Random Walks on Graphs1. Introducti

Random Walks on Graphs
1. Introduction to Graph Theory
The intuitive notion of a graph is a figure consisting of points and lines adjoining these points. More precisely,
we have the following definition: A graph is a set of objects called vertices along with a set of unordered pairs
of vertices called edges. Note that each edge in a graph has no direction associated with it. If we wish to specify
a direction, then we use the notion of a directed graph or digraph. The definition of a digraph is the same
as that of a graph, except the edges are ordered pairs of edges. If (u, v) is an edge in a digraph, then we say
that (u, v) is an edge from u to v. We also say that if (u, v) is an edge in a graph or digraph then u is adjacent
to v (and v is adjacent from u in a digraph). The degree of a vertex v in a graph is the number deg(v) of edges
which contain v. In a digraph we define the out degree of v to be the number deg+(v) of v to be the number
of edges which start at v and the in degree of v to be the number deg−(v) of edges which end at v.
Below are some examples of graphs and digraphs:
Figure 1
Note that it is possible for edges to cross even though this is not the case with the figures above. If two edges
cross, then their intersection is a vertex only if indicated, otherwise their intersection is not a vertex.
A walk in a graph or digraph is a sequence of vertices v1, v2, . . . , vk+1, not necessarily distinct, such that
(vi, vi+1) is an edge in the graph or digraph. The length of a walk is number of edges in the path, equivalently
it is equal to k.
2. Random Walks on Graphs
Let G be a graph or digraph with the additional assumption that if G is a digraph, then deg+(v) > 0 for
every vertex v. Now consider an object placed at vertex vj . At each stage the object must move to an adjacent
vertex. The probability that it moves to the vertex vi is 1
deg(vj ) or 1
deg+(vj ) if (vj , vi) is an edge on G and G is a
graph or digraph, respectively. Otherwise the probability is 0. Therefore if we define
mij =
8>><
>>:
1
deg(vj ) if (vj , vi) is an edge in the graph G
1
deg+(vj ) if (vj , vi) is an edge in the digraph G
0 otherwise
Then M = (mij) is a Markov matrix. Note that the roles of i and j are reversed as we need the columns of
M to sum to 1. As each stage occurs, a sequence of adjacent vertices is produced. This sequence represents the
1
position of the object at a given stage. Moreover this sequence is a walk in the graph. We call such a walk a
random walk on the graph or digraph G. Using the Markov matrix, we see that the i, j entry of Mk represents
the probability that a random walk of length k starting at vertex vj , ends at the vertex vi. The steady-state
vector will correspond to the probability of being at a given vertex after a sufficient number of random walks.
Example:
Figure 2
For the graph in Figure 2.
M =
0
BBBBBBBBB@
0 1/3 1/4 0 0 1/2
1/3 0 0 1/2 1/2 0
1/3 0 0 1/2 1/2 1/2
0 1/3 1/4 0 0 0
0 1/3 1/4 0 0 0
1/3 0 1/4 0 0 0
1
CCCCCCCCCA
Now we compute M5 which represents corresponds to random walks of length 5 along this graph:
M5 =
0
BBBBBBBBB@
0.1192 0.2858 0.2582 0.0911 0.0911 0.1940
0.2858 0.0370 0.0723 0.3395 0.3395 0.1921
0.3442 0.0965 0.1273 0.4063 0.4063 0.2717
0.0608 0.2263 0.2032 0.0243 0.0243 0.1144
0.0608 0.2263 0.2032 0.0243 0.0243 0.1144
0.1293 0.1281 0.1359 0.1144 0.1144 0.1134
1
CCCCCCCCCA
So the probability that an object which starts at vertex 3, makes 5 random moves and ends at vertex 1 is
given by the 3, 1 entry of M5 which is 0.2582.
The steady-state vector is given by using:
x = null(M − eye(6),0 r0)
xs = x/sum(x)
2
which gives xs =
0
BBBBBBBBB@
0.1875
0.1875
0.2500
0.1250
0.1250
0.1250
1
CCCCCCCCCA
This indicates that no matter what the distribution of objects is on the graph; over
time, 1/4 of them will accumulate at vertex 3.
