We now show that the above determin

We now show that the above deterministic selection algorithm runs in linear time.
The algorithm has two recursive calls. The first one is performed on the set of
baby medians, which has size
g = ⌈n/5⌉.
The second recursive call is made on either set L (elements smaller than the pivot,
x) or set G (elements larger than the pivot, x). Recall that each group but one
contains 5 elements and our pivot, x, is the median of the baby medians from all
of these groups. Thus, we have that for ⌈g/2⌉ groups, at least half of the group
elements are less than or equal to x. Since group Sg could be part of this half, we
have that number of elements in S that are less than or equal to x is at least
3
34g
2
5
− 1
6
+1=3 7
1
2 ·
4n
5
58
− 2 ≥
3n
10 − 2.
With a similar argument, we obtain that the above value is also a lower bound on
the number of elements of S less than or equal to x.
We conclude that the second recursive call is performed on a set of size at most
n −
13n
10 − 2
2
= 7n
10 + 2.
Overall, for a sufficiently large value of n, the running time for the deterministic
selection algorithm, T(n), can be characterized by the following recurrence
relation:
T(n) ≤ T(n/5 + 1) + T(7n/10 + 2) + bn.
where b > 0 is a constant.
To solve the recurrence, we guess that T(n) ≤ cn, for some constant c > 0.
Expanding the recurrence, we have the following:
T(n) ≤ T(n/5 + 1) + T(7n/10 + 2) + bn
≤ cn/5 + c + 7cn/10 + 2c + bn
= 9cn/10 + bn + 3c.
Pick c = 11b. We obtain
T(n) ≤ 9cn/10 + bn + 3c ≤ 9cn/10 + cn/11 + 3c.
Thus, we have T(n) ≤ cn for n large enough such that
cn/11 + 3c ≤ cn/10,
that is, for n ≥ 330. Therefore, the running time of the deterministic selection
algorithm is O(n).
We summarize the above analysis with the following theorem

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เราตอนนี้แสดงว่าการเลือก deterministic ข้างต้นอัลกอริทึมที่ทำงานในเวลาเชิงเส้นอัลกอริทึมมีการเรียกซ้ำสอง อันแรกจะดำเนินการบนชุดของเด็ก medians ซึ่งมีขนาดg = ⌈n/5⌉L ชุดใด (องค์ประกอบน้อยกว่าเดือย ทำการโทรซ้ำสองx) หรือตั้งค่า G (องค์ประกอบที่มีขนาดใหญ่กว่าเดือย x) จำที่แต่ละกลุ่มแต่อย่างใดอย่างหนึ่งประกอบด้วย 5 องค์ประกอบ และสาระสำคัญของเรา x เป็นค่าเฉลี่ยของ medians เด็กจากทั้งหมดกลุ่มเหล่านี้ ดังนั้น เรามีที่สำหรับกลุ่ม ⌈g/2⌉ น้อยครึ่งหนึ่งของกลุ่มองค์ประกอบน้อยกว่า หรือเท่ากับ x ตั้งแต่กลุ่มจำนวนอาจเป็นส่วนหนึ่งของครึ่งนี้ เรามีหมายเลขขององค์ประกอบใน S ที่น้อยกว่า หรือเท่ากับ x เป็นอย่างน้อย334 กรัม25− 16+ 1 = 3 712 ·วัน 4 คืน558− 2 ≥3 คืน10 − 2มีอาร์กิวเมนต์คล้ายกัน เรารับว่า ค่าข้างต้นเป็นขอบต่ำบนจำนวนองค์ประกอบของ S น้อยกว่า หรือเท่ากับ xเราสรุปได้ว่า การเรียกซ้ำสองดำเนินการบนชุดของขนาดที่มากที่สุดn −13n10 − 22= 7n10 + 2โดยรวม สำหรับค่าของ n เวลาทำงานสำหรับ deterministic ที่มากพอเลือกอัลกอริทึม T(n) สามารถเป็นลักษณะการเกิดซ้ำต่อไปนี้ความสัมพันธ์:T(n) ≤ T (n/5 + 1) + T (7n/10 + 2) + bn.ที่ b > 0 เป็นค่าคงการแก้ปัญหาการเกิดซ้ำ เราเดาว่า T(n) ≤ cn สำหรับบางคง c > 0เราขยายการเกิดซ้ำ มีต่อไปนี้:T(n) ≤ T (n/5 + 1) + T (7n/10 + 2) + พันล้าน≤ cn/5 + c + 7cn/10 + 2 c + พันล้าน= 9cn/10 พันล้าน + 3cรับ c = 11b เราได้รับT(n) ≤ 9cn/10 พันล้าน + 3 c ≤ 9cn/10 + cn 11 + 3 cดังนั้น เรามี cn ≤ T(n) สำหรับ n มีขนาดใหญ่พอที่cn 11 + cn c ≤ 3/10นั่นคือ สำหรับ n ≥ 330 ดังนั้น เวลาทำงานของการเลือก deterministicอัลกอริทึมเป็น O(n)เราสรุปการวิเคราะห์ข้างต้น ด้วยทฤษฎีบทต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตอนนี้เราแสดงให้เห็นว่าขั้นตอนวิธีการเลือกกำหนดข้างต้นทำงานในเส้นเวลา.
อัลกอริทึมมีสองสาย recursive คนแรกที่จะดำเนินการในชุดของ
มีเดียทารกซึ่งมีขนาด
g = ⌈n / 5⌉.
โทร recursive ที่สองคือการทำในทั้งชุด L (องค์ประกอบขนาดเล็กกว่าเดือย,
X) หรือตั้งค่า G (องค์ประกอบที่มีขนาดใหญ่กว่า หมุน x) จำได้ว่าแต่ละกลุ่ม แต่อย่างหนึ่ง
มี 5 องค์ประกอบและหมุนของเรา, X, เป็นค่ามัธยฐานของมีเดียทารกจากทุก
กลุ่มเหล่านี้ ดังนั้นเราจึงมีว่าสำหรับ⌈g / 2⌉กลุ่มอย่างน้อยครึ่งหนึ่งของกลุ่ม
องค์ประกอบน้อยกว่าหรือเท่ากับ x เนื่องจากกลุ่ม Sg อาจเป็นส่วนหนึ่งของครึ่งปีนี้เรา
มีจำนวนขององค์ประกอบใน S ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x อย่างน้อย
3
34g
2
5
- 1
6
+ 1 = 3 7
1
2 ·
4n
5
58
- 2 ≥
3N
10 - 2.
ด้วยการโต้แย้งที่คล้ายกันเราได้รับว่ามูลค่าดังกล่าวยังเป็นที่ถูกผูกไว้ในที่ต่ำกว่า
. จำนวนขององค์ประกอบของ S น้อยกว่าหรือเท่ากับ x
เราสรุปได้ว่าโทร recursive ที่สองคือการดำเนินการเกี่ยวกับการตั้งค่าของขนาดที่ ส่วนใหญ่
n -
13n
10 - 2
2
= 7N
10 + 2
โดยรวมสำหรับค่ามากพอของ n, เวลาการทำงานสำหรับการกำหนด
ขั้นตอนวิธีการเลือก T (n) สามารถโดดเด่นด้วยการเกิดขึ้นอีกต่อไป
ความสัมพันธ์:
T (n ) ≤ T (n / 5 + 1) + T (7N / 10 + 2) + BN.
ที่ b> 0 เป็นค่าคงที่.
เพื่อแก้ปัญหาการเกิดซ้ำที่เราเดาว่า T (n) ≤ CN สำหรับบางคนคง C> 0.
ขยายการเกิดซ้ำเรามีดังต่อไปนี้:
T (n) ≤ T (n / 5 + 1) + T (7N / 10 + 2) + BN
≤ CN / 5 + C + 7cn / 10 + 2C + BN
= 9cn / 10 + พันล้าน + 3C.
