We trust that the reader did not as

We trust that the reader did not assume that the sequence of the title is
the sequence of odd primes! The sequence under consideration here is de¯ned
recursively by un+2 = un+1 + un ¡ 1, with initial terms (omitted above) u0 = 1
and u1 = 3. The recursive relationship is, of course, very close to that of the
sequence fFng of Fibonacci numbers (Fn+2 = Fn+1 + Fn, F0 = 0, F1 = 1), and
one can readily show, by induction, that un = 2Fn + 1. Our purpose, here, is
to show that fung has only two terms which are perfect squares: u0 = 1 and
u12 = 289.
The character of the terms of fFng has been the subject of a number of
investigations. The values of n have been found for which Fn is a square [1], for
which Fn has the form m(m+1)=2 (i.e., is a triangular number) [5] or m(3m¡1)=2
(a pentagonal number) [6], for which Fn is the product of consecutive integers [7]
and [8], and for which Fn = m(m+2) [9]. Among other results are the values of n
for which Fn is of the form m2 +1, m3
and m3 §1 [2], [3], [4], [9]. It is remarkable
that Fn has none of the above forms if n > 12. Our result in this paper adds to
this list the values of n such that Fn is of the form 2m(m+1) (twice the product of
consecutive integers). Our approach involves using the periodicity of the sequence
modulo any integer to show that, for each integer n =6 0 or 12, there exists an
integer w(n) such that the Jacobi symbol (un j w(n)) = (2Fn + 1 j w(n)) = ¡1.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เราเชื่อว่า ผู้อ่านได้คิดว่า ลำดับของชื่อเรื่องเป็นลำดับของโรงแรมไพรม์แปลก เมื่อพิจารณาที่นี่สร้างเป็น de¯nedrecursively โดย un + 2 =สหประชาชาติ un + 1 ¡ 1 กับ u0 เงื่อนไขเริ่มต้น (ไม่ใส่ด้านบน) = 1และ u1 = 3 ซ้ำความสัมพันธ์สนิท แน่นอน ของfFng ลำดับของเลขฟีโบนัชชี (Fn + 2 = Fn + 1 + Fn, F0 = 0, F1 = 1), และหนึ่งสามารถพร้อมแสดง โดยเหนี่ยวนำ สหประชาชาติที่ = 2Fn + 1 ได้ มีวัตถุประสงค์ ที่นี่แสดงว่าฝั่งมีสองเงื่อนไขซึ่งเป็นกำลังสองสมบูรณ์: u0 = 1 และu12 = 289ลักษณะของเงื่อนไขของ fFng แล้วเรื่องของจำนวนตรวจสอบ มีพบค่าของ n ที่ Fn เป็นสี่เหลี่ยม [1],Fn ที่มี m ฟอร์ม (m + 1) = 2 (เช่น เป็นตัวเลขที่สาม) [5] หรือ m (3m¡1) = 2(หมายเลขห้าเหลี่ยม) [6], สำหรับที่ Fn เป็นผลคูณของจำนวนเต็มติดต่อกัน [7]และ [8], และสำหรับที่ Fn = m(m+2) [9] ระหว่างผลลัพธ์อื่น ๆ คือค่าของ nสำหรับที่ Fn เป็น m2 แบบฟอร์ม + 1, m3และ m3 มาตรา 1 วรรค [2], [3], [4], [9] ก็น่าทึ่งว่า Fn มีไม่มีแบบฟอร์มข้างต้นถ้า n > 12 เพิ่มผลของเราในเอกสารนี้รายการนี้ค่าของ n ที่ Fn เป็น 2m(m+1) แบบฟอร์ม (สองผลิตภัณฑ์ของติดต่อกันเป็นจำนวนเต็ม) วิธีของเราเกี่ยวข้องกับการใช้ประจำงวดของลำดับmodulo ใด ๆ เต็มที่ สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม n = 6 0 หรือ 12 มีการw(n) เต็มที่ Jacobi สัญลักษณ์ (un เจ w(n)) = (2Fn + 1 เจ w(n)) = ¡1

