Figure 5: For three copies of CCe(4

Figure 5: For three copies of CCe(4), examples of operations (a), (b), and (c), and
row by row details of (d1), (d2), and (d3).
with j ≤ k − 2, replace it with (k − 2)j . If the last part is kk−1 or kk, replace it
with (k −2)1 or (k −2)2, respectively. These are inverse operations for (a), (b), (c),
(d1), and (d2), respectively. Given an n-color composition counted by CCe(n − 4),
replace the last part kj with (k + 2)j+2, the inverse of operation (d3).
We have established CCe(n) = 4·CCe(n−2)−CCe(n−4). The initial conditions
are easily checked. The sequence begins 0, 0, 2, 0, 8, 0, 30, 0, 112, 0, 418. Removing
the zeros, this is double the sequence A001353 in [8]. The generating function
follows from the recurrence relation and the initial values.
Theorem 6. The number of n-color compositions of n having only odd parts satis-
fies the recurrence CCo(n) = CCo(n−1)+2·CCo(n−2)+CCo(n−3)−CCo(n−4)
with initial values 0, 1, 1, 4. The corresponding generating function is q+q3
1−q−2q2−q3+q4 .
Proof. We establish a bijection between the n-color compositions counted by CCo(n)+
CCo(n − 4) and by CCo(n − 1) + 2 · CCo(n − 2) + CCo(n − 3).
Similar to the previous proofs, we perform the following operations on spotted
tilings counted by CCo(n − 1) + 2 · CCo(n − 2) + CCo(n − 3).
(a) Given an n-color composition counted by CCo(n − 1), add 11 at the end.
(b) For the first set of n-color composition counted by CCo(n − 2), replace the
final part kj with (k + 2)j .
(c) For the second set of n-color composition counted by CCo(n − 2),
(c1) if the last part is k1, replace it with (k + 2)k+1,

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

รูปที่ 5: สำหรับสำเนาของ CCe(4) ตัวอย่างของการดำเนินงาน (ก), (b) และ (c) และ
โดยแถวรายละเอียดของง (1), (d2), และ(ดี 3) .
กับ j ≤ k − 2 แทนมัน ด้วย (k − 2) เจ ส่วนสุดท้ายคือ kk−1 หรือเคเค แทน
ด้วย (k −2) 1 หรือ (k −2) 2 ตามลำดับ มีการดำเนินการผกผันสำหรับ (ก), (b), (c),
(d1) และ (d2), ตามลำดับ กำหนดองค์ประกอบ n สีการนับ โดย CCe (n − 4),
สุดท้ายแทนผละ kj (k 2) เจ 2 ค่าผกผันของการดำเนินงานที่(ดี 3) .
เราได้ก่อตั้ง CCe(n) = 4·CCe(n−2)−CCe(n−4) เงื่อนไขเริ่มต้น
ได้ตรวจสอบ ลำดับเริ่มต้น 0, 0, 2, 0, 8, 0, 30, 0, 112, 0, 418 เอา
ศูนย์ เป็นคู่ลำดับที่ A001353 ใน [8] ฟังก์ชันสร้าง
ดังนี้จากความสัมพันธ์เวียนเกิดแล้วการเริ่มต้นค่า
6 ทฤษฎีบท จำนวน n สีองค์ของ n ที่มีเพียงชิ้นส่วนคี่ satis-
fies เกิด CCo(n) = CCo(n−1) 2·CCo(n−2) CCo (n−3) −CCo (n−4)
ด้วยค่าเริ่มต้น 0, 1, 1, 4 สอดคล้องกับการสร้างฟังก์ชันเป็น q q3
1−q−2q2−q3 q4.
พิสูจน์ เราสร้าง bijection ระหว่างองค์สี n นับ โดย CCo(n)
CCo (n − 4) และ โดย CCo(n − 1) 2 · CCo CCo (n − 2) (n − 3) .
เช่นเดียวกับหลักฐานก่อนหน้านี้ เราดำเนินต่อไปนี้บนด่าง
tilings นับ โดย CCo(n − 1) 2 · CCo(n − 2) CCo (3).
(a) n −ที่กำหนดองค์ประกอบ n สีการนับ โดย CCo (n − 1), เพิ่ม 11 ที่ end.
(b) สำหรับองค์ประกอบ n สีการนับ โดย CCo (n − 2), แทน
ส่วนสุดท้าย kj กับ.
(c) j (k 2) สำหรับชุดสองของ n สีองค์ประกอบนับ โดย CCo (n − 2),
(c1) ถ้าส่วนสุดท้ายคือ k1 แทนที่ ด้วย (k 2) k 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

รูปที่ 5 : 3 สำเนาของ CCE ( 4 ) ตัวอย่างของการดำเนินงาน ( a ) , ( b ) และ ( c ) และ
แถวโดยแถวรายละเอียด ( D1 ) , ( 5 ) และ ( D3 )
≤กับ J K − 2 , แทนที่ด้วย ( K ( − 2 ) J . ถ้าส่วนสุดท้ายคือ KK − 1 หรือ KK แทน
( K − 1 หรือ 2 ) ( K ( − 1 ) 2 ตามลำดับ เหล่านี้มีการดำเนินการผกผัน ( a ) , ( b ) , ( c )
( D1 ) , และ ( D2 ) ตามลำดับ ได้รับ n-color องค์ประกอบนับโดย CCE ( n − 4 ) ,
แทนที่ส่วนที่ KJ ล่าสุดด้วย ( K ) J 2 , 3 งาน ( D3 ) .
เราสร้าง CCE ( n ) = 4 ด้วย CCE ( n − 2 ) − CCE ( n − 4 )
เงื่อนไขเบื้องต้น สามารถตรวจสอบได้ ลำดับเริ่มต้นที่ 0 , 0 , 2 , 0 , 8 , 0 , 30 , 0 , 0 , 0 , 418 . เอา
ศูนย์นี้เป็นสองเท่าในลำดับ a001353 [ 8 ] การสร้างฟังก์ชัน
ดังต่อไปนี้จากความสัมพันธ์เวียนเกิดและค่าเริ่มต้น .
ทฤษฎีบท 6จำนวน n-color องค์ประกอบของการมีเพียง คี่ ส่วนสาธิต -
fies ที่ซ้ำยัง ( n ) = cco ( n − 1 ) 2 ด้วย cco ( n − 2 ) ยัง ( n − 3 ) − ( − 4 cco )
เริ่มต้นค่า 0 , 1 , 1 , 4 ที่สร้างฟังก์ชันเป็น Q Q3
1 −−− 2q2 Q3 Q4 q .
พิสูจน์ เราจะสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่าง n-color องค์ประกอบนับโดย cco ( N )
cco ( n − 4 ) และยัง ( − 1 ) 2 ด้วย cco ( n − 2 ) ยัง ( − 3
n )คล้ายกับหลักฐานก่อนหน้านี้ เราทำปฏิบัติการในด่าง
tilings นับโดย cco ต่อไปนี้ ( − 1 ) 2 ด้วย cco ( n − 2 ) ยัง ( n − 3 )
( ) ได้รับ n-color องค์ประกอบนับโดย cco ( − 1 ) เพิ่ม 11 ตอนจบ
( B ) สำหรับชุดแรกของ n-color องค์ประกอบนับโดย cco ( n − 2 ) แทนที่
KJ ส่วนสุดท้าย ( K ) j .
( C ) สำหรับชุดที่สองของ n-color องค์ประกอบนับโดย cco ( n − 2 )
( C1 ) ถ้าส่วนสุดท้ายคือ K1 , แทนที่ด้วย ( K ) k 1