3

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เดินสุ่มบนกราฟ1. ทฤษฎีกราฟเบื้องต้นความคิดที่ใช้งานง่ายของกราฟเป็นรูปที่ประกอบด้วยจุดและเส้นที่จุดเหล่านี้ที่อยู่ติดกัน เบสเรามีข้อกำหนดต่อไปนี้: กราฟเป็นชุดของวัตถุที่เรียกว่าจุดยอดพร้อมกับชุดของคู่เรียงลำดับของจุดที่เรียกว่าขอบ หมายเหตุว่า ขอบในกราฟมีทิศทางไม่เกี่ยวข้องกับมัน หากเราต้องการระบุทิศทาง แล้วเราใช้ความคิดของกราฟโดยตรงหรือไดกราฟ คำนิยามของการทวิอักษรจะเหมือนกันเป็นของกราฟ ยกเว้นขอบสั่งคู่ขอบ ถ้า (u, v) เป็นขอบในทวิอักษร แล้วเราบอกว่าที่ (u, v) คือขอบจากคุณเป็น v นอกจากนี้เรายังบอกว่า ถ้า (u, v) เป็นขอบในกราฟหรือทวิอักษร u อยู่ติดกันเป็น v (และ v คือติดจาก u ในทวิอักษร) ระดับของการมีจุดยอด v ในกราฟคือ deg(v) เลขของขอบซึ่งประกอบด้วย v ในทวิอักษรเรากำหนดระดับออกของ v จะ deg+(v) เลขของ v เป็น จำนวนขอบซึ่งเริ่มต้นที่ v และระดับในการจะ deg−(v) เลขขอบซึ่ง v vนี่คือตัวอย่างของกราฟและ digraphs:รูปที่ 1หมายเหตุว่า เป็นขอบที่จะข้ามแม้ว่านี้ไม่ใช่กรณีที่ มีตัวเลขข้างต้น ถ้าสองขอบข้าม แล้วพวกเขาแยกเป็นจุดยอดเท่าถ้าบุ มิฉะนั้น ตนแยกไม่จุดยอดเดินในกราฟหรือไดกราฟเป็นลำดับของจุดยอด v1, v2,..., vk + 1 ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน เช่นที่(vi, vi + 1) เป็นขอบในกราฟหรือทวิอักษร ความยาวของการเดินเป็นจำนวนขอบในเส้นทาง equivalentlyมันมีค่าเท่ากับ k2. สุ่มเดินบนกราฟให้ G เป็นกราฟหรือไดกราฟ มีสมมติฐานเพิ่มเติมว่าถ้า G เป็นทวิอักษร แล้ว deg+(v) > 0 สำหรับทุกจุดยอด v ตอนนี้ พิจารณาวัตถุอยู่ที่จุดยอด vj ในแต่ละขั้นตอน วัตถุต้องย้ายไปอยู่ติดกันมอเตอร์ไฟฟ้า ความเป็นไปได้ว่า จะย้ายไปจุดยอด vi คือ 1องศา (vj) หรือ 1องศา + (vj) ถ้า (vj, vi) เป็นขอบใน G และ G จะเป็นกราฟหรือทวิอักษร ตามลำดับ มิฉะนั้น ความเป็นไปได้คือ 0 ดังนั้นถ้าเรากำหนดmij =8 >><>>:1องศา (vj) ถ้า (vj, vi) เป็นขอบในกราฟ G1องศา + (vj) ถ้า (vj, vi) เป็นขอบในทวิอักษร Gอื่น ๆ 0แล้ว M = (mij) เป็นเมทริกซ์ Markov โปรดทราบว่า บทบาทของ i และ j จะกลับ ตามที่เราต้องการให้คอลัมน์ของมผลรวม 1 ขณะที่เกิดขึ้นแต่ละขั้นตอน ลำดับของจุดยอดที่ติดกันผลิตขึ้น ลำดับนี้หมายถึงการ1ตำแหน่งของวัตถุที่เป็นขั้นตอนที่กำหนด นอกจากนี้ ลำดับนี้เป็นการเดินในกราฟ เราเรียกการเดินแบบเดินสุ่มบนกราฟหรือไดกราฟ G. ใช้เมตริกซ์ Markov เราเห็นว่า i, j รายการของเอ็มเคแทนความเป็นไปได้ว่า การเดินสุ่มของ k ความยาวเริ่มต้นที่จุดยอด vj สิ้นสุดที่จุดยอด vi -ท่อนเวกเตอร์จะสอดคล้องกับความน่าจะเป็นจุดยอดกำหนดหลังจากเดินสุ่มในจำนวนเพียงพอตัวอย่าง:รูปที่ 2สำหรับกราฟในรูปที่ 2M =0BBBBBBBBB @0 1 1 3/4 0 0 1/21 3 0 0 1/2 1/2 01 3 0 0 1/2 1/2 1/20 1 1 3/4 0 0 00 1 1 3/4 0 0 00 1 3 1/4 0 0 01CCCCCCCCCAตอนนี้เราคำนวณ M5 ซึ่งสอดคล้องกับสุ่มเดินความยาวที่ 5 ตามกราฟนี้:M5 =0BBBBBBBBB @0.1192 0.2858 0.2582 0.0911 0.0911 0.19400.2858 0.0370 0.0723 0.3395 0.3395 0.19210.3442 0.0965 0.1273 0.4063 0.4063 0.27170.0608 0.2263 0.2032 0.0243 0.0243 0.11440.0608 0.2263 0.2032 0.0243 0.0243 0.11440.1293 0.1281 0.1359 0.1144 0.1144 0.11341CCCCCCCCCAดังนั้นความเป็นไปได้ว่า วัตถุที่จุดยอด 3 ทำให้ 5 สุ่มย้าย และสิ้นสุดที่ จุดยอด 1 เป็นรับ 3 รายการ 1 ของ M5 ซึ่งเป็น 0.2582เวกเตอร์เสถียรถูกกำหนด โดยใช้:x =ค่า null (M −ตา (6), 0 r0)xs = x/sum(x)2ซึ่งช่วยให้ xs =0BBBBBBBBB @0.18750.18750.25000.12500.12500.12501CCCCCCCCCAบ่งชี้ว่า ไม่ว่าการกระจายของวัตถุที่อยู่บนกราฟ ผ่านเวลา 1/4 ของพวกเขาจะสะสมที่จุดยอด 33

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สุ่มเดินบนกราฟ
1 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีกราฟ
ความคิดที่ใช้งานง่ายของกราฟเป็นรูปที่ประกอบด้วยจุดและเส้นติดกันจุดเหล่านี้ แม่นยำมากขึ้น
เรามีความหมายต่อไปนี้: กราฟคือชุดของวัตถุที่เรียกว่าจุดพร้อมกับชุดของคู่ไม่อันดับหนึ่ง
ของขอบจุดที่เรียกว่า โปรดทราบว่าขอบในกราฟแต่ละคนมีทิศทางไม่เกี่ยวข้องกับมัน ถ้าเราต้องการที่จะระบุ
ทิศทางที่แล้วเราใช้ความคิดของกราฟหรือเดี่ยว ความหมายของเดี่ยวเป็นแบบเดียวกัน
กับที่ของกราฟยกเว้นขอบจะได้รับคำสั่งคู่ของขอบ ถ้า (U, V) เป็นขอบในเดี่ยวแล้วเราบอก
ว่า (U, V) เป็นขอบจาก u เพื่อ v. นอกจากนี้เรายังบอกว่าถ้า (U, V) เป็นขอบในกราฟหรือเดี่ยวแล้ว u อยู่ติด
ไปทาง v (และ V อยู่ติดจาก U ในเดี่ยวก) ระดับของยอด V ในกราฟเป็นจำนวนองศานี้ (v) ขอบ
ซึ่งมี v. ในเดี่ยวที่เรากำหนดการศึกษาระดับปริญญาออกจากโวลต์จะเป็นจำนวนองศา + (v) V จะเป็นหมายเลขที่
ขอบซึ่งเริ่มต้น ที่ V และในระดับของโวลต์จะเป็น deg- จำนวน (V) ของขอบซึ่งสิ้นสุดที่ v.
ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างบางส่วนของกราฟและ digraphs:
รูปที่ 1
ทราบว่าเป็นไปได้ที่จะข้ามขอบแม้ว่านี้ไม่ได้เป็น กรณีกับตัวเลขดังกล่าวข้างต้น ถ้าสองขอบ
ข้ามแล้วแยกของพวกเขาคือยอดเฉพาะในกรณีที่ระบุไว้มิฉะนั้นจุดตัดของพวกเขาไม่ได้เป็นจุดสุดยอด.
เดินเล่นในกราฟหรือเดี่ยวเป็นลำดับของ V1 จุด V2 ที่ . . , VK + 1, ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกันเช่นว่า
(VI, vi + 1) เป็นขอบในรูปแบบของกราฟหรือเดี่ยว ความยาวของการเดินเป็นจำนวนขอบในเส้นทางเท่ากัน
มันจะมีค่าเท่ากับ k.
2 สุ่มเดินบนกราฟ
ให้ g เป็นกราฟหรือเดี่ยวกับสมมติฐานเพิ่มเติมว่าถ้า G เป็นเดี่ยวแล้วองศา + (V)> 0 สำหรับ
ทุกยอด v. ตอนนี้พิจารณาวัตถุที่วางอยู่ที่จุดสุดยอดวีเจ ในแต่ละขั้นตอนวัตถุต้องย้ายไปอยู่ใกล้เคียง
จุดสุดยอด น่าจะเป็นที่จะย้ายไป VI จุดสุดยอดเป็น 1
องศา (VJ) หรือ 1
องศา + (VJ) ถ้า (VJ, vi) เป็นขอบใน G และ G เป็น
กราฟหรือเดี่ยวตามลำดับ มิฉะนั้นความน่าจะเป็น 0 ดังนั้นหากเรากำหนด
mij =
8 >> <
>>:
1
องศา (VJ) ถ้า (VJ, vi) เป็นขอบในกราฟ G
1
องศา + (VJ) ถ้า (VJ, vi) เป็น ขอบในเดี่ยว G
0 มิฉะนั้น
แล้ว M = (mij) เป็นเมทริกซ์มาร์คอฟ โปรดทราบว่าบทบาทของ i และ j จะกลับเท่าที่เราต้องการคอลัมน์ของ
M เพื่อสรุปเป็น 1 ในฐานะที่เป็นแต่ละขั้นตอนที่เกิดขึ้นตามลำดับของจุดที่อยู่ติดกันมีการผลิต ลำดับนี้หมายถึง
1
ตำแหน่งของวัตถุที่อยู่ในขั้นตอนที่กำหนด นอกจากนี้ขั้นตอนนี้ใช้เวลาเดินในกราฟ เราขอเรียกร้องดังกล่าวใช้เวลาเดินที่
เดินสุ่มในรูปแบบของกราฟหรือเดี่ยวกรัมใช้เมทริกซ์มาร์คอฟเราจะเห็นว่า I, J รายการของ Mk แสดงให้เห็นถึง
ความน่าจะเป็นที่สุ่มเดินของความยาว K เริ่มต้นที่จุดสุดยอด VJ สิ้นสุดที่จุดสุดยอด VI . มั่นคงของรัฐ
เวกเตอร์จะสอดคล้องกับความน่าจะเป็นของการเป็นที่จุดสุดยอดได้รับหลังจากจำนวนที่เพียงพอของการเดินสุ่ม.
