Peano axiomsFrom Wikipedia, the fre

Peano axioms
From Wikipedia, the free encyclopedia
(Redirected from Peano arithmetic)
In mathematical logic, the Peano axioms, also known as the Dedekind–Peano axioms or the Peano postulates, are a set of axioms for the natural numbers presented by the 19th century Italian mathematician Giuseppe Peano. These axioms have been used nearly unchanged in a number of metamathematical investigations, including research into fundamental questions of consistency and completeness of number theory.

The need for formalism in arithmetic was not well appreciated until the work of Hermann Grassmann, who showed in the 1860s that many facts in arithmetic could be derived from more basic facts about the successor operation and induction.[1] In 1881, Charles Sanders Peirce provided an axiomatization of natural-number arithmetic.[2] In 1888, Richard Dedekind proposed a collection of axioms about the numbers, and in 1889 Peano published a more precisely formulated version of them as a collection of axioms in his book, The principles of arithmetic presented by a new method (Latin: Arithmetices principia, nova methodo exposita).

The Peano axioms contain three types of statements. The first axiom asserts the existence of at least one member of the set "number". The next four are general statements about equality; in modern treatments these are often not taken as part of the Peano axioms, but rather as axioms of the "underlying logic".[3] The next three axioms are first-order statements about natural numbers expressing the fundamental properties of the successor operation. The ninth, final axiom is a second order statement of the principle of mathematical induction over the natural numbers. A weaker first-order system called Peano arithmetic is obtained by explicitly adding the addition and multiplication operation symbols and replacing the second-order induction axiom with a first-order axiom schema.

Contents [hide]
1 Formulation
2 Arithmetic
2.1 Addition
2.2 Multiplication
2.3 Inequalities
3 First-order theory of arithmetic
3.1 Equivalent axiomatizations
4 Models
4.1 Nonstandard models
4.2 Set-theoretic models
4.3 Interpretation in category theory
5 Consistency
6 See also
7 Footnotes
8 References
9 External links
Formulation[edit]

The set of natural numbers can be illustrated by the infinite chain of light wood domino pieces, their first one corresponding to zero, and each piece facing its top side towards its successor. However, the Peano axioms 1–8 are also fulfilled by the incontiguous structure consisting of both light and dark wood pieces.[citation needed] The induction axiom, 9, corresponds to the requirement that if the first light wood domino piece (0) is overthrown, then each piece will eventually fall ("domino effect"); this is satisfied only in the absence of the dark pieces.[citation needed]
When Peano formulated his axioms, the language of mathematical logic was in its infancy. The system of logical notation he created to present the axioms did not prove to be popular, although it was the genesis of the modern notation for set membership (∈, which comes from Peano's ε) and implication (⊃, which comes from Peano's reversed 'C'.) Peano maintained a clear distinction between mathematical and logical symbols, which was not yet common in mathematics; such a separation had first been introduced in the Begriffsschrift by Gottlob Frege, published in 1879.[4] Peano was unaware of Frege's work and independently recreated his logical apparatus based on the work of Boole and Schröder.[5]

The Peano axioms define the arithmetical properties of natural numbers, usually represented as a set N or mathbb{N}. The signature (a formal language's non-logical symbols) for the axioms includes a constant symbol 0 and a unary function symbol S.

The constant 0 is assumed to be a natural number:

0 is a natural number.
The next four axioms describe the equality relation. Since they are logically valid in first-order logic with equality, they are not considered to be part of "the Peano axioms" in modern treatments.[6]

For every natural number x, x = x. That is, equality is reflexive.
For all natural numbers x and y, if x = y, then y = x. That is, equality is symmetric.
For all natural numbers x, y and z, if x = y and y = z, then x = z. That is, equality is transitive.
For all a and b, if b is a natural number and a = b, then a is also a natural number. That is, the natural numbers are closed under equality.
The remaining axioms define the arithmetical properties of the natural numbers. The naturals are assumed to be closed under a single-valued "successor" function S.

For every natural number n, S(n) is a natural number.
Peano's original formulation of the axioms used 1 instead of 0 as the "first" natural number.[7] This choice is arbitrary, as axiom 1 does not endow the constant 0 with any additional properties. However, because 0 is the additive identity in arithmetic, most modern formulations of the Peano axioms start from 0. Axioms 1 and 6 define a unary representation of the natural numbers: the number 1 can be defined as S(0), 2 as S(S(0)) (which is also S(1)), and, in general, any natural number n as the result of n-fold application of S to 0, denoted as Sn(0). The next two axioms define the properties of this representation.

For all natural numbers m and n, m = n if and only if S(m) = S(n). That is, S is an injection.
For every natural number n, S(n) = 0 is false. That is, there is no natural number whose successor is 0.
Axioms 1, 6, 7 and 8 imply that the set of natural numbers contains the distinct elements 0, S(0), S(S(0)), and furthermore that {0, S(0), S(S(0)), …} ⊆ N. This shows that the set of natural numbers is infinite. However, to show that N = {0, S(0), S(S(0)), …}, it must be shown that N ⊆ {0, S(0), S(S(0)), …}; i.e., it must be shown that every natural number is included in {0, S(0), S(S(0)), …}. To do this however requires an additional axiom, which is sometimes called the axiom of induction. This axiom provides a method for reasoning about the set of all natural numbers.

If K is a set such that:
0 is in K, and
for every natural number n, if n is in K, then S(n) is in K,
then K contains every natural number.
The induction axiom is sometimes stated in the following form:

If φ is a unary predicate such that:
φ(0) is true, and
for every natural number n, if φ(n) is true, then φ(S(n)) is true,
then φ(n) is true for every natural number n.
In Peano's original formulation, the induction axiom is a second-order axiom. It is now common to replace this second-order principle with a weaker first-order induction scheme. There are important differences between the second-order and first-order formulations, as discussed in the section Models below.

Arithmetic[edit]
The Peano axioms can be augmented with the operations of addition and multiplication and the usual total (linear) ordering on N. The respective functions and relations are constructed in second-order logic, and are shown to be unique using the Peano axioms.

