We have four boxes. Box I contains

We have four boxes. Box I contains 2000 components of which 5% are defective. Box 2 contains 500 components of which 40% are defective. Boxes 3 and 4 contain 1000 each with 10% defective. We select at random one of the boxes and we remove at random a single component.
(a) What is the probability that the selected component is defective?
Solution
The space of this experiment consists of 4000 good (g) components and 500 defective (d) components arranged as:
Box 1: 1900g, 100d Box 2: 300g, 200d
Box 3: 900g, 100d Box 4: 900g, 100d

We denote by B, the event consisting of all components in the i th box and by D the event consisting of all defective components. Clearly.
P (B1) = P (B2) = P (B3) = P (B4) = 1/4
Because the boxes are selected at random. The probability that a component taken from a specific box is defective equals the ratio of the defective to the total number of component in that box. This means that
P (D|B1) = 100/2000 = 0.05 P (D|B2) = 200/500 = 0.4
P (D|B3) = 100/1000 = 0.1 P (D|B2) = 100/1000 = 0.1
And since the events B1, B2, B3 and B4 form a partition of S, we conclude from that
P (D) = 0.05 x 1/4 + 0.4 x 1/4 + 0.1 x 1/4 + 0.1 x 1/4 = 0.1625
This is the probability that the selected component is defective.
(b) We examine the selected component and we find it defective. On the basis of this evidence, we want to determine the probability that it came from box 2.
We now want the conditional probability P (B2|D). Since
P (D) = 0.1625 P (D|B2) = 0.4 P(B2) = 0.25
yields
P (B2|D) = 0.4 x 0.25/0.1625 = 0.615

Thus the a priori probability of selecting box 2 equals 0.25 and the a posteriori probability assuming that the selected component is defective equals 0.615. The probabilities have this frequency interpretation: If the experiment is performed n times, then box 2 is selected 0.25n times. If we consider only the nD experiments in which the removed part is defective, then the number of times the part is taken from box 2 equals 0.615nD.
We conclude with a comment on the distinction between assumption and deductions: Equations (2 - 48) and (2 – 49) are not derived: they are merely reasonable assumptions. Based on these assumptions and on the axioms, we deduce that P (D) = 0.1625 and P (B2}D) = 0.615.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เรามีสี่กล่อง กล่องผมมี 2000 ส่วนประกอบ 5% ซึ่งเป็นข้อบกพร่อง 2 กล่อง 500 มีส่วนประกอบซึ่ง 40% เป็นข้อบกพร่อง 3 กล่องและ 4 มี 1,000 แต่ละคนมี 10% ที่มีข้อบกพร่อง เราเลือกที่หนึ่งของกล่องสุ่มและเราเอาที่สุ่มส่วนหนึ่ง.
() สิ่งที่เป็นความน่าจะเป็นองค์ประกอบที่เลือกบกพร่อง? การแก้ปัญหา

พื้นที่ของการทดลองนี้ประกอบด้วยองค์ประกอบ 4000 (g) ดี 500 และส่วนประกอบ (ง) จัดเป็นข้อบกพร่อง: กล่อง
1: 1900g, 100d กล่องที่ 2: 300g, 200D กล่อง
3: 900g, 100d กล่องที่ 4: 900g, 100d

เราหมายถึงโดย b, จัดกิจกรรมที่ประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดในกล่อง th ผมและโดย d กิจกรรมที่ประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดที่มีข้อบกพร่อง อย่างเห็นได้ชัด. p
(B1) = P (B2) = P (B3) = p (B4) = 1/4
เพราะกล่องจะถูกเลือกโดยการสุ่ม ความน่าจะเป็นส่วนประกอบที่นำมาจากกล่องที่เฉพาะเจาะจงชำรุดเท่ากับอัตราส่วนของข้อบกพร่องกับจำนวนขององค์ประกอบในกล่องที่ นี้หมายความว่า p
(ง | B1) = 100/2000 = 0.05 p (d | b2) = 200/500 = 0.4
p (d | b3) = 100/1000 = 0.1 p (d | b2) = 100 / 1000 = 0.1
และตั้งแต่ b1 เหตุการณ์ B2, B3 และ B4 รูปแบบพาร์ทิชันของ s,เราสรุปจากที่ p
(ง) = 0.05 x 1/4 0.4 x 1/4 0.1 x 1/4 0.1 x 1/4 = 0.1625
นี้น่าจะเป็นที่ส่วนที่เลือกมีข้อบกพร่อง.
(ข) เราตรวจสอบ องค์ประกอบที่เลือกและเราพบว่ามันมีข้อบกพร่อง บนพื้นฐานของหลักฐานนี้เราต้องการที่จะกำหนดความน่าจะเป็นว่ามันมาจาก 2 กล่อง
ตอนนี้เราต้องการ p น่าจะเป็นเงื่อนไข. (b2 | ง) ตั้งแต่ p
(ง) = 0.1625 p (d | b2) = 04 p (B2) = 0.25 อัตราผลตอบแทน

