The following is the corresponding

The following is the corresponding theorem for fundamental cut sets:
Theorem 2.8. The fundamental cut set corresponding to branch b of the spanning tree T of a
connected graph consists exactly of those links of T∗ whose corresponding fundamental circuit
includes b.
Proof. Let I be a fundamental cut set that corresponds to the branch b of T. Other edges
c1, . . . , ck of I are links of T∗. Let Ci denote the fundamental circuit that corresponds to ci.
Then, ci is the only link of T∗ in both I and Ci. On the other hand, b is the only branch of T in
I. By Theorem 2.6, the common edges of I and Ci are b and ci, in other words, b is an edge of
Ci. Then, we show that the fundamental circuits Ck+1, . . . ,Cm−n+1 corresponding to the links
ck+1, . . . , cm−n+1 do not include b. For example, if b were in Ck+1, then the fundamental circuit
Ck+1 and the cut set I would have exactly one common edge (p ). Hence, the branch b is only
in fundamental circuits C1, . . . ,Ck.
From the results, we can see the duality between cut sets and circuits of a graph: The
theorems for cut sets can generally be converted to dual theorems for circuits and vice versa.
Usually, we just need to change some of the key terminologies to their duals in the theorems and
proofs. In particular, we take advantage of this dualism for dealing with matroids (see Chapter

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ต่อไปนี้เป็นทฤษฎีบทที่สอดคล้องกันสำหรับพื้นฐานตัดชุด:ทฤษฎีบทที่ 2.8 พื้นฐานการตัดชุดที่ตรงกับสาขา b spanning ต้น T ของการกราฟที่เชื่อมต่อประกอบด้วยตรงที่ลิงค์ T∗ วงจรพื้นฐานสอดคล้องกันมี bหลักฐานการ ให้ฉันเป็นพื้นฐานในการตัดชุดที่สอดคล้องกับบีสาขาของต. ขอบอื่น ๆc1,..., ck ของฉันคือการ เชื่อมโยงของ T∗ ให้ Ci แสดงวงจรพื้นฐานที่สอดคล้องกับ ciแล้ว ci เป็นลิงค์เดียวของ T∗ ฉันและ Ci บนมืออื่น ๆ b เป็นสาขาเดียวของ T ในI. โดยทฤษฎีบท 2.6 ขอบร่วมกันของฉันและ Ci b และ ci กล่าว b คือขอบของCi แล้ว เราแสดงว่า พื้นฐานวงจร Ck + 1,..., Cm−n + 1 ที่ตรงกับการเชื่อมโยงck + 1,..., cm−n + 1 ไม่รวม b ตัวอย่างเช่น ถ้า b ใน Ck + 1 จากวงจรพื้นฐานCk + 1 และชุดที่ตัดต้องขอบทั่วไปหนึ่ง (p) ดังนั้น b สาขาเป็นเท่านั้นในพื้นฐานวงจร C1,..., Ck.จากผลลัพธ์ เราสามารถเห็นทวิภาวะระหว่างตัดชุดและวงจรของกราฟ: การโดยทั่วไปจะสามารถแปลงเป็นทฤษฎีสำหรับตัดชุดสองทฤษฎีวงจร และในทางกลับกันโดยปกติ เราก็ต้องเปลี่ยนของ terminologies คีย์ของพวกเขา duals ในทฤษฎี และหลักฐานการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราใช้ dualism นี้สำหรับจัดการกับ matroids (ดูบท

