A partition π of an integer n is a

A partition π of an integer n is a way of expressing n as a sum n=h1+h2+⋯+hs of positive integers satisfying the condition h1≥h2≥⋯≥hs. The integers hi are called parts of the partition. We denote by P(n) the number of partitions of the integer n and by Ps(n) the number of partitions of n into s parts.

The problem of counting partitions of an integer n was first undertaken by Euler [4], who found the generating function for the numbers P(n). Since then, integer partitions have been deeply studied by mathematicians for their fascinating properties. Most of the present abundant literature deals with recurrence formulas, identities and asymptotics (see [2] and [6] and [9] for extensive surveys on the subject). In the 80’s, the number of partitions of an integer was studied according to the number s of its parts. Some explicit and recursive formulas for the number Ps(n) of partitions of n into s parts have been found for small values of s (see [3], and sequences A001399, A001400 and A001401 in [7]). This topic was first investigated by Andrews [1], who discovered a relationship between the number of partitions into three parts and the number of triangles with integer sides. Further results in this direction can be found in [5].

In this work, we give a new contribution to the subject, by exhibiting two bijections between suitable sets of partitions of an integer into a bounded number of parts. These bijections allow us to find some recurrence formulas for the numbers of partitions of n into three or four parts. To this end, we focus on the subset of twin partitions, namely, partitions of n whose two greatest parts coincide. First of all, we remark that the set of partitions of n−1 into s parts corresponds bijectively to the set of non-twin partitions of n. This implies that the sequence View the MathML source of the number of twin partitions of n into s parts is the image under the backward difference operator Δ of the sequence Ps(n). As a consequence, we obtain a recurrence formula for the sequence Ps(n) as soon as we find a bijection between the set of twin partitions of n into s parts and some set of partitions of a suitable integer into a smaller number of parts. In Sections 3 and 4, we exhibit explicit bijections for the cases s=3,4. With similar arguments, we succeed in finding some recurrence relations for the number of twin partitions of n into five and six parts.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Πพาร์ติชันของตัวเลขจำนวนเต็ม n เป็นวิธีของ n เป็น n รวม = h1 + h2 + ⋯ + hs ของจำนวนเต็มบวกที่ h1≥h2≥⋯≥hs เงื่อนไขการตอบสนอง เต็มสูง เรียกว่าส่วนของพาร์ติชัน เราแสดง โดย P(n) จำนวนพาร์ติชันของจำนวนเต็ม และ Ps(n) จำนวนพาร์ติชันของ n เป็น sปัญหาของพาร์ติชันของตัวเลขจำนวนเต็ม n การตรวจนับก่อนดำเนิน โดยออยเลอร์ [4], ที่พบสร้างฟังก์ชันสำหรับหมายเลข P(n) ตั้งแต่นั้น จำนวนเต็มกั้นมีการลึกศึกษา โดย mathematicians สำหรับคุณสมบัติที่น่าสนใจ วรรณคดีมากมายปัจจุบันส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับสูตรเกิด รหัสประจำตัว และ asymptotics (ดู [2] และ [6] และ [9] การสำรวจอย่างละเอียดในเรื่อง) ใน 80 หมายเลขพาร์ติชันของจำนวนเต็มที่ได้ศึกษาตาม s หมายเลขส่วนประกอบ บางอย่างชัดเจน และได้พบสูตรซ้ำ Ps(n) หมายเลขพาร์ติชันของ n เป็นส่วน s สำหรับค่าขนาดเล็กของ s (ดู [3], และลำดับ A001399, A001400 และ A001401 ใน [7]) หัวข้อนี้ถูกตรวจสอบก่อน โดยแอนดรูวส์ [1], ผู้ค้นพบความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนของพาร์ติชันออกเป็นสามส่วนและจำนวนสามเหลี่ยมกับด้านเลขจำนวนเต็ม ผลต่อไปในทิศทางนี้สามารถพบได้ใน [5]ในงานนี้ เราให้เป็นผลงานใหม่เรื่อง โดยอย่างมีระดับ bijections สองระหว่างชุดเหมาะของพาร์ติชันของจำนวนเต็มเป็นกี่ส่วน Bijections เหล่านี้ให้เราหาสูตรบางเกิดซ้ำสำหรับหมายเลขพาร์ติชันของ n เป็น สี่ส่วน เพื่อการนี้ เราเน้นชุดย่อยที่กั้นเตียง ได้แก่ กั้นส่วนสุดสองลงรอย n ครั้งแรกของทั้งหมด เรารีว่า ชุดของพาร์ติชันของ n−1 เป็นส่วน s ตรง bijectively ชุดของพาร์ติชันไม่ใช่คู่ของ n หมายความว่าลำดับดูต้น MathML จำนวนพาร์ติชันคู่ของ n เป็นส่วน s ภาพภายใต้δยอดดำเนินแตกต่างย้อนหลังลำดับ Ps(n) ผล เรารับสูตรเกิดขึ้นเป็นลำดับ Ps(n) ทันทีที่เราค้นหา bijection ระหว่างชุดกั้นเตียงของ n เป็น s และบางชุดของพาร์ติชันของเต็มเหมาะเป็นชิ้นส่วนขนาดเล็ก ใน 3 ส่วนและ 4 เราแสดง bijections ชัดเจนสำหรับ s กรณี = 3, 4 อาร์กิวเมนต์คล้าย ที่เราประสบความสำเร็จในการหาความสัมพันธ์บางอย่างเกิดขึ้นสำหรับจำนวนของพาร์ติชันคู่ของ n เป็น 5 ถึง 6