Addition[edit]
Addition is a function that maps two natural numbers (two elements of N) to another one. It is defined recursively as:

egin{align}
a + 0 &= a ,\
a + S (b) &= S (a + b).
end{align}
For example,

a + 1 = a + S(0) = S(a + 0) = S(a).
The structure (N, +) is a commutative semigroup with identity element 0. (N, +) is also a cancellative magma, and thus embeddable in a group. The smallest group embedding N is the integers.

Multiplication[edit]
Similarly, multiplication is a function mapping two natural numbers to another one. Given addition, it is defined recursively as:

egin{align}
a cdot 0 &= 0, \
a cdot S (b) &= a + (a cdot b).
end{align}
It is easy to see that setting b equal to 0 yields the multiplicative identity:

a · 1 = a · S(0) = a + (a · 0) = a + 0 = a
Moreover, multiplication distributes over addition:

a · (b + c) = (a · b) + (a · c).
Thus, (N, +, 0, ·, 1) is a commutative semiring.

Inequalities[edit]
The usual total order relation ≤ on natural numbers can be defined as follows, assuming 0 is a natural number:

For all a, b ∈ N, a ≤ b if and only if there exists some c ∈ N such that a + c = b.
This relation is stable under addition and multiplication: for a, b, c in N , if a ≤ b, then:

a + c ≤ b + c, and
a · c ≤ b · c.
Thus, the structure (N, +, ·, 1, 0, ≤) is an ordered semiring; because there is no natural number between 0 and 1, it is a discrete ordered semiring.

The axiom of induction is sometimes stated in the following strong form, making use of the ≤ order:

For any predicate φ, if
φ(0) is true, and
for every n, k ∈ N, if k ≤ n implies φ(k) is true, then φ(S(n)) is true,
then for every n ∈ N, φ(n) is true.
This form of the induction axiom is a simple consequence of the standard formulation, but is often better suited for reasoning about the ≤ order. For example, to show that the naturals are well-ordered—every nonempty subset of N has a least element—one can reason as follows. Let a nonempty X ⊆ N be given and assume X has no least element.

Because 0 is the least element of N, it must be that 0 ∉ X.
For any n ∈ N, suppose for every k ≤ n, k ∉ X. Then S(n) ∉ X, for otherwise it would be the least element of X.
Thus, by the strong induction principle, for every n ∈ N, n ∉ X. Thus, X ∩ N = ∅, which contradicts X being a nonempty subset of N. Thus X has a least element.

First-order theory of arithmetic[edit]
First-order theories are often better than second order theories for model- or proof theoretic analysis. All of the Peano axioms except the ninth axiom (the induction axiom) are statements in first-order logic. The arithmetical operations of addition and multiplication and the order relation can also be defined using first-order axioms. The second-order axiom of induction can be transformed into a weaker first-order induction schema.

