Fagnano's TheoremIf P(x,y) and P(x^

Fagnano's Theorem
If P(x,y) and P(x^',y^') are two points on an ellipse

(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1,
(1)
with eccentric angles phi and phi^' such that

tanphitanphi^'=b/a
(2)
and A=P(a,0) and B=P(0,b). Then

arcBP+arcBP^'=(e^2xx^')/a.
(3)
This follows from the identity

E(u,k)+E(v,k)-E(k)=k^2sn(u,k)sn(v,k),
(4)
where E(u,k) is an incomplete elliptic integral of the second kind, E(k) is a complete elliptic integral of the second kind, and sn(v,k) is a Jacobi elliptic function. If P and P^' coincide, the point where they coincide is called Fagnano's point.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบทของ Fagnanoถ้า P(x,y) และ P(x^',y^') สองจุดบนรูปวงรี (x ^ 2) /(a^2) +(y^2) /(b^2) = 1 (1)กับเซนทริกมุมพีพีและพี ^' เช่นว่า tanphitanphi ^'= b / การ (2)และ A=P(a,0) และ B=P(0,b) แล้ว arcBP + arcBP ^' =(e^2xx^')/a (3)นี้ต่อไปนี้จากรหัสประจำตัว E(u,k)+E(v,k)-E(k)=k^2sn(u,k)sn(v,k) (4)ที่ E(u,k) เป็นสมบูรณ์ elliptic ชนิดที่สอง ทฤษฎีบูรณาการ elliptic สมบูรณ์ของชนิดที่สองคือ E(k) และ sn(v,k) เป็นฟังก์ชัน elliptic Jacobi ถ้า P และ P ^' ลงรอย จุดที่สอดคล้องคือจุดของ Fagnano

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบท Fagnano ของ
ถ้า P (x, y) และ P (x ^ ', y ^') เป็นสองจุดบนวงรี(x ^ 2) / (^ 2) + (y ^ 2) / (ข ^ 2) = 1 (1) ที่มีมุมประหลาดพีและพี ^ 'เช่นที่tanphitanphi ^ '= b / (2) และ P = (a, 0) และ B = P (0, ข) จากนั้นarcBP + arcBP ^ '= (จ ^ 2xx ^') /. (3) นี้ต่อไปจากตัวตนE (U, k) + E (V, k) -E (k) = k ^ 2SN (U, k) เอสเอ็น (V, k), (4) ที่ E (U, k) เป็นหนึ่งรูปไข่ที่ไม่สมบูรณ์ของประเภทที่สอง, E (k) เป็นหนึ่งรูปไข่ที่สมบูรณ์ของประเภทที่สองและ SN (V, k) เป็นฟังก์ชั่นรูปไข่จาโคบี ถ้า P และ P ^ 'ตรงจุดที่พวกเขาเหมือนกันเรียกว่าจุด Fagnano ของ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ถ้า fagnano ทฤษฎีบทของ p ( x , y ) และ P ( x
' Y ,
' ) มีจุดสองจุดบนวงรี

( x
2 ) / (
2 ) ( y
2 ) / ( b
2 = 1

( 1 ) เยื้องมุมกับ พีพี และพีพี
' เช่นที่

tanphitanphi
' = b / a
2 )
และ = P ( , 0 ) และ B = P ( 0 , B ) แล้ว

arcbp arcbp
' = ( e

' ความ ) / A ( 3 )

ตามจากตัวตน

e ( U , K ) E ( V , k ) - E ( k ) = k
2sn ( U , K ) Sn ( V , k )
( 4 )
e ( U , K ) ที่เป็นรูปหนึ่งของไม่สมบูรณ์ชนิดที่สองE ( K ) เป็นรูปที่สมบูรณ์ครบถ้วนของประเภทที่สองและ SN ( V , k ) เป็นโคบี้ปิดฟังก์ชัน ถ้า P และ P
' ตรงจุดที่พวกเขาตรงกันเรียกว่า fagnano เป็นจุด