เลือก c = 11B เราได้รับ
T (n) ≤ 9cn / 10 + พันล้าน + 3C ≤ 9cn / 10 + CN / 11 + 3C.
ดังนั้นเราจึงมี T (n) ≤ CN สำหรับ n มากพอเช่นนั้น
CN / 11 + 3C ≤ CN / 10 ,
ที่อยู่, สำหรับ n ≥ 330 ดังนั้นเวลาทำงานของตัวเลือกที่กำหนด
ขั้นตอนวิธีการเป็น O (n.)
บริษัท ฯ ได้สรุปการวิเคราะห์ข้างต้นด้วยทฤษฎีบทดังต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตอนนี้เราแสดงให้เห็นว่าการเลือกขั้นตอนวิธีข้างต้นติดตั้งเครื่องทํางานในเวลาเชิงเส้นขั้นตอนวิธี recursive ได้สองสาย . แรกหนึ่งคือดำเนินการบนชุดของที่รัก มีเดีย ซึ่งมีขนาดg = ⌈ N / 5 ⌉ .สองผู้เรียกได้ทั้งชุด L ( องค์ประกอบเล็กกว่าหมุนชุด G ( x ) หรือขนาดใหญ่กว่าหมุนองค์ประกอบ ) จำได้ว่า แต่ละกลุ่ม แต่หนึ่งประกอบด้วย 5 องค์ประกอบและเดือยของเรา x , ค่ามัธยฐานของทารก มีเดีย จาก ทั้งหมดของกลุ่มเหล่านี้ เราจึงได้ว่า ⌈กรัม / 2 กลุ่ม⌉อย่างน้อยครึ่งหนึ่งของกลุ่มองค์ประกอบน้อยกว่าหรือเท่ากับ X ตั้งแต่ SG กลุ่มอาจเป็นส่วนหนึ่งของครึ่ง นี้ เรามีจำนวนขององค์ประกอบในที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x เป็นอย่างน้อย3 .34g25− 16+ 1 = 3 712 ด้วย4N558− 2 ≥ทรีเ น10 − 2ด้วยเหตุผลคล้ายกัน เราได้รับค่าข้างต้นยังเป็นขอบเขตล่างบนจำนวนขององค์ประกอบของ s น้อยกว่าหรือเท่ากับ xเราสรุปได้ว่า สองผู้เรียกจะดำเนินการบนชุดของขนาดมากที่สุดบริษัท เวสเทิร์น แอนด์13n10 − 22= 7n10 + 2โดยรวม สำหรับค่าขนาดใหญ่เพียงพอของไนโตรเจน เวลาทํางานสําหรับเชิงกำหนดขั้นตอนวิธีการ , T ( n ) สามารถโดดเด่นด้วยการต่อไปนี้ความสัมพันธ์ :T ( N ) ≤ T ( n / 5 + 1 ) + T ( 7n / 10 + 2 + 3 .ที่ B > 0 จะคงที่การแก้ไขซ้ำ เราเดาว่า T ( N ) ≤ CN , บางคงที่ c > 0ขยายการเกิดขึ้นอีก , เราได้ดังต่อไปนี้T ( N ) ≤ T ( n / 5 + 1 ) + T ( 7n / 10 + 2 + 3≤ CN / 5 + C + 7cn / 10 + 2 + 3= 9cn / 10 + 3 + 3 Cเลือก C = 11B เราได้รับT ( N ) ≤ 9cn / 10 + 10 + 10 + 3 C ≤ 9cn / CN / 11 + 3 Cเราจึงมี T ( N ) ≤ CN สำหรับ n ใหญ่พอ เช่นCN / 11 + 3 C ≤ CN / 10นั่นคือ n ≥ 330 . ดังนั้น ตำแหน่งของการติดตั้งใช้งานอัลกอริทึมคือ O ( N )เราสรุปการวิเคราะห์ข้างต้นกับทฤษฎีบทต่อไปนี้