Lagrange’s Theorem of Four Squares

Lagrange’s Theorem of Four Squares says that any positive integer can be expressed
as a sum of four integer squares. A widely circulated proof is the one
based on Euler [3]. We will say that a positive definite quadratic form is universal
if it represents all positive integers. Accordingly the quadratic form x2+y2+z2+w2 would be universal by Lagrange’s Theorem of Four Squares. As a short
hand, we will denote this quadratic form by (1, 1, 1, 1) and we will prove the universality
of quadratic forms of (1, 1, 1, 4), (1, 1, 2, 8), (1, 1, 2, 2), (1, 2, 2, 4), and
(1, 2, 4, 8), by assuming the universality of (1, 1, 1, 1).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ของ Lagrange ทฤษฎีบทของสี่สี่เหลี่ยมกล่าวว่า จำนวนเต็มบวกใด ๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนเต็มสี่เหลี่ยม หลักฐานที่ส่งกันอย่างแพร่หลายคือตามออยเลอร์ [3] เราจะบอกว่า บวกแน่นอนกำลังสองแบบที่เป็นสากลถ้ามันแสดงถึงจำนวนเต็มบวกทั้งหมด ตาม แบบฟอร์มกำลังสอง x 2 + y2 + z2 + w2 จะสากล โดยของ Lagrange ทฤษฎีบทของสี่สี่เหลี่ยม เป็นช่วงสั้น ๆมือ เราจะแสดงแบบฟอร์มกำลังสองนี้ โดย (1, 1, 1, 1) และเราจะพิสูจน์การสากลรูปแบบกำลังสองของ (1, 1, 1, 4), (1, 1, 2, 8), (1, 1, 2, 2), (1, 2, 2, 4), และ(1, 2, 4, 8), โดยสมมติว่าสากล (1, 1, 1, 1)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบทของ Lagrange สี่สี่เหลี่ยมบอกว่าจำนวนเต็มบวกใด ๆ ที่สามารถแสดง
เป็นผลรวมของสี่สี่เหลี่ยมจำนวนเต็ม หลักฐานหมุนเวียนกันอย่างแพร่หลายเป็นหนึ่ง
ขึ้นอยู่กับออยเลอร์ [3] เราจะบอกว่ารูปแบบสมการกำลังสองบวกแน่นอนเป็นสากล
ถ้ามันหมายถึงจำนวนเต็มบวกทั้งหมด ทั้งนี้กำลังสองรูปแบบ x2 + y2 + Z2 + W2 จะเป็นสากลโดยทฤษฎีบทของ Lagrange สี่สี่เหลี่ยม ในฐานะที่เป็นสั้น
มือเราจะแสดงให้เห็นถึงรูปแบบสมการกำลังสองนี้โดย (1, 1, 1, 1) และเราจะพิสูจน์ความเป็นสากล
ในรูปแบบสมการกำลังสอง (1, 1, 1, 4), (1, 1, 2, 8) (1, 1, 2, 2) (1, 2, 2, 4) และ
(1, 2, 4, 8) โดยสมมติว่าเป็นสากลของ (1, 1, 1, 1)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบทของลากรองจ์สี่เหลี่ยมกล่าวว่าจำนวนเต็มบวกใดสามารถแสดงผลบวกของจำนวนเต็มเป็นสี่เหลี่ยม เป็นหมุนเวียนกันอย่างแพร่หลายพิสูจน์เป็นหนึ่งตาม ) [ 3 ] เราจะบอกว่า บวกแน่นอนกำลังสองรูปแบบเป็นสากลถ้ามันเป็นจำนวนเต็มที่เป็นบวก ตามแบบฟอร์มที่กำลังสอง + + + W2 y2 X2 กขึ้นจะเป็นสากลโดยทฤษฎีบทของลากรองจ์สี่เหลี่ยม เป็นสั้นได้ พวกเราจะแสดงรูปแบบกำลังสองโดย ( 1 , 1 , 1 , 1 ) และเราจะพิสูจน์ความเป็นสากลรูปแบบกำลังสอง ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 , 8 ) , ( 1 , 1 , 2 , 3 ) , ( 1 , 2 , 3 , 4 ) และ( 1 , 2 , 4 , 8 ) โดยสมมติว่าเป็นสากล ( 1 , 1 , 1 , 1 )