ตัวอย่าง:
รูปที่ 2
สำหรับกราฟในรูปที่ 2
M =
0
BBBBBBBBB @
0 1/3 1/4 0 0 1 / 2
1/3 0 0 0 1/2 1/2
1/3 0 0 1/2 1/2 1/2
0 1/3 1/4 0 0 0
0 1/3 1/4 0 0 0
1 / 3 0 1/4 0 0 0
1
CCCCCCCCCA
ตอนนี้เราคำนวณ M5 ซึ่งหมายถึงสอดคล้องกับการเดินสุ่มของความยาว 5 พร้อมกราฟนี้:
M5 =
0
BBBBBBBBB @
0.1192 0.2858 0.2582 0.0911 0.0911 0.1940
0.2858 0.0370 0.0723 0.3395 0.3395 0.1921
0.3442 0.0965 0.1273 0.4063 0.4063 0.2717
0.0608 0.2263 0.2032 0.0243 0.0243 0.1144
0.0608 0.2263 0.2032 0.0243 0.0243 0.1144
0.1293 0.1281 0.1359 0.1144 0.1144 0.1134
1
CCCCCCCCCA
ดังนั้นเป็นไปได้ว่าวัตถุซึ่งเริ่มต้นที่จุดสุดยอด 3 ทำให้ 5 การเคลื่อนไหวแบบสุ่มและสิ้นสุดที่จุดสุดยอด 1 ถูก
กำหนดโดย 3, 1 รายการ M5 ซึ่งเป็น 0.2582.
เวกเตอร์มั่นคงของรัฐจะได้รับจากการใช้:
x = null (M - ตา (6), 0 R0)
XS = x / ผลรวม (x)
2
ซึ่งจะช่วยให้ XS =
0
BBBBBBBBB @
0.1875
0.1875
0.2500
0.1250
0.1250
0.1250
1
CCCCCCCCCA
นี้แสดงให้เห็นว่าไม่ว่าสิ่งกระจายของวัตถุที่อยู่บนกราฟไม่มี; ในช่วง
เวลาที่ 1/4 ของพวกเขาจะสะสมที่จุดสุดยอด 3
3

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เดินสุ่มบนกราฟ1 . ทฤษฎีกราฟเบื้องต้นความคิดที่ใช้งานง่ายของกราฟเป็นรูปที่ประกอบด้วยจุดและเส้นเชื่อมจุดเหล่านี้ . มากขึ้นแน่นอนขณะนี้มีนิยามดังต่อไปนี้ กราฟเป็นชุดของวัตถุที่เรียกว่าจุดพร้อมกับชุดเรียงลําดับคู่จุดที่เรียกว่าขอบ สังเกตว่าขอบในกราฟไม่มีทิศทางที่เกี่ยวข้องกับมัน ถ้าเราต้องการระบุทิศทาง เราก็ใช้แนวคิดของกราฟทิศทาง หรือผงซักฟอก . ความหมายของไดกราฟเป็นเหมือนกันในฐานะที่เป็นกราฟ ยกเว้นขอบเป็นคู่อันดับของขอบ ถ้า ( u , v ) เป็นขอบในผงซักฟอก แล้วเราพูดว่า( u , v ) เป็นขอบจาก ยู วี เรายังพูดกันว่า ถ้า ( u , v ) เป็นขอบในกราฟ หรือผงซักฟอก แล้วคุณจะอยู่ติดกันให้ V ( V ติดกันจาก U เป็นทวิอักษร ) ระดับของจุดยอด v ในกราฟคือจำนวน deg ( v ) ขอบซึ่งประกอบด้วยโวลต์ในเทศกาลภาพยนตร์ที่เรากำหนดจากระดับ 5 เป็นจำนวนองศา + ( v ) V เป็นหมายเลขของขอบซึ่งเริ่มต้นที่ 5 และในระดับ 5 จะเป็นตัวเลของศา− ( V ) ของขอบซึ่งสิ้นสุดที่ Vด้านล่างเป็นตัวอย่างบางส่วนของกราฟและธรรมจักร :รูปที่ 1โปรดทราบว่ามันเป็นไปได้สำหรับขอบเพื่อข้ามถึงแม้ว่ากรณีนี้ไม่ได้กับตัวเลขข้างต้น ถ้าสองขอบข้าม แล้วแยกของพวกเขาคือจุดสุดยอดเท่านั้น ถ้าพบ หรือแยกของพวกเขาไม่ได้เป็นจุดสุดยอดเดินในกราฟหรือไดกราฟเป็นลำดับของจุดยอด