p (b2 | D) = 0.4 x 0.25/0.1625 = 0.615

ดังนั้นความน่าจะเป็นเบื้องต้นของการเลือก 2 กล่องเท่ากับ 0.25 เท่าและความน่าจะเป็น posteriori สมมติว่าส่วนที่เลือกมีข้อบกพร่องเท่ากับ 0.615 น่าจะมีการตีความความถี่นี้หากการทดลองจะดำเนินการ n ครั้งแล้ว 2 กล่องจะถูกเลือกครั้ง 0.25nถ้าเราพิจารณาเพียงการทดลอง nd ซึ่งส่วนหนึ่งออกเสียแล้วจำนวนครั้งที่ส่วนหนึ่งจะมาจาก 2 กล่องเท่ากับ 0.615nd
เราสรุปด้วยกับความคิดเห็นเกี่ยวกับความแตกต่างระหว่างการสันนิษฐานและการหักเงิน: สมการ (2-48. ) และ (2-49) จะไม่ได้มา: พวกเขาเป็นเพียงสมมติฐานที่สมเหตุสมผล ขึ้นอยู่กับสมมติฐานเหล่านี้และเมื่อหลักการที่เราได้ข้อสรุปว่า p (D) = 01625 และ P (b2} d) = 0.615.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เรามี 4 กล่อง กล่องผมประกอบด้วย 2000 ส่วนประกอบที่ 5% จะมีข้อบกพร่อง 2 กล่องประกอบด้วย 500 ส่วนที่ 40% จะมีข้อบกพร่อง กล่อง 3 และ 4 ประกอบด้วย 1000 ละ 10% มีตำหนิ เราเลือกที่หนึ่งสุ่มกล่อง และเราเอาสุ่มเดียวส่วนประกอบ
(a) อะไรคือความเป็นไปได้ว่าส่วนประกอบที่เลือกบกพร่องหรือไม่
โซลูชัน
พื้นที่ทดลองนี้ประกอบด้วยคอมโพเนนต์ 4000 ดี (g) และ 500 เสีย (d) ประกอบจัดเรียงตาม:
กล่อง 1: 1900g, d 100 กล่อง 2: 300g, 200d
กล่อง 3:900 กรัม 100d กล่อง 4:900 กรัม 100d

เราแสดง โดย B เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยคอมโพเนนต์ทั้งหมด i กล่อง th และ D เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยส่วนประกอบที่ชำรุดทั้งหมด ชัดเจน
P (B1) = P (B2) = P (B3) = P (B4) = 1/4
เนื่องจากมีเลือกกล่องกาเครื่องหมายที่สุ่ม ความเป็นไปได้ว่าส่วนประกอบที่นำมาจากกล่องเฉพาะชำรุดเท่ากับอัตราส่วนของชำรุดให้จำนวนรวมของส่วนประกอบในกล่องนั้น นี้หมายความ ว่า
P (D|B1) = 100/2000 = 0.05 P (D|B2) = 200/500 = 0.4
P (D|B3) = 100/1000 = 0.1 P (D|B2) = 100/1000 = 0.1
และเนื่อง จากเหตุการณ์ B1, B2, B3 และ B4 แบบพาร์ติชันของ S เราสรุปจาก
P (D) = 0.05 x 1/4 0.4 x 1/4 4/0.1 x 1 0.1 x 1/4 = 0.1625
นี้มีความเป็นไปได้ว่า ส่วนประกอบที่เลือกได้ชำรุด
(b) เราตรวจสอบส่วนประกอบที่เลือก และเราค้นหาข้อบกพร่อง ตามหลักฐานนี้ เราต้องการกำหนดความเป็นไปได้ว่า มาจากกล่อง 2.
ตอนนี้เราต้องน่าเป็นมีเงื่อนไข P (B2|D) ตั้งแต่
P (D) = P 0.1625 (D|B2) = 04 P(B2) = 0.25
ทำให้
P (B2|D) = 0.4 x 0.25/0.1625 = 0.615

ดังนั้นการใช้ priori น่าเลือก 2 กล่องเท่ากับ 0.25 และสมมติว่า posteriori เป็นความน่าเป็นว่าส่วนประกอบที่เลือกเสียเท่ากับ 0.615 กิจกรรมที่มีการตีความความถี่นี้: เลือกหากทดลอง ทำ n ครั้ง จากนั้นกล่อง 2 0.25n ครั้ง ถ้าเราพิจารณาเฉพาะการทดลองของ nD ที่มีข้อบกพร่องที่ส่วนเอา แล้วจำนวนส่วนจะนำมาจากกล่อง 2 ครั้งเท่ากับ 0.615nD.
เราสรุปกับข้อคิดเห็นบนความแตกต่างระหว่างอัสสัมชัญและหัก: สมการ (2-48) และไม่มา (2-49): สมมติฐานที่เหมาะสมเพียงใดจะ เราตามสมมติฐานเหล่านี้ และ ตามสัจพจน์ของความแบบ เดาที่ P (D) = 0ค.ศ. 1625 และ P (B2 } D) = 0.615

