Looking back. Even fairly good stud

Looking back. Even fairly good students, when they have obtained the solution of the problem and written down neatly the argument, shut their books and look for something else. Doing so, they miss an important and instructive phase of the work. By looking back at the completed solution, by reconsidering and reexamining the result and the path that led to it, they could consolidate their knowledge and develop their ability to solve problems. A good teacher should understand and impress on his students the view that no problem whatever is completely exhausted. There remains always something to do; with sufficient study and penetration, we could improve any solution, and, in anycase, we can always improve our understanding of the solution.
The student has now carried through his plan. He has written down the solution, checking each step. Thus, he should have good reasons to believe that his solution is correct. Nevertheless, errors are always possible, especially if the argument is long and involved. Hence, verifications are desirable. Especially, if there is some rapid and intuitive procedure to test either the result or the argument, itshould not be overlooked. Can you check the result? Can you check the argument?
In order to convince ourselves of the presence or of the quality of an object, we like to see and to touch it. And as we prefer perception through two different senses, so we prefer conviction by two different proofs: Can you derive the result differently? We prefer, of course, a short and intuitive argument to a long and heavy one: Can you see it at a glance?
One of the first and foremost duties of the teacher is not to give his students the impression that mathematical problems have little connection with each other, and no connection at all with anything else. We have a natural opportunity to investigate the connections of a problem when looking back at its solution. The students will find looking back at the solution really interesting if they have made an honest effort, and have the consciousness of having done well. Then they are eager to see what else they could accomplish with that effort, and how they could do equally well another time. The teacher should encourage the students to imagine cases in which they could utilize again the procedure used, or applythe result obtained. Can you use the result, or the method, for some other problem?

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

มองย้อนกลับ นักเรียนได้ค่อนข้างดี เมื่อพวกเขาได้รับการแก้ปัญหาของปัญหา และเขียนลงอย่างอาร์กิวเมนต์ ปิดสมุดบัญชีของตน และค้นหาสิ่ง ทำเช่นนั้น พวกเขาพลาดขั้นตอนที่สำคัญ และให้คำแนะนำงาน โดยมองกลับที่แก้ปัญหาเสร็จสมบูรณ์ reconsidering และ reexamining ผลและเส้นทางที่นำไปนั้น พวกเขาสามารถรวมความรู้ และพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหา อาจารย์ที่ดีควรทำความเข้าใจ และประทับใจในนักเรียนของเขาดูว่าปัญหาใดก็ตามทั้งเหนื่อย มีอยู่เสมอให้ทำ พอศึกษาและเจาะ เราสามารถปรับปรุงโซลูชันใด ๆ และ ใน anycase เราจะช่วยให้เราเข้าใจการแก้ปัญหานักเรียนได้ดำเนินผ่านแผนขณะนี้ เขาได้เขียนลงแก้ปัญหา การตรวจสอบแต่ละขั้นตอน ดังนั้น เขาควรมีเหตุผลที่ดีเชื่อว่า โซลูชันของเขาถูกต้อง อย่างไรก็ตาม ข้อผิดพลาดได้เสมอเป็นไปได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าอาร์กิวเมนต์ยาว และเกี่ยวข้อง ดังนั้น verifications จะต้อง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้ามีขั้นตอนบางอย่างรวดเร็ว และใช้งานง่ายเพื่อทดสอบผลหรืออาร์กิวเมนต์ itshould ไม่มองข้าม คุณสามารถตรวจสอบผลลัพธ์ คุณสามารถตรวจสอบอาร์กิวเมนต์In order to convince ourselves of the presence or of the quality of an object, we like to see and to touch it. And as we prefer perception through two different senses, so we prefer conviction by two different proofs: Can you derive the result differently? We prefer, of course, a short and intuitive argument to a long and heavy one: Can you see it at a glance?One of the first and foremost duties of the teacher is not to give his students the impression that mathematical problems have little connection with each other, and no connection at all with anything else. We have a natural opportunity to investigate the connections of a problem when looking back at its solution. The students will find looking back at the solution really interesting if they have made an honest effort, and have the consciousness of having done well. Then they are eager to see what else they could accomplish with that effort, and how they could do equally well another time. The teacher should encourage the students to imagine cases in which they could utilize again the procedure used, or applythe result obtained. Can you use the result, or the method, for some other problem?

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

มองกลับมา ได้ค่อนข้างดี นักเรียน เมื่อพวกเขาได้รับการแก้ไขปัญหา และเขียนลงอย่างเรียบร้อย อาร์กิวเมนต์ ปิดหนังสือ และมองหาอะไรบางอย่าง การทำเช่นนั้น พวกเขาพลาดที่สำคัญและให้คำแนะนำขั้นตอนของงาน โดยมองย้อนกลับไปที่โซลูชั่นที่สมบูรณ์ โดยการพิจารณา และ reexamining ผลและเส้นทางที่นำไปสู่มันพวกเขาจะรวบรวมความรู้และพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหา ครูที่ดีควรเข้าใจ และสร้างความประทับใจให้กับนักเรียนของเขาดู ว่าไม่มีปัญหาอะไรจะสมบูรณ์หมด ยังคงมีเสมอสิ่งที่ต้องทำ กับการศึกษาที่เพียงพอและสอดใส่ เราสามารถปรับปรุง แก้ไข ใด ๆและ อันที่จริง เราสามารถปรับปรุงความเข้าใจของสารละลาย
นักศึกษาได้ดำเนินการผ่านแผนของเขา เขาได้เขียนลงในโซลูชั่นการตรวจสอบแต่ละขั้นตอน ดังนั้น เขาต้องมีเหตุผลที่ดีที่จะเชื่อว่าวิธีการแก้ปัญหาของเขาถูกต้อง อย่างไรก็ตาม ข้อผิดพลาดจะเป็นไปได้เสมอ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าอาร์กิวเมนต์ยาวและที่เกี่ยวข้อง ดังนั้น โทรศัพท์มือถือที่พึงประสงค์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้ามีอย่างรวดเร็วและใช้งานง่ายขั้นตอนการทดสอบทั้งผล หรือการโต้แย้ง ทั้งนี้ไม่ควรมองข้าม คุณสามารถตรวจสอบผล ? คุณสามารถตรวจสอบการโต้แย้ง ?
เพื่อที่จะโน้มน้าวตัวเองของตนหรือของที่มีคุณภาพของวัตถุที่เราต้องการที่จะเห็นและสัมผัสมัน และที่เราชอบการรับรู้ผ่านประสาทสัมผัสที่แตกต่างกันสอง ดังนั้นเราต้องการความเชื่อมั่นโดยสองปรู๊ฟที่แตกต่างกัน :