V1 , V2 , . . . . . . . . VK , + 1 , ไม่จําเป็น ที่แตกต่างกัน เช่น( vi , 6 + 1 ) เป็นขอบในกราฟหรือผงซักฟอก . ความยาวของการเดินเป็นจำนวนของขอบในเส้นทาง ก้องมันเท่ากับ k2 . เดินสุ่มบนกราฟให้ G เป็นกราฟหรือผงซักฟอกกับเพิ่มเติมสมมติฐานที่ว่าถ้า G เป็นทวิอักษร แล้วองศา + ( v ) > 0 สำหรับทุกจุดยอด V ตอนนี้พิจารณาวัตถุอยู่ที่จุดยอดวีเจ . ในแต่ละขั้นตอนวัตถุจะต้องย้ายไปที่ ที่อยู่ติดกันจุดสุดยอด ความน่าจะเป็นที่จะย้ายไปยังจุดยอด 4 1องศา ( VJ ) หรือ 1องศา + ( VJ ) ถ้า ( วีเจ 6 ) เป็นขอบใน G และ g คือกราฟหรือทวิอักษร ตามลำดับ มิฉะนั้น โอกาสเป็น 0 ดังนั้น ถ้าเรากำหนดก็ได้ =8 > > <> > :1องศา ( VJ ) ถ้า ( วีเจ 6 ) เป็นขอบในกราฟ G1องศา + ( VJ ) ถ้า ( วีเจ 6 ) เป็นขอบในไดกราฟ G0 อื่นแล้ว M = ( ฉัน ) เป็นแบบเมทริกซ์ หมายเหตุว่า บทบาทของ ฉัน และ เจ จะกลับ ตามที่เราต้องการ คอลัมน์ของM รวม 1 . เป็นแต่ละขั้นเกิดขึ้นเป็นลำดับติดกันจุดผลิต ลำดับนี้เป็นตัวแทน1ตำแหน่งของวัตถุที่ระบุขั้นตอน นอกจากนี้ลำดับนี้จะเดินในกราฟ เราเรียกเช่นเดินเดินสุ่มบนกราฟหรือไดกราฟ G . ใช้แบบเมตริกซ์ เราพบว่าผม เจ รายการของ MK แทนน่าจะเป็นที่เดินแบบสุ่มของความยาวเริ่มต้นที่จุดยอด , VJ , ปลายยอดคงที่ VIเวกเตอร์จะสอดคล้องกับโอกาสที่ได้รับ ยอดหลังจากที่จำนวนที่เพียงพอของเดินสุ่มตัวอย่าง :รูปที่ 2สำหรับกราฟในรูปที่ 2M =0bbbbbbbbb @0 1 / 3 1 / 4 0 1 1 / 21 / 3 0 0 1 / 2 1 / 2 01 / 3 0 0 1 / 2 1 / 2 1 / 20 1 / 3 1 / 4 0 0 00 1 / 3 1 / 4 0 0 01 / 3 / 4 0 0 0 0 11ccccccccc เป็นตอนนี้เราใช้ M5 ซึ่งแสดงถึงกับเดินสุ่มของความยาว 5 ตามกราฟนี้M5 =0bbbbbbbbb @0.1192 0.2858 0.2582 0.0911 0.0911 0.19400.2858 0.0370 0.0723 0.3395 0.3395 0.19210.3442 0.0965 0.1273 0.4063 0.4063 0.27170.0608 0.2263 0.2032 0.0243 0.0243 0.11440.0608 0.2263 0.2032 0.0243 0.0243 0.11440.1293 0.1281 0.1359 0.1144 0.1144 0.11341ccccccccc เป็นดังนั้น โอกาสที่วัตถุซึ่งเริ่มต้นที่จุดยอด 3 , ทำให้ 5 สุ่มย้ายและสิ้นสุดที่จุดยอดที่ 1 คือให้ โดย 3 รายการ 1 ของ M5 ซึ่งเป็น 0.2582 .โดยเวกเตอร์จะได้รับโดยใช้ :X = null ( m −ตา ( 6 ) , 0 r0 )x = x / รวม ( X )2ซึ่งจะช่วยให้ XS =0bbbbbbbbb @0.18750.18750.25000.12500.12500.12501ccccccccc เป็นนี้บ่งชี้ว่า ไม่ว่าการกระจายของวัตถุบนกราฟ มากกว่าเวลา 1 / 4 ของพวกเขาจะสะสมที่จุดยอด 33 .