1. IntroductionA role colouringof a

1. Introduction
A role colouringof a graph Gis an assignment of colours to the vertices of Gsuch that two vertices of the same colour have identical sets of colours in their neighbourhoods. For example, suppose we colour the vertices of Gred or blue. If this colouring is a role colouring then for all red vertices uand vwe have that uhas a blue neighbour if and only if vhas a blue neighbour. The concept arises from the study of social networks. Network science is an increasingly important application of graph theory and role colourings are a natural formulation of roles played by nodes in a real-world network [16,17]. This structure was formalised by White and Reitz in terms of graph homomorphisms in [22], and developed extensively by Borgatti and Everett [2,1,7,8]. Afast, applicable algorithm for finding role colourings is proposed in [12,3]. Ahomomorphism his said to be locally surjectiveif his surjective when restricted to the neighbourhood set of any vertex. Locally surjective homomorphisms are equivalent to role colourings and they appear in the literature under many other names, e.g.role assignment [21], role equivalence [3], regular equivalence [2]. Throughout this paper we use the language of graph colourings and we refer to a role colouring using kcolours as a k-role-colouring.
We consider the computational problem associated with role colourings whose input is a graph Gand whose output is a partition of the vertices of Ginto knon-emptysubsets satisfying the definition of a role colouring given above. We call this problem k-role-colourability, or k-rolecolfor short. This problem differs from the more commoncolourabilityproblem in a few important ways. Ak-role-colouring does not usually imply the existence of a k +1-role-colouring and one cannot necessarily combine role colourings given for each connected component of a graph. Additionally, every graph with

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทนำColouringof บทบาทกราฟ Gis การกำหนดสีกับจุดยอดของ Gsuch ที่จุดยอดสองสีเดียวกันมีชุดเดียวกันของสีในการมาเยือนของพวกเขา เช่น สมมติว่า เราสีจุดยอดของ Gred หรือสีฟ้า ถ้าสีนี้เป็นบทบาท สีแล้วสำหรับทุกจุดยอดสีแดง uand vwe มี uhas ว่าถ้าเพื่อนบ้านสีฟ้าและเดียว vhas เพื่อนบ้านสีฟ้า แนวคิดที่เกิดขึ้นจากการศึกษาของเครือข่ายสังคม เครือข่ายวิทยาศาสตร์เป็นโปรแกรมสำคัญมากของทฤษฎีกราฟ และชาดสีบทบาทจะกำหนดธรรมชาติของบทบาทที่เล่น โดยการโหนดในเครือข่ายจริง [16,17] โครงสร้างนี้คือ formalised ขาวและ Reitz ในแง่ของกราฟ homomorphisms ใน [22], และพัฒนาอย่างกว้างขวาง โดย Borgatti และเอ [2,1,7,8] Afast ใช้อัลกอริทึมในการค้นหาบทบาทชาดสีจะนำเสนอใน [12,3] Ahomomorphism เขากล่าวว่า ภายใน surjectiveif surjective ของเขาเมื่อได้จำกัดบริเวณที่ตั้งของจุดยอดใด ๆ Surjective homomorphisms เป็นชาดสีบทบาท และปรากฏในวรรณคดีภายใต้ชื่ออื่น ๆ มากมาย e.g.role กำหนด [21], บทบาทเทียบเท่า [3], เทียบเท่าปกติ [2] ตลอดทั้งเอกสารนี้ ใช้ภาษาของชาดสีกราฟ และหมายถึงสีบทบาทที่ใช้ kcolours k-บทบาทสีเราพิจารณาปัญหาหนัก ๆ ที่เกี่ยวข้องกับบทบาทชาดสีป้อนข้อมูลเป็นกราฟ Gand ซึ่งผลลัพธ์คือพาร์ติชันของจุดยอดของ Ginto knon-emptysubsets พอคำของสีบทบาทที่กำหนดข้างต้น เราเรียกปัญหา k-บทบาท-colourability หรือนี้ k-rolecolfor สั้น ปัญหานี้แตกต่างจาก commoncolourabilityproblem เพิ่มเติมสำคัญวิธี Ak-บทบาทสีมักจะบ่งบอกถึงการดำรงอยู่ของ k + 1-บทบาท-สีและหนึ่งไม่จำเป็นต้องรวมบทบาทชาดสีสำหรับแต่ละส่วนเชื่อมต่อของกราฟได้ นอกจากนี้ ทุกกราฟด้วย

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1.
บทนำบทบาทcolouringof กราฟ GIS การกำหนดสีให้จุดของ Gsuch ที่สองจุดที่มีสีเดียวกันมีชุดที่เหมือนกันของสีในละแวกใกล้เคียงของพวกเขา ตัวอย่างเช่นสมมติว่าเราสีจุดของ Gred หรือสีฟ้า ถ้าสีนี้คือบทบาทสีแล้วสำหรับจุดสีแดงทั้งหมด uand vwe มีที่ uhas เพื่อนบ้านสีฟ้าและถ้าหาก vhas เพื่อนบ้านฟ้า แนวความคิดที่เกิดขึ้นจากการศึกษาของเครือข่ายทางสังคม วิทยาศาสตร์เครือข่ายเป็นโปรแกรมที่สำคัญมากขึ้นของทฤษฎีกราฟและสีบทบาทเป็นสูตรตามธรรมชาติของบทบาทที่เล่นโดยโหนดในเครือข่ายที่แท้จริงของโลก [16,17] โครงสร้างนี้เป็นกรงเล็บสีขาวและ Reitz ในแง่ของ homomorphisms กราฟใน [22] และการพัฒนาอย่างกว้างขวางโดย Borgatti และเอเวอเร [2,1,7,8] AFAST อัลกอริทึมที่ใช้บังคับสำหรับการค้นหาสีบทบาทในการเสนอ [12,3] Ahomomorphism ของเขากล่าวว่าจะเป็นในประเทศ surjectiveif surjective ของเขาเมื่อ จำกัด ชุดละแวกจุดสุดยอดของการใด ๆ เฉพาะ homomorphisms surjective เทียบเท่ากับบทบาทและสีที่ปรากฏในวรรณคดีภายใต้ชื่ออื่น ๆ อีกมากมายที่ได้รับมอบหมาย egrole [21], บทบาทเท่าเทียมกัน [3], ความเท่าเทียมปกติ [2] ตลอดบทความนี้เราจะใช้ภาษาของสีกราฟและเราหมายถึงบทบาทของสีที่ใช้ kcolours เป็น k-บทบาทสี. the
เราพิจารณาปัญหาการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับสีบทบาทที่มีการป้อนข้อมูลเป็นกราฟตอนแรกที่มีการส่งออกเป็นพาร์ติชันของจุดที่ ของ Ginto knon-emptysubsets ความพึงพอใจความหมายของสีที่มีบทบาทดังกล่าวข้างต้น เราเรียกปัญหานี้ k-บทบาท colourability หรือ k-rolecolfor สั้น ปัญหานี้แตกต่างจาก commoncolourabilityproblem มากขึ้นในรูปแบบที่สำคัญไม่กี่ Ak-บทบาทสีไม่ได้มักจะบ่งบอกถึงการดำรงอยู่ของอลาสกา + 1 บทบาทสีและหนึ่งสามารถไม่จำเป็นต้องรวมสีบทบาทที่ได้รับในแต่ละองค์ประกอบเชื่อมต่อของกราฟ นอกจากนี้กราฟกับทุก