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เราเชื่อว่าผู้อ่านที่ไม่ได้คิดว่าลำดับของชื่อเป็น
ลำดับของจำนวนเฉพาะคี่! ลำดับภายใต้การพิจารณาที่นี่คือ Dened
ซ้ำโดยเอาเครื่องหมาย + 2 = ยกเลิก + 1 + ยกเลิก¡ 1 กับข้อตกลงเบื้องต้น (ละไว้ด้านบน) u0 = 1
และ u1 = 3. ความสัมพันธ์เวียนเกิดเป็นของหลักสูตรที่ใกล้เคียงกับที่ ของ
ลำดับ fFng ของตัวเลข Fibonacci (Fn + 2 = Fn + 1 + Fn, F0 = 0, F1 = 1) และ
หนึ่งพร้อมที่จะแสดงให้เห็นโดยการเหนี่ยวนำที่ยกเลิก = 2FN + 1 จุดประสงค์ของเราที่นี่คือ
การ แสดงให้เห็นว่า Fung มีเพียงสองคำที่มีความสมบูรณ์แบบสี่เหลี่ยม: u0 = 1 และ
. U12 = 289
ตัวอักษรของข้อตกลงของ fFng ได้รับเรื่องของจำนวนของ
การสืบสวน ค่าของ n ได้พบที่ Fn เป็นตาราง [1] สำหรับ
Fn ซึ่งมีรูปแบบเมตร (m + 1) = 2 (กล่าวคือเป็นจำนวนสามเหลี่ยม) [5] หรือเมตร (3m¡1) = 2
(จำนวนห้าเหลี่ยม) [6] ซึ่ง Fn เป็นผลิตภัณฑ์ของจำนวนเต็มติดต่อกัน [7]
และ [8] และที่ Fn = เมตร (m + 2) [9] ท่ามกลางผลอื่น ๆ ที่มีค่าของ n
ที่ Fn เป็นรูปแบบ m2 1, m3
และ m3 วรรค 1 [2], [3] [4], [9] มันน่าทึ่ง
ที่ Fn จะไม่มีรูปแบบดังกล่าวข้างต้นถ้า n> 12. ผลของเราในกระดาษนี้เพื่อเพิ่ม
รายการนี้ค่าของ n เช่นที่ Fn เป็นรูปแบบ 2m (m + 1) (สองผลิตภัณฑ์ของ
จำนวนเต็มติดต่อกัน) . วิธีการของเราเกี่ยวข้องกับการใช้ระยะเวลาของลำดับ
แบบโมดูโลจำนวนเต็มใด ๆ ที่จะแสดงให้เห็นว่าสำหรับแต่ละจำนวนเต็ม n = 6 0 หรือ 12 มีอยู่
จำนวนเต็ม w (n) เช่นว่าจาโคบีสัญลักษณ์ (ยูเอ็นเจดับบลิว (n)) = (2FN + 1 เจดับบลิว (n)) = ¡ 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เราเชื่อว่าผู้อ่านไม่ได้สมมติว่าลำดับของชื่อคือ
ลำดับของจำนวนเฉพาะคี่ ! ลำดับภายใต้การพิจารณาที่นี่คือ เดอ ¯เน็ด
recursively โดยสหประชาชาติสหประชาชาติยูเอ็น 2 = 1 ¡ 1 กับเงื่อนไขเริ่มต้น ( ไว้ข้างต้น ) U0
U1 = 1 และ = 3 ความสัมพันธ์ recursive คือ แน่นอน ใกล้ ของลำดับเลขฟีโบนัชชี (
ffng FN 2 = Fn 1 , กระเป๋าละ = 0 F1 = 1
)หนึ่งสามารถพร้อมแสดง , โดยแม่เหล็กไฟฟ้าที่อุน = 2fn 1 จุดประสงค์ของเรา คือ
แสดงว่าฝั่งมีเพียงสองแง่ที่เป็นสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ : U0 = 1
u12 = 289 .
ตัวละครของเรื่อง ffng ได้รับเรื่องของ
การสืบสวน ค่าของ n ได้พบซึ่ง FN เป็นตาราง [ 1 ] ,
FN ซึ่งมีรูปแบบ M ( M 1 ) = 2 ( คือเป็นหมายเลขสามเหลี่ยม ) [ 5 ] หรือ M ( 3 ¡ 1 ) = 2
( หมายเลขห้าเหลี่ยม ) [ 6 ] ซึ่ง FN เป็นผลิตภัณฑ์ของหลักติดต่อกัน [ 7 ]
และ [ 8 ] และที่ Fn = m ( m 2 ) [ 9 ] ระหว่างผลอื่น ๆ ค่าของ n
ที่ FN เป็นรูปแบบ M2 และ M3
1 M3 § 1 [ 2 ] , [ 3 ] , [ 4 ] , [ 9 ] มันไม่ธรรมดา
ที่ FN มีไม่มีรูปแบบข้างต้นถ้า N > 12 ผลของเราในกระดาษนี้เพิ่ม

รายการนี้ค่าของ n ที่ FN เป็นรูปแบบ 2 M ( M 1 ) ( สองผลิตภัณฑ์
จำนวนเต็มครั้ง ) วิธีการเกี่ยวกับการกำหนดออกของลำดับจำนวนเต็มมอดุโล
ใด ๆที่จะแสดงสำหรับแต่ละจำนวนเต็ม n = 6 0 หรือ 12 มี
จำนวนเต็ม w ( n ) เช่นว่า โคบี้ สัญลักษณ์ ( UN J W ( n ) = ( 2fn 1 J W ( n ) = ¡ 1