First-order axiomatizations of Peano arithmetic have an important limita

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สัจพจน์ Peanoจากวิกิพีเดีย สารานุกรมฟรี (เปลี่ยนทางจากเลขคณิต Peano)ในตรรกศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ สัจพจน์ Peano หรือที่เรียกว่า สัจพจน์ Dedekind – Peano หรือ Peano การ postulates เป็นชุดของสัจพจน์สำหรับหมายเลขธรรมชาติที่นำเสนอ โดยนักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 19 อิตาลีจูเซ Peano สัจพจน์เหล่านี้ได้ถูกใช้เกือบเท่าเดิมจำนวน metamathematical การตรวจสอบ รวมถึงงานวิจัยเป็นคำถามพื้นฐานของความสอดคล้องและความสมบูรณ์ของทฤษฎีจำนวนต้อง formalism ในคณิตศาสตร์ได้ไม่ดีนิยมจนถึงการทำงานของ Grassmann มันน์ ที่พบใน 1860s ว่า ข้อเท็จจริงต่าง ๆ ในทางคณิตศาสตร์อาจได้มาจากพื้นฐานข้อเท็จจริงเกี่ยวกับการดำเนินการสืบและเหนี่ยวนำ [1] ใน 1881 ชาร์ลส์แซนเดอร์ส์ Peirce ให้การ axiomatization ของเลขคณิตของจำนวนธรรมชาติ [2] ใน 1888 ริชาร์ด Dedekind เสนอกลุ่มของสัจพจน์เกี่ยวกับหมายเลข และในจาก 1889 Peano รุ่น formulated ได้แม่นยำมากของพวกเขาเป็นกลุ่มของสัจพจน์ในหนังสือของเขา หลักการทางคณิตศาสตร์ที่นำเสนอ โดยวิธีใหม่ที่เผยแพร่ (ละติน: Arithmetices principia โนวา methodo exposita)สัจพจน์ Peano ประกอบด้วยสามชนิดของคำ สัจพจน์แรกยืนยันการมีอยู่ของสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งชุด "เลข" 4 ถัดไปเป็นคำสั่งทั่วไปเกี่ยวกับความเสมอภาค ในการรักษาที่ทันสมัย เหล่านี้มักจะไม่นำมา เป็นส่วนหนึ่งของสัจพจน์ Peano แต่แทนที่จะ เป็นสัจพจน์ของ "ตรรกะแบบ" [3] สัจพจน์ที่สามถัดไปมีคำสั่งแรกเกี่ยวกับธรรมชาติเลขที่แสดงคุณสมบัติพื้นฐานของการสืบ สัจพจน์เก้า สุดท้ายคือ คำสั่งที่สองหลักของคณิตศาสตร์จำนวนธรรมชาติ ระบบใบสั่งแรกแข็งแกร่งเรียกว่าเลขคณิต Peano ได้รับ โดยการเพิ่มสัญลักษณ์การดำเนินการบวกและการคูณ และแทนสัจพจน์เหนี่ยวนำสองสั่งกับเค้าร่างสัจพจน์แรกสั่งการอย่างชัดเจนเนื้อหา [ซ่อน] กำหนด 1คณิตศาสตร์ 22.1 เพิ่ม2.2 คูณ2.3 ความเหลื่อมล้ำทาง3 ทฤษฎีแรกลำดับของเลขคณิต3.1 axiomatizations เท่ากับรุ่นที่ 44.1 รุ่นเกือบ4.2 โมเดลชุด theoretic4.3 การตีความประเภททฤษฎี5 สอดคล้อง6 ดูเชิงอรรถที่ 7อ้างอิงที่ 8เชื่อมโยงภายนอก 9กำหนด [แก้ไข]ชุดจำนวนธรรมชาติสามารถถูกแสดง โดยเชนอนันต์แสงไม้โดมิโนชิ้น หนึ่งของพวกเขาที่สอดคล้องกับศูนย์ และแต่ละชิ้นที่หันหน้าด้านสุดต่อการสืบ อย่างไรก็ตาม สัจพจน์ Peano 1 – 8 ยังปฏิบัติตาม โดยโครงสร้าง incontiguous ที่ประกอบด้วยชิ้นไม้สีอ่อน และเข้ม [ต้องการอ้างอิง] สัจพจน์การเหนี่ยวนำ 9 สอดคล้องกับความต้องการที่ว่าไฟโดมิโนไม้ชิ้นแรก (0) overthrown แล้วแต่ละชิ้นก็จะตก ("ผลกระทบต่อ"); นี้คือความพึงพอใจในการขาดงานชิ้นเข้ม [ต้องการอ้างอิง]เมื่อ Peano สูตรสัจพจน์ของเขา ภาษาของตรรกศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ได้ในของตราสินค้า ระบบของเครื่องหมายตรรกะที่เขาสร้างขึ้นเพื่อนำเสนอสัจพจน์ไม่ได้พิสูจน์ให้นิยม แต่ปฐมกาลของสัญกรณ์ทันสมัยสำหรับการตั้งค่าสมาชิก (∈ ที่มาของ Peano ε) และปริยาย (⊃ ที่มาของ Peano กลับ 'C') รักษาความแตกต่างที่ชัดเจนระหว่างคณิตศาสตร์ และตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ ซึ่งยังไม่มีในคณิตศาสตร์ Peano แยกดังกล่าวก่อนมีการแนะนำใน Begriffsschrift การ โดย Gottlob Frege เผยแพร่ใน 1879 [4] Peano การณ์ทำงานของ Frege และเครื่องตรรกะของเขาขึ้นอยู่กับการทำงานของหญิงปูเล่และ Schröder ที่สร้างขึ้นใหม่โดยอิสระ [5]สัจพจน์ Peano กำหนดคุณสมบัติ arithmetical จำนวนธรรมชาติ มักแสดงเป็นชุด N หรือ mathbb{N } ลายเซ็น (ภาษาทางตรรกะไม่ใช่สัญลักษณ์) สำหรับสัจพจน์มีสัญลักษณ์คง 0 และสัญลักษณ์ฟังก์ชันเอกภาค s ได้ค่าคง 0 จะถือว่าเป็นตัวเลขธรรมชาติ:0 เป็นจำนวนธรรมชาติสัจพจน์สี่ถัดไปอธิบายความสัมพันธ์ความเสมอภาค เนื่องจากพวกเขาถูกต้องทางตรรกะในตรรกะแรกสั่งด้วยความเสมอภาค ไม่ว่าจะเป็นส่วนหนึ่งของ "การ Peano สัจพจน์" ในการรักษาที่ทันสมัย [6]สำหรับจำนวนธรรมชาติทุก x, x = x นั่นคือ ความเสมอภาคจะสะท้อนกลับสำหรับตัวเลขทั้งหมดธรรมชาติ x และ y ถ้า x = y แล้ว y = x นั่นคือ ความเสมอภาคเป็นสมมาตรสำหรับตัวเลขธรรมชาติทั้งหมด x, y และ z ถ้า x = y และ y = z แล้ว x = z นั่นคือ ความเสมอภาคเป็นสกรรมกริยาสำหรับทั้งหมด b และ ถ้า b เป็นจำนวนธรรมชาติ และได้ = b แล้วเป็นเป็นจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ หมายเลขธรรมชาติถูกปิดภายใต้ความเสมอภาคสัจพจน์ที่เหลือกำหนดคุณสมบัติ arithmetical จำนวนธรรมชาติ Naturals จะถือว่าปิดภายใต้ฟังก์ชันค่าเดี่ยว "สืบ" s ได้สำหรับทุกจำนวนธรรมชาติ n, S(n) เป็นจำนวนธรรมชาติกำหนดเดิมของ Peano สัจพจน์ที่ใช้ 1 แทน 0 เป็นจำนวนธรรมชาติ "แรก" [7] นี้เป็นกำหนด เป็นสัจพจน์ 1 endow คง 0 มีคุณสมบัติใด ๆ เพิ่มเติม อย่างไรก็ตาม เนื่องจาก 0 เป็นเอกลักษณ์การบวกในเลขคณิต สูตรสัจพจน์ Peano น่าเริ่มจาก 0 การแสดงเดี่ยวของธรรมชาติกำหนดสัจพจน์ที่ 1 และ 6:1 หมายเลขสามารถกำหนดเป็น S(0), 2 เป็น S(S(0)) (ซึ่งเป็น S(1)) ก ทั่วไป n จำนวนธรรมชาติใด ๆ เป็นผลของ n-พับใช้ S 0 สามารถบุเป็น Sn(0) สัจพจน์สองถัดไปกำหนดคุณสมบัติของการแสดงนี้สำหรับทั้งหมดธรรมชาติจำนวน m และ n, m = n ถ้าและรับ S(m) = S(n) นั่นคือ S คือ ฉีดสำหรับทุกจำนวนธรรมชาติ n, S(n) = 0 เป็นเท็จ กล่าวคือ มีไม่ธรรมชาติเลขสืบ 0สัจพจน์ที่ 1, 6, 7 และ 8 เป็นสิทธิ์แบบว่า ชุดตัวเลขธรรมชาติประกอบด้วยทั้งองค์ประกอบ 0, S(0), S(S(0)) และนอกจากนี้ที่ {0, S(0), S(S(0)),...