evaluate the quantity v – e + f. One of the most interesting theorems relating to any convex ( or more generally any simply-connected) polyhedron, is that v – e + f = 2. This may have been known to Archimedes (ca. 225 b.c.), but was first explicitly stated by Descartes about 1635. Since Euier later independently announced it in 1752, the result is often referred to as the Euler-Descartes formula.
(d ) A cuboctahedron is a solid whose are obtained by joining together the mid-points of adjacent edges of a cube. Enumerate v,e, and f for a cuboctahedron.
(e ) Consider a solid cube with regular pyramids built on pair of 0pposite faces. Now let a hole with square section,and with its axis on the line joining the vertices of the pyramids, be cut from the solid Evaluate v – e + f for this ring-shaped solids.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

(ค) ให้ congruency ลบหลักฐานของพีทาโกรัสจะได้ถูกคิดค้น โดย Leonardo ดาวินชี (1452-1519)เป็นที่น่าสนใจสองเท่า polygonal พื้นที่แผง โดยเพิ่ม และว่า การชำแหละเสมอสามารถดำเนินกับ slraightedge และ compases บนมืออื่น ๆ ใน 1901, Dehn สูงสุดพบว่า วอลุ่ม polyhedral เท่าสองไม่จำเป็นต้องเป็นแผง โดยการเพิ่มหรือลบ โดยเฉพาะ ก็เป็นไป dissect ทรงสี่หน้าปลายปกติเป็นชิ้น polyhedral ซึ่งจะ ressembled แบบ cube3.6 พีทาโกรัส Triples(ก) ความสัมพันธ์ระหว่างการ hypotenuse และขายาวของตัวทฤษฎีบูรณาการด้านขวาสามเหลี่ยมโดยสูตรพีทาโกรัส 3-4 ส่วนคืออะไร(ข) ค้นหา triples พีทาโกรัสที่กำหนดตามสูตรพีทาโกรัสส่วน 3-4 ที่ hypotenuse ไม่เกิน 100(ค) Prove ว่า มีไม่มีหน้าจั่วทรงสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเป็นจำนวนเต็ม(d) พิสูจน์ว่า ทริปเปิลพีทาโกรัสไม่อยู่ที่จำนวนเต็มหนึ่งคือ หมายความว่าสัดส่วนระหว่างสองอื่น ๆ3.7 จำนวนอตรรกยะ(ก) พิสูจน์ว่า เส้นตรงผ่านจุด (0,0) และ (1, √2) ผ่านจุด อื่น ๆ (0,0), ของโครงตาข่ายประกอบประสานงาน(ข) แสดงว่าอาจใช้โครงตาข่ายประกอบ coordiuate หาเพียงการเชือดประมาณของ √2(ค) ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ แสดงที่ √p เป็นจำนวนอตรรกยะ(d) แสดงว่า log₁₀ 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ(จ) ส่วน (d) ทั่วไป โดยแสดงที่ log₄ b เป็นจำนวนอตรรกยะถ้าเป็น b เป็นจำนวนเต็มบวก และหนึ่งในนั้นประกอบด้วยปัจจัยสำคัญที่ไม่อยู่ในอื่น ๆ3.8 ldentities พีชคณิต ระบุวิธีแห่งเอกลักษณ์พีชคณิตดังต่อไปนี้อาจถูกก่อตั้งขึ้น geometrically (a-b) ² = a² - 2ab + b² การ (b + c) = ab + ac (เป็น + บี(c + d) = ac + โฆษณา + bd งบเสนอ 9 ของหนังสือ II ของยุคลิดขององค์ประกอบคือ: เส้นตรงแบ่งออกเท่า ๆ กัน และยังไม่เท่ากันส่วนว่าสองผลรวมกำลังสองครึ่งบรรทัด และบรรทัดระหว่างจุดของส่วนนั้น จากทฤษฎีบทนี้ได้รับรหัสพีชคณิต(แบบ + b) ² + (a b) = 2 (a² + b²)3.9 พีชคณิตเรขาคณิตวาดสามบรรทัดไม่เท่ากันส่วน ป้ายหนึ่งที่ยาวที่สุด กลางหนึ่ง b และใช้เวลาได้น้อยที่สุดเป็น 1 หน่วย มี straightedge compasses สร้างส่วนของเส้นตรงของความยาว + b และ b เป็น- ab / b √a a/n, n เป็นจำนวนเต็มบวก x = (a² + b² - ab) ½ ถ้าเราสร้างรูปสามเหลี่ยมที่ มีด้าน a, b, x อะไรคือขนาดของมุมระหว่างด้าน และ b หรือไม่3.10 โซลูชั่นเรขาคณิตของสมการกำลังสอง(ก) กำหนดเซกเมนต์หน่วย แก้สมการกำลังสอง x ²-7 x + 12 = 0 โดยวิธีพีทาโกรัส(ข) กำหนดเซกเมนต์หน่วย แก้กำลังสองสมการ x ² + 4 x-21 = 0 โดยวิธีพีทาโกรัส(ค) มี straightedge compasses แบ่งเซ็กเมนต์ที่เป็นสองส่วนดังกล่าว ที่แตกต่างของกำลังสองจะเท่ากับผลิตภัณฑ์ของตน(d) แสดงว่า ในส่วน (c), เมนต์ยาวเป็นสัดส่วนเฉลี่ยระหว่างเซ็กสั้นสายทั้งหมด บรรทัดเซ็กเมนต์กล่าว ใน exlreme และวิทยุ หรือทองส่วนแบ่ง(e) ให้เรากำหนดสมการกำลังสอง x ²-gx + h = 0 ในสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนแนวพล็อตจุด b: (0,1) และถาม (g, h) การวาดวงกลมบนนโต้เป็นเส้นผ่าศูนย์กลาง และให้มันตัดแกน x M และ N. แสดงว่า ความยาวของการออมและลงนามแสดงถึงรากของสมการกำลังสองให้โซลูชันนี้ geometrical ของสมการกำลังสองปรากฏในสลี่องค์ประกอบของรูปทรงเรขาคณิตด้วยเหตุ "โซลูชั่นของปัญหานี้สำคัญแทรกลงในข้อความ ขณะนี้ แนะนำให้ฉัน โดยนาย Thomas คาร์ลายล์ นักคณิตศาสตร์หนุ่มแยบยล และเดิมนักเรียนของฉัน"(f) แก้สมการกำลังสอง x ²-7 x + 12 = 0 และ x ² + 4 x-21 = 0 โดยวิธีของคาร์ลายล์3.11 การเปลี่ยนแปลงของพื้นที่(ก) วาดเป็นหกเหลี่ยมไม่สม่ำเสมอ และจากนั้น สร้าง มี straightedge compasses สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีพื้นที่เดียวกัน(ข) มี straightedge compasses หาร ABCD quadrilateral ในส่วนสามเท่า ด้วยเส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดอ.(ค) bisect เป็นสี่เหลี่ยมคางหมู โดยลากจาก P จุดในฐานเล็กลงเส้น(d) แปลงรูปสามเหลี่ยม ABC ให้มุม A ไม่เปลี่ยนแปลง แต่ด้านตรงข้ามมุม A จะขนานกับบรรทัดการกำหนด MN(อี) แปลงรูปสามเหลี่ยมให้เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีมุมเป็นจุดกำหนด3.12 ของแข็งปกติ(ก) แสดงว่า อาจมีไม่มากกว่าให้ปกติ polyhedral(ข) ปรับระดับเสียงและพื้นผิวของทรงแปดหน้าปกติขอบอี(ค) สำหรับแต่ละปกติห้า polyhedral แจงนับจำนวนของจุดยอด v ขอบ e และ f หน้า และประเมินปริมาณ v – e + f ทฤษฎีที่น่าสนใจที่เกี่ยวข้องกับนูนใด ๆ (หรือโดยทั่วไปเพิ่มเติมใด ๆ เพียงแค่เชื่อมต่อ) ทรงหลายหน้า คือว่า v – e + f = 2 นี้อาจได้ทราบว่าเอส (ca. 225 บี), แต่เป็นครั้งแรกอย่างชัดเจนระบุ โดย Descartes 1635 เกี่ยวกับ เนื่องจาก Euier ในภายหลังอย่างอิสระประกาศมันใน 1752 ผลมักจะเรียกว่าสูตรของออยเลอร์-Descartescuboctahedron (d) A เป็นของแข็งที่จะได้รับ โดยการเข้าร่วมกันกลางจุดติดขอบของ cube ระบุ v, e และ f สำหรับการ cuboctahedron(จ) พิจารณาลูกบาศก์ทึบกับพีระมิดส์ปกติเน้นคู่หน้า 0pposite ให้รูส่วนตาราง และแกนของบรรทัดรวมจุดยอดของมิด สามารถตัดทึบ Evaluate v – e + f ในรูปแหวนของของแข็ง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

