Theorem 2.6. If positive integers x

Theorem 2.6. If positive integers x, y, k satisfy the equation
x
2 − kxy − y
2 ∓ y = 0,
then y = u
2
and x = uv for some positive integers u and v.
Corollary 2.7. All positive integer solutions of the equation x2 − xy − y
2 + y = 0 are given by (x, y) = (F2nF2n−1, F
2
2n−1
) with
n ≥ 1.
Proof. Assume that x
2 − xy − y
2 + y = 0 for some positive integers x and y. Then by Theorem 2.6, y = u
2
and x = uv
for some positive integers u and v. This shows that u
2v
2 − u
3v − u
4 + u
2 = 0, which implies that v
2 − vu − u
2 + 1 = 0.
Therefore by Corollary 1.4, (v, u) = (F2n, F2n−1) for some n ≥ 1. Thus (x, y) = (uv, u
2
) = (F2nF2n−1, F
2
2n−1
) with n ≥ 1.
Conversely, if (x, y) = (F2nF2n−1, F
2
2n−1
), then by Corollary 1.4, it follows that x
2 − xy − y
2 + y = 0.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบท 2.6 ถ้าจำนวนเต็มบวก x, y, k พอใจสม
x
2 - kxy - Y
2 ∓ Y = 0
แล้ว y = U
2
และ x = UV สำหรับจำนวนเต็มบวกและ U v.
ควันหลง 2.7 ทั้งหมดโซลูชั่นจำนวนเต็มบวกของสมการ x2 - XY - Y
2 + Y = 0 จะได้รับจาก (x, y) = (F2nF2n-1 F
2
2n-1
) กับ
n ≥ 1.
หลักฐาน สมมติว่า x
2 - XY - Y
2 + Y = 0 สำหรับบางจำนวนเต็ม x บวกและ Y แล้วตามด้วยทฤษฎีบท 2.6, y = U
2
และ x = UV
สำหรับจำนวนเต็มบวกบาง U และ V นี่แสดงให้เห็นว่า U.
2V
2 - U
3V - U
4 + U
2 = 0 ซึ่งหมายความว่า V
2 - VU - U
2 + 1 = 0
ดังนั้นโดยควันหลง 1.4 (V, U) = (F2n, F2n-1) สำหรับบาง n ≥ 1 ดังนั้น (x, y) = (UV, U
2
) = (F2nF2n-1 F
2
2n -1
) กับ n ≥ 1.
ตรงกันข้ามถ้า (x, y) = (F2nF2n-1 F
2
2n-1
) แล้วโดยควันหลง 1.4 มันตามที่ x
2 - XY - Y
2 + Y = 0

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบท 2.6 ถ้าบวกจำนวนเต็ม x , y , K ตามสมการxkxy y −− 22 ∓ y = 0แล้ว Y = U2และ X = UV บางบวกจำนวนเต็ม U และ Vควันหลง 2.7 . จำนวนเต็มบวกทั้งหมดโซลูชั่นของสมการ x2 y −− XY2 + Y = 0 จะได้รับโดย ( x , y ) = ( f2nf2n F − 122n − 1) กับN ≥ 1พิสูจน์ สมมติว่า X2 −− XY Y2 + Y = 0 บางบวกจำนวนเต็ม x และ y แล้วโดยทฤษฎีบท 2.6 , Y = U2และ X = ยูวีสำหรับจำนวนเต็มบวก U และ V . นี้แสดงให้เห็นว่า ยูชั่วโมง2 − U3V − U4 + U2 = 0 ซึ่งหมายความว่า วี2 −−วูวู2 + 1 = 0ดังนั้นผลที่ตามมา 1.4 ( v , u ) = ( f2n f2n , − 1 ) สำหรับ n ≥ 1 ดังนั้น ( x , y ) = ( UV U2f2nf2n − 1 ) = ( f ,22n − 1) มี N ≥ 1ในทางกลับกัน ถ้า ( x , y ) = ( f2nf2n F − 122n − 1) แล้ว โดยผลที่ตามมา 1.4 มันเป็นไปตามที่เ2 −− XY Y2 + Y = 0