} ⊆ N. นี้แสดงว่าชุดธรรมชาติจำนวนอนันต์ อย่างไรก็ตาม จะแสดงว่า N = {0, S(0), S(S(0)),...}, มันต้องแสดงว่า N ⊆ {0, S(0), S(S(0)),...}; เช่น จะต้องแสดงว่า จำนวนธรรมชาติทุกอยู่ใน {0, S(0), S(S(0)),...} ทำอย่างไรก็ตามต้องเป็นสัจพจน์เพิ่มเติม บางครั้งเรียกว่าสัจพจน์ของการเหนี่ยวนำ สัจพจน์นี้แสดงวิธีการใช้เหตุผลเกี่ยวกับชุดของตัวเลขทั้งหมดของธรรมชาติถ้า K เป็นชุดเช่นว่า:0 อยู่ใน K และสำหรับทุกจำนวนธรรมชาติ n, K, n อยู่แล้ว S(n) ว่าใน Kแล้ว K ประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทุก ๆสัจพจน์เหนี่ยวนำบางครั้งมีการระบุไว้ในแบบฟอร์มต่อไปนี้:ถ้าφ เป็นเพรดิเคตเดี่ยวเช่นว่า:Φ(0) เป็นจริง และสำหรับทุกจำนวนธรรมชาติ n, φ(n) เป็นจริง แล้ว φ(S(n)) ว่าจริงแล้ว φ(n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนธรรมชาติ nในกำหนดเดิมของ Peano สัจพจน์เหนี่ยวนำเป็นสัจพจน์ที่สองสั่ง ตอนนี้จะไปแทนนี้ใบสั่งที่สองหลัก ด้วยแบบเหนี่ยวนำใบสั่งแรกแข็งแกร่ง มีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างสูตรสองใบสั่ง และใบ สั่งแรก ตามที่อธิบายไว้ในรูปแบบส่วนด้านล่างเลขคณิต [แก้ไข]สัจพจน์ Peano สามารถถูกขยายการดำเนินงานเพิ่ม และคูณ และปกติรวม (เชิงเส้น) ลำดับบน N. ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องและความสัมพันธ์สร้างขึ้นในสองลำดับตรรกะ และแสดงไม่ซ้ำใช้สัจพจน์ Peanoนอกจากนี้ [แก้ไข]นอกจากนี้คือ ฟังก์ชันที่แมปหมายเลขธรรมชาติสอง (สององค์ประกอบของ N) เป็นหนึ่ง จึง recursively กำหนดเป็น:egin{align }a + 0 และ = a, \การ + S และ (b) = S (การ + b)end{align }ตัวอย่างการ + 1 =เป็น + S(0) = S(a + 0) = S(a)โครงสร้าง (N, +) เป็น semigroup สลับกับสมาชิกเอกลักษณ์ 0 (N, +) เป็นหินหนืดที่ cancellative และ embeddable ดังนั้นในกลุ่ม ฝังกลุ่มน้อยที่สุด N เป็นจำนวนเต็มคูณ [แก้ไข]ในทำนองเดียวกัน การคูณคือ ฟังก์ชันแมปหมายเลขธรรมชาติสองเป็นหนึ่ง กำหนดนอกจากนี้ จึง recursively กำหนดเป็น:egin{align }cdot 0 และ = 0, \cdot S (b) และ =เป็น + (cdot b)end{align }มันเป็นเรื่องง่ายเพื่อดูว่า ค่า b เท่ากับ 0 ทำให้เอกลักษณ์เชิงการคูณ:ทรัพยากร 1 =ทรัพยากร S(0) =เป็น + (a · 0) = a + 0 =การนอกจากนี้ คูณกระจายกว่านี้:ทรัพยากร (b + c) = (· b) + (· c)ดังนั้น, (N + 0 ลอก 1) คือ semiring สลับความเหลื่อมล้ำทาง [แก้ไข]≤ความสัมพันธ์ใบสั่งทั้งหมดปกติเลขธรรมชาติสามารถกำหนดดังนี้ สมมติว่า 0 เป็นจำนวนธรรมชาติ:สำหรับทุก a, b ∈ N ≤ b ถ้าและเพียงแต่ถ้ามีบาง N ∈ c ให้ a + c = bความสัมพันธ์นี้มีเสถียรภาพภายใต้การบวกและการคูณ: สำหรับ a, b, c in N ถ้าเป็น≤ b แล้ว:แบบ c ≤ b + c และทรัพยากร c ≤ b · cดังนั้น โครงสร้าง (N + ลอก 1, 0 ≤) เป็นการสั่ง semiring เพราะธรรมชาติไม่มีหมายเลขระหว่าง 0 และ 1 เป็น semiring สั่งการไม่ต่อเนื่องสัจพจน์ของบางครั้งมีการระบุไว้ในฟอร์มแข็งแกร่งต่อไปนี้ ใช้ใบ≤:สำหรับφมีเพรดิเคต ถ้าΦ(0) เป็นจริง และสำหรับทุก n, k ∈ N, k ≤ n หมายถึง φ(k) เป็นจริง แล้ว φ(S(n)) ว่าจริงแล้ว สำหรับ∈ n ทุก N, φ(n) เป็นความจริงสัจพจน์การเหนี่ยวนำแบบนี้เป็นเวรเรื่องกำหนดมาตรฐาน แต่มักจะดีขึ้นเหมาะสำหรับเหตุผลเกี่ยวกับสั่ง≤ ตัวอย่าง การแสดง naturals ที่สั่งดี — ทุกชุดย่อย nonempty ของ N มีองค์ประกอบน้อยที่สุด — หนึ่งสามารถเหตุผลดังนั้น ให้เป็น⊆ X nonempty N จะ และสมมติว่า X มีองค์ประกอบน้อยที่สุดไม่เนื่องจาก 0 เป็นองค์ประกอบน้อยที่สุดของ N ต้องที่ 0 ∉ Xสำหรับ∈ n ใด ๆ N สมมติว่า สำหรับทุก k ≤ n, k ∉ X แล้ว S(n) ∉ X สำหรับมิฉะนั้น มันจะเป็นองค์ประกอบน้อยที่สุดของ Xดังนั้น โดยการเหนี่ยวนำแรงหลัก สำหรับทุก n ∈ N, n ∉ X ดังนั้น X ∩ N =∅ ซึ่งสำหรับทุก X เป็นเซตย่อยของ N. nonempty ดังนั้น X มีองค์ประกอบอย่างน้อยทฤษฎีแรกลำดับของเลขคณิต [แก้ไข]ทฤษฎีแรกสั่งมักดีกว่าสั่งสองทฤษฎีสำหรับวิเคราะห์ theoretic รูปแบบหรือหลักฐาน สัจพจน์ Peano ยกเว้นสัจพจน์เก้า (สัจพจน์เหนี่ยวนำ) ทั้งหมดเป็นคำสั่งในใบสั่งแรกตรรกะ รวมทั้งสามารถกำหนดดำเนินงาน arithmetical บวก และคูณ และความสัมพันธ์ของใบสั่งจะใช้สัจพจน์แรกสั่ง สัจพจน์ที่สองสั่งของสามารถแก่นตามแบบแผนแรกสั่งเหนี่ยวนำแข็งแกร่งAxiomatizations แรกลำดับของเลขคณิต Peano มี limita เป็นสำคัญ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สัจพจน์ Peano
จากวิกิพีเดียสารานุกรมเสรี
(เปลี่ยนจากอาโน่คณิตศาสตร์)