(ค) ให้หลักฐานสอดคล้อง-ลบของพีทาโกรัสที่ได้รับการคิดค้นโดยเลโอนาร์โดดาวินชี (1452-1519). เป็นที่น่าสนใจว่ามีสองพื้นที่เหลี่ยมเท่ากับจะสอดคล้องกันโดยการเติมและที่ผ่าเสมอสามารถดำเนินการได้ด้วย slraightedge และ Compases ในทางตรงกันข้าม, ในปี 1901 แม็กซ์ Dehn แสดงให้เห็นว่าสองเล่ม polyhedral เท่ากับไม่ได้ congruent จำเป็นโดยทั้งเพิ่มหรือลบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันเป็นไปไม่ได้ที่จะผ่าจัตุรมุขปกติเป็นชิ้น polyhedral ซึ่งสามารถ ressembled ในรูปแบบลูกบาศก์. 3.6 พีทาโกรัสอเนกประสงค์(ก) อะไรคือสิ่งที่ความสัมพันธ์ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากและขายาวของหนึ่งด้านสามเหลี่ยมขวาที่ได้รับจาก สูตรพีทาโกรัสในมาตรา 3-4? (ข) หาพีทาโกรัสอเนกประสงค์ที่ได้รับจากสูตรพีทาโกรัส 3-4 ส่วนที่ด้านตรงข้ามมุมฉากไม่เกิน 100. (c) พิสูจน์แล้วว่ามีหน้าจั่วไม่มีสิทธิสามเหลี่ยมที่มีด้านเป็นจำนวนเต็ม(ง) พิสูจน์ว่าไม่มีพีทาโกรัสสามที่มีอยู่ในที่หนึ่งที่เป็นจำนวนเต็มหมายถึงสัดส่วนระหว่างสองอื่น ๆ . 3.7 ตัวเลขไม่ลงตัว(a) พิสูจน์ว่าเส้นตรงผ่านจุด (0,0) และ (1, √2) ผ่าน จุดใดนอกเหนือจาก (0,0) ของพิกัดขัดแตะ. (ข) แสดงวิธีตาข่าย coordiuate อาจจะใช้สำหรับการหาเหตุผลของการประมาณ√2. (ค) ถ้า P เป็นจำนวนเฉพาะแสดง√pที่เป็น ไม่มีเหตุผล. (ง) แสดงให้เห็นว่าlog₁₀ 2 ไม่ลงตัว. (จ) พูดคุยส่วนหนึ่ง (ง) โดยการแสดงlog₄ขที่ไม่มีเหตุผลถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกและหนึ่งในนั้นมีปัจจัยสำคัญไม่ได้อยู่ในที่อื่น ๆ . 3.8 พีชคณิต ldentities ระบุวิธีการของแต่ละตัวตนพีชคณิตต่อไปนี้อาจจะมีการจัดตั้งขึ้นเรขาคณิต. (AB) ² = a² - 2ab + b² (ข + c) = AB + ac (A + B) (C + D) = C + โฆษณา + BD งบโจทย์ 9 จากหนังสือเล่มที่สองของ Euclid 's องค์ประกอบคือถ้าเป็นเส้นตรงแบ่งออกอย่างเท่าเทียมกันและยังมีส่วนไม่เท่ากันเป็นสองเท่าของผลรวมของสี่เหลี่ยมครึ่งเส้นและเส้นแบ่งระหว่างจุดของส่วน จากทฤษฎีบทนี้ได้รับตัวตนของพีชคณิต(A + B) ² + (AB) = 2 (a² + b²). 3.9 พีชคณิตเรขาคณิตวาดสามส่วนเส้นไม่เท่ากัน ป้ายหนึ่งที่ยาวที่สุดกลางหนึ่งขและใช้อย่างใดอย่างหนึ่งที่เล็กที่สุดเป็น 1 หน่วย ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนสร้างส่วนของเส้นของความยาวb + และ - B, AB, a / b, √a, / n, na จำนวนเต็มบวกx = (a² + b² - AB) ½ ถ้าเราในรูปแบบสามเหลี่ยมที่มีด้าน A, B, X, สิ่งที่เป็นขนาดของมุมระหว่างด้าน a และ b? 3.10 โซลูชั่นทางเรขาคณิตของสมการกำลังสอง(ก) ได้รับส่วนหน่วยแก้สมการกำลังสองx² - 7x + 12 = . 0 โดยวิธีพีทาโกรัส(ข) ได้รับส่วนหน่วยแก้สมการกำลังสองx² + 4x -. 