For θ, β ∈ [−π, π) and θ /∈ {−π, 0}

For θ, β ∈ [−π, π) and θ /∈ {−π, 0} , it is shown that as n runs through the
nonnegative integers, the nonzero sequence (cos(nθ + β)) takes infinitely many
positive and negative values; and if θ = s/t is a rational multiple of π, the
sequence is purely periodic whose least period is equal to t when s is even and
equal to 2t when s is odd; while if θ is not a rational multiple of π, the range
of values of the sequence is dense in the unit interval (0, 1). Any sequence of
the form “Pd
r αr cos (2nπsr/tr) + βr
”
, with rational sr/tr belonging to the unit
interval (0, 1), is shown to be purely periodic whose least period is equal to the
least common multiple of t1, . . . , td.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สำหรับθ β∈[−π, π) และ/∈θ {−π 0 }, มันจะแสดงที่เป็น n ทำงานผ่านการ
เต็ม nonnegative ลำดับ nonzero (cos(nθ β)) ใช้เพียบหลาย
ค่าบวก และค่าลบ และθ = s/t มีหลายเหตุผลของπ
ลำดับคืองวดเพียงอย่างเดียวที่ระยะเวลาอย่างน้อยเท่ากับ t เมื่อ s แม้ และ
เท่ากับ 2t เมื่อคี่ s ในขณะถ้าθไม่หลายเชือดของπ ช่วง
ค่าของลำดับเป็นหนาแน่นในช่วงเวลาต่อหน่วย (0, 1) ลำดับใดของ
แบบ " Pd
r αr cos βr (2nπsr/tr)
"
, กับเชือด sr/tr ของหน่วย
ช่วง (0, 1), จะแสดงให้เป็นครั้งคราวเพียงอย่างเดียวที่ระยะเวลาอย่างน้อยเท่ากับ
คูณร่วมน้อยของ t1,..., td.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สำหรับθ, β∈ [-π, π) และθ / ∈ {-π, 0} ก็จะแสดงให้เห็นว่าเป็น n ไหลผ่าน
จำนวนเต็มไม่เป็นลบลำดับภัณฑ์ (cos (nθ + β)) ใช้เวลาอย่างมากมายหลาย
บวกและ ค่าลบ; และถ้าθ = S / T หลายเหตุผลของπ,
ลำดับเป็นระยะอย่างหมดจดที่มีระยะเวลาอย่างน้อยเท่ากับเมื่อ t คือได้และ
เท่ากับ 2t เมื่อคือคี่; ขณะที่ถ้าθไม่ได้หลายเหตุผลของπช่วง
ของค่าของลำดับมีความหนาแน่นในช่วงเวลาหน่วย (0, 1) ลำดับใด ๆ ของ
แบบฟอร์ม "Pd
cos R αr (2nπsr / tr) + βr
"
ด้วยเหตุผล sr / tr ที่เป็นของหน่วยงาน
ตามช่วงเวลา (0, 1) แสดงให้เห็นว่าเป็นระยะอย่างหมดจดที่มีระยะเวลาอย่างน้อยเท่ากับ
ที่พบบ่อยอย่างน้อย หลาย t1, . . , td

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สำหรับθบีตา [ −π , ∈π ) , และ∈−πθ / { 0 } , มันแสดงให้เห็นว่าเป็น n วิ่งผ่าน
จำนวนเต็ม nonnegative , ลำดับ 0 ( cos ( N θบีตา ) ใช้เวลาจำนวน
บวกและลบค่า ถ้าθ = s / t เป็นหลายเหตุผล ของπ ,
ลำดับหมดจดเป็นระยะที่มีอย่างน้อยระยะเวลาเท่ากับ T เมื่อ S คือแม้แต่
เท่ากับ 2t เมื่อเป็นคี่ในขณะที่ถ้าθไม่ใช่เหตุผลหลายπ ช่วง
ค่าของลำดับคือหน่วยหนาแน่นในช่วง ( 0 , 1 ) ลำดับใด ๆของรูปแบบ " PD

r α R cos ( 2n π SR / TR ) บีตา R
"
, ด้วยเหตุผล SR / TR เป็นของหน่วย
ช่วง ( 0 , 1 ) แสดงเป็น หมดจด เป็นระยะที่มีอย่างน้อยระยะเวลาเท่ากับ
หลายทั่วไปอย่างน้อย T1 , . . . . . . . . , TD .