We demonstrate here a remarkably si

We demonstrate here a remarkably simple method for deriving a large number of identities involving the Fibonacci number, Lucas numbers and binomial coefficients. As will be shown, this is based on the utilisation of some straightforward properties of the golden ratio in conjunction with a result concerning irrational numbers. Indeed, for the simpler cases at least, the derivations could be understood by able high-school students. In particular, we avoid the use of exponential generating functions, matrix methods, Binet's formula, involved combinatorial arguments or lengthy algebraic manipulation.
Some of the result given here are well-known, but it would appear that others are less so. In fact, several of the identities obtained in this paper do not appear on the authoritative website [1].
After stating three properties of the golden ratio, which will be used throughout, we go on to provide a number of examples that illustrate how certain golden-ratio equalities give rise, in a quite natural manner, to these identities . Finally, we briefly consider inverse binomial transforms and generalisations of our identities.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เราแสดงให้เห็นถึงที่นี่เป็นวิธีที่ง่ายอย่างน่าทึ่งสำหรับสืบมาเป็นจำนวนมากของตัวตนที่เกี่ยวข้องกับจำนวนฟีโบนักชีตัวเลขลูคัสและค่าสัมประสิทธิ์ทวินาม ในฐานะที่จะแสดงนี้จะขึ้นอยู่กับการใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติบางอย่างตรงไปตรงมาของอัตราส่วนทองคำร่วมกับผลที่เกี่ยวกับตัวเลขไม่ลงตัวที่ อันที่จริงสำหรับกรณีที่ง่ายกว่าอย่างน้อย derivations อาจจะเข้าใจได้โดยสามารถที่นักเรียนมัธยมปลาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เราหลีกเลี่ยงการใช้ฟังก์ชั่นที่ก่อให้เกิดการชี้แจงวิธีการเมทริกซ์สูตร Binet ของการขัดแย้ง combinatorial มีส่วนร่วมหรือการจัดการเกี่ยวกับพีชคณิตยาว.
บางส่วนของผลที่ตามมาให้ที่นี่เป็นที่รู้จักกัน แต่ก็จะปรากฏว่าคนอื่นมีน้อยดังนั้น ในความเป็นจริงหลายตัวตนที่ได้รับในบทความนี้จะไม่ปรากฏบนเว็บไซต์ของเผด็จการ [1].
หลังจากระบุสามคุณสมบัติของอัตราส่วนทองซึ่งจะถูกนำมาใช้ตลอดเราไปในที่จะให้จำนวนตัวอย่างที่แสดงให้เห็นถึงวิธีการบางอย่าง equalities อัตราส่วนทองให้สูงขึ้นในลักษณะที่เป็นธรรมชาติค่อนข้างจะตัวตนเหล่านี้ สุดท้ายพวกเราได้สรุปการแปลงทวินามผกผันและภาพรวมของตัวตนของเรา

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เราแสดงที่นี่วิธีที่ง่ายอย่างน่าทึ่งสำหรับใช้เป็นจำนวนมากของข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับจำนวนฟีโบนัชชี ลูคัสและตัวเลขสัมประสิทธิ์ทวินาม . โดยจะแสดงนี้จะขึ้นอยู่กับการใช้คุณสมบัติตรงไปตรงมาบางส่วนของอัตราส่วนทองคำ ร่วมกับผลเกี่ยวกับจำนวนอตรรกยะ . แท้จริงสำหรับง่ายกว่ากรณีอย่างน้อยที่สามารถเข้าใจได้โดยการหาโรงเรียนมัธยมนักเรียน โดยเฉพาะ เราหลีกเลี่ยงการใช้ชี้แจงสร้างฟังก์ชัน , วิธีเมทริกซ์บิเนต์สูตรที่เกี่ยวข้องกับข้อโต้แย้งหรือการจัดการเชิงพีชคณิตยาว .
บางส่วนของผลให้ที่นี่เป็นที่รู้จักกันดี แต่ปรากฎว่า คนอื่นจะน้อยกว่าดังนั้น ในความเป็นจริงหลายของข้อมูลที่ได้รับในบทความนี้ไม่ได้ปรากฏบนเว็บไซต์เผด็จการ [ 1 ] .
หลังจากที่ระบุคุณสมบัติสามของอัตราส่วนโกลเด้นซึ่งจะใช้ตลอด เราไปเพื่อให้จำนวนของตัวอย่างที่แสดงให้เห็นถึงวิธีการ equalities อัตราส่วนทองคำหนึ่งให้สูงขึ้น ในลักษณะที่ค่อนข้างเป็นธรรมชาติ เพื่อเอกลักษณ์เหล่านี้ ในที่สุดเราสั้นพิจารณาผกผันแบบการแปลงและรวมของอัตลักษณ์ของเรา
.