21 = 0 โดยวิธีพีทาโกรัส(c) ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนแบ่งส่วนออกเป็นสองส่วนดังกล่าวที่แตกต่างกันของสี่เหลี่ยมของพวกเขา แล้วจะเท่ากับผลิตภัณฑ์ของพวกเขา. (ง) แสดงให้เห็นว่าในส่วน (ค) ส่วนอีกต่อไปเป็นค่าเฉลี่ยสัดส่วนระหว่างส่วนที่สั้นและสายทั้ง ส่วนของเส้นบอกว่าจะแบ่งออกเป็น exlreme และวิทยุหรือในส่วนทอง. (จ) ให้เราได้รับสมx² - กรัม x + h = 0 ในกรอบสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนของพล็อตการอ้างอิงจุด B: (0 , 1) และ Q: (G, H) วาดวงกลมบน BQ เป็นเส้นผ่าศูนย์กลางและปล่อยให้มันตัดแกน x ในเอ็มเอ็นและแสดงให้เห็นว่าการลงนามความยาวของ OM และ ON แทนรากของสมการกำลังสองให้ equation.This แก้ปัญหาเรขาคณิตของสมการกำลังสองปรากฏอยู่ในองค์ประกอบของเลสลี่เรขาคณิต กับคำพูด "ทางออกของปัญหาที่สำคัญนี้แทรกขณะนี้อยู่ในข้อความที่ได้รับการแนะนำให้ฉันโดยนายโทมัสคาร์ไลล์หนุ่มนักคณิตศาสตร์คิดสร้างสรรค์และอดีตนักเรียนของฉัน." (ฉ) การแก้สมการกำลังสองx² - 7x + 12 = 0 และx² + 4x - 21 = 0 โดยวิธีการของคาร์ไลล์. 3.11 การเปลี่ยนแปลงของพื้นที่(ก) วาดรูปหกเหลี่ยมที่ผิดปกตินั้นจะสร้างด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนตารางมีพื้นที่เดียวกัน. (ข) กับระนาบและวงเวียนแบ่ง ABCD สี่เหลี่ยมในสามเทียบเท่า ส่วนโดยเส้นตรงลากผ่านจุดสุดยอด A. (c) แบ่งครึ่งสี่เหลี่ยมคางหมูโดยลากเส้นจากจุด P ในฐานขนาดเล็ก. (ง) การแปลงสามเหลี่ยม ABC เพื่อให้มุมจะไม่ถูกเปลี่ยนแปลง แต่ด้านตรงข้ามมุม กลายเป็นคู่ขนานกับเส้นที่กำหนด MN. (จ) การแปลงรูปสามเหลี่ยมให้เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีมุมจุดสุดยอดที่กำหนด. 3.12 ปกติของแข็ง() แสดงว่าอาจมีไม่มากไปกว่าให้ polyhedral ปกติ. (ข) ละเอียดปริมาณและ . พื้นผิวของรูปแปดด้านปกติของขอบอี(c) สำหรับแต่ละห้า polyhedral ปกติระบุจำนวนของจุดโวขอบ E, F และใบหน้าแล้วประเมินปริมาณวี - e + F หนึ่งในทฤษฎีที่น่าสนใจที่สุดเกี่ยวกับการนูน (หรือมากกว่าปกติใด ๆ เพียงแค่เชื่อมต่อ) รูปทรงหลายเหลี่ยมคือว่าวี - e + f = 2 นี้อาจได้รับทราบเพื่อ Archimedes (แคลิฟอร์เนีย 225 BC) แต่เป็นครั้งแรกที่ระบุไว้อย่างชัดเจน โดย Descartes ประมาณ 1,635 ตั้งแต่ Euier ภายหลังอิสระประกาศว่าใน 1,752 ผลที่มักจะถูกเรียกว่าเป็นสูตรออยเลอร์-Descartes. (ง) cuboctahedron เป็นของแข็งซึ่งจะได้รับโดยการเข้าร่วมกันจุดกลางของขอบที่อยู่ติดกัน ลูกบาศก์ แจกแจง V, E, และ F cuboctahedron. (จ) พิจารณาก้อนของแข็งที่มีปิรามิดปกติสร้างขึ้นบนคู่ของใบหน้า 0pposite ตอนนี้ขอหลุมด้วยส่วนตารางและมีแกนของมันในบรรทัดเข้าร่วมจุดของปิรามิดที่ถูกตัดจากของแข็งประเมินวี - e + F สำหรับของแข็งแหวนรูปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

( C ) ให้มีความสอดคล้องลบหลักฐานของพีทาโกรัสได้ถูก devised โดยเลโอนาร์โด ดา วินชี ( 1452-1519 ) .