ในตรรกะทางคณิตศาสตร์สัจพจน์อาโน่ยังเป็นที่รู้จักหลักการ Dedekind-Peano หรือ Peano สมมุติฐานเป็นชุดของหลักการสำหรับจำนวนธรรมชาติที่นำเสนอโดยศตวรรษที่ 19 อิตาลี คณิตศาสตร์จูเซปเป้อาโน่ หลักการเหล่านี้ได้ถูกนำมาใช้เกือบไม่เปลี่ยนแปลงในจำนวนของการสืบสวน metamathematical รวมทั้งการวิจัยในคำถามพื้นฐานของความมั่นคงและครบถ้วนของทฤษฎีจำนวน. จำเป็นที่จะต้องเป็นพิธีในการคำนวณไม่ได้ชื่นชมกันจนการทำงานของแฮร์มันน์ Grassmann ซึ่งแสดงให้เห็นในยุค 1860 ที่ หลายข้อเท็จจริงในทางคณิตศาสตร์อาจจะมาจากข้อเท็จจริงพื้นฐานเพิ่มเติมเกี่ยวกับการดำเนินการสืบทอดและเหนี่ยวนำ. [1] ในปี 1881 ชาร์ลส์แซนเดอเพียรซให้ axiomatization ของเลขคณิตธรรมชาติจำนวน. [2] ในปี 1888 ริชาร์ด Dedekind เสนอคอลเลกชันของหลักการเกี่ยวกับ ตัวเลขและในปี 1889 ที่ตีพิมพ์ Peano รุ่นสูตรอย่างแม่นยำมากขึ้นของพวกเขาเป็นคอลเลกชันของหลักการในหนังสือของเขา, หลักการทางคณิตศาสตร์ที่นำเสนอโดยวิธีการใหม่. (ภาษาละติน: Arithmetices principia, โนวา methodo exposita) สัจพจน์ Peano มีสามประเภท งบ ความจริงเป็นครั้งแรกยืนยันการดำรงอยู่อย่างน้อยหนึ่งในสมาชิกของชุด "จำนวน" อีกสี่เป็นงบทั่วไปเกี่ยวกับความเท่าเทียมกัน; ในการรักษาที่ทันสมัยเหล่านี้มักจะไม่นำมาเป็นส่วนหนึ่งของหลักการ Peano แต่เป็นหลักการของ "ตรรกะพื้นฐาน". [3] สามหลักการเป็นงบสั่งซื้อครั้งแรกเกี่ยวกับตัวเลขธรรมชาติแสดงคุณสมบัติพื้นฐานของการดำเนินการสืบ เก้าสุดท้ายความจริงเป็นคำสั่งคำสั่งที่สองของหลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์มากกว่าตัวเลขธรรมชาติ ระบบการสั่งซื้อครั้งแรกปรับตัวลดลงเรียกว่าอาโน่คณิตศาสตร์จะได้รับโดยเพิ่มสัญลักษณ์อย่างชัดเจนนอกจากนี้การคูณและการดำเนินงานและการเปลี่ยนความจริงเหนี่ยวนำสองคำสั่งที่มีความจริงเค้าร่างลำดับแรก. เนื้อหา [ซ่อน] 1 สูตร2 เลขคณิต2.1 บวก2.2 คูณ2.3 อสมการ3 ทฤษฎีแรกสั่งของเลขคณิต3.1 axiomatizations เทียบเท่า4 รุ่น4.1 รุ่นที่ไม่เป็นมาตรฐาน4.2 รูปแบบการตั้งทฤษฎี4.3 การตีความในหมวดหมู่ทฤษฎีสอดคล้อง 5 6 ดูเพิ่มเติม7 เชิงอรรถอ้างอิง 8 9 ลิงค์ภายนอกสูตร [แก้ไข] ชุดของตัวเลขธรรมชาติสามารถแสดงโดย ห่วงโซ่ที่ไม่มีที่สิ้นสุดของชิ้นโดมิโนไม้สีอ่อนคนแรกของพวกเขาที่สอดคล้องกับศูนย์และแต่ละชิ้นหันหน้าไปทางด้านบนที่มีต่อทายาท อย่างไรก็ตามอาโน่สัจพจน์ 1-8 เป็นจริงโดยโครงสร้าง incontiguous ประกอบด้วยทั้งแสงและชิ้นไม้สีเข้ม. [อ้างจำเป็น] ความจริงเหนี่ยวนำ, 9, สอดคล้องกับความต้องการที่ว่าถ้าแสงแรกไม้ชิ้นโดมิโน (0) คือ เจ๊งแล้วแต่ละชิ้นก็จะตกอยู่ ("ผลกระทบโดมิโน"); นี้เป็นที่พอใจเฉพาะในกรณีที่ไม่มีชิ้นส่วนที่มืด. [อ้างจำเป็น] เมื่ออาโน่สูตรหลักการของเขาภาษาของตรรกะทางคณิตศาสตร์อยู่ในวัยเด็กของตน ระบบการทำงานของสัญกรณ์ตรรกะที่เขาสร้างขึ้นเพื่อนำเสนอหลักการไม่ได้พิสูจน์ให้เป็นที่นิยมแม้ว่ามันจะเป็นแหล่งกำเนิดของสัญกรณ์ที่ทันสมัยสำหรับการตั้งค่าสมาชิก (∈ซึ่งมาจากεอาโน่) และความหมาย (⊃ซึ่งมาจากอาโน่ของกลับ ' . C ') อาโน่ยังคงความแตกต่างที่ชัดเจนระหว่างสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์และตรรกะซึ่งยังไม่พบบ่อยในคณิตศาสตร์ เช่นการแยกแรกที่ได้รับการแนะนำใน Begriffsschrift โดย Gottlob Frege ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1879 [4] Peano ไม่รู้ของการทำงานของ Frege และเป็นอิสระสร้างอุปกรณ์ตรรกะของเขาขึ้นอยู่กับการทำงานของบูลและSchröder. [5] หลักการ Peano กำหนด คุณสมบัติคณิตศาสตร์ของตัวเลขธรรมชาติมักจะเป็นตัวแทนไม่มีชุดหรือ mathbb {N} ลายเซ็น (ภาษาอย่างเป็นทางการของสัญลักษณ์ที่ไม่ใช่ตรรกะ) สำหรับหลักการรวมถึงสัญลักษณ์คงที่ 0 และฟังก์ชั่นเอกสัญลักษณ์เอสคงที่ 0 จะถือว่าเป็นจำนวนธรรมชาติ: . 0 เป็นจำนวนธรรมชาติอีกสี่หลักการอธิบายความเท่าเทียมกัน ความสัมพันธ์ เนื่องจากพวกเขาจะมีเหตุผลที่ถูกต้องในตรรกะลำดับแรกที่มีความเท่าเทียมกันพวกเขาจะไม่ถือว่าเป็นส่วนหนึ่งของ "หลักการอาโน่" ในการรักษาที่ทันสมัย. [6] สำหรับจำนวนธรรมชาติทุก x, x = x นั่นคือความเท่าเทียมกันคือสะท้อน. สำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด x และ y ถ้า y = x, y ที่แล้ว = x นั่นคือความเท่าเทียมกันเป็นสมมาตร. สำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด x, y z และถ้า y = x และ y = z ที่แล้ว x = ซี นั่นคือความเท่าเทียมกันเป็นส. สำหรับทั้งหมดและ b ถ้าขเป็นจำนวนธรรมชาติและ b = แล้วยังเป็นจำนวนธรรมชาติ นั่นคือจำนวนธรรมชาติจะปิดภายใต้ความเสมอภาค. สัจพจน์ที่เหลือกำหนดคุณสมบัติคณิตศาสตร์ตัวเลขธรรมชาติ ธรรมชาติจะถือว่าถูกปิดภายใต้ valued เดียว "ทายาท" ฟังก์ชั่นเอสสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุก S (n) เป็นจำนวนธรรมชาติ. สูตรดั้งเดิม Peano ของหลักการที่ใช้ 1 แทน 0 เป็น "ครั้งแรก" ธรรมชาติ จำนวน. [7] เลือกนี้เป็นข้อเป็นความจริงที่ 1 ไม่สามารถยกคงที่ 0 ที่มีคุณสมบัติใด ๆ เพิ่มเติม แต่เนื่องจากเป็น 0 ตัวตนของสารเติมแต่งในการคำนวณสูตรที่ทันสมัยที่สุดของสัจพจน์ Peano เริ่มต้นจากหลักการ 0. 