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ต่อไปนี้เป็นทฤษฎีบทที่สอดคล้องกันสำหรับชุดตัดพื้นฐาน:
ทฤษฎีบท 2.8 ตัดตั้งพื้นฐานที่สอดคล้องกับสาขาของข T ต้นไม้ทอดของ
กราฟที่เชื่อมต่อว่าประกอบด้วยการเชื่อมโยงผู้ T * ที่มีวงจรพื้นฐานที่สอดคล้องกัน
รวมถึงข.
หลักฐาน ให้ฉันเป็นชุดตัดพื้นฐานที่สอดคล้องกับสาขาของขตันขอบอื่น ๆ
c1, . . , CK ของฉันมีการเชื่อมโยงของ T * ให้ Ci แสดงวงจรพื้นฐานที่สอดคล้องกับ CI.
จากนั้น CI คือการเชื่อมโยงเดียวของ T * ทั้งในและฉัน Ci บนมืออื่น ๆ , B เป็นสาขาเดียวของ T ใน
ครั้งที่หนึ่ง โดยทฤษฎีบท 2.6 ขอบร่วมกันของฉันและมีข Ci และ CI ในคำอื่น ๆ , B คือขอบของ
Ci จากนั้นเราจะแสดงให้เห็นว่าวงจรพื้นฐาน Ck + 1 . . , CM-1 + n สอดคล้องกับการเชื่อมโยง
CK + 1 . . , ซม 1 + n ไม่รวมข ตัวอย่างเช่นถ้าอยู่ในข Ck + 1 แล้ววงจรพื้นฐาน
Ck + 1 และตั้งค่าตัดฉันจะต้องตรงขอบทั่วไป (P) ดังนั้นสาขาขเป็นเพียง
ในวงจรพื้นฐาน C1, . . . Ck
จากผลเราจะเห็นคู่ระหว่างชุดตัดและวงจรของกราฟ:
. ทฤษฎีบทสำหรับชุดตัดโดยทั่วไปสามารถแปลงเป็นทฤษฎีบทคู่สำหรับวงจรและในทางกลับกัน
โดยปกติแล้วเราก็ต้องมีการเปลี่ยนแปลงบางอย่างที่สำคัญ คำศัพท์ที่จะ duals ของพวกเขาในทฤษฎีและ
หลักฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราใช้ประโยชน์จากคู่นี้ในการจัดการกับ matroids (ดูบทที่

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ต่อไปนี้เป็นทฤษฎีที่สอดคล้องกันสำหรับชุดตัดพื้นฐาน :
ทฤษฎีบท 2.8 . ตัดชุดพื้นฐานที่สอดคล้องกับสาขา B ของต้นไม้ทอดข้ามของกราฟเป็น
เชื่อมประกอบด้วยว่าของการเชื่อมโยงเหล่านั้นของ T ∗ที่สอดคล้องกันพื้นฐานวงจร B .

มีหลักฐาน ให้ฉันได้ตัดชุดพื้นฐานที่สอดคล้องกับสาขา B ต. อื่น ๆขอบ
: . . . . . . . . CK ของฉันคือการเชื่อมโยงของ T ∗ .ให้มีแสดงวงจรพื้นฐานที่สอดคล้องกับ CI .
แล้ว CI เป็นลิงค์เดียว T ∗ทั้งฉันและ CI บนมืออื่น ๆ , B เป็นเพียงสาขาของ t
ฉันโดยทั่วไปของทฤษฎีบท 2.6 , ขอบและมี บี และซี ในคำอื่น ๆ B เป็นขอบ
CI แล้ว เราแสดงให้เห็นว่าวงจรพื้นฐาน CK 1 . . . . . . . . , cm − n 1 สอดคล้องกับการเชื่อมโยง
CK 1 . . . . . . . . , cm − n 1 ไม่รวม พ.ตัวอย่างเช่น ถ้า B มี CK 1 แล้วพื้นฐานวงจร
CK 1 และตัดชุด ผมจะตรงขอบร่วมกัน ( P ) ดังนั้น สาขา B เท่านั้น
ใน C1 , วงจรพื้นฐาน . . . . . . . CK .
จากผลลัพธ์ที่ได้ เราสามารถเห็นการต่อสู้ระหว่างตัดชุด และวงจรของกราฟ :
ทฤษฎีบทสำหรับชุดตัดโดยทั่วไปสามารถแปลงเป็นทฤษฎีบทที่สองสำหรับวงจรและในทางกลับกัน .
โดยปกติเราแค่ต้องเปลี่ยนบางส่วนของคำศัพท์คีย์ duals ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทและ
. โดยเฉพาะ เราใช้ประโยชน์จากคู่นี้เพื่อจัดการกับ Matroids ( ดูบทที่