มันน่าสนใจที่ 2 เท่ากับพื้นที่หลายเหลี่ยมสอดคล้อง โดยส่วนที่ฉีกขาดและจะสามารถดำเนินการกับ slraightedge และ compases . บนมืออื่น ๆ , ในปี 1901แม็กซ์เดห์น พบว่าสองซึ่งมีปริมาณเท่ากัน ไม่จําเป็นต้องเท่ากัน โดยเพิ่มหรือลบ . โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันเป็นไปไม่ได้ที่จะตรวจสอบปกติเป็นจัตุรมุขซึ่งมีชิ้นที่สามารถ ressembled รูปแบบก้อน


3.6 สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส( อะไรคือความสัมพันธ์ระหว่างด้านและอีกขาหนึ่งข้างสามเหลี่ยมขวาให้พีทาโกรัสสูตร ส่วน 3-4 ?
( B ) พบสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสกำหนดโดยพีทาโกรัสสูตร ส่วน 3-4 ที่ด้านไม่เกิน 100 .
( C ) พิสูจน์ว่ามีอยู่ไม่มีหน้าจั่วสามเหลี่ยมด้านขวาที่มีด้านเป็นจำนวนเต็ม .
( D ) พิสูจน์ว่าไม่มีสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสมีอยู่ที่หนึ่งจำนวนเต็มเป็นหมายถึงสัดส่วนระหว่างอื่น ๆสอง
3.7 จำนวนอตรรกยะ
( A ) พิสูจน์ว่าเส้นตรงผ่านจุด ( 0,0 ) และ ( 1 , √ 2 ) ผ่านจุดอื่นมากกว่า ( 0,0 ) ของการประสานงาน ตุงตาข่าย
( b ) แสดงให้เห็นว่า coordiuate ขัดแตะ อาจถูกใช้เพื่อการหาเหตุผล การ√
2 .( ค ) ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ แสดงว่า√ P เป็นจํานวนอตรรกยะ .
( D ) แสดงให้เห็นว่าบันทึก₁₀ 2 ไม่มีเหตุผล .
( E ) อนุมานส่วน ( D ) โดยแสดงให้เห็นว่าบันทึก₄ b เป็นจำนวนอตรรกยะ ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก และหนึ่งในนั้นมีตัวประกอบเฉพาะ ไม่ได้อยู่ใน อื่น ๆ .

3.8 พีชคณิต ldentities ระบุว่าแต่ละต่อไปนี้อาจจะสร้างอัตลักษณ์เชิงพีชคณิตเรขาคณิต .
( A-B ) พนักงานขาย = พนักงานขายพนักงานขาย 2ab B -
( b C ) = AB AC
( b ) ( C D ) = AC โฆษณา BD
แถลงการณ์ข้อเสนอ 9 เล่ม 2 ของยูคลิดเป็นองค์ประกอบคือ : ถ้าเป็นเส้นตรง คือ แบ่งเป็นสองส่วนไม่เท่ากัน และผลรวมของ สี่เหลี่ยมครึ่งบรรทัด และเส้นระหว่างจุดส่วน จากทฤษฎีบทนี้ขอรับ
เอกลักษณ์เชิงพีชคณิต ( B ) พนักงานขาย ( AB ) = 2 ( พนักงานขาย ( พนักงานขาย ) .

39 เรขาคณิตพีชคณิต
วาดสามส่วนบรรทัดที่ไม่เท่ากัน ป้ายยาวหนึ่ง , ตัวกลาง B และใช้เวลาน้อยที่สุด หนึ่งเป็น 1 หน่วย สันตรงกับวงเวียนสร้างส่วนของเส้นตรงยาว
B และ ( B ,
AB
/ B ,
√ ,
/ n , n เป็นจำนวนเต็มบวก
x = ( พนักงานขาย / พนักงานขาย - AB ) ½ . ถ้าเราสร้างสามเหลี่ยมที่มีด้าน a , b , x , อะไรคือขนาดของมุมระหว่างด้าน A และ B

310 วิธีทางเรขาคณิตของสมการกําลังสอง
( A ) ให้หน่วยส่วน แก้สมการกําลังสอง x 12 = 0 พนักงานขาย - ผลิตโดยพีทาโกรัส )
( B ) ให้หน่วยส่วน แก้สมการกําลังสอง x พนักงานขาย 4x – 21 = 0 โดยพีทาโกรัส )
( C ) กับสันตรงกับวงเวียนแบ่งออกเป็นสองส่วนส่วนที่เป็น เช่น ความแตกต่างของสี่เหลี่ยมของพวกเขาจะเทียบเท่ากับผลิตภัณฑ์ของตน .