1 และ 6 กำหนดตัวแทนเอกของตัวเลขธรรมชาติจำนวน 1 สามารถกำหนดเป็น S (0), 2 S (S (0)) (ซึ่งเป็นที่ S (1)) และโดยทั่วไปใด ๆ จำนวนธรรมชาติ n เป็นผลมาจากการประยุกต์ใช้ n เท่าของ S เป็น 0 แสดงเป็น Sn (0) อีกสองหลักการกำหนดคุณสมบัติของการเป็นตัวแทนนี้. สำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมดเมตรและ n, m = n ถ้าหาก S (m) = S (n) นั่นคือ S คือการฉีด. สำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุก S (n) = 0 เป็นเท็จ นั่นคือไม่มีจำนวนธรรมชาติที่มีทายาทคือ 0 Axioms 1, 6, 7 และ 8 หมายความว่าชุดของตัวเลขธรรมชาติมีองค์ประกอบที่แตกต่าง 0, S (0), S (S (0)) และยิ่งไปกว่านั้น {0, S (0), S (S (0)) ... } ⊆เอ็นนี้แสดงให้เห็นว่าชุดของตัวเลขธรรมชาติไม่มีที่สิ้นสุด แต่แสดงให้เห็นว่ายังไม่มี = {0, S (0), S (S (0)) ... } จะต้องมีการแสดงให้เห็นว่ายังไม่มี⊆ {0, S (0), S (S (0)) ... }; กล่าวคือจะต้องมีการแสดงให้เห็นว่าจำนวนธรรมชาติทุกคนจะรวมอยู่ใน {0, S (0), S (S (0)) ... } การทำเช่นนี้ แต่ต้องใช้ความจริงเพิ่มเติมซึ่งบางครั้งเรียกว่าความจริงของการเหนี่ยวนำ ความจริงนี้จะมีวิธีการในการให้เหตุผลเกี่ยวกับชุดของตัวเลขธรรมชาติทั้งหมด. K ถ้าเป็นชุดดังกล่าวว่า: 0 อยู่ใน K และสำหรับทุกจำนวนธรรมชาติ n, n ถ้าอยู่ใน K แล้ว S (n) อยู่ใน K, แล้ว K มีจำนวนธรรมชาติทุก. เหนี่ยวนำความจริงที่ระบุไว้บางครั้งในรูปแบบต่อไปนี้: ถ้าφเป็นกริยาเอกดังกล่าวว่า: φ (0) เป็นความจริงและสำหรับทุกจำนวนธรรมชาติ n ถ้าφ (n) เป็นจริงแล้ว φ (S (n)) เป็นจริงแล้วφ (n) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุก. ในสูตรดั้งเดิม Peano ของการเหนี่ยวนำความจริงคือความจริงที่สองสั่งซื้อ ตอนนี้มันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะแทนที่นี้หลักการที่สองที่มีการสั่งซื้อปรับตัวลดลงเหนี่ยวนำโครงการลำดับแรก มีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างลำดับที่สองและสูตรแรกที่สั่งตามที่กล่าวไว้ในรุ่นส่วนด้านล่าง. เลขคณิต [แก้ไข] หลักการ Peano สามารถเติมกับการดำเนินงานของการบวกและการคูณและปกติรวม (เชิงเส้น) ในการสั่งซื้อไม่มี . ฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องและความสัมพันธ์ที่สร้างในตรรกะที่สองที่สั่งซื้อและมีการแสดงที่ไม่ซ้ำกันโดยใช้หลักการ Peano. เพิ่ม [แก้ไข] การเพิ่มฟังก์ชั่นที่แมตัวเลขสองธรรมชาติ (สององค์ประกอบของ N) ไปยังอีกที่หนึ่ง มันถูกกำหนดเป็นซ้ำ: begin {align} + = 0 & \ + S (ข) และ S = (A + B). ท้าย {} จัดตัวอย่างเช่น+ 1 = + S (0) = S (+ 0) = S (ก). โครงสร้าง (N, +) เป็น semigroup สับเปลี่ยนกับเอกลักษณ์องค์ประกอบ 0. (N, +) นอกจากนี้ยังหนืด cancellative และฝังดังนั้นในกลุ่ม กลุ่มที่มีขนาดเล็กที่สุดฝัง N คือจำนวนเต็ม. คูณ [แก้ไข] ในทำนองเดียวกันการคูณเป็นฟังก์ชั่นการทำแผนที่สองหมายเลขธรรมชาติไปยังอีกที่หนึ่ง ได้รับนอกจากนี้ยังมีการกำหนดเป็นซ้ำ: begin {align} cdot 0 & = 0 \ . cdot S (ข) และ = + ( cdot ข) ท้าย {} จัดมันเป็นเรื่องง่าย จะเห็นว่าการตั้งค่าขเท่ากับ 0 อัตราผลตอบแทนเอกลักษณ์การคูณ: 1 = ·· S (0) = + (· 0) = + 0 = นอกจากนี้คูณจัดจำหน่ายมากกว่านอกจากนี้: · (ข + ค ) = (·ข) + (·ค). ดังนั้น (N, + 0 · 1) เป็น semiring สับเปลี่ยน. อสมการ [แก้ไข] ความสัมพันธ์ยอดสั่งซื้อปกติ≤ในจำนวนธรรมชาติสามารถกำหนดดังต่อไปนี้ สมมติว่า 0 เป็นจำนวนธรรมชาติ: สำหรับทุกข∈ N, ข≤ถ้าหากมีอยู่บางค∈ไม่มีข้อความดังกล่าวที่ + c = b. ความสัมพันธ์นี้มีเสถียรภาพภายใต้การบวกและการคูณสำหรับข ค ใน N, ถ้าเป็นข≤แล้ว: + C + ≤ขคและค··≤ขค. ดังนั้นโครงสร้าง (N, + ·, 1, 0, ≤) เป็นคำสั่งให้ กึ่งริง; เพราะไม่มีจำนวนธรรมชาติระหว่าง 0 และ 1, มันเป็นที่ไม่ต่อเนื่องได้รับคำสั่งกึ่งริง. ความจริงของการเหนี่ยวนำที่ระบุไว้บางครั้งในรูปแบบที่แข็งแกร่งต่อไปนี้การใช้คำสั่ง≤: สำหรับφกริยาใด ๆ หากφ (0) เป็นความจริง และสำหรับทุก n, k ∈ N, ถ้า k ≤ n หมายถึงφ (k) เป็นจริงแล้วφ (S (n)) เป็นความจริงแล้วทุก n ∈ N, φ (n) เป็นความจริง. นี้รูปแบบของการ ความจริงการเหนี่ยวนำเป็นผลที่เรียบง่ายของการกำหนดมาตรฐาน แต่มักจะเป็นความเหมาะสมที่ดีกว่าสำหรับเหตุผลเกี่ยวกับการสั่งซื้อ≤ ตัวอย่างเช่นในการแสดงให้เห็นว่าธรรมชาติเป็นอย่างดีมีคำสั่งให้ทุกเซตว่างของเอ็นมีองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งสามารถเหตุผลดังต่อไปนี้ ให้ว่าง X ⊆ไม่มีจะได้รับและถือว่า X มีองค์ประกอบอย่างน้อยไม่มี. 0 เพราะเป็นองค์ประกอบที่น้อยที่สุดของ N, มันจะต้องเป็นที่ 0 ∉เอ็กซ์สำหรับ n ∈ไม่มีข้อความใด ๆ สมมติว่าทุก k ≤ n, k ∉เอ็กซ์ จากนั้น S (n) ∉ X สำหรับมิฉะนั้นก็จะเป็นองค์ประกอบที่น้อยที่สุดของเอ็กซ์ดังนั้นโดยหลักการเหนี่ยวนำที่แข็งแกร่งสำหรับทุก n ∈ N, N ∉ X. ดังนั้น X = ไม่มี∩∅ซึ่งขัดแย้ง X เป็น เซตว่างของเอ็นเอ็กซ์จึงมีองค์ประกอบอย่างน้อย. ทฤษฎีแรกสั่งของเลขคณิต [แก้ไข] ทฤษฎีแรกเพื่อที่มักจะดีกว่าทฤษฎีลำดับที่สองสำหรับ model- หรือหลักฐานการวิเคราะห์ตามทฤษฎี ทั้งหมดของสัจพจน์ Peano ยกเว้นความจริงที่เก้า (ความจริงเหนี่ยวนำ) เป็นงบในตรรกะลำดับแรก การดำเนินงานเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของการบวกและการคูณและความสัมพันธ์การสั่งซื้อนอกจากนี้ยังสามารถกำหนดโดยใช้หลักการลำดับแรก ความจริงที่สองคำสั่งของการเหนี่ยวนำสามารถเปลี่ยนเป็นคีเหนี่ยวนำลำดับแรกปรับตัวลดลง. axiomatizations แรกคำสั่งของอาโน่คณิตศาสตร์มีข้อจําสำคัญ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เปอาโนสัจพจน์
จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี ( เปลี่ยนจากค่า

