Taking α = a+ib ∈ Z[i], where a2 +b

Taking α = a+ib ∈ Z[i], where a2 +b2 > 1, by Theorem 1.2(b) with zn = 0
for n = 0, 1, 2,..., we deduce that there exists a transcendental number ζ (so,
in particular, ζ /∈ Q + iQ) such that the numbers ζ(a + ib)n, n = 0, 1, 2,...,
all lie in the union of closed discs with radii M = 1/(
√a2 + b2 − 1) centered
at (1 + i)/2 + Z[i]. In particular, all the limit points of the sequence
{ζ(a + ib)n}, n = 0, 1, 2,..., can be covered by a circle with diameter 2M =
2/(
√a2 + b2 − 1). Note that M = 1/(
√a2 + b2 − 1) < 1/2 if a2 + b2 > 9.
This shows that the number 1/
√
a2 + b2 given in (1.2) cannot be replaced by
a number greater than 2/(
√a2 + b2 − 1) for a, b ∈ Z satisfying a2 + b2 ≥ 10.
In the next section, we shall give two auxiliary lemmas and prove a non-periodicity
of some sequence of Gaussian integers related to the minimal polynomial
P of an algebraic number α. This is a key part of the proof of Theorem 1.1
which is then completed in Section 3. The proof of Theorem 1.2 is given in
Section 4.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การα = a + อิบ∈ Z [ผม] ที่ a2 + b2> 1 โดยทฤษฎีบท 1.2 (ข) กับ Zn = 0
สำหรับ n = 0, 1, 2, ... , เราได้ข้อสรุปว่ามีอยู่จำนวนอดิศัย ζ
(เช่นนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งζ / ∈ Q + iQ) เช่นที่หมายเลขζ (A + IB) n, n = 0, 1, 2, ... ,
ทั้งหมดโกหกในสหภาพของแผ่นปิดที่มีรัศมี M = 1 /
(√a2 + b2 - 1)
ศูนย์กลางที่(1 + i) / 2 + Z [ผม] โดยเฉพาะอย่างยิ่งทุกจุดขีด จำกัด ของลำดับ
{ζ (A + IB) n} n = 0, 1, 2, ... , สามารถได้รับการคุ้มครองโดยวงกลมมีเส้นผ่าศูนย์กลาง 2M =
2 /
(√a2 + b2 - 1) โปรดทราบว่า M = 1 /
(√a2 + b2 - 1) <02/01 ถ้า a2 + b2> 9.
นี้แสดงให้เห็นว่าจำนวน 1 /
√
a2 + b2 กำหนดไว้ใน (1.2)
ไม่สามารถแทนที่ด้วยจำนวนมากกว่า2 /
(√a2 + b2 - 1) สำหรับข∈ Z ความพึงพอใจ a2 + b2 ≥ 10
ในส่วนถัดไปเราจะให้สอง lemmas
เสริมและพิสูจน์ไม่ใช่ช่วงของลำดับบางส่วนของจำนวนเต็มเสียนที่เกี่ยวข้องกับพหุนามน้อยที่สุด
P ของαจำนวนเกี่ยวกับพีชคณิต นี้เป็นส่วนสำคัญของการพิสูจน์ทฤษฎีบท 1.1
ซึ่งเป็นที่เรียบร้อยแล้วในมาตรา 3 หลักฐานการทฤษฎีบท 1.2
จะได้รับในส่วนที่4

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การα = IB ∈ Z [ i ] ที่ A2 B2 > 1 โดยทฤษฎีบท 1.2 ( B ) กับ Zn = 0 =
n = 0 , 1 , 2 , . . . . . . . เราอนุมานว่ามีอยู่จำนวนζอุตรภาพ ( ดังนั้น
โดยเฉพาะζ / ∈ Q IQ ) เช่นว่า หมายเลขζ ( IB ) n , n = 0 , 1 , 2 , . . . ,
โกหกทั้งหมดในสหภาพของแผ่นปิดที่มีรัศมี M = 1 / (
√ A2 B2 − 1 ) ศูนย์กลาง
( 1 / 2 ) Z [ i ] โดยเฉพาะ ทุกจุดของลำดับ
จำกัด{ ζ ( IB ) n } , n = 0 , 1 , 2 , . . . , สามารถถูกปกคลุมด้วยวงกลมที่มีเส้นผ่าศูนย์กลาง 2 เมตร =
2 / (
√ A2 B2 − 1 ) ทราบว่า M = 1 / (
√ A2 B2 − 1 ) = 1 / 2 ถ้า A2 B2 > 9 .
นี้แสดงว่า เลขที่ 1 /
√
A2 B2 ที่ระบุใน ( 1 ) จะถูกแทนด้วยจำนวนที่มากกว่า 2
/ (
√ A2 B2 − 1 ) , B ∈ A2 B2 Z ภิรมย์≥ 10 .
ในส่วนถัดไป เราก็จะให้สอง lemmas เสริมและพิสูจน์ว่าไม่ใช่อย่าง
บางลำดับของจำนวนเต็มเกาส์เซียน ที่เกี่ยวข้องให้น้อยที่สุดโดย
P ของαเลขพีชคณิต นี้เป็นส่วนหนึ่งที่สำคัญของการพิสูจน์ทฤษฎีบท 1.1
ซึ่งจะแล้วเสร็จในมาตรา 3 ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบท 1.2 จะได้รับใน
มาตรา 4