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

πพาร์ทิชันของจำนวนเต็ม n เป็นวิธีการแสดงเป็นผลรวม n n = H1 + H2 + ⋯ + HS ของจำนวนเต็มบวกพอใจh1≥h2≥สภาพ⋯≥hs จำนวนเต็ม Hi จะเรียกว่าชิ้นส่วนของพาร์ทิชัน เราหมายถึงโดย P (n) จำนวนของพาร์ทิชันของจำนวนเต็ม n และ PS (n) จำนวนของพาร์ทิชันของ n เป็น S ส่วนปัญหาการนับพาร์ทิชันของจำนวนเต็ม n ได้รับการดำเนินการเป็นครั้งแรกโดยได้ [4] ออยเลอร์ที่ พบการทำงานที่ก่อให้เกิดสำหรับหมายเลข P (N) ตั้งแต่นั้นมาพาร์ทิชันจำนวนเต็มได้รับการศึกษาอย่างลึกซึ้งโดยนักคณิตศาสตร์สำหรับคุณสมบัติที่น่าสนใจของพวกเขา ส่วนใหญ่ของข้อเสนอปัจจุบันวรรณกรรมอุดมไปด้วยสูตรกำเริบ, ตัวตนและ asymptotics (ดู [2] และ [6] และ [9] สำหรับการสำรวจที่ครอบคลุมในเรื่อง) ใน 80 ของจำนวนของพาร์ทิชันของจำนวนเต็มได้รับการศึกษาตามจำนวนของชิ้นส่วน บางสูตรที่ชัดเจนและทั่วถึงสำหรับจำนวน Ps (N) ของพาร์ทิชันของ n S เป็นชิ้นส่วนที่มีการตรวจพบค่าเล็ก ๆ ของ S (ดู [3] และลำดับ A001399, A001400 และ A001401 ใน [7]) หัวข้อนี้จะถูกตรวจสอบเป็นครั้งแรกโดย [1] แอนดรูผู้ค้นพบความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนของพาร์ทิชันออกเป็นสามส่วนและจำนวนของรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านจำนวนเต็ม ผลต่อไปในทิศทางนี้สามารถพบได้ใน [5] ในงานนี้เราจะให้มีส่วนร่วมกับเรื่องใหม่โดยจัดแสดงสอง bijections ระหว่างชุดที่เหมาะสมของพาร์ทิชันของจำนวนเต็มเป็นจำนวน จำกัด ของชิ้นส่วน bijections เหล่านี้ช่วยให้เราสามารถหาสูตรที่เกิดขึ้นอีกสำหรับตัวเลขของพาร์ทิชันของ n เป็นสามหรือสี่ส่วน ด้วยเหตุนี้เรามุ่งเน้นไปที่ส่วนของพาร์ทิชันคู่คือพาร์ทิชันของ n ที่มีสองส่วนที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเหมือนกัน แรกของทั้งหมดที่เราพูดว่าชุดของพาร์ทิชัน n-1 เป็น S ชิ้นส่วนสอดคล้อง bijectively ถึงชุดของพาร์ทิชันที่ไม่คู่ของ n นี่ก็หมายความว่าลำดับดูแหล่ง MathML ของจำนวนของพาร์ทิชันฝาแฝดของ n S เป็นชิ้นส่วนที่เป็นภาพภายใต้Δผู้ประกอบการที่แตกต่างกันได้ย้อนหลังของลำดับ Ps (N) เป็นผลให้เราได้รับสูตรการกำเริบลำดับ Ps (N) เร็วที่สุดเท่าที่เราจะพบ bijection ระหว่างชุดของพาร์ทิชันฝาแฝดของ n เป็น S ชิ้นส่วนและชุดบางส่วนของพาร์ทิชันที่เป็นจำนวนเต็มเหมาะสมเป็นจำนวนขนาดเล็กของชิ้นส่วน ในส่วนที่ 3 และ 4 เราแสดง bijections ที่ชัดเจนสำหรับกรณีที่ s = 3,4 มีข้อโต้แย้งที่คล้ายกันเราประสบความสำเร็จในการหาความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นบางอย่างสำหรับจำนวนของพาร์ทิชันคู่ของ n เป็นห้าและหกส่วน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พาร์ทิชันπของจำนวนเต็มเป็นวิธีของ expressing n เป็นจำนวน n = H1 H2 ⋯ HS บวกจำนวนเต็มที่น่าพอใจเงื่อนไข≥ H1 H2 ≥⋯≥ HS คือ n . จำนวนเต็มครับ เรียกว่า ส่วนของฉาก เราแสดงโดย P ( n ) จำนวนพาร์ทิชันของจำนวนเต็ม n และ PS ( n ) จำนวนพาร์ทิชันของ n ในส่วน s .