เปอาโน ) ในตรรกะทางคณิตศาสตร์ , เปอาโนสัจพจน์ เรียกว่า Dedekind –เปอาโนสัจพจน์หรือเปอาโนสมมุติฐาน เป็นชุดของหลักการในธรรมชาติ ตัวเลขที่นำเสนอโดยศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีจูเซปเปเปอาโน . สัจพจน์เหล่านี้มีการใช้เกือบไม่เปลี่ยนแปลงในตัวเลขของ metamathematical สืบสวน ,รวมทั้งการวิจัยในคำถามพื้นฐานของความสอดคล้องและความสมบูรณ์ของทฤษฎีจำนวน .

ต้องเป็นพิธีในเลขคณิตไม่ชื่นชมกันจนกว่างานของแฮร์มันน์ กราสมันน์ ที่พบในคริสต์ทศวรรษ 1840 ซึ่งข้อเท็จจริงมากมายในคณิตศาสตร์อาจมาจากข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับการดำเนินงานและการสืบทอด [ 1 ] ใน 1881 ,ชาร์ลส์แซนเดอร์เพียรซให้ axiomatization คณิตศาสตร์จำนวนธรรมชาติ [ 2 ] ในปี 1888 , ริชาร์ดเดเดคินด์เสนอคอลเลกชันของสัจพจน์เกี่ยวกับตัวเลข และในปี 1889 เปอาโนเผยแพร่มากขึ้นแน่นอนสูตรรุ่นของพวกเขาเป็นคอลเลกชันของสัจพจน์ในหนังสือของเขาว่า หลักการของคณิตศาสตร์ที่นำเสนอโดยวิธีการใหม่ ( ละติน : principia arithmetices , exposita โนวา