( D ) พบว่าในส่วน ( c ) , อีกกลุ่มคือ หมายถึงสัดส่วนระหว่างส่วนที่สั้นกว่าและบรรทัดทั้งหมด เส้น ส่วนว่า จะแบ่งออกเป็น exlreme และวิทยุ หรือสีทอง ส่วน .
( E ) ให้เราได้รับกำลังสองสมการ x พนักงานขาย - GX H = 0 ในกรอบของสี่เหลี่ยมอ้างอิงพล็อตจุด B : ( 0.1 ) และ Q ( G , H )วาดวงกลมบน ( เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และปล่อยให้มันตัดแกน x ใน M และ N ที่ลงนามแสดงความยาวของโอม และเป็นตัวแทนของรากให้ สมการกําลังสอง วิธีนี้ทางเรขาคณิตของสมการที่ปรากฏในเลสลี่องค์ประกอบของเรขาคณิตกับหมายเหตุ " ทางออกของปัญหาสำคัญตอนนี้แทรกในข้อความที่ถูกแนะนำให้ฉันโดยนายโทมัส คาร์ไลน์อัจฉริยะหนุ่มนักคณิตศาสตร์และอดีตลูกศิษย์ "
( F ) แก้สมการกําลังสอง x พนักงานขาย - 7x 12 = 0 x พนักงานขาย 4x – 21 = 0 โดยคาร์ไลล์เป็นวิธี การเปลี่ยนแปลงของพื้นที่ 3.11

( ) วาดเป็นหกเหลี่ยมผิดปกติและจากนั้นสร้างด้วยวงเวียนและสันตรงเป็นตารางที่มี
พื้นที่เดียวกัน( ข ) มีสันตรงวงเวียนแบ่งเป็นสามส่วน โดยรูปสี่เหลี่ยม ABCD เท่ากับเส้นตรงลากผ่านจุดยอด A .
( C ) แบ่งออกเป็นสองส่วนสี่เหลี่ยมคางหมูโดยเส้นที่ลากจากจุด P ในขนาดเล็กฐาน .
( D ) เปลี่ยนรูปสามเหลี่ยม ABC เพื่อให้มุมไม่เปลี่ยนแปลง แต่ด้านตรงข้ามมุม เป็นกลายเป็นขนานกับบรรทัดที่กำหนด
)( E ) แปลงให้สามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมเพื่อให้ของแข็งปกติ
.
3.12 ( ) แสดงให้เห็นว่าจะไม่มีมากขึ้นกว่าปกติซึ่งมีให้ .
( b ) ปรับระดับเสียงและพื้นผิวของทรงแปดหน้าปรกติขอบ E .
( C ) สำหรับแต่ละของห้า ซึ่งมีปกติ ระบุจำนวนของจุดยอด v , E และ F ขอบ , หน้า , แล้วประเมินปริมาณวี– e Fหนึ่งในที่น่าสนใจที่สุดทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับใด ๆนูน ( หรือมากกว่าโดยทั่วไปใด ๆเพียงแค่เชื่อมต่อ ) เป็นทรงหลายหน้าที่ V - E , F = 2 นี้อาจได้รับทราบว่าอาร์คิมิดีส ( ประมาณ 225 ปีก่อนคริสตกาล ) แต่เป็นครั้งแรกอย่างชัดเจนระบุโดย Descartes เกี่ยวกับ 1635 . ตั้งแต่ euier ต่อมาอิสระประกาศใน 1752 , ผลที่ได้คือมักจะเรียกว่าออยเลอร์เดส์
สูตร( ง ) เป็นศิลปะคลาสสิคเป็นของแข็งที่มีจะได้รับโดยการร่วมกันจุดกลางของขอบที่อยู่ติดกันของลูกบาศก์ แจกแจง v , E และ F เป็นศิลปะคลาสสิค .
( E ) พิจารณาก้อนแข็งกับปิรามิดที่สร้างขึ้นบน 0pposite ปกติคู่ของใบหน้า ตอนนี้ให้มีหลุมสี่เหลี่ยม ส่วน และแกนของเส้นกับจุดยอดของปิระมิดถูกตัดจากของแข็งประเมินวี– E F นี้
ring-shaped ของแข็ง