Theorem 4.1. MUIG ( TSG.Proof. The

Theorem 4.1. MUIG ( TSG.
Proof. The cycle C4 does not belong to MUIG, since every mixed unit interval graph is an interval graph [3]. On the other
hand, C4 ∈ TSG, because the centers (0, 0), (0, ε), (1, 0), (1, ε) of unit disks represent C4 for every 0 < ε ≤ 1. Thus MUIG ̸=
TSG. In the following, we show that MUIG ⊆ TSG.
Let G ∈ MUIG and {Iv : v ∈ V(G)} be a mixed unit interval representation of G. Let t = min{|Iu ∩ Iv| : |Iu ∩ Iv| > 0} and
s = min{ℓ(Iv) − r(Iu) : r(Iu) < ℓ(Iv)}. That is, t is the minimum length of the intersection of two intervals with a non-zero
intersection, and s is the minimum gap between two non-intersecting intervals. If there is no such pair of intervals, the
corresponding value s or t is set to be infinity.
Now let d be a real such that 0 < d < 2/3, d ≤ t/4, d < s/2, and ε ≥ 2
√
d − d2. Let h =
√
d − d2. In the following, we
construct 2h-realization φ of G. Note that 2h ≤ ε. For each v ∈ V(G), we set φ(v) as follows:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบท 4.1 MUIG (TSGหลักฐานการ รอบ C4 เป็นของการ MUIG เนื่องจากทุกหน่วยผสมช่วงกราฟ เป็นกราฟช่วง [3] อื่น ๆมือ C4 ∈ TSG เนื่องจากศูนย์กลาง (0, 0), (0 ε), (1, 0), (1 ε) ของดิสก์หน่วยแทน C4 สำหรับทุก 0 < ε≤ 1 ดังนั้น MUIG ̸ =TSG ต่อไปนี้ เราแสดงที่ MUIG ⊆ TSGให้ G ∈ MUIG และ { Iv: v ∈ V(G) } เป็นตัวแทนช่วงผสมหน่วยของกรัม ให้ t = min { | Iu ∩ Iv| : | Iu ∩ Iv| > 0 } และs = min{ℓ(Iv) − r(Iu): r(Iu) < ℓ(Iv) } นั่นคือ t คือ ระยะต่ำสุดของช่วงที่สองกับไม่ใช่ศูนย์สี่แยก และ s ได้ช่องว่างต่ำสุดระหว่างช่วงสองไม่อินเตอร์เซกกัน ถ้าไม่มีคู่ดังกล่าวของช่วง การค่า s หรือ t ที่ตรงกันถูกกำหนดให้เป็นอินฟินิตี้ตอนนี้ d ให้เป็นจริงให้ 0 < d < 2/3, d ≤ t/4, d < s/2 และε≥ 2√d − d2 ให้ h =√d − d2 ในต่อไปนี้ เราสร้างφ 2h สำนึกของกรัมหมายเหตุที่≤ 2h ε ∈แต่ละ v V(G) เราตั้ง φ(v) เป็นดังนี้:

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบท 4.1 MUIG (TSG.
หลักฐาน. รอบ C4 ไม่ได้อยู่ใน MUIG เนื่องจากทุกหน่วยผสมกราฟช่วงเวลาคือช่วงกราฟ [3]. ในอื่น ๆ
มือ C4 ∈ TSG เพราะศูนย์ (0, 0), (0, ε) (1, 0), (1, ε) ของดิสก์หน่วย C4 เป็นตัวแทนของทุก 0 <ε≤ 1 ดังนั้น MUIG ̸ =
TSG. ในต่อไปนี้เราแสดงให้เห็นว่า MUIG ⊆ TSG.
ให้∈ G MUIG และ { iv: วี∈ V (G)} จะเป็นหน่วยผสมแทนช่วงของจีให้ t = {นาที | Iu ∩ Iv |: | Iu ∩ Iv |> 0} และ
s = นาที {ℓ (iv) - อาร์ (Iu ):. อาร์ (Iu) <ℓ (iv)} นั่นคือทีคือความยาวไม่ต่ำกว่าจุดตัดของสองช่วงด้วยไม่ใช่ศูนย์
สี่แยกและคือช่องว่างน้อยที่สุดระหว่างสองช่วงที่ไม่ตัดหากมี. ไม่มีคู่ดังกล่าวของช่วงเวลา
ของค่าที่สอดคล้องกันหรือทีจะกำหนดอินฟินิตี้.
ตอนนี้เราต้องการจะเป็นเช่นนั้นจริง 0 <d <2/3 d ≤ตัน / 4 d <s / 2 และε≥ 2
√
d - d2 ให้ชม =.
√
d - d2 ในต่อไปนี้เรา.
2h สร้างการตระหนักรู้ของφกรัมทราบว่า 2h ≤εสำหรับแต่ละวี∈ V (G) เราตั้งφ (V) ดังนี้.

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบท 4.1 . muig ( หลักฐาน TSG .

วงจร C4 ไม่ได้เป็นของ muig เพราะทุกหน่วยผสมช่วงกราฟเป็นกราฟช่วง [ 3 ] บนมืออื่น ๆ
, C4 ∈ TSG เพราะศูนย์ ( 0 , 0 ) , ( 0 ε ) , ( 1 , 0 ) , ( 1 , ε ) ของดิสก์หน่วยเป็นตัวแทน C4 ทุก 0 < ε≤ 1 ดังนั้น muig ̸ =
TSG . ในต่อไปนี้เราแสดงให้เห็นว่า muig ⊆ TSG .
ให้∈ muig { 4 G และ∈ V V ( G ) } เป็นหน่วยกรัมผสมช่วงการแสดงให้ t = มิน { | IU ∩ 4 | : | IU ∩ 4 | > 0 }
S = มิน { ℓ ( IV ) − ( IU ) r : r ( IU ) < ℓ ( IV ) } ที่ T คือ ความยาวขั้นต่ำของสี่แยกสองช่วงเวลาที่มีผลรวมของค่า
สี่แยก และเป็นช่องว่างน้อยที่สุดระหว่างสองไม่ตัดช่วง ถ้าไม่มีคู่เช่นช่วงเวลา
ที่สอดคล้องกันของค่า S หรือ T จะไม่มีที่สิ้นสุด .
ตอนนี้ให้ D เป็นจริงเช่นที่ 0 < D < 2 / 3 D ≤ T / 4 D < s / 2 และε≥ 2
√
D − D2 . ให้ h =
√
D − D2 . ในต่อไปนี้เรา
สร้าง 2H รับรู้φหมายเหตุ . ที่ 2H ≤ε . สำหรับแต่ละ V ∈ V ( G ) ที่เราตั้งφ ( V ) ดังนี้