เทคนิค )การเปอาโนสัจพจน์ประกอบด้วยสามชนิดของข้อความ สัจพจน์ก่อนยืนยันการมีอยู่ของอย่างน้อยหนึ่งในสมาชิกของชุด " หมายเลข " อีกสี่เป็นงบทั่วไปเกี่ยวกับความเสมอภาค ในการรักษาที่ทันสมัยเหล่านี้มักจะไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของสัจพจน์ของเปอาโน แต่แทนที่จะเป็นสัจพจน์ของ " พื้นฐานตรรกะ "[ 3 ] อีกสามสัจพจน์เป็นงบเพื่อเกี่ยวกับธรรมชาติ ตัวเลขแสดงคุณสมบัติพื้นฐานของผู้ผ่าตัด เก้าสัจพจน์สุดท้ายคืออันดับสองงบหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มากกว่าตัวเลขธรรมชาติลงระบบแรกเรียกว่าเลขคณิตเปอาโนได้อย่างชัดเจนเพิ่มการบวกและการคูณและสัญลักษณ์การเปลี่ยนอันดับที่สอง ความจริงกับความเหนี่ยวนำ ความจริงมา

เนื้อหา [ ซ่อน ]
1
2 )
2 สูตร 2.1 2.2 2.3 คูณอสมการ


3 ลำดับแรกทฤษฎีคณิตศาสตร์

4 axiomatizations 3.1 เทียบเท่า นางแบบ
41 ไม่รุ่น 4.2 ชุดนางแบบ

ทฤษฎี 4.3 การตีความในหมวดหมู่ทฤษฎีความสอดคล้อง
6
5
7
8 ดูเชิงอรรถการอ้างอิงการเชื่อมโยงภายนอก

9 สูตร [ แก้ไข ]

ชุดตัวเลขของธรรมชาติสามารถแสดงโดยห่วงโซ่อนันต์แสงไม้โดมิโน่ชิ้นแรกของพวกเขาหนึ่งที่สอดคล้องกับศูนย์ และ แต่ละชิ้น ซึ่งด้านบนสู่ทายาทของ อย่างไรก็ตามการเปอาโนสัจพจน์ 1 – 8 ยังเติมเต็มด้วย incontiguous โครงสร้างที่ประกอบด้วยแสงและชิ้นไม้สีเข้ม . อ้างอิง [ จำเป็น ] การสัจพจน์ , 9 , สอดคล้องกับความต้องการนั้นถ้าครั้งแรกไฟไม้ชิ้นโดมิโน ( 0 ) คือ คว่ำ แล้ว แต่ละชิ้นจะล้มลงในที่สุด ( " ผลกระทบโดมิโน " ) ; จะพอใจในการขาดของชิ้นมืด . อ้างอิง [ จำเป็น ]
เมื่อเปอาโนกำหนดสัจพจน์ของเขา ภาษาของตรรกะทางคณิตศาสตร์อยู่ในวัยทารก ระบบของตรรกะสัญลักษณ์ที่เขาสร้างขึ้นเพื่อเสนอสัจพจน์ได้พิสูจน์ให้เป็นที่นิยม ถึงแม้ว่ามันเป็นแหล่งกำเนิดของสมัยใหม่สัญกรณ์สำหรับชุดกรรมการ ( ∈ซึ่งมาจากเปอาโนก็ε ) และความหมาย ( ⊃ซึ่งมาจากเปอาโนก็กลับ ' C '