In this section, we prove the corre

In this section, we prove the correctness and secrecy of Theorem 1. First, in Lemma 2, we show that for suciently large k > 0 and q > 3 2kn2 log n, LocationSharing computes a random permutation of the input queries with high probability.


Definition 1. [Perfect Random Permutation] Con- sider a set of n  1 elements A = fa1; a2; :::ang. A perfect random permutation of A is a permutation chosen uniformly at random from the set of all possible n! permutations of A.

Lemma 1. Consider a sequence of input pairs (r1; x1);:::; (rn; xn), and a sorting protocol  that sorts the pairs according to their rst elements.  computes a perfect random permutation of the pairs if their rst elements are chosen uniformly at random and are distinct.


Proof. Let X = (r1; x1); :::; (rn; xn) be the input sequence and Y = (s1; y1); :::; (sn; yn) be the output sequence of . Note s1; :::; snis the sorted sequence of fr1; :::; rng. An arbitrary output sequence of pairs Y 0 = (s0 1; y01 ); :::; (s0 n; y0n ) is said to be equal to Y if yi = y0 i, for all i 2 [n]. We want to prove that the probability of Y 0 being equal to Y is 1 n! . In general, for any i 2 [n], yi = y0 i if and only if s0 i is the i-th smallest element in fr1; :::; rng conditioned on knowing the i

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในส่วนนี้ เราสามารถพิสูจน์ความถูกต้องและความลับของทฤษฎีบท 1 ครั้งแรก ในหน่วยการ 2 เราแสดงว่า su ciently ใหญ่ k > 0 และ n ล็อก 2kn2 > 3 q, LocationSharing คำนวณการเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่มการป้อนข้อมูล มีโอกาสสูงนิยามที่ 1 [เรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่มสมบูรณ์] ปรับ sider ชุดขององค์ประกอบ n 1 A = fa1 a2 ::: ang. การเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่มสมบูรณ์แบบของ A คือ การเรียงสับเปลี่ยนสุ่มอย่างสม่ำเสมอจากการตั้งค่าของ n ที่เป็นไปได้ทั้งหมด วิธีเรียงสับเปลี่ยนของก. หน่วยการที่ 1 พิจารณาลำดับการป้อนข้อมูลคู่ (r1; x1);:::; (rn; xn), และโพรโทคอเรียงที่เรียงคู่ตามองค์ประกอบของ rst คำนวณการเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่มสมบูรณ์แบบของคู่ถ้าองค์ประกอบของ rst จะถูกเลือกโดยการสุ่มอย่างสม่ำเสมอ และจะแตกต่างหลักฐาน ให้ X = (r1; x1); :::; (rn; xn) เป็นอินพุตลำดับและ Y = (s1; y1); :::; (sn; yn) เป็นลำดับการออกของ หมายเหตุ: s1 :::; ข้อมูลเรียงลำดับของ fr1 :::; rng ลำดับการกำหนดผลลัพธ์ของคู่ Y 0 = (s0 1; y01); :::; (s0 n; y0n) กล่าวจะเท่ากับ Y ถ้ายี่ = y0 i ทั้งหมด 2 [n] ของฉัน เราต้องการพิสูจน์ว่า ความน่าเป็นของ Y เท่ากับ Y เป็น 0 เป็น 1 n ทั่วไป สำหรับ i ใด ๆ 2 [n], yi = y0 ผมถ้าหาก s0 เป็นองค์ประกอบที่เล็กที่สุดของ i-th ใน fr1 :::; rng ปรับที่รู้ i