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เรามีสี่ช่อง ช่องทำเครื่องหมายผมประกอบด้วย 2000 ส่วนประกอบของที่ 5% มีความผิดปกติ ช่องทำเครื่องหมาย 2 ประกอบด้วย 500 คอมโพเนนต์ของซึ่ง 40% จะมีข้อบกพร่อง กล่องโต้ตอบ 3 และ 4 ประกอบด้วย 1000 แต่ละห้องพร้อมด้วย 10% มีข้อบกพร่อง เราเลือกแบบสุ่มหนึ่งในกล่องและเราถอดแบบสุ่มคอมโพเนนต์เดียว.
(ก)ที่มีความเป็นไปได้ที่คอมโพเนนต์ที่เลือกมีความผิดปกติหรือไม่?

โซลูชันที่พื้นที่ของโรงแรมแห่งนี้ทำการทดลองประกอบด้วย 4000 ที่ดี( g )และคอมโพเนนต์ 500 มีข้อบกพร่อง( D )ส่วนประกอบจัดเตรียม:
กล่อง 1 : 1900 G , 100 D กล่อง 2 : 300 G , 200 D
กล่อง 3 : 900 G , 100 D 4 : 900 G , 100 D

เราแสดงว่าโดย B ,ที่จัดงานซึ่งประกอบด้วยส่วนประกอบทั้งหมดในที่ผม. co . th กล่องและโดย D ที่เหตุการณ์ประกอบด้วยทั้งหมดมีข้อบกพร่องส่วนประกอบ. อย่างเห็นได้ชัด.
P ( B 1 )= P ( B 2 )= P ( B 3 )= P ( B 4 )= 1/4 1/4 1/4
เนื่องจากกล่องโต้ตอบที่มีการเลือกแบบสุ่ม ความเป็นไปได้ที่คอมโพเนนต์ที่นำมาจากช่องทำเครื่องหมายเฉพาะที่มีข้อบกพร่องซึ่งเท่ากับอัตราที่มีปัญหาที่จำนวนของส่วนประกอบในกล่องที่ ซึ่งหมายความว่า
P ( D | B 1 )= 100/2000 = 0.05 P ( D | B 2 )= 200/500 = 0.4
P ( D | B 3 )= 100/1000 = 0.1 P ( D | B 2 )= 100/1000 = 0.1
และนับตั้งแต่เหตุการณ์ b1 , b2 , B 3 B 4 และแบบฟอร์มที่พาร์ติชันของ S ,เราสิ้นสุดจากที่
P ( D )= 0.05 x 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 0.4 x 0.1 x 0.1 x 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 = 0.1625
แห่งนี้มีความเป็นไปได้ว่าที่เลือกส่วนประกอบมีข้อบกพร่อง.
( B )เราตรวจสอบที่เลือกส่วนประกอบและเราจะได้พบว่ามีข้อบกพร่อง. บนพื้นฐานของหลักฐานนี้เราต้องการตรวจสอบความเป็นไปได้ที่จะมาจากกล่อง 2 .
ตอนนี้เราต้องการความเป็นไปได้โดยมีเงื่อนไข P ( D | B 2 ) นับตั้งแต่
P ( D )= 0.1625 P ( D | B 2 )= 04 p ( B 2 )= 0.25

อัตราผลตอบแทน P ( B 2 | D )= 0.4 x 0.25/0.1625 = 0.615

ดังนั้น Priori ที่ความเป็นไปได้ของการเลือกกล่องกาเครื่องหมาย 2 เท่ากับ 0.25 และ(การอ้างเหตุผล)โดยวิธี induction โอกาสการสันนิษฐานว่าที่เลือกส่วนประกอบมีข้อบกพร่องซึ่งเท่ากับ 0.615 . ความน่าจะเป็นที่มีการตีความความถี่นี้หากการทดลองจะดำเนินการ n ครั้งแล้วกล่อง 2 มีการเลือกเวลา 0.25 nถ้าเราพิจารณาเท่านั้นการทดลองด้านในซึ่งส่วนหนึ่งถูกลบออกไปแล้วมีความผิดปกติแล้วจึงตามด้วยหมายเลขของเวลาส่วนที่มีการใช้งานอยู่แล้วจากกล่อง 2 เท่ากับ 0.615 ..
เราสิ้นสุดลงด้วยความคิดเห็นเกี่ยวกับความแตกต่างระหว่างลดหย่อนและสม( 2 - 48 )และ( 2 - 49 )นั้นไม่ได้นำมาเป็นเพียงสมมุติฐานที่เหมาะสม บนสมมุติฐานนี้และที่ไม่ต้องพิสูจน์)เราจะพิจารณาเหตุผลที่ P ( D )= 0ไปในปี 1625 และ P ( B 2 } D )= 0.615 .