ปัญหานับพาร์ทิชันของจำนวนเต็ม n เป็นครั้งแรกที่ดำเนินการโดยออยเลอร์ [ 4 ]ที่ได้สร้างฟังก์ชันสำหรับตัวเลข P ( N ) ตั้งแต่นั้นมา , พาร์ทิชันจำนวนเต็มได้ทุ่มเทการศึกษาโดยนักคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจของพวกเขา คุณสมบัติ ที่สุดของวรรณกรรมมากมาย ปัจจุบันการตรวจสอบกับสูตรเอกลักษณ์และ asymptotics ( ดู [ 2 ] และ [ 6 ] และ [ 9 ] สำหรับการสำรวจอย่างละเอียดในเรื่อง ) ใน 80 ของจำนวนของพาร์ทิชันของจำนวนเต็ม ) ตามจำนวนของชิ้นส่วนของ บางสูตรอย่างชัดเจน และผู้จํานวน PS ( N ) ของพาร์ทิชันของ n ในส่วน s ได้พบค่าเล็กน้อยของ S ( [ 3 ] และลำดับ a001399 a001400 a001401 , และใน [ 7 ] ) หัวข้อนี้เป็นครั้งแรก โดยแอนดรู [ 1 ]ผู้ซึ่งค้นพบความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนของพาร์ทิชันออกเป็นสามส่วน และหมายเลขของสามเหลี่ยมกับจำนวนเต็มที่ด้านข้าง ผลในทิศทางนี้สามารถพบได้ใน [ 5 ] .

งานนี้เราเอาผลงานใหม่กับเรื่องนี้ โดยจัดแสดง 2 bijections ระหว่างชุดเหมาะสมของพาร์ทิชันของจำนวนเต็มเป็นจำกัดจำนวนของชิ้นส่วนbijections เหล่านี้ช่วยให้เราสามารถหาสูตรซ้ำสำหรับหมายเลขของพาร์ทิชันของ N เป็นสามหรือสี่ส่วน จุดนี้เรามุ่งเน้นไปที่บางส่วนของแฝดคือ พาร์ทิชันของพาร์ทิชันที่มีสองส่วนที่เหมือนกัน ครั้งแรกของทั้งหมด เราสังเกตว่าชุดของพาร์ทิชันของ n − 1 เป็นส่วนของการตั้งค่าที่ไม่สอดคล้อง bijectively แฝดพาร์ทิชัน .นี้หมายถึงว่าลำดับดู MathML แหล่งที่มาของหมายเลขของพาร์ทิชันที่คู่ของภาพภายใต้ความแตกต่างของลำดับย้อนหลังผู้ประกอบการΔ PS คือ n ในส่วน s ( N ) อย่างไรก็ดีเราได้รับการสูตรสำหรับลำดับ PS ( N ) ทันทีที่เราพบฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างเซตของพาร์ทิชันแฝดของ N เป็น S ชิ้นส่วนและบางชุดของพาร์ทิชันของจำนวนเต็มที่เหมาะสมเป็นจำนวนเล็ก ๆของส่วน ในส่วนที่ 3 และ 4 เราแสดงชัดเจน bijections สำหรับกรณี S = 3 , 4 . ด้วยเหตุผลที่คล้ายกันเราประสบความสำเร็จในการหาความสัมพันธ์บางอย่างเกิดขึ้นสำหรับจำนวนของคู่พาร์ทิชันของ n ในห้าและหกส่วน